Introdução à Teoria da Medida Texto Tutorial

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1 Itrodução à Teora da Medda Texto Tutoral J.P. Marques de Sá FEUP DEEC 2003

2 J.P. Marques de Sá, FEUP, 2003 Ídce Classes de Subcojutos Classe Sem-Ael Ael Campo (Álgebra) Sgma-Ael (σ-ael) Sgma-Álgebra (σ-álgebra, σ-campo) σ-álgebra de Borel Medda de Lebesgue Fuções Mesuráves Medda de Probabldade... Bblografa... 2

3 J.P. Marques de Sá, FEUP, Classes de Subcojutos O estudo de classes de subcojutos surge como ecessdade de dotar colecções de subcojutos com uma certa estrutura, que permta torar a classe fechada relatvamete a operações sobre cojutos, torado-se, assm, possível dotá-los de uma medda (em partcular, a medda de probabldade).. Classe Dado um cojuto X, formamos um cojuto, C, de subcojutos de X desgado classe de subcojutos de X. C = {A: A X} Exemplo - A classe P (X) que cotém todos os subcojutos de X desga-se por vezes "classe das partes de X". Se X fto, X = P (X) = 2. Por exemplo, X = {a,b,c}; P (X) = {, {a}, {b},{ c},{a,b },{a, c},{ b,c},{a,b,c}=x}.2 Sem-Ael Defção - Um sem-ael S é a classe que satsfaz:. S;. A, B S A B S ;. A, B S A B = U com E S e E E j =, j. Exemplo -2 E = X = R ; prova-se que a classe I = {tervalos ftos semabertos de R do tpo {(x,...,x ): a < x b }} é um sem-ael. c a d b Na stuação da fgura, para I 2, temos: A = ]a, b] ]a, b]; B =]c, d] ]c, d]; A B = {]a, b] ]a, c] ]a, c] ]c, d] ]a, b] ]c, b] ]d, b] ]c, d] }. O mesmo se aplca a outros "rectâgulos". A verfcação de. e. é trval. Note-se, cotudo, que A B ão pertece a I 2. Exemplo -3 Para o caso partcular do exemplo ateror com X = R, temos a classe I = I = {tervalos ftos semabertos do tpo ]a, b]}. O facto de ser um sem-ael reflecte-se o facto de que, com operações de tersecção, se geram elemetos de I e, com dfereças, se geram cojutos costruíves como reuões de elemetos dsjutos de I. (É esta a "estrutura" do sem-ael.)

4 J.P. Marques de Sá, FEUP, Exemplo -4 Seja X = R, e a classe C = {tervalos fechados [a, b]}. Não é um sem-ael. P. ex., A = [a, b], B = [c, d], com a < c e b > d, pertecem a C; mas A B ão é costruível com reuões de elemetos dsjutos de C...3 Ael Defção -2 Um ael é qualquer classe R ão vaza tal que. A, B R A B R ;. A, B R A B R. ( A B = (A B) (B A) é a dfereça smétrca) Notar que, etão, também é satsfeta a propredade. dos sem-aés ( = A A). Por outro lado, A B R A B R (porque A B = A (A B)). Esta codção é mas forte que a ateror. dos sem-aés. Um ael é, portato, fechado para as operações de reuão, tersecção e dfereça de cojutos. Exemplo -5 { }, {, X} e P(X) são aés. { } é o meor ael. Exemplo -6 I ão é um ael. P. ex., A = ]a, b], B = ]c, d], com a < c e b > d, pertecem a I; mas A B I. Teorema - A classe C(S) gerada pelo sem-ael S, cujos elemetos se podem exprmr como reuão fta de cojutos dsjutos de S, U A k k = E =, A A j =, j, é um ael. Demostração: C(S) tem de coter todos os cojutos que se exprmem como reuão fta de cojutos dsjutos de S, por forma a ser fechado relatvamete à reuão, como exge o ael. Por outro lado, supohamos que tíhamos quasquer cojutos: A = e U m B = e sejam as tersecções C j = A B. Etão os C j são dsjutos e j m UU A B = C j C ( S) = j= Por outro lado, da defção de sem-ael, segue-se por dução que U A = B j j=

