Números Complexos Sumário

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1 Números Complexos Sumáro. FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS.. Adção de úmeros complexos... Propredades da operação de adção.. Multplcação de úmeros complexos... Propredades da operação de multplcação.. Adção e multplcação de úmeros complexos 5.4. Subtração de úmeros complexos 5.5. Dvsão de úmeros complexos 5.6. Produto de um úmero real por um úmero complexo Propredades da operação de multplcação de complexos por escalares 7. PLANO COMPLEXO OU PLANO DE ARGAND-GAUSS 8.. Forma polar (ou trgoométrca) de um úmero complexo... Multplcação de úmeros complexos a forma polar... Potêca de um complexo a forma polar (trgoométrca)... Dvsão de úmeros complexos a forma polar (trgoométrca) A fórmula de Movre Forma expoecal de um úmero complexo 8 Demostração da Idetdade de Euler 9 Bblografa 0

2 NÚMEROS COMPLEXOS. FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Demos que ab, ode a e b são úmeros reas e Prof. Me Ayrto Barbo, chamado de udade magára, é um úmero complexo escrto a forma algébrca (retagular). D-se que a é a parte real do úmero complexo e b a parte magára de. Notação: e. A udade magára tem a propredade a Re( ) b Im( ). Exemplos: = +, a = e b =, e a b, a = 0 e (udade complexa) b. Assm, = 0 = 0 + 0, a = 0 e. Assm, = = 0 + (udade magára) b, a = e b = 0. Assm, = = + 0 0, a = 0 e 0 b O cojuto C = { a b / a e b e } é chamado de o cojuto dos NÚMEROS COMPLEXOS a forma algébrca. Nota: Os úmeros complexos a b e c d são guas se a = c e b = d. Utla-se em algus textos ddátcos a letra j para desgar a udade magára... Adção de úmeros complexos Sejam a b e c d úmeros de C. : CxC C, tal que ( a c) ( b d) é elemeto de C.... Propredades da operação de adção: a b, a b e a b úmeros de C. A) Assocatva:,, C, ( ) ( ) Exemplo: 4 e 5 ( ) ( ) [( ) ( 4) ] 5 [( ) (4 5) ] [ 7 ] 5 [ ] ( ) (7 5) ( ) () 4 4

3 A) Comutatva:, C,. Exemplo: e 4 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) () ( 4) ( ) (4 ) 7 7 A) Elemeto Neutro da adção: C, 0C/ 0 0. Exemplo: e ( 0 é o elemeto eutro da adção em C) 0 0 ( ) (0 0 ) (0 0 ) ( ) ( 0) ( 0) (0 ) (0 ) 000 A4) Elemeto Oposto (verso adtvo): C, ( ) C/ +( ) 0. Exemplo: e ( ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) () é o elemeto oposto de em C).. Multplcação de úmeros complexos Sejam a b e c d úmeros de C.. : CxC C, tal que. ( ac bd) ( ad bc) é elemeto de C.... Propredades da operação de multplcação: a b, a b e a b úmeros de C. M) Assocatva:,, C, (. )..(. ) Exemplo:, 4 e 5 [. ]..[. ] [( ).( 4 )].( 5 ) ( ).[( 4 ).( 5 )] [(( ).4) (.4 ( )) ].( 5 ) ( ).[(. 4( 5)) (.( 5) 4.) ] [( ) (8 ) ].( 5 ) ( ).[( 0) (5 ) ] ( 4 5 ).( 5 ) ( ).(7 7 ) Realado os produtos dcados, teremos: M) Comutatva:, C,...

4 Exemplo: e 4.. ( ).( 4 ) ( 4 ).( ) ( ).(8 ) ( ).( 8) M) Elemeto Neutro da multplcação: C, C/... Exemplo: ( é o elemeto eutro multplcatvo em C).. ( ).( 0 ) ( 0 ).( ) (..0) (.0.) (. 0.) (. 0.) (0) (0 ) (0) ( 0) 0 M4) Elemeto verso multplcatvo: C, C/.( ), 0 A cada 0 tem-se o seu verso: a b a b. a b a b a b a b Exemplo: Sedo, etão.( ) ( ).( ) 0 (.. ) (.. ) ( ) ( ) Nota: ) Temos que. (0 ).(0 ) (0.0.) (0..0) 0 ) A equação x 0 possu duas raíes complexas e : x x x 0 V {, }. Temos como prova que: ( ) ( ).( ) e ( ) ( ).( ). ) Devemos tomar cudado ao mapularmos fórmulas evolvedo radcas o ramo prcpal da ra quadrada complexa, vsto que as regras de cálculo da ra quadrada de úmeros reas (só com radcado postvo ou ero) podem resultar em cotradções:. ( )?!... 4) As operações de adção e multplcação de úmeros complexos lembram as operações de adção e multplcação de polômos do ºgrau, y = a + b x, substtudo-se x por e x por. Veja: y. y = (a + b x). (c + d x) = ac + ad x + bc x + bd x 4

