, que chamaremos de origem, e atribuímos a este ponto o símbolo O. Com este ponto podemos associar um vetor (1.7.1)

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1 17 Coordeadas e dferecas Fg 171 Coordeadas defdas com dstâcas dos potos aos paredes do laboratóro, Mutos objetos podem ser caracterados com a ajuda de gradeas físcas a pesar de ão serem gradeas Um eemplo desta stuação é forecdo pelos potos do espaço físco E de um referecal Um poto ão é uma gradea, mas podemos escolher gradeas udmesoas G1, G2,, G com correspodetes espaços de valor V1, V2,, V e fuções Kk : E Vk defdas por algum procedmeto epermetal de tal forma que cada -upla 1 g1, g2,, g de valores determa um poto em E de maera úca pelas codções K ( ) g, K ( ) g,, K ( ) g Um sstema de fuções que caractera potos desta maera e que satsfa, além dsso, certas codções de smplcdade (as quas dscutremos em seguda) é chamado de sstema de coordeadas Um eemplo de sstema de coordeadas é forecdo pelas dstâcas dos potos às paredes do laboratóro, permtdo também valores egatvos depededo de qual lado da parede que o poto fca O domío orgal de dstâca era o cojuto de pares de potos Mas, podemos esteder o domío cludo pares de plaos e potos A dstâca de um poto a um plao defmos como a meor dstâca etre e potos do plao odemos costrur o mesmo tpo de sstema de coordeadas com a ajuda da lguagem vetoral que fo troduda as secções ara sto escolhemos algum poto fo o espaço físco E, que chamaremos de orgem, e atrbuímos a este poto o símbolo O Com este poto podemos assocar um vetor r O (171) ( ) Def a cada poto Este vetor será chamado de vetor posção do poto Quado é e escrever claro de qual poto se trata vamos também omtr a dcação ( ) somete r Agora vamos escolher uma base ortoormal { ˆ, ˆ, ˆ} o espaço uversal U É costume substtur a usual seta por um aceto crcufleo para dcar que se trata de um vetor com módulo 1 Etão quado lermos um vetor com crcufleo sabemos automatcamete que ele é um vetor do espaço U, pos vetores de outros espaços ão podem ter um módulo 1 Escrevedo o vetor posção a base { ˆ, ˆ, ˆ} geramos três valores o espaço de valor da gradea dstâca, e estes servem como um sstema de coordeadas: 1 Uma k-upla é uma seqüêca ordeada de k elemetos Esta oção é uma geeralação do par ordeado, podedo ter mas de dos elemetos e podedo ter como úmero de elemetos uma varável qualquer como, k, ou qualquer outra letra 42

2 r ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) + ( ) + ( ) (172) De ovo, quado é evdete de qual poto estamos falado, omtremos a dcação ( ) : r ˆ + ˆ + ˆ (173) Sstemas de coordeadas costruídos desta forma com uma base ortoormal se chamam coordeadas Cartesaas ara cohecermos o coceto de sstema de coordeadas de forma mas completa eploraremos agora possíves alteratvas ão muto váves a título de cotra-eemplo rmero podemos pesar em acrescetarmos mas coordeadas oderíamos usar uma quarta coordeada, por eemplo, o módulo do vetor posção Mas, logo se percebe que esta quarta coordeada ão tra ehum beefco, pos a tarefa de localar os potos o espaço já é perfetamete resolvda com as coordeadas, e Será que esta tarefa poder-se-a resolver com meos de três gradeas? Surpreedetemete sto é de fato possível Vamos escrever os valores das coordeadas, e em termos de alguma udade de dstâca, por eemplo como múltplos do metro: m, m, m, (174) odemos escrever cada um dos úmeros, e em forma decmal:, , , Destes três úmeros decmas, podemos formar um úco úmero decmal def (175) ζ, (176) Iversamete, podemos determar três úmeros, e ζ ζ ζ, ζ ζ ζ ζ ζ ζ, ζ ζ ζ ζ ζ ζ, ζ ζ ζ , para cada valor de ζ : (177) Cada valor de ζ determe uma tera de valores e de forma úca e, de sua ve, esta tera determa um poto o espaço físco de forma úca Etão resolvemos a tarefa de caracterar os potos do espaço com os valores de uma úca gradea udmesoal ζ Mas, o espaço físco ão é apeas um cojuto de potos Ele tem também uma estrutura geométrca Evdetemete as coordeadas Cartesaas têm uma relação smples com esta estrutura Cotraramete, a localação dos potos através da gradea ζ esta estrutura fcou despedaçada ou pcada até fcar completamete rrecohecível ara a costrução de coordeadas, ão vamos tolerar este tpo de localação de potos Etão temos que especfcar quas são as egêcas de smplcdade que um sstema de coordeadas deva satsfaer ara faer sto vamos prmeramete jutar as gradeas G1, G2,, G que faem parte do sstema de coordeadas K1, K2,, K uma úca 43

3 gradea G odemos arrumar os valores de uma -upla g1, g2,, g uma mat colua g1 g2 g e defr a soma deste objetos da forma usual g1 f1 g1 + f1 g2 f2 g2 + f2 + Def g f g f + (178) (179) Isto defe a ova gradea G que tem um espaço de valores de dmesões que é a soma dreta dos espaços V1, V2,, V VG V1 V2 V (171) O sstema de coordeadas pode ser epresso por um mapeameto K : E V G tal que K1 K2 K ( ) (1711) K ( ) Na verdade vamos ser até meos egetes Um sstema de coordeadas ão precsa fucoar ecessaramete para todo o espaços E Basta que a fução K seja defda em algum subcojuto aberto A de ( ) ( ) G E ; K : A V Etão este sstema de coordeadas fucoara apeas detro de A Agora mage um poto qualquer em A ara potos uma pequea vhaça de vamos egr que a varação dos valores de K possa ser apromada por uma fução lear e bjetva do vetor deslocameto Temos que eplcar o que queremos der com essa egêca The two pots ad determe two -tuples of values of the coordates: 44

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K1 K1 K2 K2 K ( ), K ( ) (1712) K K ( ) The value space VG V1 V2 V s a lear space ad so the dfferece K ( ) K ( ) s well defed O the other had we ca form the dsplacemet vector of the two pots ad So the tours that start at pot ad eds at pot defe a mappg of a vector space D to the lear space V G We could requre from our coordates that ths mappg s alwas lear oderíamos egr das ossas coordeadas que este mapeameto seja sempre lear But ths would be a ver strog requremet Let us be a lttle more geerous ad requre ol that leart s vald as a lmtg case whe the pot approaches the pot Ths ca be formulated a formal wa as follows: For a a D ad ε wth ε let a, ε be the pot such that ε a a, ε The we requre that there ests a lear mappg dk : D V G, whch we shall call the dfferetal of the fucto K, so that { K ( a, ε ) K ( )} dk [ εa] lm ε ε (1713) for all a D Nesta fórmula escrevemos a aplcação do mapeameto lear dk o vetor a dk εa Se esta codção for válda em todo o domío A da ε como [ ] fução K chamaremos a fução de dferecável Na secção 12 mecoamos que os mapeametos leares podem ser escrtos como multplcações Etão se cosegurmos d εa d ε a K K εa escrever um K [ ] a forma de algum produto [ ] chamaremos o objeto K de dervada da fução K o poto ara um sstema de coordeadas vamos egr ão apeas que estes mapeametos leares dk estam, mas também que eles sejam bjetvas Veremos o eemplo das coordeadas Cartesaas Neste caso o mapeameto lear dk ão é apeas uma apromação lear, mas a própra dfereça K ( εa ) K ( ) depede learmete do vetor εa Etão para o caso cartesao temos: ε a ˆ Cartesao Cartesao Cartesao d [ a] ( ) ( ) ˆ K ε K εa K ε a (1714) ε a ˆ O valor ε a ˆ é a mudaça que a coordeada sofre quado os deslocarmos do poto até o poto a, ε odemos escrever este valor como a aplcação do 45

5 mapeameto lear d o vetor εa Isto é ε a ˆ d[ ε a] Aalogamete podemos escrever as demas compoetes como aplcações de dferecas; ε a ˆ d[ ε a] e ε a ˆ d ε a Etão o caso Cartesao temos [ ] d Cartesao K d (1715) d d ara um sstema de coordeadas qualquer temos K1 K1 K1 d + d + d K2 K2 K2 d + d + d dk (1716) K K K d + d + d Nesta epressão as dervadas parcas são todas calculadas o poto Na verdade as fuções K1, K2,, K eram defdas o espaço físco E e ão o espaço de teras de valores de dstâcas Mas, como cada tera de valores,, determa um poto,, E de maera úca, podemos defr dervadas parcas em relação a, e de uma fução defda em E ; F F lm Def ε ( ) F,, ( +ε,, ) ε (1717) e as dervadas e aalogamete A egêca que dk seja bjetva para um sstema de coordeadas mplca medatamete que o úmero de coordeadas tem que ser três Com sto elmamos qualquer coordeadas redudates A egêca de leardade local elma estas pcotages que femos o osso cotra-eemplo (177) Veremos um eemplo de sstemas mportate de coordeadas Coordeadas esfércas Como o caso das coordeadas Cartesaas, escolhemos uma orgem O o espaço E e caracteramos um poto pelo seu vetor posção Mas este vetor ão ˆ, ˆ, ˆ, mas pelo seu módulo caracteramos pelas compoetes a base { } 46

6 r Def r, pelo âgulo etre r e ẑ e pelo âgulo que a projeção ortogoal do vetor r o plao - fa com o vetor ˆ r r, θ ˆ, r, ϕ ˆ, r ˆ ˆ r (1718) def def def ( { }) ( ) ( ) Como os potos do espaço E tem uma relação um a um com os teras de valores,, podemos escrever as coordeadas r, θ, ϕ como fuções de, e ou versamete, podemos escrever, e em temos de r, θ e ϕ Aqu damos esta seguda trasformação: ( ) cos( ) ( ) se ( ) ( ) r se θ ϕ r se θ ϕ r cos θ (1719) E podemos escrever o própro vetor posção em termos das coordeadas r, θ e ϕ : r ˆ r se θ cos ϕ + ˆ r se θ se ϕ + ˆ r cos θ (172) Fg 172 Coordeadas esfércas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ ϕ Nesta fórmula o ídce ara um sstema de coordeadas K podemos defr sstemas de bases vetoras assocadas pelas dervadas parcas do vetor posção escrtos como fução dos valores g 1, g 2 e g 3 das coordeadas r K (1721) def g gão g ão sgfcas que a dervada parcal deve ser tomada como cosderado os valores das coordeadas que ão são a coordeada costates epare que este sstema de vetores báscos em geral depedo do poto Sstemas de coordeadas que resultam em bases assocadas de vetores ortogoas são chamados de coordeadas ortogoas Estas são sstemas de coordeadas as quas as lhas de coordeadas se cruam sempre de forma perpedcular Isto é o caso das coordeadas esfércas As lhas de coordeadas são as lhas que obtemos varado uma das coordeadas e matedo as outras duas costates A fgura 172 mostra as três lhas de coordeadas que passam pelo poto represetatvo ara sstemas de coordeadas ortogoas vale o esforço de ormalar os vetores báscos assocados ara coordeadas ão ortogoas sto ão fara muto setdo Etão defese para coordeadas ortogoas bases ortoormas: K 47

7 Kˆ def r g r g (1722) Eercíco: (a) Calcule as bases ortoormas { ˆ, ˆ, ˆ} { ˆ, ˆ, ˆ} r θ ϕ epressado estes vetores a base orgal (b) Mostre que esta base é ortoormal (ou melhor, estas bases são ortoormas, pos a base depede da posção e etão são váras bases) (c) Imaga que uma partícula se move e este movmeto é descrto por uma fução r ( t) Escreva r ( t), v ( t) r ( t) dr / dt e a ( t ) v ( t ) em termos das gradeas r, θ, ϕ, r, θ, ϕ, r, θ, ϕ, rˆ, θˆ, ϕˆ (d) Faça os mesmos cálculos para coordeadas clídrcas Ρ, ϕ, (a prmera letra é um ρ maúsculo) que se relacoam com as coordeadas Cartesaas da segute maera: cos ( ), se ( ) Ρ ϕ Ρ ϕ e alterada 48