5 J.P. Marques de Sá, FEUP, A m = U C j U Dk ( =, K, ) j= r k = e B j = U C j U Ekj ( j =, K, m) = s j k = com as sequêcas ftas {D k } (k =,..., r ) e {E kj } (k =,..., s j ) cosstdo em cojutos dsjutos de S. Logo, r m s j A B = (A B) (B A) = UU D E k UU kj C ( S) = k = j= k = Exemplo -7 C(I), gerada da forma acma, é um ael. Para os cojutos dcados o Exemplo -6 temos A B = ]a, c] ]d, b] C(I)..4 Campo (Álgebra) Correspode a uma classe de X que é ael mas é também fechada relatvamete à operação de complemeto. Defção -3 Classe ão vaza, F, que satsfaz:. A, B F A B F ;. A F A F. Note-se que, sedo fechado para o complemeto, podemos aplcar as Les de Morga e faclmete mostrar que: A B F ; A B F ; S; X F. Portato, um campo é ecessaramete uma classe ão vaza porque tem de coter X. Exemplo -8 P(X) é um campo. Exemplo -9 A classe de todos os subcojutos lmtados de R é um ael mas ão é um campo (p. ex., ão cotém R). Exemplo -0 X = R ; seja a classe I = {tervalos de R do tpo {(x,...,x ): a < x b <, =,...,}}. Portato, os tervalos semabertos de I podem esteder-se ftamete à esquerda. Prova-se que, etão, E = C(I ) defda como o Teorema -, é um campo Os tervalos de I desgam-se por rectâgulos ou caxas de R. E é o campo das fguras elemetares de R. Prova-se que E é a meor álgebra que cotém I.

6 J.P. Marques de Sá, FEUP, Exemplo - Seja o tervalo Ω = ]0, ]. Podemos, tal como o exemplo ateror, costrur o campo B 0 a partr de reuões ftas de tervalos semabertos dsjutos: A = U = ], ] a b.5 Sgma-Ael (σ-ael) Trata-se de um ael que é fechado relatvamete à realzação de uma sequêca umerável de reuões ("sgma" vem do alemão "summe" de soma = reuão): A S ( =, 2, K) S U A = Note-se que, etão, pelas propredades do ael, é também fechado para tersecções umeráves..6 Sgma-Álgebra (σ-álgebra, σ-campo) Trata-se de uma álgebra que é fechada relatvamete à realzação de uma sequêca umerável de reuões. Defção -4 Uma σ-álgebra A defda em X, satsfaz:. X A (portato, A é ão vaza). A A A A (logo, também A ) U. A ( K) A A =, 2, A = Ao par (X, A) chama-se espaço mesurável. Os elemetos de A chamam-se cojutos mesuráves. Dos resultados:. Se A é uma σ-álgebra para um cojuto X, e X é um subcojuto de X, etão X A, formada por todas as tersecções de elemetos de A cuja com X, é também uma σ-álgebra (chamada traço de A em X ). 2. Sejam os cojutos X e X, e A uma σ-álgebra em X. Seja a fução f: X X. Etão a classe f ( A ) = { f ( A ) : A A } é uma σ-álgebra em X.

7 J.P. Marques de Sá, FEUP, Exemplo -2 A meor σ-álgebra é {, X}. P(X) é uma σ-álgebra. Exemplo -3 Seja X = {a,b,c}. Etão (resultado.), são σ-álgebras os traços de P(X) em {b} e {b,c}, respectvamete P(X) {b} = {, {b}} e P(X) {b,c} = {, {b}, {c}, {b,c}}. Exemplo -4 Seja X = {a,b,c} e X = {0, }. Defamos A = {, {0}, {}, {0,}} e f : X X a 0 b c 0 etão f ( ) = {, {a, c}, {b}, {a,b,c}} é uma σ-álgebra em X (resultado 2.). A Exemplo -5 Para todo o cojuto X, a classe de todos os subcojutos A X, para os quas ou A ou A são umeráves, é uma σ-álgebra. ; Teorema -2 Qualquer tersecção fta ou umerável de σ-álgebras em X é uma σ-álgebra em X. Aplcado este Teorema é possível mostrar que, para cada classe C de X, exste a meor σ-álgebra A(C) cotedo C. Para tal basta cosderar a tersecção de todas as σ-álgebras que cotêm C (P(X) é uma delas). A(C) é chamada a σ-álgebra gerada por C..7 σ-álgebra de Borel Defção -5 A σ-álgebra gerada por I, A(I ), desga-se por σ-álgebra de Borel e deota-se B = A(I ). Os elemetos de B chamam-se cojutos de Borel. Teorema -3 Sejam O, F, C as classes dos subcojutos abertos, fechados e compactos de R, respectvamete. Etão: B = A(O ) = A(F ) = A(C ) Cojutos fechados e lmtados,.e., cotedo todos os seus potos lmtes.

8 J.P. Marques de Sá, FEUP, Segudo este Teorema, B cotém ão só umeráves reuões e tersecções de tervalos semabertos, mas também umeráves reuões e tersecções de tervalos abertos, fechados e de potos solados 2. Os cojutos que se podem assm formar suportam meddas, omeadamete a medda de probabldade. Costtuem os cojutos de teresse as aplcações prátcas. Exstem, cotudo, cojutos patológcos, de dfícl costrução e sem teresse prátco, que ão são de Borel. Veremos sso mas adate. 2 Medda de Lebesgue A defção do campo E das fguras elemetares de R troduz a estrutura míma de uma classe que permte defr uma fução de medda. Comecemos por defr o volume (comprmeto) de Lebesgue. Seja: A I ; A é o produto cartesao de tervalos { x R: < a < x b } O volume é: m( A) = ( b a ) 2. = m(a) é zero se algum par de extremos dos tervalos tem o mesmo valor; é fto se algum extremo for fto. Vamos, agora, esteder esta fução para a σ-álgebra de Borel. Dado B B, tal que U k A j j= B = com A j I e dsjutos, defe-se o volume de B: k m( B) = m( ) 2.2 j= Esta fução só tem setdo se ão depeder da represetação partcular de B. De facto, prova-se que: Teorema 2- A fução m em B dada por 2.2 é uvocamete defda, ão-egatva, adtva, moótoa, e cocde com m em I. Assm:. A B, A, B B 0 m (A) m (B). {A, B} B, A B = m (A + B) = m (A) + m (B). m (A) = m(a), A I Além dsso: A j 2 Um poto solado {x} pode obter-se como tersecção de uma sequêca fta umerável de tervalos ]x /, x], =, 2,...Note-se que o caso de uma sequêca fta, como o Teorema - ão poderíamos gerar, p. ex., um poto solado.

