AULA Espaços Vectoriais Estruturas Algébricas.

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1 Note bem: a letura destes apotametos ão dspesa de modo algum a letura ateta da bblografa prcpal da cadera Chama-se a ateção para a mportâca do trabalho pessoal a realzar pelo aluo resolvedo os problemas apresetados a bblografa, sem cosulta préva das soluções propostas, aálse comparatva etre as suas resposta e a respostas propostas, e posteror exposção juto do docete de todas as dúvdas assocadas. TÓPICOS Estruturas algébrcas. Espaço vectoral. Combação lear. Idepedêca lear. AULA Espaços Vectoras Estruturas Algébrcas. Na geeraldade, uma estrutura algébrca é costtuída por um ou mas cojutos (suportes da estrutura), mudos de uma ou mas operações (les de composção tera ou extera, operações uáras, etc.) evolvedo elemetos daquele(s) cojutos e satsfazedo certas propredades formas. Caso ão exsta ambgudade, pode detfcar-se um dos cojutos suporte com a estrutura algébrca. Por exemplo, o corpo ( R, +, ) refere-se, geralmete, apeas como o corpo R (o corpo dos reas). Algumas estruturas algébrcas evolvem mas de um cojuto. Por exemplo, um espaço vectoral tem eretes dos cojutos: um cojuto de vectores e outro de escalares (um corpo), uma le de composção tera (adção vectoral) e outra extera (multplcação de escalar por vector). Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

2 Grupóde Todo par ( A, ) costtuído por um cojuto A e uma operação bára 2 de A em A (le de composção tera). Semgrupo Todo o grupóde ( A, ) em que a operação é assocatva. é assocatva a ( b = ( a b) c é comutatva a b = b a Moóde elemeto eutro u a: a u = u a = a Todo o semgrupo ( A, ) com elemeto eutro (que é úco). Grupo elemeto oposto a a : a a = a a = u Grupo Comutatvo (Abelao) Todo o moóde em que todos os elemetos têm oposto (que é úco). Todo o grupo ( A, ) em que é comutatva. Ael Todo o tero ( A, +, ) em que( A, + ) é um grupo comutatvo, ( A, ) é um semgrupo e é dstrbutva em relação a, ou seja, + à esquerda e à dreta. ( A, + ) ( A, ) + é assocatva. + é comutatva. eutro 0. oposto (smétrco) para todos os elemetos é assocatva. ( a+ b) c = ( a + ( b a ( b + = ( a b) + ( a Corpo Todo o ael ( A, +, ) em que ( A, ) é um moóde e todos os elemetos dferetes de 0 são vertíves., ou seja, ( A, + ) + é assocatva. + é comutatva. eutro 0. oposto (smétrco) para todos os elemetos ( A, ) é assocatva. é comutatva. eutro 1. oposto (verso) para todos os elemetos dferetes de 0. ( a+ b) c = ( a + ( b a ( b + = ( a b) + ( a Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

3 10.2. Espaço Vectoral. Seja E um cojuto de elemetos uv,,, w, chamados vectores, e K um corpo, de elemetos αβ,,, γ, chamados escalares. Dz-se que E é um espaço vectoral (ou espaço lear) sobre o corpo K sse: a. estver defda em E a operação adção vectoral, +, que a u E e a v E assoca o elemeto u + v E, tal que ( E, + ) é um grupo comutatvo, ou seja, uvw,, E : a1. u + v = v + u (+ é assocatva) a2. ( u + v) + w = u + ( v + w ) (+ é comutatva) a E :( u + 0) = 0 + u = u (elemeto eutro de +, desgado por zero) a4. u 1 u E : u + ( u) = 0 (elemeto oposto de u para a operação +, desgado por smétrco de u ) m. estver defda a operação multplcação de escalar por vector,, que a α K e a u E assoca o elemeto α u E (ou, smplesmete αu ), que verfca: m1. α ( u + v) = α u + αv ( é dstrbutva em relação à adção dos elemetos de E ) m2. ( α + β) u = αu + βu ( é dstrbutva em relação à adção de elemetos de K ) m3. α ( βu ) = ( αβ) u (assocatvdade msta) m4. 1 u = u (elemeto eutro de à esquerda) A operação bára + de E 2 em E desga-se por adção vectoral, e a operação bára de E K em E desga-se por multplcação de escalar por vector. Salete-se que um espaço vectoral é fechado relatvamete à adção vectoral. Quado K = R dz-se que E é um espaço vectoral real, e quado K = C dz-se que E é um espaço vectoral complexo. 1. São exemplos de espaços vectoras (ou seja, pode demostrar-se que verfcam as 8 propredades acma eucadas) os segutes cojutos, com a defção habtual de adção etre os seus elemetos, e de multplcação dos seus elemetos por um escalar do corpo K dcado: O cojuto R, como temos vdo a cosderar até aqu, com K = R. O cojuto dos segmeto oretados, que apropradamete desgámos por vectores, com K = R. O cojuto C, com K = C (e também com K = R ). Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 10.3. Combação Lear. Seja E um espaço vectoral sobre um corpo K. Dz-se que um vector u E é combação lear dos vectores u 1, u 2,, u E, se exstrem escalares k1, k2,, k K, desgados por coefcetes da combação lear, tas que 2. O vector de 4 u = k u + k u + + k u = k u = 1 R, u = ( 1, 2, 3, 4) é combação lear dos vectores u = (2,0, 1,0), u = ( 1,2,0,0 ), u = (0, 0, 1,2) e u = (2,0,0, 1), dado que = 2, k2 = 1, k3 = 1, k4 = exstem escalares, k 2, tas que Com efeto 4 u = k u = 1 ku + k u + k u + k u = 2u u + u 2u = 2 (2, 0, 1, 0) ( 1, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 2) 2(2, 0, 0, 1) = (4, 0, 2, 0) + (1, 2, 0, 0) + (0, 0, 1, 2) + ( 4, 0, 0, 2) = (1, 2, 3, 4) = u Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

5 10.4. Idepedêca lear. O cojuto de vectores { u u u } depedete sse a equação só possu a solução trval V = 1, 2,, E, dz-se learmete ku + k u + + k u = k k k 1 = 2 = = = 0 Ou, o que é equvalete, ehum dos vectores pode ser expresso como combação lear dos restates. Caso cotráro, sto é, se a equação possu uma solução ão trval, dzemos que os vectores de V são learmete depedetes. Equvaletemete, V é learmete depedete sse um dos seus elemetos é combação lear dos restates. 3. O cojuto de vectores = { u, u, u, u } V , com u 1 = (2,0, 1,0), u 2 = ( 1,2,0,0), u 3 = (0, 0, 1,2) e u 4 = (2,0,0, 1), é learmete depedete dado que k1u1 + k2u2 + k3u3 + k4u4 = 0 k1(2, 0, 1, 0) + k2( 1, 2, 0, 0) + k3(0, 0, 1, 2) + k4(2, 0, 0, 1) = 0 (2 k1,0, k1,0) + ( k2,2 k2,0,0) + (0, 0, k3, 2 k3) + (2 k4, 0, 0, k4) = 0 (2k1 k2 + 2 k4, 2 k2, k1 k3, 2 k3 k4) = 0 2k k + 2k = 0 2k = 0 k k = 0 2k k = Resolvedo o sstema podemos verfcar que só exste a solução trval k = k = 0 k = 0 k = Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A