5 = ac + bd x + ad x + bc x = (ac + bd x ) + (ad + bc) x. = (a + b ). (c + d ) = ac + ad + bc + bd = ac + bd + ad + bc = ac + bd + (ad + bc) = (ac bd ) + (ad + bc).. Adção e Multplcação de úmeros complexos Sejam a b, a b e a b úmeros de C. Exemplo: D) Propredade Dstrbutva da multplcação em relação a adção:.( )..,,, C., 4 e 5.[ ].. ( ).[( 4 ) (5 )] ( ).( 4 ) ( ).( 5 )] ( ).[( ) (45) ] ( ) (8 ) (6 5) ( 0 9) ( ).[ ] ( 4 5 ) ( ) (4) ( 6) OBSERVAÇÃO : O cojuto C mudo das operações (+) e (.) e valedo as propredades A, A, A, A4, M, M, M, M4 e D, tem estrutura algébrca de corpo, porém ão de corpo ordeado, vsto que ão fa setdo escrever ou,, C..4. Subtração de úmeros complexos Sejam a b e c d úmeros de C. : CxC C, tal que ( a c) ( b d) é elemeto de C. Nota: A subtração dos úmeros e pode ser etedda pela adção de com ( ) ( ) ( a b) ( c d) ( a c) ( b d) Exemplo:, 4 ( ) ( 4 ) ( ) ( 4 ).5. Dvsão de úmeros complexos Sejam a b e c d 0 úmeros de C. c d ( ac bd) ( bc ad) :CxC C tal que. ( a b). c d c d. 5

6 c d Nota: O úmero complexo é defdo como o verso multplcatvo de c d c d e o complexo c d é defdo como o cojugado de. Exemplo:, ( ). ( ) ( ) ( ) EXERCÍCIOS. Dado o úmero complexo a) (oposto de ) b) d) ([ ]. e) g) h) 4 (cojugado de ) c) f).. e pede: ). (verso de ) Resp: a) 4 b) 4 c) g) 7 6 h) ) d) 0 e) 4 f) OBSERVAÇÃO : Curosdades sobre a udade magára. a) O cojugado de é Sedo 0 0, logo, 0 b) O complexo ( ) é verso adtvo e, também, multplcatvo de : (eutro adtvo) mostra que ( ) é o verso adtvo de ( ) O fato ( )( ) 0. O fato ( )..( ) ( ) (eutro multplcatvo) mostra que é o verso multplcatvo de Note que. é também verso multplcatvo de, pos ( )... * Será que tem dos versos multplcatvos dsttos, - e -? Temos que,.. Portato, ão exstem dos versos multplcatvos dsttos para, vsto que. O elemeto eutro adtvo 0 = é chamado de ero complexo. O elemeto eutro multplcatvo = + 0 é chamado de udade complexa. c) Não se deve cofudr udade magára com udade complexa. Temos que... Isto dexa claro que é o elemeto eutro (multplcatvo) dos úmeros complexos. 6