9 J.P. Marques de Sá, FEUP, Teorema 2-2 A fução m é umeravelmete adtva,.e., dada a famíla de elemetos dsjutos A k B, se U B = = A k k (logo, pertece a B ), etão = m ( B) m( k = A k ) Uma fução µ: E R +, de uma σ-álgebra E em R +, é chamada uma medda se for umeravelmete adtva (ode a sére covege). A ateror medda m defda o cojuto de Borel, que passaremos a desgar por µ, é chamada medda de Lebesgue- Borel (medda LB). Um espaço mesurável (X, A) dotado de uma medda m,.e., o trplo (X, A, m), chamase um espaço de medda. (I, B, µ) é o espaço de medda de Lebesgue-Borel. Algumas propredades da medda LB:. µ(b) < +, para todo o cojuto lmtado B B. 2. Qualquer hperplao H em R é um cojuto LB-ulo,.e., µ(h) = Qualquer subcojuto umerável de R é um cojuto LB-ulo, em partcular µ(q) = Seja W [0,] o cubo utáro -dmesoal. Etão, por defção, µ(w) =. 5. A medda LB é a úca medda em B que é varate à traslação,.e., T a (µ) = µ, para toda a traslação x T a (x) = a + x, e que satsfaz a codção de ormalzação µ(w) =. 6. A medda LB é varate relatvamete a trasformações ortogoas dos exos. O segute Teorema, que usa a propredade 5, mostra que B ão esgota P(R ). Por outras palavras, exstem subcojutos de R que ão se podem costrur à custa de reuões e tersecções umeráves de rectâgulos de I. Teorema 2-3 B P(R ), =, 2,... Demostração: Vamos dcar como se costró um cojuto patológco. Por uma questão de facltar a "vsualzação metal" a costrução será em R. Cotudo, a geeralzação para R é drecta. Para tal vamos usar o: Axoma da Escolha: Dado uma classe C de cojutos dsjutos e ão vazos E α, exste um cojuto G E α tal que, para todo o E α, G E α é apeas um cojuto potual de E α.

10 J.P. Marques de Sá, FEUP, (A costrução de um cojuto que tem apeas um poto de uma colecção dsjuta de subcojutos é certamete trval o caso da colecção ser fta ou umerável. O axoma da escolha estpula que tal costrução é também possível o caso de colecções ão umeráves.) Seja Q R o cojuto dos racoas. Cosderemos a relação bára de cogruêca x ~ y em R: x ~ y x y Q A relação x ~ y é de equvalêca e estabelece uma dvsão de R em classes de equvalêca C x = {x + Q}. A classe de equvalêca de todos os racoas é C 0. Como para todo o real η exste um tero tal que η < +, ou seja, η [0, [, etão exste um poto em [0, [ para qualquer classe de equvalêca. Algus potos de C 0 e C : 2 [ 0 ½ ¾ 2 - [ 2 Etão, pelo axoma da escolha, exste um cojuto K [0, [ tal que tem exactamete um poto de cada classe de equvalêca. Logo: R = U{ y + K} e y y2 { y + K} { y2 + K}= y Q (y, y 2 Q) Supohamos que K B. Etão é aplcável a medda de Lebesgue. Como Q é umerável, temos: + = µ ( R) = µ ( y + K) = µ ( K) µ ( K) 0 y Q y Q Propredade 5. Mas: Logo: y [ [ y U [ 0,[ ( y + K) Q [ 0,[ Q y [ 0,[ [ 0,2[ µ ( y + K) µ ( 0,2 ) = 2 µ ( K) < + µ ( K) = 0 Q Chegamos a uma cotradção. Logo, K B. 3 Fuções Mesuráves Defção 3- Sejam (X, A) e (X, A ) espaços mesuráves. A fução f: X X dz-se uma fução A-A mesurável se: f (X ) A para todo o X A (ou seja f (A ) A) )

11 J.P. Marques de Sá, FEUP, Exemplo 3- Qualquer mapeameto costate f: X X é A-A mesurável. Exemplo 3-2 O Exemplo.4 estabelece uma fução mesurável. Teorema 3- Seja f: X X uma fução A-A mesurável. Etão, para toda a medda µ em A, defe uma medda µ em A. Exemplo 3-3 µ (A') = µ(f (A')) Seja o espaço de medda (R, A, µ) em que A é a σ-álgebra que cotém todos os subcojutos A umeráves ou ão-umeráves de R e µ(a) = 0 ou coforme A ou A é umerável. Seja X = {0, } e A = P(X ) e a fução f: X X : 0 f ( x) = x Q x Q Provar que a fução f é A-A mesurável e determar f(µ). Temos: f ( ) = A; f ({0}) = Q A; f ({}) = Q A; f ({0,}) = R A. Logo, a fução é mesurável e µ = f(µ) é gual a 0 para e {0} e gual a para {} e {0,}. Exemplo 3-4 Sejam dados os espaços mesuráves 3 (R,B), ({0,}, P({0,})), um cojuto A B e a fução dcadora I A : R {0,}: x A I A ( x) = 0 x A Temos: f ( ) = B; f ({0}) = A B; f ({}) = A B; f ({0,}) = R B. Logo, a fução dcadora é B - P({0,}) mesurável. 3 Note-se que pelo Teorema -3 a defção de B pode exprmr-se em termos de város cojutos suporte de R: O, F, C... Assm, usa-se a otação (R,B). (Isto é abusvo porque já vmos que há subcojutos de R que ão pertecem a B.)

12 J.P. Marques de Sá, FEUP, 2003 Defção 3-2 Seja (X, A) um espaço mesurável e (R, B) o espaço mesurável de Borel em R. A fução f: X R dz-se uma fução mesurável se: f (B) A para todo o B R (ou seja f (B) A) ) Pode-se mostrar que o cojuto das fuções mesuráves é fechado relatvamete à adção, subtracção, multplcação e dvsão. 4 Medda de Probabldade Defção 4- Seja P uma fução de cojutos defda um campo F. A fução é uma medda de probabldade se satsfaz às codções segutes:. 0 P(A) para todo o A F ;. P( ) = 0, P(X) = ;. Dada uma sequêca de cojutos dsjutos A, A 2,..., com A F, tal que U F = A, etão P( U A ) = ( ) = P A = (adtvdade umerável). Exemplo 4- Seja o campo B 0 do Exemplo., defdo em ]0, ]. É possível mostrar que a medda de Lebesgue P( A) = m( A) = = ( b a ) é ão só fta mas também umeravelmete adtva; logo, P defe uma medda de probabldade o campo B 0. É possível provar que uma medda de probabldade defda um campo F pode esteder-se à σ-álgebra gerada por F, A(F). Este aspecto é mportate vsto estarmos teressados em ldar com adtvdade umerável para a medda de probabldade. Assm: Defção 4-2 Se A é uma σ-álgebra em X e P é uma medda de probabldade em A, etão o trplo (X, A, P) é chamado um espaço de medda de probabldade, ou smplesmete espaço de probabldade. Teorema 4- (da extesão) Uma medda de probabldade defda um campo F tem uma extesão úca para a σ-álgebra gerada por F, A(F). A referêca [2] dca como costrur a extesão.

13 J.P. Marques de Sá, FEUP, Exemplo 4-2 Seja Ω = ]0, ]. Para cada ω Ω vamos assocar a expasão dádca fta e umerável: = d ( ω) ω com d (ω) {0,} = 2 (.e. são os bts da represetação bára fta) Para cada sequêca u,..., u, de comprmeto (tal como o laçameto de uma moeda vezes), temos: u u ω = =. = { : d ( ω) u, =,..., } =, + Logo, usado a medda de Lebesgue-Borel como medda de probabldade, temos: P( { ω : d ( ω) = u, =,..., } ) = 2 Cosdere-se o cojuto: N = ω : lm = = d ( ω) 2 Os potos do cojuto N são chamados úmeros ormas. A Le Forte dos Grades Números, aplcada a esta stuação, escreve-se P(N) =. Ora, é possível provar que N é LB-ulo, logo P( N ) = 0. Bblografa. Bauer H (972) Probablty Theory ad Elemets of Measure Theory. Holt, Rehart ad Wsto, Ic. 2. Bllgsley P (979) Probablty ad Measure. Joh Wley & Sos, Ic. 3. Papouls A (965) Probablty, Radom Varables ad Stochastc Processes. Mc Graw Hll. 4. Rao MM (987) Measure Theory ad Itegrato. Joh Wley & Sos, Ic. 5. Rud W (987) Real ad Complex Aalyss. McGraw-Hll. 6. Taylor SJ (966) Itroducto to Measure ad Itegrato. Cambrdge Uversty Press.