Interpolação. Exemplo de Interpolação Linear. Exemplo de Interpolação Polinomial de grau superior a 1.

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1 Iterpolação Iterpolação é um método que permte costrur um ovo cojuto de dados a partr de um cojuto dscreto de dados potuas cohecdos. Em egehara e cêcas, dspõese habtualmete de dados potuas, obtdos a partr de uma amostragem ou epermeto. Através da terpolação pode-se costrur uma fução que apromadamete se "ajuste" estes dados potuas. Outra aplcação da terpolação é apromação de fuções compleas por fuções mas smples. Supoha que tehamos uma fução, mas que seja muto complcada para avalar de forma efcete. Podemos etão, escolher algus dados potuas da fução complcada e tetar terpolar estes dados para costrur uma fução mas smples. Obvamete, quado utlzamos a fução mas smples para calcular ovos dados, ormalmete ão se obtém o mesmo resultado da fução orgal, mas depededo do domío do problema e do método de terpolação utlzado, o gaho de smplcdade pode compesar o erro. A terpolação permte fazer a recosttução (apromada) de uma fução apeas cohecedo algumas das suas abscssas e respectvas ordeadas (mages). A fução resultate passa os potos forecdos e, em relação aos outros potos, pode ser um mero ajuste. Eemplo de Iterpolação Lear Eemplo de Iterpolação Polomal de grau superor a.

2 Tpos de terpolação Iterpolação lear Iterpolação polomal Iterpolação trgoométrca Iterpolação lear Em aálse umérca, a terpolação lear cosste em apromar uma fução um tervalo por uma fução lear, ou seja, por utlzado de polômos de prmero grau. O prcpal problema é que se os potos forem poucos ou muto afastados etre s, a represetação gráfca para uma determada fução ão sera muto bem represetada por tal método. Sedo ecessáro, talvez, a utlzação de polômos de graus mas elevados (usado-se polômo terpolador de Lagrage, por eemplo). Iterpolação polomal Dz-se terpolação polomal quado a fução terpoladora é um polômo. A fução terpoladora é a fução F(). Chama-se de terpolação ao processo de avalar f ( ), [ a, b] substtudo a fução f() por uma fução F(), tal que F( ) = f( ), = (). O f() é uma fução real defda em [ a, b] IR, da qual cohecem-se os valores os potos de abcssas,, [ a, ]. b Métodos de terpolação polomal Nos métodos de terpolação utlzam-se polômos como fuções terpoladores (terpolação polomal). Escolhem-se os polômos pela sua (relatva) smplcdade e porque permtem uma represetação satsfatóra da maora das fuções que surgem em aplcações prátcas. Os métodos de terpolação polomal dferem us dos outros a táctca escolhda para determar o polômo terpolador (os erros de arredodameto são dferetes, porque as operações artmétca são coduzdas de forma dstta em cada método). Polômos de Newto Polômos de Gragor-Newto Polômos de Lagrage Outros Polômos (Chebchev, Berste) Polômo de Lagrage Em aálse umérca, polômo de Lagrage (ome é devdo a Joseph-Lous de Lagrage) é o polômo de terpolação de um cojuto de potos a forma de Lagrage.

3 Dado um cojuto de + potos: ( ), (, ), (, ), com todos j dsttos, o polômo de terpolação de um cojuto de potos a forma de Lagrage é a combação lear dos polômos da base de Lagrage: L( ) = = L ( ) com polômos da base de Lagrage dados por: L ( ) = j ( ) ( = ( ) ( ) ( j=, j j ) ( ) ( + + ) ( ) ) ( ) Temos abao a compledade da terpolação de Lagrage para um um polômo de grau com relação ao úmero de operações: Operações Compledade Adções Multplcações Dvsões + Polômo de Newto O polômo de Newto (ome é devdo a Isaac Newto) é um polômo terpolador para um dado cojuto de potos. Os coefcetes do polômo são calculados através de dfereças dvddas. Dado um cojuto de + potos: ( ), (, ), (, ), com todos j dsttos, o polômo de terpolação de um cojuto de potos a forma de Newto é dado por: ou

4 Ode represeta a dfereça dvdda de -ésma ordem. Operador de dfereça dvdda Seja a fução = f() cujo gráfco passa pelos potos, ), =,,,...,. O operador de dfereça dvdda é defdo como sedo a) ordem : = = f ( ) = [ ] + + b) ordem : = = = [ ] + +, + ( + + c) ordem : = = = [, ] d) ordem : = = [,,, ], + + Temos abao a compledade da terpolação de Newto para um um polômo de grau com relação ao úmero de operações: Operações Adções Multplcações Dvsões Compledade Polômo de Gregor-Newto Quado os valores das abscssas forem gualmete espaçados, a formula de Newto pode ser smplfcada, resultado a formula de Gregor-Newto. Portato, o polômo de Gregor-Newto é um caso partcular do polômo de Newto para potos gualmete espaçados. Fórmula de Gregor-Newto Fazedo e usado a otação de dfereças fta ascedete com o operador, tem-se o polômo de Gregor-Newto de grau.,

5 ode utlza-se uma varável aular ou Operador de dfereça fta ascedete Seja a fução = f() que passa pelos potos =,,,...,, sedo. O operador de dfereça fta ascedete é defdo como sedo a) ordem : b) ordem : c) ordem : d) ordem : Temos abao a compledade da terpolação de Gregor-Newto para um polômo de grau com relação ao úmero de operações: Operações Adções Compledade Multplcações Dvsões + Estudo Comparatvo dos Polômos Como vmos acma cada um dos métodos umércos possu um úmero específco de operações artmétcas que podem ser resumdos a tabela abao: Método Número de Operações Artmétcas Numérco Adções Multplcações Dvsões Lagrage + Gregor- Newto Newto Aalsado a tabela acma ão podemos afrmar dretamete qual é o método que possu o meor custo de computação. Isto deve-se ao fato de que em geral, um adção gasta

6 meos cclos de máqua que uma multplcação que gasta meos cclos que uma dvsão. A depedêca dos tempos de cclos em relação a arqutetura de máqua utlzada é um fator mportate a ser cosderado a aálse de efcêca dos métodos apresetados acma. Foram mplemetados os 3 métodos utlzado o software MATLAB. Utlzado um cojuto de potos a serem terpolados foram fetas váras smulações cotablzado o tempo de CPU gasto a eecução de cada um dos métodos. As smulações foram fetas utlzado uma máqua PC 4Mhz. Os resultados podem ser stetzados a fgura abao. Fg. Tempo de processameto dos métodos seqüêcas de terpolação Na fgura podemos verfcar que o método Gregor-Newto é o mas efcete para a arqutetura PC. A desvatagem a utlzação deste método, é a egêca de que as abscssas dos potos a serem utlzados para o polômo terpolador de grau, devam ser ecessaramete eqüdstate.