7 d) Potêcas da udade magára: = 5 = 4+ = 9 = 4.+ = = = 6 = 4+ = = 0 = 4.+ = = = 7 = 4+ = = = 4.+ = = 4 = 8 = 4+4 = 4 = etc... Vê-se, do exposto, que = mod 4, sto é, as potêcas de varam:,, e de acordo com o resto da dvsão dos expoetes pelo úmero = 4.(5)+ = = 7 = 4.(59)+ = =.6. Produto de um úmero real por um úmero complexo As operações de adção e multplcação defdas o cojuto C em. e. são cosderadas operações teras, pos assocam dos elemetos de C com um tercero elemeto de C. Pretedemos defr uma multplcação que assoca dos elemetos, um de e outro de C, com um tercero elemeto de C. Esta operação é etedda como uma operação extera dada por:. : xc C, k. = k.x + k.y, ode k e = x + y, C. Exemplo : a) Se = e k =, etão = 4 6 b) Se = 5 e k =, etão = + 5 c) Se = 4 e k =, etão = + 4 Nota: ) Os elemetos de são chamados de escalares ) Etededo que C e os elemetos k reas teham a forma k = k + 0, etão podemos smular que k. acma defdo é obtdo como o dcado em., sto é, k. = (k + 0).(x + y) = (k.x 0.y) + (k.y + 0.x) = k.x + k.y.6.. Propredades da operação de multplcação de complexos por escalares Sejam = a + b e = c + d complexos e, Verfque as propredades: m: C,,, tem-se que.(. ) (. ). m: C,,, tem-se que ( )... m:, C,, tem-se que.( ).. m4: C,, tem-se que. Todo cojuto mudo das operações de adção e multplcação por escalar, 7

8 satsfaedo as propredades: A, A, A, A4, m, m, m, m4, tem estrutura algébrca de ESPAÇO VETORIAL. EXERCÍCIOS. ) Mostre que o cojuto C = { a + b / a, b e complexos, mudo das operações Adção: ( ab) ( cd) ( ac) ( b d) Multplcação por escalar:.( ab). a. b, tem estrutura algébrca de espaço vetoral. } dos úmeros ) Mostre que o cojuto P = { a + bx / a, b e x reas} dos polômos de ºgrau de varável x, mudo das operações de adção de polômos e produto de polômos por úmero real tem estrutura algébrca de espaço vetoral. ) Mostre que o cojuto dos pares ordeados de com as operações Adção: ( a, b) ( c, d) ( a c, b d) Multplcação por escalar:.( a, b) (. a,. b), tem estrutura algébrca de espaço vetoral. 4) Mostre que o cojuto das matres quadradas de ordem, mudo das operações de adção de matres (operação tera) e multplcação de uma matr por um úmero real (operação extera) tem estrutura algébrca de espaço vetoral.. PLANO COMPLEXO OU PLANO DE Argad-Gauss (Jea Robert Argad Lvrero e Matemátco suço 768-8) (Joha Carl Fredrch Gauss Matemátco, Astrôomo e Físco alemão ) Trata-se de uma represetação geométrca do cojuto dos úmeros complexos ao serem assocados aos potos de um plao, tal como se fa a correspodêca dos úmeros reas com os potos de uma reta. A cofrmação dos resultados dos Exercícos. () e () os dca que cada par ordeado (x, y) de um plao cartesao está assocado a um úmero complexo x + y, de modo que sua parte real x é represetada o exo das abscssas (horotal) e a parte magára y represetada o exo das ordeadas (vertcal) do sstema de coordeadas. Deste modo, cosderaremos = (x, y) = x + y Vsto que o cojuto C dos complexos com as operações de adção e multplcação por escalar tem estrutura de espaço vetoral, etedemos que cada úmero complexo = x + y pode ser eteddo também como um vetor ( x, y), cujo represetate tem orgem em O(0,0) e extremdade o poto (x, y). 8

9 Im() Fg y = (x, y) = x + y = (0, ) e = (, 0) O x Re() Sedo ) = x + y, temos que: x y (Ptágoras) é o módulo do úmero complexo. ) x y é o cojugado do úmero complexo. (Fg ) ) ( x y) x y é o oposto do úmero complexo. (Fg ) y Im() Fg x 0 x Re() y O úmero complexo e seu cojugado são smétrcos o plao complexo em relação ao exo real e o complexo é smétrco a em relação a 0. 4) Produto de um úmero complexo pelo seu cojugado.. ( x y).( x y) x xy xy y x y 5) é o verso multplcatvo do úmero complexo. x y x y x y x y x y x y (ver ota em.5) 9

