3 Modelos Lineares Generalizados

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1 3 Modelos Leares Geeralzados No capítulo foram cosderados apeas modelos leares com dstrbução ormal e fução de lgação detdade. Neste capítulo apresetamos os modelos leares geeralzados (MLG, que foram propostos por Nelder e Wedderbur (97. Prmero vemos quas as dstrbuções de probabldade usadas os MLG. Em seguda vemos qual é a estrutura formal dos MLG. Nas seções segutes mostramos como são fetos a estmação e o teste de sgfcâca dos parâmetros, como é verfcada a adequação do modelo e também mostraremos o que são a Quase-Verossmlhaça, Quase-Verossmlhaça Estedda e Quase- Verossmlhaça Restrta. 3.. Dstrbuções de Probabldade Os MLG foram propostos para aplcações ode a varável de resposta pode ser represetada por alguma dstrbução da famíla de epoecal, As fuções desdade de probabldades das dstrbuções da famíla de epoecal podem ser epressas a forma: b( θ ( φ θ f ( ; θ, φ ep + c(, φ (3. a ode a(φ b(θ e c(,φ são fuções específcas. O parâmetro θ é o parâmetro de localzação e φ é o parâmetro de dspersão, mutas vezes deomado σ. Podese mostrar que a méda e a varâca da resposta são dadas por db( θ E ( e dθ d b( θ var a dθ ( ( φ. A parte da varâca de Y que ão depede de a(φ é dada por var( d b( θ V ( a( φ dθ d dθ

2 67 que represeta a parte da varâca de que depede da sua méda. A fução V( é deomada fução de varâca. Assm, a varâca de é um produto de dos fatores, um que depede da méda e outro, a (φ, que ão depede. As prcpas dstrbuções pertecetes à famíla epoecal são: ormal, gama, Posso, bomal, e ormal versa. Apresetamos a segur a fução desdade de probabldade e as fuções a(φ, b(θ e c(,φ específcas de cada uma destas dstrbuções. a Dstrbução ormal f ( ;, σ ep ep l σ Comparado com a Equação (3. obtemos: πσ ( πσ ( σ σ θ ; b + σ ( θ ; a( φ φ; φ σ ; c(, φ l( πσ Méda e varâca de : b Dstrbução gama f db( θ d θ d b( θ dθ E ( ; var( a( φ σ ( ;, α Γ ( α α epα lα α l ˆ + - l( ep + α l α Etão θ ; c b α α e α ( α ( α l lγ( α α ( α + ( α l( lγ( α ( θ l ( ; a( φ φ; φ ; α α (, φ αl( α + ( α l( lγ( α

3 68 Méda e varâca de : db( θ d θ E ( ; ( c Dstrbução de Posso f Etão ( ; ep d b( θ var a( φ φ dθ α e! [ l ( ] l (! ( ; b( θ ; a( φ φ; φ ; c(, l(! θ l φ Méda e varâca de : d Dstrbução bomal Etão db( θ d θ d b( θ dθ E ( var ( a( φ f ( ; ( ep l + l ( + l θ l ; b ( θ l( - ; a( φ φ; φ ; c(, φ l Méda e varâca de : db( θ d θ d b( θ var dθ E ( ; ( a( φ ( e Dstrbução ormal versa Etão θ f ( ( ˆ ;, σ ep πσ + ep - σ σ 3 - l σ ˆ 3 ( πσ 3 ( θ ; a( φ φ; φ σ ; c(, φ l ( πσ ; b σ

4 69 Méda e varâca de : db( θ d θ d b( θ dθ 3 3 E ( ; var( a( φ. φ σ Observamos que, uma vez escolhda a dstrbução de probabldade, mplctamete são defdas: a fução de varâca V(, que é a parte da varâca da resposta que depede da méda, e o parâmetro de dspersão φ, que ão depede da méda e é costate para os membros da famíla epoecal. Assm, ( φv ( var. 3.. Estrutura dos MLG Cosdere um epermeto com os dados da Tabela 3., com respostas depedetes. Tabela 3. - Dados para o Modelo.... k... k... k k Temos etão que:. Sejam,, K, as varáves de resposta com médas,, K,.. A dstrbução de probabldade de é um dos membros da famíla epoecal. 3. A porção sstemátca do modelo é composta pelas varáves de regressão,, K, k. 4. O modelo é costruído com um predtor lear η β L + + β + β + β 0 k k.

