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2 (9-0 O ELITE RESOLVE IME 008 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO Determe o cojuto-solução da equação se +cos = -se.cos se + cos = se cos ( se cos ( se se.cos cos + + = = ( se.cos( + se.cos ( se + cos( se.cos = ( se.cos( + se.cos ( se cos [( se + co ( + se cos ] = 0 se cos = 0 ou se + cos se cos = 0 ª possbldade: se.cos = 0 se.cos = se.cos = se( = (Impossível, pos a fução seo é lmtada etre e. ª possbldade: se + cos se.cos = 0 se + cos.( se = 0 (cos ( se = 0 se = ou cos = π Se se = = + k. π, k Z Se cos = = k. π, k Z Assm, o cojuto solução da equação é: S / k. ou π = R = π = + k. π, k Z QUESTÃO Ecotre o polômo ( Q ( + = P ( e Q ( + é dvsível por, ode Q ( é um polômo de 6º grau. P tal que ( Como Q( é um polômo de grau 6, temos que Q( + também é. Como Q( + é dvsível por (.( Q + = a + b + c = a + b + c 6, podemos reescrevê-lo: Portato, Q( = a 6 + b + c Do eucado, temos que ( + = (. ( Q P. Logo, 6 Q( + = a + b + c é dvsível por ( = (.(.(. Aplcamos Brott-Ruff, dvddo o polômo por (- três vezes cosecutvas. 6 Partdo de Q( + = a + b + c : a b c a a+b a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c- Com resto ulo, temos a+ b+ c = 0 a+ b+ c = e portato o quocete desta dvsão: Q( = a + ( a+ b Aplcamos Brott-Ruff, pela seguda vez, em Q( a a+b a a+b a+b+ a+b+ a+b+ a+b+ Com resto ovamete ulo, a+ b+ = 0 a+ b = e portato o quocete desta dvsão: Q ( = a Aplcamos Brott-Ruff, pela tercera vez, em Q ( a a a- a-7 a-9 a-0 Resto ulo ovamete, a 0 = 0 a = 0 e portato o quocete desta dvsão: Q ( = Sabedo que o quocete da tercera dvsão ( Q ( represeta Q( +, ( Q( + P( = = ( 0 6 QUESTÃO Os elemetos da matrz dos coefcetes de um sstema de quatro equações leares e quatro cógtas (, y, z e w são fução de quatro costates a, b, c e d. Determe as relações etre a, b, c e d para que o referdo sstema admta uma solução ão trval, sabedo a b que CD = -DC, ode C = c d e y D = z w. Por hpótese, a b y a + bz ay + bw CD= c d z w = c + dz cy + dw ; y a b a + cy b + dy DC= z w c d = az + cw bz + dw. a + cy + bz = 0 b + ( a + d y + bw = 0 Como CD = DC CD + DC = 0. c + ( a + d z + cw = 0 cy + bz + dw = 0 Assm, o referdo sstema é um sstema homogêeo por que admte solução ão-trval se e somete se o sstema for possível e determado, ou seja, se o determate dos coefcetes for zero. A matrz assocada dos coefcetes é dada por: a c b 0 b a+ d 0 b D =. c 0 a+ d c 0 c b d Desevolvedo o determate de D por Laplace a prmera colua, a+ d 0 b c b 0 c b 0 D =. a 0 a+ d c b.0 a+ d c + c. a+ d 0 b. c b d c b d c b d D D D Mas, D = d(a+d bc(a+d bc(a+d = d(a+d bc(a+d D = cd(a+d +bc bc = cd(a+d D = b c b c bd(a+d = bd(a+d Assm, D = a.[d(a+d bc(a+d] b.cd(a+d c.bd(a+d D =ad(a+d abc(a+d bcd(a+d D =ad(a+d bc(a +ad + ad+d D =ad(a+d bc(a+d D =(a+d (ad bc. Fazedo o determate gual a zero, (a+d (ad bc=0 ad=bc ou a = d. QUESTÃO Uma seqüêca de quatro termos forma uma PG. Subtrado-se do prmero termo e k do quarto termo, trasforma-se a seqüêca orgal uma PA. Uma tercera seqüêca é obtda somado-se os termos da PG e da PA. Falmete, uma quarta seqüêca, uma ova PA, é obtda a partr da tercera seqüêca, subtrado-se do tercero termo e sete do quarto. Determe os termos da PG orgal.

