UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO. Física Experimental. Prof o José Wilson Vieira

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1 UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Físca Expermental Prof o José Wlson Vera wlson.vera@upe.br AULA 01: PROCESSOS DE ANÁLISE GRÁFICA E NUMÉRICA MODELO LINEAR Recfe, agosto de 2015

2 ATIVIDADES NESTA AULA Físca Expermental: Metodologa e Avalações Referêncas e Softwares Dsponíves Introdução à Modelagem de dados Modelo Lnear Análse Gráfca Modelo Lnear Análse Numérca Prmero Relatóro de Físca Expermental (Parcal)

3 METODOLOGIA E AVALIAÇÕES

4 METODOLOGIA E AVALIAÇÕES Duas prmeras semanas: Aulas expostvas sobre os processos de análse gráfca e numérca usados no curso. 1º Relatóro: Resumo das duas aulas (parte da nota da 1ª undade). Tercera semana: Apresentação das experêncas da 1ª undade. Recolhmento do 1º relatóro. Demas semanas: Experêncas sobre mecânca, termologa, eletromagnetsmo e ótca.

5 METODOLOGIA E AVALIAÇÕES AVALIAÇÕES Em cada undade, 50% da nota são os relatóros semanas + 50% o relatóro especal do da marcado para a prova da undade.

6 REFERÊNCIAS E SOFTWARES

7 REFERÊNCIAS E SOFTWARES Arquvo PDF dsponível

8 REFERÊNCIAS E SOFTWARES

9 REFERÊNCIAS E SOFTWARES

10 REFERÊNCIAS E SOFTWARES

11 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS

12 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS Um procedmento comum adotado por pesqusadores consste em coletar dados (pesqusa, meddas, nformações de bancos de dados, etc); organzá-los em planlhas; analsá-los numérca e grafcamente; sntetzar resultados; testar e valdar resultados.

13 COLETA DE DADOS INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS Em cêncas com vertentes expermentas como físca e químca, é comum dscplnas báscas como Físca Expermental, onde o estudante precsa medr alguma grandeza em função de valores conhecdos de varáves ndependentes como tempo, dstânca, temperatura, etc. Neste ambente, a coleta de dados é organzada a partr de uma montagem que permta avalar alguma grandeza em função de outra. Por exemplo, é comum medr tempo de queda de um corpo para dversas alturas e fazer uma tabela d(m) x t(s).

14 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS ORGANIZAÇÃO DOS DADOS PRIMÁRIOS Dados coletados, ou dados prmáros, devem ser organzados para facltar a análse. Com o advento dos computadores, programas como o EXCEL se tornaram ferramenta de laboratóro ndspensável porque permtem a organzação em planlhas dos dados a serem analsados.

15 Excel 2003 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS

16 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS

17 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS ANÁLISE DOS DADOS Em geral, o pesqusador coleta e organza seus dados pensando em algum modelo para analsá-los. De um modo mas geral anda, ele pode ter em mente um conjunto de modelos possíves para o problema abordado. Por exemplo, ao analsar um gás rarefeto, e juntar dados sobre as varáves PV e T, somos tentados a verfcar uma modelagem lnear do tpo PV a * T + b e dscutrmos o quanto nosso gás se aproxma do modelo do gás deal. Só não é possível começarmos a pesqusa sem déa alguma sobre como modelar nossos dados!

18 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS Podemos utlzar métodos numércos e/ou gráfcos na nossa análse de dados. Nesta aula faremos um exemplo de físca expermental onde utlzaremos a análse gráfca lnear para obter a Le de Hooke para meddas no sstema massa-mola. Posterormente, usaremos o mesmo exemplo, porém fazendo uma análse numérca conhecda como regressão lnear.

19 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS OBTENÇÃO DE RESULTADOS Em físca expermental básca, os resultados geralmente são resumdos em forma de uma equação onde os parâmetros são estatstcamente arredondados e testados.