5 70 5. A fução de lgação g( faz a lgação etre a méda e o predtor lear. A fução de lgação defe a forma com que os efetos sstemátcos de,, K, k são trasmtdos para a méda. ( ( β + β + β + β η g L+ 0 Note que, o caso partcular da regressão lear, a fução de lgação é a detdade, ou seja, η Observe-se que a méda da resposta é k k ( η g ( β + β + β + L β g + 0 k k (3. A fução de lgação é deomada caôca quado η θ Segudo Mers e Motgomer (00 a utlzação da fução de lgação caôca mplca em algumas teressates propredades, mas sso ão quer dzer que ela deva ser utlzada sempre. A sua escolha é coveete porque ão só smplfca as estmatvas de máma verossmlhaça dos parâmetros do modelo, mas, também, o cálculo do tervalo de cofaça para a méda da resposta. Cotudo, a coveêca ão mplca ecessaramete em qualdade de ajuste do modelo, o que é mas mportate. Na Tabela 3. apresetamos as lgações caôcas da famíla epoecal. Tabela 3. - Lgações Caôcas para os MLG. Dstrbução Lgação Caôca ormal η Posso η l bomal η l ( π /( π gama η / ormal versa η / A seleção da fução de lgação em MLG pode ser vsta como o equvalete da escolha da trasformação da resposta o modelo lear de regressão. Etretato, é mportate fcar claro que a fução de lgação trasforma, a méda de, e ão a resposta.

6 7 Como alteratva à fução de lgação caôca, pode-se, smlarmete à trasformação da resposta, defr uma famíla de fuções de lgação de potêca η λ η l, para λ 0 e para λ Estmação dos Parâmetros A estmação dos parâmetros é feta através da mamzação da fução de log-verossmlhaça: e L ll ( ; θ, φ l f (, θ, φ [ θ b( θ ] a( φ + c (, φ Dervado a fução L em relação aos parâmetros β, tem-se Mas, L dl dθ η. β dθ η β d ( θ dl db dθ a( φ dθ a η β. ( [ ] φ ode é o vetor das varáves regressoras para a resposta. Etão Nos MLG, a(φ φ costate. L d θ β a( φ dη Igualado-se a zero, obtêm-se as equações-escore: ( 0 dθ (3.3 dη Caso haja opção pela lgação caôca toram-se mas smples: η θ, etão, as equações-escore ( 0 Para estmar os parâmetros temos que resolver as Equações (3.3.

7 7 Os aspectos computacoas da solução das equações-escore podem ser ecotrados em Mers, Motgomer e Vg (00, apêdce A6. Estes autores demostram que a estmação dos parâmetros, pela solução das equações-escore, pode ser obtda com o algortmo descrto a segur Algortmo para Estmar os Parâmetros. O algortmo para obter a estmatva de máma verossmlhaça é deomado algortmo dos mímos quadrados poderados teratvo (MQPI. No algortmo fazemos uso da equação ( ( ( ( ( m m m m ˆ z X W X X W β + (3.4 ode m refere-se à teração; ( m ˆβ é a estmatva do vetor de parâmetros a teração m. ( m ( k m ( m ( m ˆ ˆ ˆ ˆ β β β M β X é a matrz dos valores das varáves de regressão k k k L M L M M L L X W é a matrz dos pesos ( ( ( ( m m m m w w w L M L M M L L W

8 73 cujos elemetos da dagoal, ( m w, são dados por: w ( m var ( η ( m,, K, (3.5 e z é o vetor das varáves de ajuste a m-ésma teração ( m z ( z ( z M ( z m m m com seus elemetos dados por z ( ˆ ( m ( m ( m ( m η ˆ η +,, K,. (3.6 Eamado a Equação (3.6, e lembrado que η e depedem de β através da Equação (3., vemos que a Equação (3.4 é recursva. Em cada teração, o vetor da estmatva dos parâmetros ( m+ ˆβ é calculado como uma fução das estmatvas aterores ( m ˆβ. Na eperêca do autor desta tese, quado forecemos uma solução cal adequada, o algortmo coverge rapdamete. Mas adate descrevemos como obter uma solução cal adequada. A Fgura (3. mostra as depedêcas fucoas, e a Fgura (3. mostra a seqüêca de passos do algortmo, o qual é detalhado mas adate, a apresetação do Cclo Iteratvo.