10 6) Produto de um úmero complexo pela udade magára.. = (x + y). (0 + ) = x.0 + y. + x + y.0 = 0 + y + x + 0 = y + x.( ) = (x + y). (0 ) = x.0 y. x + y.0 = 0 y x + 0 = y x. Im() Fg x y y y x Re() x.( ) Nota: Etede-se, da exposção acma, que os úmeros complexos =(x, y), = ( y, x) e ( ) = (y, x) podem ser vstos como vetores e, daí, fca medato verfcar, pelo produto escalar gual a ero, que e ( ) são ortogoas a : ( ). = ( y, x). (x, y) = y. x + x. y = 0 ( ) ( ( ) ). = (y, x). (x, y) = y. x x. y = 0 ( ) A multplcação de um úmero complexo pela udade magára, resulta em outro úmero complexo que forma com um âgulo de 90º poscoado o setdo at-horáro a partr de. Mas, multplcado por ( ) resulta em outro úmero complexo que forma com um âgulo de 90º poscoado o setdo horáro a partr de. (Fg ) A dvsão de por pode ser etedda como o produto de por : 0. ( x y) ( x y) ( x y)..( ) 0 (0 )(0 ) 0 As terpretações geométrcas do produto de pela udade magára é de grade utldade em aálse fasoral as Egeharas Elétrcas e Eletrôcas. 7) Vsão geométrca da soma e produto por escalar de úmeros complexos Exemplo: Mostraremos com os úmeros (,) e (,) que: a) A soma + é, como os vetores (classe de equvalêca de segmetos equpoletes) do plao, a dagoal de um paralelogramo. b) O produto é vetor paralelo a, com o mesmo setdo e o dobro do módulo de. 0

11 Im() Fg 4 (5, 4) (,) + (,) 0 Re() Im() Fg 5 (6,) (,) 0 6 Re().. Forma polar (ou trgoométrca) de um úmero complexo Cosderado um sstema polar de coordeadas, ode o pólo cocde com a orgem do sstema de referêca do plao complexo e o exo polar cocde clusve em udades com o exo Re(), podemos represetar os úmeros complexos a forma polar (r, θ), sedo r e θ [0, [, chamado de argumeto do úmero complexo ão ulo, mede o âgulo etre o exo polar e dreção do vetor 0, (ver Fg 6). Cada complexo = (x, y) (0,0) pode correspoder a âgulos que dferem por múltplos teros de. Im() Fg 6 y = (x,y) = x+y r r x y θ 0 x Re()

12 Temos, do trâgulo 0x, que: x = r cos(ө) e y = r se(ө) (I) Substtudo (I) em = x + y, tem-se que = r [cos(ө) + se(ө)] (II) esta relação é chamada de forma polar (ou trgoométrca) do úmero complexo. Exemplo: Escrever o úmero complexo = + a forma polar cos(ө) = Temos que r 8 e, também, que x y e se(ө) = e, daí, segue que r r Substtudo estes resultados em (II), tem-se que θ rd. 4 cos( / 4) se( / 4). EXERCÍCIOS. Escrever os úmeros complexos a forma polar (trgoométrca): ) ) ) 4) 5) 6) 5 7) 8) 9) ( ) Resp: ) cos( / ) se( / ) ) cos( / 4) se( / 4) ) cos( / 6) se( / 6) 4) cos( / ) se( / ) 5) cos( / 4) se( / 4) 6) 5 cos( ) se( ) 7) cos( / 4) se( / 4) 8) cos( / ) se( / ) 9) cos(5 / 4) se(5 / 4) Notações usuas : = r [cos(ө) + se(ө)], = r cs(ө) e = r ө... Multplcação de úmeros complexos a forma polar (trgoométrca) Cosderemos = r [cos(ө) + se(ө)] e = s [cos(β) + se()]. O produto. é dado por:. = r s [cos(ө) + se(ө)]. [cos(β) + se()] = r s [ (cos(ө)cos(β) se(ө)se(β)) + (cos(ө) se() + se(ө)cos(β))] Utlado detdades trgoométrcas, cocluímos que. = r s [ cos(ө + β) + se(ө + β) ] (III)