3 (9-0 O ELITE RESOLVE IME 008 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS A partr do eucado, motamos as seqüêcas: Seq. PG : a, aq, aq, aq ( ( ( ( Seq. PA : a, aq, aq, aq k Seq. Seq : a, aq, aq,aq k Seq. PA : a, aq,aq,aq k 7 b = a+ c Lembrado que em uma PA (a,b,c,d temos c = b+ d motamos, a partr da PA, o segute sstema: aq = aq + a aq = aq k + aq Multplcado a prmera lha por q e somado as lhas obtemos 0 = q k, sto é, k = q Utlzado o mesmo procedmeto a PA : aq = a + aq aq = aq + a aq = aq + aq k 7 aq = aq + aq k E, ovamete, multplcado a prmera lha por q e somado as lhas: q k = 0. Como k = q, q q = 0, ou seja, q =. Por fm, substtudo = q a gualdade aq = aq + a : a 9a+ a 8 a = a + a = a = 8. E, assm, a PG orgal (,,, ( 8,,8,7 Obs.: As seqüêcas em questão são: Seq. PG :( 8,,8,7 Seq. PA : ( 6,,8, Seq. Seq :(,,6, Seq. PA :,,, ( aaqaq aq fca determada por QUESTÃO Cco equpes cocorrem uma competção automoblístca, em que cada equpe possu dos carros. Para a largada são formadas duas coluas de carros lado a lado, de tal forma que cada carro da colua da dreta teha ao seu lado, a colua da esquerda, um carro de outra equpe. Determe o úmero de formações possíves para a largada. Seja B K = cojuto das possbldades ode temos pelo meos k equpes com plotos ocupado a mesma lha e B ( k o úmero destas possbldades, com k varado de a. Note que, em cada caso: I escolhemos, utlzado combações smples, a(s equpe(s que apresetarão a colua ao lado o seu parcero de equpe; II escolhemos, utlzado arrajo, a(s fla(s que vão coter a(s dupla(s da equpe; III a posção dos plotos de cada equpe pode ser permutada; IV os plotos restates devem ser permutados etre s. Assm: Escolhedo pelo meos uma equpe com plotos lado a lado: B ( = C. A.8!. = 0.8! = = Escolhedo pelo meos duas equpes: B ( B = C. A.6!.( = 76000, j= j j Escolhedo pelo meos três equpes: B ( B B = C. A.!. = 00,, j k= j k j k Escolhedo pelo meos quatro equpes: B ( B B B = C. A.!. = 900,,, j k l= j k l j k l Escolhedo cco equpes: B ( B B B B = C. A. = 80 Da teora dos cojutos, B ( B B B B = = B (, j= j B ( B + j,, j k= j k B ( B B j k B ( Bj Bk Bl + B B B B B,,, j k l= j k l ( O total de permutações possíves etre os 0 carros é 0! e o total de possbldades que apresetam pelo meos uma fla com carros da mesma equpe é B ( B B B B. Assm, o total de possbldades ode ão estem carros da mesma equpe ocupado a mesma fla a largada é dado por: 0! - ( B B B B B = = = possbldades QUESTÃO 6 Determe a epressão da soma a segur, ode é um tero múltplo de (. Seja S = (. Observe o segute esquema: Nesse esquema, cada uma das lhas é a soma dos termos de uma PG que tem razão. Observe que, se somarmos todas as lhas, o resultado obtdo é o própro S, uma vez que: Soma das lhas = ( ( ( + + = = + ( + + ( ( = ( + = S vezes Como cada uma das lhas é a soma dos termos de uma PG, podemos calcular o valor de cada lha e, assm, determar o valor de S. Usado etão o fato de que a soma dos prmeros termos de uma a( q PG é dada por, ode a é o prmero termo e q é a razão, q = ( = ( = ( = Desse modo, S é dado por: +

4 (9-0 O ELITE RESOLVE IME 008 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS ( ( ( S = = A B [( ( (... ( ] = = [(... (... = ] = vezes Como =, S = (. = [ ( (. ] = ( = [ ( +. + ( + ] = ( S = [ ( +. + ( +. ] ( Observação: em mometo algum do eucado fo dto que é a udade magára. Etretato, como fo formado que é um múltplo de, maga-se que era esse o tuto do eercíco. Utlzado etão a hpótese adcoal de que é a udade magára, S = [ ( +. + ( +. ] = [ ( +. + ( +. ] ( Como é múltplo de, temos que mod e mod, de modo que = e + = =. Assm: ( S = [ (. ( ] =. [ (.] ( S = [ (.] =. QUESTÃO 7 A área de uma calota esférca é o dobro da área do seu círculo base. Determe o rao do círculo base da calota em fução do rao R da esfera. h R h Sejam A ce a área da calota esférca e A o a área do círculo base. Por hpótese, A ce = A o. Sabedo que a área da calota esférca é dada por πrh, πrh = (πr, ode r é o rao do círculo base da calota. A relação etre R, h e r, pelo deseho, é: R = r + (R h r Rh +h = 0 Da relação etre as áreas, πrh = (πr Rh = r Rh = Rh h Rh h = 0 h = 0 ou R = h. Assm, cosderado que se h = 0, teríamos a calota reduzda a apeas um poto, R = h. Substtudo a gualdade das áreas: πrh = πr Rh = r R = r R = r. QUESTÃO 8 Em um quadrado ABCD o segmeto AB ', com comprmeto gual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, coforme dcado a fgura. Determe o âgulo BAB ˆ ' correspodete à posção em que a razão etre o comprmeto do segmeto BC ' e o lado do quadrado vale 6. r R D Seja L o lado do quadrado, a medda do segmeto B C, α a medda do âgulo BAB ˆ ', e θ a medda do âgulo BCB '. Na fgura, observe os potos E e F dcados: A D α L B` B` Na fgura, temos que: AB = AB' = L AE = Lcos α EB = B' F = L( cos α BF = Lseα FC = L( seα FC L( seα cosθ = = BC ' Vamos aplcar a le dos co-seos duas vezes, uma o trâgulo ABB e outra o trâgulo CBB. Temos: ( BB' = ( AB + ( AB' ( AB( AB' cosα ( BB' = ( CB + ( CB' ( CB( CB ' cosθ Igualado o segudo membro de cada uma dessas equações, e substtudo as relações acma, vem que: L( seα L + L LLcosα = L + L L = + L ( seα + cos α Pelo eucado, devemos ter: 6 L 6 L = = Etão: L = L ( 6 + L ( seα + cos α 6 6 seα + cosα = ( seα + cosα = 6 se α + seαcosα + cos α = + se( α = se( α = α = 0 ou α = 0 α = ou α = 7 QUESTÃO 9 Cosdere os úmeros compleos Z = seα + cosα e Z = cosα seα, ode α é um úmero real. Mostre que, se Z = ZZ, etão Re( Z e Im( Z, ode Re( Z e Im( Z dcam, respectvamete, as partes real e magára de Z. E θ C B F C

5 (9-0 O ELITE RESOLVE IME 008 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS Por hpótese, Z = seα+cosα = cos π se π α α cs π α + =. Z = cosα seα = cos( α + se( α=cs( α. Assm, como Z = ZZ π π π π Z= cs α cs ( α = cs α = cos α + se α Logo, Z=seα+cosα. Da trgoometra, seα (I cosα (II Como R e (Z=seα e I m (Z = cosα, R e (Z de (I I m (Z de (II. Como queríamos demostrar. QUESTÃO 0 Cosdere todos os potos de coordeadas (, y que perteçam à crcuferêca de equação + y 6 6y + = 0. Determe o maor valor possível de y. Completado os quadrados a equação da crcuferêca, 6 + y 6y = + + y y + = + ( + ( y = Ou seja, a crcuferêca em questão está cetrada o poto (, e seu rao é. y crcuferêca que passam pela orgem. Substtudo a equação da reta (y = m a da crcuferêca, 6 + ( m 6( m = ( m + 6( m + + = 0 Para que ocorra a tagêca, devemos ter apeas uma raz real dessa equação do grau, logo o dscrmate deve ser ulo: [ ] m m Δ = 6( + ( + = 0 9( m+ ( m + = 0 m 8m+ = 0 8 ± 9 ± m = m = Esses dos valores correspodem às duas retas tagetes à 9 crcuferêca que partem de orgem. A raz m = os dá o meor valor que a razão y pode assumr, ao passo que a raz 9+ m = os dá o maor valor possível para essa mesma razão, e é a resposta do problema. Queremos determar o maor valor possível da razão y para todos os potos (,y que pertecem à crcuferêca. Procedemos da segute maera. Cosdere todas as retas da forma y = m, para m > 0. A razão y será máma quado cosegurmos uma reta que tercepte a crcuferêca em pelo meos um poto, e teha o maor coefcete agular (m possível. y.. r r Pela fgura, fca claro que sso acotecerá o caso da reta r, que tageca a crcuferêca. Vamos ecotrar as retas tagetes à

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