9 74 X ( ˆ m η ( ˆ m (0 ˆ W (m z (m (0 ˆη X e : costates (dados ( m+ ˆβ Fgura 3. Depedêcas Fucoas ( ˆ m η ( ˆ m z (m W (m ( m+ ˆβ cremeto m NO covergêca? YES Fgure 3. Algortmo MQPI βˆ b (m+

10 Cclo Iteratvo Começamos com a descrção do cclo teratvo; e etão, mostramos como é feta a estmatva cal de ( βˆ para ser usada a prmera teração. Seja a m- ésma teração para estmar ( m ˆβ, o vetor de parâmetros, proveete das estmatvas de η,, z ad W. Esta teração terma com a atualzação do estmador ( m+ ˆβ, que va ser usado a próma teração. Passo : Calcular o vetor ˆ η ( m ( m ˆ ( m ˆ η η M ˆ η ( m k Xβˆ ( m Passo : Calcular o vetor ˆ ˆ ( m ( ˆ ( ˆ M ( ˆ k ode cada m m m (m ηˆ : (m ˆ é obtda com a Equação (3. ( η g ( β + β + β + L β g + 0 k k. Passo 3: Calcular o vetor z. z ( ˆ ( m ( m ( m ˆ η + η ( m,, K, Passo 4: Calcular os elemetos da dagoal da matrz W, dados pela Equação (3.5: w ( m var ( η ( m,, K, Passo 5: Atualzar a estmatva do vetor βˆ : β ( m ( m ( m ( X W X X W z ( m +

11 76 Passo 6: Testar a covergêca do algortmo, verfcado se alguma medda aproprada (prevamete defda da dstâca etre ( m+ ˆβ e ( m ˆβ é meor do que uma tolerâca especfcada. Se já houve covergêca, FIM do algortmo. Se ão, cremetar m e retorar ao Passo, para a próma teração. Não há uma maera úca e geral para obter a estmatva cal βˆ (. A mas comum a qual sempre adotamos é estmar ( βˆ a partr de uma estmatva cal usada é ( 0 ˆ. ( 0 ˆ para o vetor da méda. Uma estmatva cal muto Note que o Cclo Iteratvo a obteção de a estmatva cal ( m ˆ costtu o Passo ; portato, ( βˆ pode ser obtda a partr da estmatva cal ( 0 ˆ, eecutado os Passos 3, 4 e 5. Também é ecessáro calcular os valores de ( ( 0 ( 0 ˆ η g ˆ, porque o Passo 3 requer uma estmatva de η. Para um eemplo, ver Vera e Epprecht (004, que clusve mostram como aplcar o algortmo usado uma plalha Ecel. São mostradas todas as terações do algortmo até a covergêca Teste de Sgfcâca dos Coefcetes Seja βˆ o vetor dos parâmetros estmados. Para a famíla epoecal, podese demostrar que a matrz de covarâca de βˆ é ( ˆ [ X WX] σ covβ (3.7 ode W é a matrz dagoal cujos elemetos são dados pela Equação (3.5. A título de comparação, observe-se que, para o caso do modelo lear com cov ˆ X X MQ, a matrz de varâca-covarâca de βˆ é ( β [ ] Para esta seleção de parâmetros, em modelos leares com dstrbução ormal, é comum usar a estatístca σ t0 ˆ β var j ( ˆ β j