13 Exemplo: Obter o produto dos úmeros: cos( / 6) se( / 6) cos( / ) se( / ). e Utlado a relação (III) acma, segue que. ( / 6 / ) ( / 6 / ) EXERCÍCIOS.. cos se. cos / se / 6 ( ) ( ) Dados os úmeros:,, u, r pede trasformá-los a forma polar e obter os segutes produtos: e s, Respostas: ). ).. u ). r. s 4). u. r. s 7 7 ). 4 cos( ) se( ) ). r. s cos( ) se( ) ). u. 4 cos( ) se( ) 4 4 4) u.. r. s cos( ) se( )... Potêca de um úmero complexo a forma polar (trgoométrca) Seja = r [cos(ө) + se(ө)]. Pretedemos, Q. Segue de (III) que = r.r...r [cos(өө...ө) + se(өө...ө)]. Efetuado as operações dcadas, temos: = r [ cos(ө) + se(ө) ] (IV) Exemplo: Dado que =, obter 4. O úmero escrto a forma polar é cos( / 4) se( / 4) Exercíco. (5)). (ver 4 4 Utlado (IV), temos ( ) cos(4( / 4)) se(4( / 4)) 4 E, daí, 4 cos( ) se( ) Nota: A relação (IV) é cohecda como a ª fórmula de Movre. EXERCÍCIOS. Utlado (IV), ecotre as potêcas dcadas de ) ) ) 5 4) 6 5),

14 Resp: ) 4 cos( / ) se( / ) ) 8 cos( ) se( ) ) cos(5 / ) se(5 / ) 4) 64 cos( ) se( ) 5) cos( / ) se( / )... Dvsão de úmeros complexos a forma polar (trgoométrca) Cosderemos = r [cos(ө) + se(ө)] e = s [cos(β) + se()]. O quocete é dado por: r[cos( θ) se( θ)] r cos( θ) se( θ) / s[cos( ) se( )] s cos( ) se( ) r cos( θ) se( θ) cos( ) se( ).. s cos( ) se( ) cos( ) se( ) r [cos( θ)cos( ) se( θ)se( )] [se( θ)cos( ) se( )cos( θ) s cos ( ) se ( ) r cos( θ) se( θ) s r Portato, / cos(θ ) se(θ ) s (V) Exemplo: Obter o quocete etre os úmeros: cos( / 6) se( / 6) e cos( / ) se( / ). Utlado a relação (V) acma, segue que / cos( / 6 / ) se( / 6 / ) / cos( / ) se( / ) / cos( / ) se( / ) EXERCÍCIOS.4 Dados os úmeros:,, u, r e pede trasformá-los a forma polar e obter os segutes quocetes: s, ) / ) / u ) u / r 4) r / s 4

15 Respostas: ) cos( ) se( ) ) u cos( ) se( ) 6 6 ) u r cos( ) se( ) 4) r s cos( ) se( )..4. A fórmula de Movre Se = r [cos(ө) + se(ө)], etão = r [cos(ө) + se(ө)] e, pela relação (IV), tem-se que = r [ cos(ө) + se(ө) ]. Comparado as gualdades de acma, temos a relação: [ cos(ө) + se(ө) ] = cos(ө) + se(ө) (VI)..4.. Cálculo de raíes -ésmas de úmeros complexos Um úmero é uma ra -ésma do úmero, sto é,. se Cosderemos = r [cos(ө) + se(ө)] e = s [cos(β) + se()] Estabelecedo-se que, teremos: r [cos(ө) + se(ө)] = s [cos(β) + se()] = s [cos(β) + se()] (ver VI) Comparado os membros da gualdade, segue que: r s s r cos( θ) cos( β) se( θ) se(β) β = θ + k, k θ + k de, sto é, A cada valor de k teremos uma ra de. Assm, k k / / r [ cos( θ k ) se( θ k ) ] k dcará a k-ésma ra / θk θk r [ cos( ) se( )] (VII) Nota: a) A relação (VII) é cohecda como a ª fórmula de Movre. b) Se k, as raíes se repetem. Portato, basta tomar k = 0,,,..., ( ) para se cosegur as raíes dsttas do úmero complexo. 5

16 Exemplo: Dado = +, pede obter. O úmero escrto a forma polar é cos( / 4) se( / 4) = s [cos(β) + se()]. Estabelecedo-se que, temos:. Seja s [cos(β) + se()] = cos( / 4) se( / 4) s [cos(β) + se()] = cos( / 4) se( / 4) r = = s cos( β) cos( / 4) se( β ) se( / 4) s β = / 4 +k, k /4 + k Utlado a relação (VII), segue que: k k [ ( ) ( )] cos 6 cos / 4 k / 4 se k / 4 k [ ( ) se( / 4 k )] 6 / 4 / 4 Se k = 0, etão 0 [cos( ) se( )] 6 [ cos( ) se( )] 6 / 4 / 4 Se k =, etão [cos( ) se( )] 6 [cos( ) se( )] Se k =, etão /4 4 /4 4 [cos( ) se( )] [ cos( ) se( )] O cojuto solução é dado por, 7 7 cos( ) se( ) [ ], [ ], [ ] S = cos( ) se( ) cos( ) se( ) 4 4 Podemos represetar grafcamete o cojuto S das raíes cúbca de = + / uma crcuferêca de rao s 6. 6