20 TESTES DOS RESULTADOS INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS Os testes dos resultados utlzam uma função estatístca aproprada (geralmente o erro relatvo ou o coefcente de correlação) para: Verfcar o quanto um valor encontrado se aproxma de um valor conhecdo (se houver); Obter um erro relatvo médo da varável dependente, utlzando a equação encontrada na análse.

21 INTRODUÇÃO À MODELAGEM DE DADOS MODELOS USADOS EM FÍSICA EXPERIMENTAL BÁSICA Quase todos os problemas dscutdos em físca básca, nos cursos de engenhara, podem ser modelados satsfatoramente utlzando um modelo LINEAR y Ax + B EXPONENCIAL y Be Ax POTENCIAL y Bx A

22 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA - MEDIR - ANALISAR - OBTER RESULTADOS - TESTAR

23 MEDIR O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA Ex.: Le de Hooke, págna 1, do Relatóro PAGN. Dado adconal: k 32 N/m 32 gf/cm

24 ANALISAR: GRÁFICO LINEAR O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA MÓDULOS M M y x comprmento vertcal do papel em ux ymax. comprmento horzontal do papel em uy x max Obs: 1) Ao nvés de arredondar, sempre truncar os modelos. 2) ux, uy Undades lneares (~mm) no papel.

25 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA PAPEL LINEAR NO FscaExpermental

26 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA

27 O gráfco deve ser a lnha méda entre os pontos representados (gráfco de dspersão). Deve conter Título, Autor, Data, Varáves e suas undades. Também devemos escrever os módulos dos exos como no exemplo. O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA

28 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA

29 OBTER RESULTADOS Nossos resultados são os coefcentes A e B da Le de Hooke, F Ax + B arredondados apropradamente. O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA

30 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA Dados obtdos do gráfco (x f, F f ) (C.O.) uy (x, F ) (C.A.) ux

31 Dados obtdos do gráfco (x, F ) e (x f, F f ) (C.O.) uy e (C.A.) uy O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA A ( C.O. ) M ( C.A. ) M y x uy ux ( ) gf / cm F B Ax + B F Ax ( )gf

32 TESTAR RESULTADOS O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA 1º PROCESSO: Testar uma constante do problema Erro Relatvo ER k k k A 100 ( )%

33 2º PROCESSO: Testar a varável dependente do problema Erro Relatvo Médo x(cm) F(gf) F c (gf) Erro(%) 5, , , , , , , , , , , , , , , Méda 2,55 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA ER F F F F c 100 ER N 1 ( ER ) N F

34 x(cm) F(gf) 5, , , , , OBS: ARREDONDAMENTOS O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA REGRA DO MAIS POBRE OU MAIS POBRE + 1 Meddas realzas com uma régua (precsão de mm) e uma balança (precsão de g. Fo usado o valor de referênca da gravdade da Terra para obtenção de F). Esta tabela de entrada tem: 1 medda com 2 Algarsmos sgnfcatvos 8 meddas com 3 Algarsmos sgnfcatvos 1 medda com 4 Algarsmos sgnfcatvos A regra estabelece que devemos arredondar os resultados (A, B e os ERs) com 3 algarsmos sgnfcatvos.

35 DESVIO-PADRÃO DA MÉDIA O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA σ k N 1 N ( k k ) ( N 1) 2 Fazer a tabela com x, F e k, para calcular a méda de k. Ex : k 33, e σ k 0,

36 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E ARREDONDAMENTOS Em geral, o erro é expresso com um únco algarsmo sgnfcatvo e a medda (ou estmatva), com gual número de casas decmas. Uma medda (ou um estmador) deve ser expressa apenas com algarsmos sgnfcatvos. O últmo algarsmo é chamado de duvdoso.

37 REGRA PARA ARREDONDAMENTOS Quando os dígtos são retrados de um número, o últmo algarsmo sgnfcatvo (o duvdoso) deve ser arredondado, usando as regras: 1) Se o valor do dígto após o algarsmo duvdoso for maor que 5, o duvdoso deve ser ncrementado de 1. Ex.: 8, ,37 2) Se o valor do dígto após o algarsmo duvdoso for menor que 5, o duvdoso não se altera (o número é smplesmente truncado). Ex.: 8, ,36 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA

38 O MODELO LINEAR ANÁLISE GRÁFICA 3) Se o valor do dígto após o algarsmo duvdoso for gual a 5, por convenção, o duvdoso deve ser ncrementado de 1 se for par. Ex.: a) 8,36 5 8,37 b) 8,35 5 8,35 Obs.: Esta convenção arbtrára reduz a ncdênca de efetos sstemátcos. Ex : k 33, e σ k 0, ( 33,1 ± 0,7) gf cm k /

39 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA

40 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA Na análse numérca de dados coletados em Físca Expermental, vamos aplcar a técnca estatístca da regressão lnear no modelo matemátco utlzado (uma reta, uma potênca ou uma exponencal) para obter a melhor equação com base em uma função-teste chamada coefcente de correlação. A regressão lnear é realzada sobre um conjunto de pontos (x, y) que pode ser descrto pela expressão y Ax + B

41 ALGORITMO DA ANÁLISE NUMÉRICA O que desejamos obter são os coefcentes angular e lnear da equação. O método consste no segunte: PASSO 1: A equação y Ax + B é montada para cada um dos N pares (x, y) meddos. A segur somamos, membro a membro, os resultados: y y y 1 2 Ax Ax Ax B... n B B y A x n O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA NB

42 PASSO 2: Multplcamos cada equação pela -ésma abscssa e somamos, membro a membro, os resultados: x x x 1 2 n y 1 y y 2 n xy Ax 2 1 Ax Ax n Bx Bx... 1 Bx 2 n 2 A x + O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA B x

43 PASSO 3: Resolvemos o sstema lnear, + + x B x A xy BN x A y 2 obtendo N y y N x x Ax y B x x N y x y x N A N N N N N N N e O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA

44 Para teste estatístco, usamos o coefcente de correlação, defndo por R A 1 N ( x x) ( y ) y 1 onde (x, y ) é o -ésmo par dos N pares meddos. N O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA 2 2

45 Quanto mas próxmo de 1 estver R, mas ajustado o conjunto de dados ao modelo lnear. Isto porque a raz quadrada que aparece na fórmula de R é, essencalmente, uma razão x / y, sto é, o nverso do coefcente angular da reta modelada. R x A y y x 1 A N ( x x) ( y ) y Esta técnca de modelagem também pode ser usada para alguns modelos não-lneares como as potêncas e as exponencas como veremos nas próxmas aulas. O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA R x y 1 N 1 2 2

46 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA IMPLEMENTAÇÃO DA ANÁLISE NUMÉRICA - EXCEL y Ax + B Se os valores de x estverem nas 10 prmeras lnhas da coluna A e os de y nas 10 prmeras lnhas de B, o coefcente angular A é obtdo, no EXCEL, usando a função INCLINAÇÃO($B$1:$B$10;$A$1:$A$10)

47 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA INCLINAÇÃO($B$1:$B$10;$A$1:$A$10) No Excel, podemos nomear os ntervalos que aparecem no argumento da função INCLINAÇÃO para facltar novas dgtações: $A$1:$A$10 vt $B$1:$B$10 vp INCLINAÇÃO(vp;vt)

48 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA O coefcente lnear B é obtdo usando a função INTERCEPÇÃO(vp;vt) O teste da equação pode ser feto, calculando-se o coefcente de correlação R, usando a função CORREL(vp;vt)

49 IMPLEMENTAÇÃO DA ANÁLISE NUMÉRICA - FscaExpermental y Ax + B O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA

50 N N N N N x x N y x y x N A O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA

51 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA B y Ax

52 O MODELO LINEAR ANÁLISE NUMÉRICA R N 1 A N ( x x) ( y ) y 1 2 2

53 PRIMEIRO RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL

54 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL

55 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL

56 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL

57 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL