Capítulo 5 CINEMÁTICA DIRETA DE ROBÔS MANIPULADORES

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1 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores Capítulo 5 CINEMÁTICA DIRETA DE ROBÔS MANIPULADORES A cemátca de um robô mapulador é o estudo da posção e da velocdade do seu efetuador e dos seus lgametos. Quado se mecoa posção está se referdo tato à posção propramete dta como à oretação e quado se fala em velocdade cosdera-se tato a velocdade lear como agular. Pode-se dstgur dos tpos de cemátca a cemátca dreta e a versa. Na cemátca dreta deseja-se obter a posção e velocdade do efetuador para uma dada posção das artculações. A cemátca versa é o oposto da cemátca dreta ou seja são forecdas a posção e a velocdade do efetuador e quer se obter as posções e velocdades correspodetes das artculações. No capítulo 4 foram vstas as ferrametas matemátcas ecessáras para se determar a posção e oretação de corpos rígdos que se basea a trasformação de coordeadas. Neste capítulo é apresetada a cemátca dreta. A cemátca versa será aalsada o capítulo 5. Observa-se que este capítulo será vsto como se calcula a posção a oretação a velocdade lear e agular do efetuador de um robô mapulador. A posção e velocdade dos outros lgametos do robô podem ser faclmete calculadas de forma aáloga às do efetuador. 3. Posção e Oretação do Efetuador Um mapulador cosste bascamete de uma sére de corpos rígdos udos etre s por artculações. A Fgura 5- mostra um esquema de um mapulador. Será cosderado somete mapuladores com estrutura cemátca do tpo aberta como fo vsto o capítulo. Cada lgameto do mapulador pode ser umerado de a como mostra a Fgura 5-. O lgameto da base que é usualmete fxo em relação ao mudo extero é umerado por coveêca como e o efetuador que é o últmo lgameto é umerado como. O objetvo é aalsar a posção e a oretação do efetuador em fução da posção de cada uma das artculações. Para represetar a posção e a oretação do efetuador é poscoado o sstema de coordeadas O -x y z o efetuador. A posção e oretação deste sstema de coordeadas é descrto em relação ao sstema O -x y z fxo a base sto é o prmero lgameto. Defese também para cada um dos demas lgametos um sstema de coordeadas O -x y z. É possível determar a posção e a oretação do sstema em relação ao sstema ateror pelo uso de matrzes homogêeas relacoado a trasformação etre estes sstemas. Dessa forma a posção e a oretação do efetuador em relação à base é obtda por uma composção de trasformações homogêeas cosecutvas partdo-se do sstema da base para o últmo sstema (sstema do efetuador). Para poscoar os sstemas de coordeadas os lgametos do mapulador de forma

2 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) sstemátca é utlzada a otação de Deavt-Harteberg. A otação de Deavt-Harteberg é um método sstemátco de descrever a posção e a oretação relatva etre dos lgametos cosecutvos baseado a trasformação homogêea. Fgura 5-: Esquema da Estrutura de um Mapulador. Notação de Deavt-Harteberg A Notação de Deavt-Harteberg basea-se o fato de que para determar a posção relatva de duas retas o espaço são ecessáros somete dos parâmetros. O prmero parâmetro é a dstâca medda ao logo da ormal comum etre as duas retas e o segudo é o âgulo de rotação em toro da ormal comum que uma das retas deve grar de forma que fque paralela à outra. Observa-se que a ormal comum etre duas retas o espaço é defda por uma tercera reta que tercepta as duas prmeras retas com âgulos de 9. Além dsso a dstâca medda etre as duas retas ao logo da ormal comum é a meor dstâca etre as mesmas. A Fgura 5- apreseta duas retas o espaço e os dos parâmetros ecessáros para descrever sua posção relatva. α a α Normal comu Fgura 5-: Posção relatva de duas retas o espaço.

3 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 3 Se para defr a posção relatva de duas retas o espaço são ecessáros dos parâmetros etão para defr a posção relatva de dos sstemas de coordeadas serão ecessáros quatro parâmetros. Isto decorre do fato de que um sstema de coordeadas é defdo por três retas (os três exos do sstema) sedo que cohecedo-se dos exos do sstema o tercero está automatcamete defdo pelas codções de ortogoaldade e pela regra da mão dreta. Observa-se que a tercessão dos exos de um sstema de coordeadas defe a orgem do mesmo. Portato a partr da defção da posção relatva etre dos exos de dos sstemas de coordeadas pode-se descrever a posção relatva etre os dos sstemas de coordeadas. A Fgura 5-3 represeta um par de lgametos adjacetes de um robô mapulador (lgametos e ) e suas respectvas artculações (artculações e +). A posção e oretação relatva etre os dos lgametos é descrta pelas trasformações de traslação e de rotação etre os dos sstemas de coordeadas fxos a estes lgametos. Fgura 5-3: A Notação de Deavt-Harteberg. O prmero passo para defr os sstemas de coordeadas de um robô é localzar os exos z ao logo dos exos das artculações de forma que o exo z é o exo da artculação. Seja a reta H O a ormal comum aos exos das artculações e + (exos z e z ). A orgem do sstem O é localzada a tercessão do exo da artculação + (exo z ) e a ormal comum etre os exos z e z. O exo x é drecoado ao logo da extesão desta ormal comum a dreção de z para z. Falmete o exo y é escolhdo de forma que o sstema resultate O - x y z seja um sstema de coordeadas que segue a regra da mão dreta.

4 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 4 A posção relatva etre dos sstemas de coordeadas cosecutvos sstemas O -x y z e O -x y z é completamete determada pelas posções relatvas etre os exos x e x e etre os exos z e z que são defdas pelos quatro parâmetros segutes: a : é a dstâca (em módulo) etre z e z medda ao logo do exo x que é a ormal comum etre z e z ou seja é a dstâca H O ; α : é o âgulo (com sal) etre o exo z e o exo z meddo em toro do exo x segudo a regra da mão dreta ou seja é o âgulo de rotação em toro do exo x que o exo z deve grar para que fque paralelo ao exo z ; d : é a dstâca (com sal) etre os exos x e x medda sobre o exo z (que é a ormal comum etre x e x ) partdo-se de O e do em dreção à H. O sal de d é postvo se para r de O até H camha-se o setdo postvo de z e egatvo se camha-se o setdo oposto de z ; θ : é o âgulo (com sal) etre o exo x e o exo x meddo em toro do exo z segudo a regra da mão dreta ou seja é o âgulo de rotação em toro do exo z que o exo x deve grar para que fque paralelo ao exo x. Com estes quatro parâmetros a posção e oretação do sstema de coordeadas em relação ao sstema pode ser defda como uma sequêca de quatro trasformações: A prmera trasformação cosste em uma rotação em toro de z de um âgulo θ meddo segudo a regra da mão dreta de forma a alhar x com x : A seguda trasformação é uma traslação ao logo do exo z de uma dstâca d medda a partr do poto O até ecotrar a tercessão da ormal comum etre z e z (poto H ); A tercera trasformação cosste em uma traslação ao logo do exo x de uma dstâca a partdo-se do poto H até ecotrar o exo z (poto O ); e A quarta trasformação cosste em uma rotação em toro do exo x de um âgulo α meddo segudo a regra da mão dreta de forma a alhar o exo z com o exo z. Assm tem-se em resumo as segutes trasformações: A = Rot z θ ) Tras( z d ) Tras( x a ) Rot( x α ) (5-) ( ode os símbolos Rot e Tras sgfcam respectvamete trasformação de rotação e de traslação. Em termos de trasformações homogêeas tem-se o segute: Cθ Sθ a Sθ Cθ Cα Sα A = d Sα Cα Cθ Sθ Cα Sθ Sα acθ cos Sθ Cθ α Cθ Sα a Sθ =. (5 - ) Sα Cα d Os parâmetros a e α são costates e são determados pela geometra do lgameto. Um dos outros dos parâmetros d ou θ vara a medda que a artculação se move. Como

5 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 5 vsto o capítulo exstem dos tpos de artculações em braços robótcos: artculações de revolução (ou de rotação) e artculações leares (ou prsmátcas). Se a artculação for de revolução o parâmetro θ é varável e represeta a sua posção agular equato o parâmetro d é costate. Se a artculação for prsmátca o parâmetro d é a varável que represeta a sua posção lear e o parâmetro θ é costate. Exstem algumas exceções à otação de Deavt-Harteberg sedo estas as segutes: Para estabelecer o sstema de coordeadas da base a orgem do sstema pode ser escolhda em qualquer poto do exo z. Os exos x e y podem ser escolhdos arbtraramete desde que satsfaçam a regra da mão dreta; Para estabelecer o sstema de coordeadas do efetuador a orgem do sstema pode ser escolhda em qualquer poto coveete do efetuador. A oretação dos exos deve ser tal que x seja perpedcular a z ; Se os exos das duas artculações de um lgameto são paralelos a ormal comum etre eles ão é úca. Neste caso a dreção de x deve ser perpedcular a ambos os exos e a orgem O é arbtrára; Se os exos das duas artculações de um lgameto se terceptam ou seja se z tercepta z a orgem O deve ser localzada a terseção dos dos exos e x deve ser perpedcular a ambos os exos. Posção e Oretação do Efetuador Com a otação de Deavt-Harteberg defda pode-se obter a posção e oretação do efetuador em relação ao sstema da base (sstema O -x y z ) em fução dos deslocametos de todas as artculações. O deslocameto de cada artculação é dada por d ou θ depededo do tpo de artculação. Para facltar a omeclatura a posção das artculações será deotada por q defdo como: q = θ se a artculação for de revolução; e q = d se a artculação for prsmátca. Dessa forma a posção e oretação do lgameto relatvo ao lgameto é descrta em fução de q através da matrz homogêea A ( q ). Como vsto um mapulador cosste de + lgametos com a base sedo o lgameto e o efetuador o lgameto. Portato do efetuador à base exstem trasformações homogêeas cosecutvas assm a posção e oretação do efetuador é dada por: A A ( q )A ( q )...A ( q ) (5-3) = ode A é a matrz homogêea que represeta a posção e oretação do efetuador em relação ao sstema da base em fução das posções de todas as artculações. Como A é uma matrz homogêea ela tem a segute forma: A R (q...q ) x(q...q ) (q...q ) =. (5-4)

6 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 6 R (q...q ) é a matrz de rotação que represeta a oretação do efetuador em relação ao sstema da base. Desta matrz de rotação pode-se obter se desejado uma descrção da oretação do efetuador em termos de âgulos de Euler "roll-ptch-yaw" ou ada parâmetros de Euler-Rodrgues como vsto o capítulo 4. O vetor x (q...q ) forece a posção do efetuador em relação ao sstema da base. Dessa forma pode-se defr o segute algortmo para realzar a cemátca dreta da posção: Passo : Localzar os exos das artculações ou seja os exos z z até z de forma que o exo da artculação seja o exo z. Passo : Estabelecer o sstema de coordeadas da base. A orgem deste sstema pode ser escolhda em qualquer lugar do exo z. Os exos x e y podem ser escolhdos arbtraramete desde que satsfaçam a regra da mão dreta. Repetr os passos 3 a 5 para =.... Passo 3: Localzar a orgem do sstema poto O ode a ormal comum etre os exos z e z tercepta o exo z. Se o exo z tercepta o exo z localzar o poto O a terseção. Se os exos z e z são paralelos localzar o poto O a artculação. Passo 4: Estabelecer o exo x ao logo da ormal comum etre os exos z e z a partr do poto O. O setdo do exo x é a dreção do exo z para o exo z. Se os exos z e z se cruzam etão o exo x é ormal a ambos com qualquer dreção. Passo 5: Tedo os exos z e x estabelecer o exo y segudo a regra da mão dreta. Passo 6: Estabelecer o sstema de coordeadas do efetuador sstema O -x y z. A orgem deste sstema é escolhda de forma arbtrára porém de maera geral é escolhda como sedo o cetro da garra ou algum outro poto de teresse do efetuador. Os exos deste sstema são defdos de forma arbtrára desde que o exo x seja perpedcular ao exo z. Normalmete tem-se o exo z a dreção de ataque o exo x a dreção ormal e o exo y a dreção de escorregameto como mostra a Fgura 5-4. Passo 7: Crar uma tabela com os parâmetros de Deavt-Harteberg referetes a cada um dos lgametos ou artculações. Passo 8: Motar as matrzes de trasformação homogêea A ( q ) a partr dos parâmetros de Deavt-Harteberg e da eq. (5-). Passo 9: Obter a matrz de trasformação homogêea A (q...q ) a partr de eq. (5-3) que relacoa a posção e oretação do efetuador em relação ao sstema da base.

7 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 7 Artculação θ z x (dreção ormal) Efetuador O z (dreção de ataque) y (dreção de escorregameto) Fgura 5-4: Sstema de coordeadas do efetuador. Exemplo 5.: Robô plao de duas artculações de revolução (R). A Fgura 5-5 apreseta um esquema de um robô plao de duas artculações de revolução com os sstemas de coordeadas poscoados as artculações e o efetuador. x y O y y a θ x a θ O O x Fgura 5-5: Esquema de um robô plao com duas artculações de revolução. Os parâmetros de Deavt-Harteberg para este robô são defdos a Tabela 5-. Tabela 5-: Parâmetros de Deavt-Harteberg do robô plao com dos graus de lberdade de revolução. Lgameto a α d θ a θ a θ

8 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 8 Com estes parâmetros de Deavt-Harteberg e a eq. (5-) pode-se defr as matrzes de trasformação homogêea do sstema de coordeadas da base para o sstema e do sstema para o sstema fxo o efetuador como abaxo. C S ac C S ac S C a S A = S e A = C as ode os símbolos S C sgfcam respectvamete o seo e o coseo de θ e S C sgfcam respectvamete o seo e o coseo de θ. A multplcação destas duas matrzes resulta a matrz de trasformação homogêea da base para o efetuador como se segue: A C S a C + a C S C a S + a S = AA = ode S e C represetam respectvamete o seo e o coseo de θ + θ. Nota-se que os dos prmeros elemetos da quarta colua são as compoetes x e y do poto O ou seja as coordeadas do efetuador descrtos em relação o sstema da base (O -x y z ). Observa-se também que a oretação do efetuador é dada por uma rotação em toro do exo z de um âgulo θ + θ. Exemplo 5.: Robô de Staford. A Fgura 5-6 apreseta o robô de Staford de 6 graus de lberdade sedo 5 artculações de revolução e uma prsmátca. A Fgura 5-7 apreseta um esquema deste robô com as suas artculações e com os sstemas de coordeadas poscoados os lgametos. Os parâmetros de Deavt- Harteberg correspodetes aos sstemas de coordeadas defdos a Fgura 5-7 são apresetados a Tabela 5-. Note que a cofguração statâea da Fgura 5-7 o mapulador apreseta os sstemas de coordeadas 3 e 5 como sedo cocdetes e o exo x 4 também cocdete com x 3. Cotudo qualquer alteração as posções das artculações 4 e 5 (âgulos θ 4 e θ 5 ) fará com que a cocdêca destes exos e destes sstemas seja elmada. Tabela 5-: Parâmetros de Deavt-Harteberg do robô de Staford. Lgameto a α d θ -9 l θ * 9 l θ * 3 d 3 * 4-9 θ 4 * 5 9 θ 5 * 6 l 6 θ 6 *

9 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 9 Nota-se que os parâmetros marcados com o asterscos (*) represetam o parâmetro varável da artculação. Fgura 5-6: Robô de Staford. As matrzes homogêeas podem ser calculadas a partr da eq. (5-) e dos parâmetros de Deavt-Harteberg da Tabela 5- resultado o segute: C S C S S C A = S ; A l = C ; l C4 S4 A 3 = S ; A 4 d 3 3 = 4 C4 ; C5 S5 C6 S6 S C A 5 4 = 5 5 S ; A 6 5 = 6 C6. l6

10 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) z 6 O 6 x 6 θ 6 l 6 z 3 z 5 z 4 x 3 x 4 x 5 O 3 θ 4 θ 5 d 3 l z z O O θ x θ x l z O y x Fgura 5-7: Esquema do robô de Staford com os sstemas de coordeadas das artculações. A posção e oretação do efetuador é obtda a partr das matrzes homogêeas acma e da eq. (5-3) resultado o segute: A 6 6 r r r3 x = AA AA3A4A5 = r r r3 yo 6 r r r z ode os elemetos da matrz A 6 acma são dados pelas expressões segutes: [ ] [ ] r = C C( CCC SS) SSC S( SCC + CS); r = S C( CCC SS) SSC + C( SCC + CS);

11 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores r = S ( C C C S S ) C SC; [ ] [ ] r = C C( CCS + SC) + SSS S( SCS + CC); r = S C( CCS SC) + SSS + C( SCS + CC); r = S ( C C S + S C ) + C SS; r = C ( C C S + S C ) S SS; r = S ( C C S + S C ) + C SS; r = S C S + C C ; x = CSd Sl + l( CCCS + CSC SSS); y = SSd + Cl + l( SCCS + SSC CSS); z = l + C d + l ( C C S C S ). o Observa-se que os elemetos r j formam a matrz de rotação da trasformação do sstema da base para o sstema do efetuador ou seja a oretação do efetuador e os elemetos x y e z represetam a posção do efetuador Velocdade do Efetuador Pode-se defr o vetor q como sedo um vetor colua que cotém as posções de todas as artculações da segute maera q = (q q... q ) t. Nota-se que o vetor q tem dmesão x ode é o úmero de artculações. O objetvo é ecotrar o vetor velocdade lear v( q) e o vetor velocdade agular do efetuador w( q) descrtos em relação ao sstema de coordeadas da base em fução das velocdades das artculações. Velocdade Lear do Efetuador Como vsto x ( q) é o vetor de posção do efetuador em relação ao sstema da base sedo fução das posções de todas as artculações. Portato para obter a velocdade lear do efetuador basta dervar este vetor em relação ao tempo ou seja: v dx dt dx = = dy (5-5) dt dt dz dt ode x yo e zo são as compoetes x y e z do vetor posção do efetuador. Como o vetor x é fução da posção de todas as artculações as dervadas das suas compoetes em relação ao tempo são obtdas pela regra da cadea sedo dadas por: v x x q q x q q x q q = & = & + & & ; (5-6) x

12 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) v v y y q q y q q y q q = & = & + & & ; (5-7) y z z q q z q q z q q = & = & + & & ; (5-8) z ode o poto sobre a varável deota dervada em relação ao tempo. sedo: Defdo a matrz jacobao da velocdade lear J v (q) de dmesão 3x como x y JV( q) = z x y z (5-9) as eq. (5-6) (5-7) e (5-8) podem ser escrtas de forma matrcal da segute forma v = J ( q)& q. (5-) V Esta expressão forece a velocdade lear do efetuador descrta em relação ao sstema de coordeadas da base em fução das velocdades e das posções das artculações. Note que a matrz J v (q) é em geral fução das posções de todas as artculações. Exste outra forma de se obter a velocdade lear do efetuador sem a ecessdade de efetuar dervadas. A eq. (5-) pode ser escrta da segute maera: v = JVq& + JVq& JVq& (5-) ode J v é a colua da matrz J v sedo um vetor colua de dmesão 3x e o produto J v q represeta a cotrbução da artculação a velocdade do efetuador com todas as outras artculações paradas. Se a artculação for prsmátca ela produz o efetuador uma velocdade lear a mesma dreção que seu exo exo z com magtude gual a & d ou seja J q& = z d& (5-) V ode z é o versor do exo z descrto o sstema de coordeadas da base. Se a artculação for de revolução ela produz o efetuador uma velocdade lear gual a; J q & = ( z & θ ) r (5-3) V ode & θ é a velocdade agular da artculação o símbolo deota produto vetoral e r é o vetor que ue a orgem do sstema de coordeadas da artculação poto O à orgem do

13 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 3 sstema de coordeadas do efetuador poto O descrto em relação ao sstema de coordeadas da base. por: Observado as eq. (5-) e (5-3) pode-se coclur que a colua da matrz J v é dada z se a artculacão for prsmatca e J v = (5-4) z r se a artculacão for de revolucão. Velocdade Agular do Efetuador A velocdade agular do lgameto ou do sstema de coordeadas relatva ao sstema de coordeadas expressa o sstema de coordeadas w ( ) é dada pela segute expressão: w q k = & se a artculacao for de revolucao; se a artculacao for de traslacao; ( ) (5-5) ode k é o exo da artculação vsto pelo sstema de coordeadas ou seja k = ( ) t. ( ) Observa-se que w é a velocdade agular da artculação vsta pelo sstema de coordeadas fxo a própra artculação (sstema ). ( ) Para exprmr a velocdade agular w em relação ao sstema de coordeadas da base basta descrever o versor k em relação ao sstema da base. Para sso realza-se a trasformação de rotação que leva o sstema da base ao sstema ou seja ( ) R w = R q& k= q& z. (5-6) Note que o produto R k represeta o versor do exo da artculação (exo z ) descrto em relação ao sstema de coordeadas da base que é deomado por z. A velocdade agular do efetuador descrta em relação ao sstema da base é a soma das velocdades agulares de todos os lgametos expressas todas em relação ao sstema de coordeadas da base. Assm a velocdade agular do efetuador descrta em relação à base é dada por: ( ) ( ) ( w = ρ w + ρ R w ρ R w ). (5-7) Obvamete se a artculação for prsmátca ela ão cotrbu para a velocdade agular do efetuador. Para cosderar este efeto a equação acma fo troduzdo o parâmetro ρ que represeta o segute: ρ se a artculacão for de revolucão; = se a artculacão for de traslacão.

14 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 4 A velocdade do efetuador escrta em fução das velocdades das artculações pode ser obtda pela substtução da eq. (5-6) a expressão acma obtedo-se o segute resultado: w = ρq& z + ρq& z ρq& z. (5-8) Esta equação pode ser escrta de forma matrcal da segute maera: w = J ( q)& q (5-9) w ode J w é uma matrz de dmesão 3x cujas coluas são os exos das artculações descrtas o sstema da base multplcados por um dcador que forece o tpo da artculação ou seja [ ρ ρ ρ ] J z z K z. (5-) w = Observa-se que cada colua de J w represeta a cotrbução da respectva artculação a velocdade agular do efetuador. 5.3 Matrz Jacobao de um Mapulador Pode-se ur as relações das velocdades lear e agular do efetuador em fução das velocdades das artculações em uma mesma equação resultado o segute: v w J = J V W ou defdo o vetor V = ( v w) t tem-se: ( q) ( q) q& (5-) V = Jqq ( )&. (5-) A matrz J(q) é defda como sedo a Matrz Jacobao do efetuador. Esta matrz relacoa as velocdades lear e agular do efetuador expressas o sstema de coordeadas da base com as velocdades das artculações para uma dada cofguração do mapulador. Em resumo a colua da Matrz Jacobao de um mapulador é dada pela segute expressão: J J z = z r se a artculação for de revolução; e (5-3) z = se a artculação for de traslação. (5-4) A dmesão da Matrz Jacobao é mx ode m é o úmero de lhas que é gual ao úmero de graus de lberdade do campo de trabalho do robô e é o úmero de coluas que é gual ao úmero de artculações do robô. Para um robô que trabalha o espaço m será o máxmo gual a 6 e para um robô que trabalho o plao m será o máxmo gual a 3. Os 6 graus de lberdade do espaço correspodem aos três graus de lberdade de poscoameto e

15 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 5 aos três de oretação de um corpo rígdo. Para o plao tem-se dos graus de lberdade de poscoameto e somete um grau de lberdade de oretação pos o plao somete defese velocdade ou posção agular em toro do exo perpedcular ao plao. Assm observa-se que o úmero de lhas da Matrz Jacobao ão é fxa devedo ser defda pelo teresse do problema e prcpalmete em fução do que o robô é capaz de realzar. Dessa forma por exemplo pode ser defda uma Matrz Jacobao de dmesão 3x3 para um robô que trabalha o espaço se somete teressar os três graus de lberdade de poscoameto. Observa-se que a expressão (5-) o lugar da velocdade agular do efetuador pode-se colocar a varação temporal dos parâmetros que descrevem a oretação do efetuador. Estes parâmetros podem ser por exemplo âgulos de Euler roll-ptch-yaw parâmetros de Euler-Rodrgues e outros. A varação temporal destes parâmetros é obtda pela dervação o tempo das expressões que os relacoam com as posções das artculações como será vsto a seção 5.6. Exemplo 5.3: Velocdade lear e agular do efetuador do robô de duas artculações de revolução o plao. A Fgura 5-5 apreseta um esquema do robô de duas artculações de revolução o plao. A eq. (5-3) aplcada a este robô resulta o segute: ode; z J = OO z OO z z ac OO = as ; OO ac OO = OO OO = as ac = as + ac + as ;. ; z = z = Substtudo as expressões dos vetores a expressão da Matrz Jacobao e efetuado as operações resulta em: J = as as as ac + ac ac. Aplcado a eq. (5-) obtém-se as velocdades lear e agular do efetuador como se segue:

16 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 6 ( as ) & & as θ v = ( + ) & as θ ac ac + ac & θ θ ; w = θ& + θ& Observa-se que a velocdade lear do efetuador podera também ser obtda pela dervação o tempo do vetor posção do efetuador ( OO ) coforme as eq. (5-6) (5-7) e (5-8) resultado exatamete a mesma expressão acma. Exemplo 5.4: Velocdade lear e agular do cetro do segudo lgameto de um robô de três artculações de revolução o plao. x y O θ 3 y 3 y O c y a θ x O 3 θ O O x l c x 3 Fgura 5-8: Esquema de um robô plao com três artculações de revolução. A Fgura 5-8 apreseta um esquema do robô de 3 artculações o plao. Da mesma forma que realzado o exemplo ateror a eq. (5-3) pode ser aplcada para se obter a velocdade agular e lear de qualquer poto dos lgametos de um robô. A úca dfereça é que os vetores posção utlzados relacoa a posção do poto desejado ao cetro de cada um dos sstemas de coordeadas como se segue: ode; z J = OOc z OO z z c OO ac = as ; OO c ac = as + l C c + l S c ;

17 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 7 lc C OO c = OO c OO = lc S ; z = z =. Observa-se que a tercera colua da Matrz Jacobao este caso é gual a zero porque a velocdade lear e agular do segudo lgameto ão é afetada pelo movmeto da tercera artculação. Substtudo as expressões dos vetores de posção e dos exos das artculações a expressão da Matrz Jacobao resulta em: as lc S lc S ac + l c C lc C J =. As velocdades lear e agular do cetro do segudo lgameto são obtdas pela multplcação da Matrz Jacobao correspodete pelo vetor velocdade das artculações resultado o segute: ( a ) & & S lcs θ v c = ( + ) & lcsθ a C l C + l C & c θ c θ ; w c = & θ + & θ 5.4 Velocdade Agular Um dos cocetos mas complexos a área de cemátca de corpos rígdos é o coceto de velocdade agular. Este fato é recohecdo por dversos atores podedo-se destacar algumas ctações como as segutes: T.R. kae (978): A velocdade agular parece ser um dos cocetos mas problemátcos ; H. Cheg (989): Mutos lvros ão forecem uma defção clara e útl para rotações geércas espacas e ão as dstgue de rotações em toro de um exo fxo. A defção ecotrada para a velocdade agular de um corpo rígdo a maora dos lvros é a segute: w = lm φ t (5-5) t

18 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 8 ode w é a velocdade agular φ é o âgulo meddo em toro do exo statâeo de rotação e t é um tervalo de tempo. No caso de robôs mapuladores o exo statâeo de rotação ormalmete ão é cohecdo. Nestes casos a expressão acma ão é muto útl. Nesta seção será obtda uma forma mas útl para descrever a velocdade agular de um corpo com uma rotação geérca o espaço. A Fgura 5-9 mostra um corpo rígdo com movmeto de rotação em relação ao sstema de coordeadas fxo O -x y z. O sstema de coordeadas O -x y z está fxo ao corpo e portato está com movmeto de rotação em relação ao sstema O -x y z. Seja o poto P fxo o corpo cujas coordeadas em relação ao sstema O -x y z são dadas pelo vetor r. Quado o corpo rígdo sofre uma rotação a relação etre as coordeadas do vetor r o sstema O -x y z e o sstema O -x y z é dada pela segute expressão: r = Rr (5-6) ode r é o vetor com as coordeadas do poto P o sstema O -x y z e R é a matrz de rotação que descreve a trasformação do sstema O -x y z para o sstema O -x y z fxo ao corpo. z w z P r O y r Corpo Rígdo O y x x Fgura 5-9: Esquema de um corpo rígdo com movmeto de rotação. Dervado-se a expressão (5-6) em relação ao tempo obtém-se a dervada do vetor r que é gual à velocdade lear do poto P em relação ao sstema O -x y z como sedo v= Rr &. (5-7) ode v é a velocdade lear do poto P. Observa-se que a medda que o vetor r é costate pos a posção do poto P fxo o corpo ão muda em relação ao sstema de coordeadas fxo o corpo a sua dervada é gual a zero.

19 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 9 Por outro lado tem-se que a velocdade lear do poto P cuja posção é defda pelo vetor r o sstema O -x y z fxo em um corpo rígdo grado com velocdade agular w em relação ao sstema O -x y z é dada pela segute expressão: v = w r (5-8) ode o símbolo deota produto vetoral. Esta expressão pode ser escrta de outra forma mas coveete ou seja v =Ω r (5-9) ode Ω é uma matrz de dmesão 3x3 dada por Ω= wz w y w w x z w y wx. (5-3) Observa-se que as expressões (5-8) e (5-9) forecem o mesmo resultado sedo que a matrz Ω represeta smplesmete uma forma mas coveete de escrever o vetor velocdade agular de um corpo rígdo. Substtudo a expressão (5-6) a eq. (5-3) resulta o segute: v =Ω Rr. (5-3) Igualado-se as expressões (5-7) e (5-3) obtém-se uma relação etre a dervada da matrz de rotação e a velocdade agular ou seja: &R ou vertedo-se =Ω R (5-3) Ω= & RR t. (5-33) Estas duas expressões são muto mportates pos elas relacoam a velocdade agular de um corpo com a matrz de rotação e com a dervada da matrz de rotação. Observa-se que a matrz de rotação R represeta a oretação do corpo o sstema O -x y z e a sua dervada represeta a varação da oretação do corpo. 5.5 Varação da Oretação do Efetuador Observa-se que a expressão (5-) a velocdade lear do efetuador pode ser obtda smplesmete pela dervação o tempo da posção do efetuador. Assm se for cohecda a posção cal do efetuador e a sua velocdade lear em fução do tempo a posção do efetuador em qualquer state pode ser calculada pela tegração da sua velocdade o tempo. Cotudo o mesmo racocío ão é váldo para a oretação pos o caso de robôs mapuladores o exo statâeo de rotação ormalmete ão é cohecdo além de varar a todo state. Dessa forma a tegração da velocdade agular do efetuador ão forece a sua

20 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) posção agular ou sua oretação. Nestes casos a parcela da eq. (5-) que forece a velocdade agular do efetuador em fução das velocdades das artculações às vezes ão é muto útl. Nesta seção será obtda uma expressão para descrever a varação da oretação do efetuador em fução das velocdades das artculações. Como vsto a seção 5. a oretação do efetuador é fução das posções das artculações dessa forma pode-se defr o segute sstema de equações ão leares: y = f ( q ) (5-34) ode o vetor y de dmesão mx cotém a oretação do efetuador e f é um vetor de fuções de dmesão mx. A oretação do efetuador pode ser descrta por dversos parâmetros como por exemplo os elemetos da matrz de rotação os âgulos de Euler os parâmetros de Euler-Rodrgues e outros. A partr da teora de cálculo dferecal dado o sstema de equações ão leares da forma da eq. (5-34) a dervada em relação ao tempo da oretação do efetuador ou seja do vetor y é dada por: y& = J ( q) q& (5-35) o ode J o é uma matrz jacobao de dmesão mx. Podem exstr váras matrzes J o depededo dos parâmetros utlzados para descrever a oretação do efetuador cotdos o vetor y. Assm se for utlzada a matrz de rotação como obtdo a eq. (5-4) repetda abaxo: A R (q... q ) x(q... q ) (q... q ) = (5-4) tem-se para o vetor y o segute: y = ( r r K r ) 33 t (5-36) e para a matrz J o r r r K r r r J o = L M M M M r33 r33 r K 33 (5-37) ode r j é o elemeto da -ésma lha e j-ésma colua da matrz R. Observa-se que este caso o vetor y terá dmesão 9x.

21 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores Uma forma mas coveete de descrever a oretação do efetuador são os parâmetros de Euler-Rodrgues que cosste o cojuto de 4 elemetos p q r s como vsto a seção.8. A expressão (-5) repetda abaxo apreseta os parâmetros de Euler- Rodrgues em fução dos elemetos da matrz de rotação: p = sal( r3 r3 ) r r r33 + ; q = sal( r3 r3 ) r + r r33 + ; r = sal( r r ) r r + r33 + ; s = r + r + r33 + (5-38) ode sem perda de geeraldade o parâmetro ε fo assumdo como sedo +. Dessa forma os parâmetros de Euler-Rodrgues são fução das posções das artculações através dos elemetos r j da matrz de rotação. Assm este caso o vetor de oretação do efetuador y será defdo como: y = ( pqrs ) t (5-39) cuja dervada em relação ao tempo será dada por: p& q& = J ( )& o q q (5-4) r& s& ode a matrz J o será defda como; p J o = r s p r s K K K K p (5-4) r s A dervada dos parâmetros de Euler-Rodrgues em relação à posção da artculação q é obtda dervado-se a eq. (5-38) em relação à q resultado as segutes expressões:

22 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) p r s r r r33 = ; 8 p r r r33 = ; 8 + q r r r33 = ; 8 + r r r r33 = s (5-4) Observado-se estas expressões ota-se que sempre que p q r ou s forem guas a zero o deomador das mesmas se aula. Dessa forma o cálculo da varação temporal dos parâmetros de Euler-Rodrgues utlzado a eq. (5-35) e a matrz jacobao cujos termos são defdos pela eq. (5-4) apresetará problemas umércos. Uma forma de se calcular a varação temporal dos parâmetros de Euler-Rodrgues sem problemas umércos é utlzado a expressão (5-3). A eq. (4-5) do tem.8 repetda abaxo apreseta uma matrz de rotação geérca escrta em fução dos parâmetros de Euler- Rodrgues ( p + s ) ( pq rs) ( pr + qs) R θ = ( pq + rs) ( q + s ) ( qr ps). (-5) ( pr qs) ( qr + ps) ( r + s ) Dervado-se a matrz acma em relação ao tempo e gualado ao produto matrcal ΩR da eq. (5-3) obtém-se o segute para os termos da dagoal prcpal: 4(pp& + ss) & = w (pq + rs) + w (pr qs) ; (5-43) z y 4(qq& + ss) & = w (pq rs) w (qr + ps) ; (5-44) z x 4(rr& + ss) & = w (pr + qs) + w (qr ps). (5-45) y x Sabe-se que o quatêro formado pelos parâmetros de Euler-Rodrgues tem módulo utáro ou seja p + q + r + s = (5-46) que dervado em relação ao tempo resulta a segute relação: pp& + qq& + rr& + ss& =. (5-47) Somado-se as expressões (5-43) (5-44) (5-45) e substtudo o resultado a eq. (5-47) resulta em uma expressão para a varação temporal do parâmetro s da segute forma: &s = ( wxp wyq wzr). (5-48)

23 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 3 Substtudo a eq. (5-48) a eq. (5-43) resulta em uma expressão para a varação temporal do parâmetro p como a segur &p = (wxs+ wyr wzq). (5-49) Da mesma forma substtudo-se a eq. (5-48) a eq. (5-44) resulta em: &q = ( wxr + wys+ wzp). (5-5) Falmete substtudo a eq. (5-48) a eq. (5-45) obtém-se para a varação temporal de r o segute: &r = (wxq wyp+ wzs). (5-5) As expressões (5-49) (5-5) e (5-5) podem ser escrtas de forma matrcal da segute maera: p& q& = r& s& s r q wx r s p wy q p s. (5-5) wz p q r Substtudo a expressão acma a eq. (5-9) que forece a velocdade agular do efetuador em fução das velocdades das artculações tem-se: p& q& = r& s& s r q r s p J & q p s w q. (5-53) p q r Comparado as eq. (5-4) e (5-53) chega-se à coclusão que a matrz J o pode ser escrta como um produto etre a matrz jacobao da velocdade agular e uma matrz M como se segue: J o = MJ (5-54) w ode a matrz M é defda por: s r q r s p M =. (5-55) q p s p q r

24 Aálse de Robôs (E. L. L. Cabral) 4 Percebe-se que este caso a matrz J o ão apresetam problemas umércos ou seja ão apreseta a possbldade de dvsão por zero como ocorra com as relações da eq. (5-4). Exemplo 5.5: Dados os parâmetros de Euler-Rodrgues e a sua varação temporal obter a velocdade agular. A eq. (5-5) pode ser escrta em fução da Matrz M como se segue: p& q& w x = wy r& M. wz s& Multplcado ambos os lados da eq. acma por M t tem-se: p& s r q p q& r s p q = r& q p s r s& w x w y wz que após efetuar a álgebra e escrevedo cada compoete do vetor velocdade agular separadamete resulta em; ou wx = ( sp& rq& + qr& ps&); wy = ( rp& + sq& pr& qs&); wx = ( qp& + pq& + sr& rs&); w = [( sp& rq& + qr& ps&) + ( rp& + sq& pr& qs&) j + ( qp& + pq& + sr& rs &) k] ; Exemplo 5.6: Obter a expressão da velocdade agular de um corpo rígdo com rotação em toro de um exo varável. A expressão do vetor velocdade agular obtda o exemplo ateror pode rearrajada para se obter: w = [( qr& rq&) ( pr& rp&) j + ( pq& qp&) k+ sp& + sq& j + sr& k sp& sq& j sr & k] que pode ser escrta em termos de produtos vetoras e escalares de vetores como se segue:

25 Cemátca da Posção de Robôs Mapuladores 5 p p& p& p w = q q& + sq& s& q r r& r& r ode sgfca produto vetoral. A eq. (-49) repetda abaxo forece as expressões dos parâmetros de Euler-Rodrgues; p= x s( θ / ); q = y s( θ / ); r = z s( θ / ); s = cos( θ / ). Lembre que estes parâmetros represetam uma rotação de um âgulo θ em toro de um exo arbtráro. Substtudo as expressões acma a eq. da velocdade agular resulta em: w = & θ + sθ + ( )( cos θ). Esta expressão forece a velocdade agular de um corpo rígdo em toro do exo statâeo de rotação. Note que quado = (exo de rotação fxo) a velocdade agular é dada por: w = & θ. Coforme o esperado ou seja para um exo de rotação fxo a velocdade agular é gual a dervada da posção agular em toro do exo.