17 Note, o exemplo, que as três raíes dvdem a crcuferêca em três partes com mesmo comprmeto de arco. Isto é, cada arco tem comprmeto de / rd. y Fg 7 0 x EXERCÍCIOS.5 Obter as raíes das equações abaxo o cojuto dos úmeros complexos e costrur os gráfcos correspodetes. Respostas: /4 ) Dado =, pede ) Dado = 6 6, pede /4 ) Dado =, pede 4) Dado = 64, pede /4 /6 ) k = 0, 0 cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) ) k = 0, 0 cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) ) k = 0, 0 cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) 6 6 4) k = 0, k =, k =, cos( ) se( ) cos( ) se( ) 0 cos(0) se(0) k =, cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) 4 4 k = 4, 4 cos( ) se( ) k =, cos( ) se( ) k = 5, 5 cos( ) se( ) 7

18 ..5. Forma expoecal de um úmero complexo Um úmero complexo = r [cos(ө) + se(ө)] pode, medate a ut- e θ cos(θ) se(θ) (veja observação ), ser lação da detdade de Euler: escrto a forma expoecal re θ Exemplo: ) cos( / 4) se( / 4) (VIII) e a forma polar é e 4 ) 5 cos( / ) se( / ) e e a forma polar é ) cos( / ) se( / ) 5 e a forma polar é e a forma polar é e 4) cos( / ) se( / )..5.. Operações com úmeros complexos a forma expoecal Sejam os úmeros complexos re θ e r e θ e ) Igualdade de úmeros complexos: θ θ e θ θ k, k r e r e r r ) Adção de úmeros complexos: θ θ r e r e ) Multplcação de úmeros complexos: θ θ.. r e r e r r e 4) Dvsão de úmeros complexos: θ r e r θ - e θ r e r θ θ + θ 5) Cojugado do úmero complexo : r e θ 6) Iverso adtvo do úmero complexo : re θ 7) Iverso multplcatvo do úmero complexo : θ e θ re r 8

19 8) Produto de por r : θ θ (θ θ r e r e r e r ). - 9) Produto de por : r - r e. e e e r r 0) Potêca de θ θ (θ θ ) ). (0. ) Ra -ésma de r.e θ : : r.e θ k ( ), k,,...,( ) EXERCÍCIOS.6 Dados os úmeros: 5 e ( ) 6 5e obteha a forma expoecal: ) + ) ). 4). 5). Respostas: 6) / ) 6 e 7) 8) 9). 0) e 5e ) e 5e 6 ) 4). 4 5). 0e 6 6) 5 e 7) 9). 50e ( k ) 0) e 6, k 0 e. 0 e 4 e 8) / 8 e OBSERVAÇÃO : Demostração da Idetdade de Euler (Leoard Euler Matemátco e Físco suço ) Sabemos do estudo de séres de potêcas que para todo x real tem-se: e x x x x x x x x x......!!! 4! 5! ( -)! ( )! = ( ) x x x x ( ) x cos( x) ()!! 4! 6! ()! =0 IX ( X) 9

20 ( ) x x x x ( ) x se( x) x (+)!! 5! 7! (+)! =0 Substtudo x por ( ө) a sére e x de MacLaur (IX), teremos: (XI) + ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) e =0 Daí,! ( θ)......!! 4! 5! (-)! ()! ( θ) ( θ) θ θ θ θ ( ) θ ( ) θ =0 - e θ!!! 4! 5! ( -)! ( )! Separado a parte real da magára, segue: + ( θ) ( θ) θ θ ( ) θ θ θ ( ) θ e θ! = (......) (......)! 4! ()!! 5! (+)! Substtudo a parte real e magára pelas séres correspodetes dcadas em (X) e (XI), tem-se: ( θ) θ ( ) θ ( ) θ e ( )! ()! (+)! =0 =0 =0 Substtudo as séres parcelas por cos(ө) e se(ө) tem-se a detdade de Euler: e θ cos(θ).se( θ) BIBLIOGRAFIA: