5. Funções teste. L 2 ( )= {u :? ; Borel mensurável com u 2 dx < 8 }

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1 5. Fções teste Até agora estvemos tratado tesvamete com a tegração. Uma cosa qe temos vsto é qe, cosderado espaços das, podemos pesar as fções como fcoas. Vamos rever brevemete esta déa. osdere a bola tára em, = {x R ; x = }. osdero a bola tára fechada pos qero tratar com m espaço métrco compacto.temos tratado com dversos espaços Baach de fções em, por exemplo : = { :? ; cotío} L )= { :? ; Borel mesrável com dx < 8 } Aq, como também o qe sege, dx é a medda de Lebesge e as fções são detfcadas se forem gas em qase toda parte. Sedo compacto temos ma clsão atral 5.) )? L ). Esta é também ma clsão topológca, o sea m mapeameto lear lmtado, pos 5.) L = ode é o volme da bola tára. Em geral se tvermos tas codções etão Lema 5.. Se V.? U é m sb espaço com a mas forte orma, ϕ ϕ V ϕ V etão a restrção forece m mapeameto lear coto 5.3) U? V, U L? L ~ = L V V, L ~ V = L U Se V é deso em U etão o mapa 5.3) é etvo. Prova. Pela defção da orma dal ~ ~ L = sp{ L v V ) ; v, v V } ' V sp{ L ~ v) ; v U, v V} sp{ L ) ; U, U} = L U '

2 Se V U é deso etão o desaparecmeto de L : U? desaparecmeto em U. em V mplca o se Voltado para o caso partclar 5.) obtvemos de fato m mapa coto etre os espaços das L B ) L B )' B )' = M B ) Aq samos o teorema da represetação de Resz e a daldade para os espaços de Hlbert. O mapa tlzado aq é sposto ser lear e ão atlear o sea, 5.4) L B ) g gdx B ))' Portato a déa é fazer o espaço das fções teste tão peqeo qato for razoavelmete Possível, eqato ada se retém a desdade em espaços razoáves. Lembre qe ma fção :? é dfereçável em x se exste a tal qe 5.5) x) - x ) - a x - x ) = o x - x ). A otação o peqeo tlzada aq sgfca qe dado.> exste d > s.t. x - x < d x) - x ) - ax - x ) < x - x. Os coefcetes de a = a,..., a ) são dervadas parcas em x, a = x) desde qe 5.6) a x te ) x ) lm, t t = e =,...,,,..., ) sedo o -ésmo vetor base. A fção é dta ser cotamete dfereçável em se for dfereçável em cada poto x e cada das dervadas parcas são cotas, 5.7) : R Defção 5.. Sea ) o sbespaço de ) = ) tal qe cada coto ) é cotamete dfereçável e ), =,...,. Proposção 5.3. A fção é ma orma em = x x = ) qe é cosderado m espaço de Baach.

3 Prova.. Qe é ma orma sege a partr das propredades de. Mas precsamete = certamete mplca em =, a.= a e a desgaldade do traglo sege a partr da mesma desgaldade para. Smlarmete, a prcpal parte da completvdade de ) sege a partr da completvdade ). Se { } é ma seqüêca de achy em ) etão e são achy em ). Sege qe exstem lmtes destas seqüêcas, v, v ) v otdo temos qe verfcar se v é cotamete dfereçável e qe = v Uma forma de fazer sto é tlzar o teorema fdametal de calclo em cada varável. Portato t x te ) x se ) ds x) = Qato? 8 todos os termos covergem e portato,pela cotdade da tegral, t x te ) = v x se ) ds x) Isto mostra qe o lmte a 5.6) exste, portato v x )é dervada parcal de em relação a x. Resta somete mostrar qe é de fato dfereçável em cada poto e sto e dexo para você Problema 7. Portato,qase por defção, temos m exemplo do Lema 5., ). Portato sabemos qe )).? )) )? e esperamos qe sea etva. Portato exstem mas fcoas em ) cldo cosas qe são mas sglardades qe meddas. Um exemplo relacoado com o delta de Drac d x ))= x ), ), mas precsamete ) x) Este é claramete m fcoal coto lear para o qal é sfcete dcar δ x). Porqe paramos em ma dervada? Defção 5.4. O espaço reqeredo qe ) ) = é defdo dtvamete

4 x ), =,,. A orma em ) é tomada para ser 5.8) = c c = Estes são todos espaços de Baach, pos se { }é achy em ), é achy e portato covergete ), como é, =,..., -. Além dsso os lmtes de são as dervadas dos lmtes pela Proposção 5.3. Isto os da ma seqüêca de espaços qe se toram cada vez mas savzados ) ) ), com ormas cada vez maores. Os das também se toram cada vez maores a medda qe ameta. Tal como olhamos as fções se torarem cada vez mas reglares, temos qe pesar acerca do fto, pos ão é compacto. Observe qe m elemeto g L R ) em relação a medda de Lebesge por defalt)defe m fcoal em ) e portato todos os )s. Portato ma fção tal como a fção costate ão é tegrável em. osderado qe qeremos falar a respeto dsso, e a respeto de polômos,temos qe cosderar ma segda codção da peqeez o fto. Vamos fazer 5.9) x = x ) / ma fção co tamaho de x para x grade, mas tem a vrtde de ser reglar Defção 5.5. Para qalqer, l N = {,, } faça x -l ) = { ); = x -l v, v )}, Observe qe a defção apeas dz qe = x -l v, com v medatamete qe x -l )é m espaço de Baach com esta orma. ). Seg-se Defção 5.6. O espaço deschwartz das fções de teste em é SR ) = { :? ; x -l ) para todo e l }. É medatamete aparete qe este espaço é ão vazo; qe Exp - x ) S ) É o Problema 9.

5 A déa de Schwartz é qe o dal de S ) poderá coter todos os obetos teressates, pelo meos aqeles de crescmeto polomal. O problema é qe os ão temos ma orma em S ). Melhor dzedo temos mtas delas. Observe qe x -l ) x -l ' ) f l l ad Portato vemos qe como espaço lear 5.) S ) = I x ) Desde qe estes espaços se toram cada vez meores, temos m úmero cotávelmete fto de ormas. Por este razão S ) é deomado espaço cotávelmete ormado. Proposção 5.7. Para S ), faça 5.) ) = x e defa 5.) d, v) = = v ) v ), etão d é ma fção dstâca em S completo. ) com relação a qal é m espaço métrco Prova. A sére em 5.) certamete coverge, pos v ) v ) As prmeras das codções a métrca são claras, d, v) =. - v = = v, e a smetra é medata. A desgaldade do traglo é talvez mas msterosa! ertamete é o bastate mostrar qe ~ v 5.3) d, v) = v é ma métrca em qalqer espaço ormalzado, podedo etão somar sobre. Portato temos qe cosderar Vea Problema 8. Laret Schwartz este é com t.

6 v v v w v w v v w ) v w v ) v ) v w ) omparado sto com d ~ v, w) temos qe mostrar qe v v w ) ) w v v w ) v w v )) w ) Icado a partr de LHS e sado a desgaldade do trâglo, LHS =. w v v w v v w ) w v v w v v w ) w ) = RHS. Portato, d é ma métrca. Spoha qe é ma seqêca de achy. Portato, d, m ) qado, m. Em partclar, dado > N s.t., m > N mplca d, m ) < -, m > N. Os termos em 5.) são todos postvos, portato sto mplca em m ) <, m > N. Se < ½ sto por sa vez mplca qe <, m ) m portato a seqüêca é achy em x - ) ). A partr da completvdade destes espaços sege qe? em x - ) para cada. Dado > escolha tão grade qe - < /. Etão N s.t. > N. < / > N,. Portato d ) ), v) = ) /4 - <. Este? em S ). Uma dscssão de c ) devera ser feta este mometo. ) )