RAD1507 Estatística Aplicada à Administração I Prof. Dr. Evandro Marcos Saidel Ribeiro RESUMO

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE DE RIBEIRÃO PRETO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO RAD507 Etatítca Aplcada à Admtração I Prof. Dr. Evadro Marco Sadel Rbero RESUMO REVISÃO DE INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA Medda de cetro Méda (méda artmétca) Medaa (prmeramete: ordear o dado) A medaa é o valor que dvde o cojuto de dado ao meo, ou eja, o valor que epara 50% do valore ferore do 50% do valore uperore, em outra palavra é o percetl 50. ~ P 50 Moda A moda é o valor ma frequete o cojuto de dado. Ma utlzado para varáve dcreta. Poto Médo O poto médo é a méda etre o valor mámo e mímo: ma PtoMed m Como localzar o percetl Ordee o dado do meor para o maor Calcule: L (k/00), ode úmero de valore k percetl em quetão L erá o Localzadorde P k Medda de dperão Devo Padrão Amotral Varâca L é um Itero? m O valor de P k etá etre o L-émo valor e o valor egute. ão Ecotre P k omado o L-émo valor e o valor egute e dvddo o total por ( ) Mude L, arredode para o prmero tero maor. O valor de P k é o L-émo valor, cotado a partr do meor. Dtrbução Bomal A probabldade de e obter eatamete uceo em tetatva, edo a p a probabldade de uceo em uma tetatva, é dada por! p q P( ) ( )!! e q p Dtrbução Normal Dedade de probabldade ( µ ) f ( ; µ, σ ) ep σ π σ No Ecel a dedade é obtda por: DIST.NORM(; µ; σ ) ou DIST.NORMP(z) No Ecel a área acumulada até um valor de z é: INV.NORM(; µ; σ ) ou INV.NORMP(z) Score-z ou padrozação do dado Ecotre a méda e o devo padrão. Em eguda utlze a epreão: ( ) z Itervalo de cofaça (etmatva tervalar) Etmatva para proporção p ˆ E < p < pˆ E edo pˆ a proporção de uceo obervada a amotra: p ˆ /, ode é o úmero de uceo obervado. pq ˆ ˆ N O erro é dado por: E zα /. N Se for eceáro etmar o tamaho da amotra para um erro mámo, codere: Npq ˆ ˆ( zα / ) pq ˆ ˆ( zα / ) ( N ) Ema Oberve que e a população puder er coderada fta a epreõe acma ão depedem de N.

2 Etmatva para méda (σ cohecdo) E < µ < E edo a méda amotral. σ N O erro é dado por: E zα /. N Se for eceáro etmar o tamaho da amotra para um erro mámo, codere: σ Nσ ( zα / ) ( z ) ( N ) E α / ma Etmatva para méda (σ ão-cohecdo) E < µ < E edo a méda amotral. O erro é dado por: E tα /. Oberve que o devo padrão é o amotral e utlza-e a dtrbução t de Studet para obter o valor crítco t. α / Etmatva para devo padrão ou varâca O tervalo é obtdo com bae a dtrbução ququadrado ( χ ). A dtrbução qu-quadrado ão é métrca e o valore crítco ão empre potvo. Para fazer o tervalo de cofaça utlza-e χ (valor crítco da equerda) e χ D (valor crítco da dreta). a etmatva tervalare ão: E Procedmeto para Tete de Hpótee: Ecreva a afrmatva orgal a forma mbólca. Ecreva o opoto da afrmatva orgal a forma mbólca. 3 Epree H0 e H. (H0 é empre a gualdade) 4 Selecoe o ível de gfcâca α. 5 Verfque a dtrbução a er utlzada. 6 Calcule a etatítca tete. 7 A partr da etatítca tete verfque e H0 é rejetada ou ão, para tato e utlze um método: Método tradcoal: Compare a etatítca tete com o valor crítco, e a etatítca tete etá a regão crítca, Rejete H 0. Método valor-p: a partr da etatítca tete determe o valor-p. Se valor-p < α, Rejete H 0. 8 Etabeleça a cocluão (fraeado fal abao). Fraeado Fal para o Tete de Hpótee: A afrmatva orgal cotém a gualdade? Para o devo padrão, ão m ( ) χ D < σ < ( ) χ E. A hpótee H0 fo rejetada? A hpótee H0 fo rejetada? Para a varâca, ( ) χ D < σ ( ) < χ E. m O dado amotra apoam a afrmatva de que... m Há evdêca para rejetar a afrmatva de que... ESTATÍSTICA APLICADA À ADM. I TESTE DE HIPÓTESE: Itrodução Ter em mete a Regra do eveto raro : Se, ob uma dada upoção, a probabldade de um eveto obervado partcular é ecepcoalmete pequea, cocluímo que a upoção provavelmete ão é correta. Não há evdêca amotral para apoar a afrmatva de que... ão ão Não há evdêca para rejetar a afrmatva de que...

3 TESTE DE HIPÓTESE - uma amotra Iferêca obre uma proporção: H : p p 0 p p Etatítca tete: z tete ˆ, pq edo q p. Iferêca obre uma méda: Devo padrão Cohecdo H : µ µ 0 µ Etatítca tete: z tete σ Iferêca obre uma méda: Devo padrão Decohecdo H : µ µ 0 µ Etatítca tete: t tete, grau de lberdade: gl ( ) Iferêca obre um devo padrão ou uma varâca: H : σ σ ou H : σ σ 0 0 ( ) Etatítca tete: χtete, σ grau de lberdade: gl ( ) Iferêca obre dua méda: Amotra Idepedete H : µ µ 0 Etatítca tete: t tete, grau de lberdade: gl ecolha o meor etre ( ) e ( ) Iferêca obre dua méda: Amotra Emparelhada H : µ 0 0 d d Etatítca tete: ttete, d edo d a méda de toda a dfereça amotra d ; e d é o devo padrão da dfereça amotra, ou eja para amotra e : d d d d e d grau de lberdade: gl ( ) ( ) Comparação da varação em dua amotra: Tete F para comparação de varâca H : σ σ 0 Etatítca tete: F tete, edo a maor da dua varâca amotra. - grau de lberdade do umerador: gl - grau de lberdade do deomador: gl TESTE DE HIPÓTESE - dua amotra Iferêca obre dua proporçõe: H : p p 0 pˆ pˆ Etatítca tete: z tete, p q p q edo p ˆ, p e q p 3

4 3 ANOVA (ANaly Of VArace) - Iferêca a partr de ma de dua amotra Hpótee: H : µ µ µ 0 3 H : pelo meo uma da méda é dferete da outra ANOVA de um fator o Cálculo com tamaho gua Varâca etre amotra, edo a varâca da méda amotra. Varâca detro da amotra p, edo p a méda da varâca amotra. Etatítca Tete: F tete p - grau de lb. do umerador: k gl Num - grau de lb. do deomador: k ( ) gl De o Cálculo com tamaho amotra dferete ( ) Etatítca Tete: k F, edo a méda de todo o valore amotra e tete ( ) N k - grau de lberdade do umerador: gl Num k ; grau de lberdade do deomador: N k gl De 4

5 Eemplo para ANOVA de um fator com tamaho amotra dferete: ANOVA de do fatore Seo Tempo () para corredore da Maratoa NY Idade C ou ma Maculo Maculo Maculo Maculo Maculo Femo Femo Femo Femo Femo Iíco Tete a afrmatva de que ão há uma teração etre o do fatore (H 0 ) Você rejeta H 0? ão Tete a afrmatva de que ão há (H 0 ) um efeto do fator colua para a méda H 0 : µ µ K µ H : pelo meo uma dferete m Pare, ão codere o efeto de qualquer fator em coderar o efeto de outro Tete a afrmatva de que ão há (H 0 ) um efeto do fator lha para a méda Aova: fator duplo com repetção j 3 colua RESUMO ou ma Total Maculo Cotagem Soma 69637,0 8, , Méda 397,4 644, 677,8 5693, 354, Varâca , , 05758, 96567,8 Femo Cotagem Soma Méda 4678,4 69,4 0456, , Varâca 7603,3 530,3 4787, ,6 Total N Cotagem Soma 4309,0 638,0 8590,0 4967,0 Méda 430,9 63,8 859,0 6405,6 Varâca 54370, , , ,4 No Ecel: Ferrameta > Aále de dado > ANOVA: fator duplo com repetção > OK ANOVA alfa 0,05 Fote da varação gl MQ F valor-p F crítco Amotra 56837, ,6,69 0, 4,6 Colua , ,4 5,0 0,0 3,40 Iteraçõe ,9 0509,4,7 0,33 3,40 Detro (Erro) , ,33 Total ,4 9 5

6 4 CORRELAÇÃO Codere pare de dado (y,) y y y y Coefcete de Correlação Lear de Pearo: ( y) ( )( y) r y y ou edo wz zz ( ) ( ) ( ) ( ) r ( wz) y yy ( w)( z) e ( z ) ( z) O tete de hpótee: H : ρ 0 0 H : ρ 0 gl t tete r. Ou valor crítco r Na HP: Dgte o dado: y, [eter],, Σ r: [ g ],, [y] No Ecel: Ferrameta > Aále de Dado > Correlação 5 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Equação da reta: y b ou b0 y b y b0 b r α t α t α Regtro Valor R R Σ R 3 Σ R 4 Σ y R 5 Σ y R 6 Σ y ˆ edo ( y) ( )( y) ( ) ( ) b e Para avalar o ajute: ( y) Tot ( y y) ( y ), ( ) ( ) ( ) ( y) yˆ Re g y b0 y b y Erro ( y yˆ ) ( y ) b0 ( y) b ( ) y Erro R Tot Sgfcado do R : proporção da varaçõe de y que ão eplcada pela varaçõe de. S Erro y Erro Padrão: S y S b S b S 0 y Tete de Hpótee H : β 0 0 b t tete S H : β 0 gl No Ecel: Na HP: b : 0, [ g ], 0 > Ferrameta > Aále de Dado > Regreão b :, [ g ],, [ y], R, [y],[-] 6 MATRIZ DE COVARIÂNCIA (a partr do dado) Orgaze o dado a forma de matrz, por eemplo, a colua lte a 5 obervaçõe da varável e a colua lte a 5 obervaçõe da varável : 9 8 X 7 5. () Calcule a méda da varáve: 5 4. () Utlze a matrz obtda em () e para cada colua ubtraa a méda, obtedo a matrz de devo Xdev: b 6

7 X dev (3) A matrz de covarâca, S, é obtda pela epreão: S X devxdev (4) - é o úmero de obervaçõe, que o oo eemplo é gual a 5; - X dev é a matrz trapota da matrz obtda em (3). Etão, para o eemplo dado a matrz S (matrz de covarâca) é: S, que reulta em: S, ou eja ,50 7,5 S. (5) 7,5 7,50 Note que para dua varáve a matrz de covarâca erá e pode er ecrta a forma: S S S. (6) S S 7 MATRIZ DE CORRELAÇÃO A matrz de correlação é ecrta a forma: r K r k r K r k R. (7) M M O M rk rk K O cálculo de cada elemeto deta matrz pode er obtdo a partr da matrz de covarâca S por: Sj r j. (8) S S jj A matrz R também é métrca, ou eja, r r. Para matrze : j j S S S R. (9) S S S No eemplo, coderado () e (5), a matrz de correlação erá: 0,90805 R. (0) 0, MATRIZ DE COVARIÂNCIA (a partr da correlação) O cálculo de cada elemeto da matrz de covarâca pode er feto a partr da matrz de correlação. Am, a partr da correlação r, etre dua varáve e, a covarâca é dada por: S r () j j j Na epreão () e ão o devo-padrão j da varáve e j, repectvamete. 9 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Codere ma de dua varáve (E: y,,) y y y y O objetvo é obter o modelo de regreão lear múltpla, coderado k varáve depedete: y ˆ b b b K b 0 k k Obter o modelo gfca ecotrar o valore de b 0, b, b,..., bk. Etapa para o etudo de regreão lear múltpla: A repota do problema (obteção de b ) pode er dada atravé de matrze: b0 b b β ( Z Z) ( Z Y) () M b k A egur o pao para obteção do b : 7

8 Gráfco de dperão y, y,..., y k A partr da tabela de dado codere a matrze Z e Y dada por: K k K k Z e M M M O M K k y y Y M y Obteha Z, ou eja, a trapota da matrz Z: K K Z K M M O M k k K k Multplque a matrz trapota Z pela matrz Z: Z Z Codere o reultado ateror e verta obtedo a matrz M ( Z Z) (3) Para verter a matrz veja: 0 MATRIZ INVERSA. Faça a multplcação da matrze Z e Y obtedo a matrz Adada por A Z Y (4) Multplque a matrze obtda em (3) e (4) obtedo am o valore de b defdo em (), ou eja: β ( Z Z) ( Z Y) Com o valore de b ecreva a equação lear: y ˆ b b b K b 0 k k (5) A partr da epreão (5) calcule etmatva para cada cao em aále. Calcule o reíduo ε para cada etmatva: ε y yˆ Faça um gráfco do reíduo (o eo-y) como fução da etmatva (o eo-). 0 MATRIZ INVERSA A matrz vera de uma matrz A (e etr) é a matrz A - tal que A A - A - A. Determação da Matrz Ivera pela matrz Adjuta: A adj( A) (6) det( A) Para uma matrz 33, codere o elemeto omeado de acordo com a epreão (7) abao: a b c A d e f (7) g h A matrz adjuta de A é obtda pela matrz do cofatore trapota, que o cao da matrz A da epreão (7) reulta em: e f b c h h d f a c adj( A ) g g d e a b g h g h O determate de A é obtdo por: det(a ) a e b e a d a d c f c f b e b f g d h c g e c a h f b d 8