12 77 que segue a dstrbução t-studet. Algus softwares forecem esta estatístca para testar parâmetros em modelos ão ormas, e forecem o P-valor referete à dstrbução t para a decsão de clur ou ão o parâmetro o modelo. Acotece que para modelos ão ormas a dstrbução t é uma apromação para a dstrbução da estatístca, apromação esta que pode ão ser boa mesmo com amostras grades, com resultados egaosos (Ldse 997. Etretato, a estatístca t 0 pode ser útl para dcar coefcetes sgfcatvos ou ão sgfcatvos. Um valor elevado de t 0, dgamos maor do que três, é uma dcação de sgfcâca, em geral, para qualquer dstrbução de probabldade. Por outro lado, um valor pequeo de t 0, dgamos meor do que um, é uma dcação de ão sgfcâca, em geral, para qualquer dstrbução de probabldade Devace Para testar a sgfcâca dos coefcetes, Atkso e Ra (000, Ldse (997 e McCullagh e Nelder (989 recomedam usar a fução desvo (devace. A devace está para o método dos MLG como a soma dos quadrados dos resíduos está para o método dos MQ. A devace de um modelo qualquer é defda como sedo o desvo deste modelo em relação ao modelo saturado, coforme a defção: L D l L ode L Mod é a fução de máma verossmlhaça do modelo em questão e L Sat é a fução de máma verossmlhaça do modelo saturado, que é o modelo para o qual os valores ajustados escrever Mod Sat ˆ são guas às respostas observadas. Podemos etão (, ˆ (, L D (, ˆ l [ l L(, ˆ l L(, ] (3.8 L

13 78 As devaces para os membros da famíla epoecal são: Dstrbução ormal: ( ˆ Dstrbução de Posso: [ l( ˆ ( ˆ ] Dstrbução bomal: { l( ˆ + ( m l[ ( m /( m ˆ ]} Dstrbução gama: [ l( ˆ + ( ˆ / ˆ ] Dstrbução ormal versa ( ˆ ( ˆ Observe-se que o caso da dstrbução ormal a devace é a soma dos quadrados dos resíduos. Ldse (997, pág., demostra que D ( ˆ, tem, asstotcamete, dstrbução χ com p graus de lberdade, sedo o úmero de observações e p, o umero de parâmetros do modelo. O procedmeto recomedado é a aálse de devace, proposta, mas ão detalhada, por McCullagh e Nelder (989. Este procedmeto é o equvalete, para os MLG, à aálse de varâca os modelos baseados os MQ. Como fo vsto em MQ, usamos a soma dos quadrados dos resíduos para testar a sgfcâca dos estmadores. Em MLG vamos usar o teste de razão de logverossmlhaça, ou dfereça de devace, de dos modelos. Ldse (997, pg. 4, recomeda o procedmeto de aálse de devace com base a dfereça de devaces, como descrto a segur. parâmetros Supoha o Modelo como sedo o saturado, o Modelo com p+ β K, β p, β e o Modelo 3, ahado o Modelo, com p 0, p parâmetros β 0, K, β p. Vmos que as devaces dos modelos e 3 são: D D 3 ( ( (, ˆ [ l L ( ˆ, l L (, ] (3 (3 (, ˆ { l L (, ˆ l L (, } 3

14 79 Etão, a dfereça etre os desvos devaces dos modelos 3 e é: D 3 (3 ( (3 ( (, ˆ D (, ˆ [ l L3 (, ˆ ] + [ l L (, ˆ ] (3 L ( ˆ ( 3, l ( L ˆ, Ldse demostra que esta dfereça segue, apromadamete, a dstrbução χ quado o modelo 3 é correto. Ademas, D (, ˆ o Modelo 3 é correto. F,-p. 3 segue, apromadamete, a dstrbução χ p quado Portato, se o Modelo 3 for correto o quocete abao segue a dstrbução F ( D (, ˆ D (, ˆ 3 0 ~ F D3, p (, ˆ p (3.9 Etão, para uma seqüêca de k modelos ahados, podemos calcular as devaces: D (, ˆ ( j,, Kk j e proceder aos testes de sgfcâca costrudo uma tabela de ANODE (ANalss Of Devace smlarmete à tabela de ANOVA. Um eemplo, mas adate, será lustratvo. Eemplo 3. Na Tabela 3.3 apresetamos os dados de um epermeto fatoral 4 que fo gerado a partr do modelo 0, , , , , , 00 3 (3.0 Portato, a fução de lgação é a versa. A dstrbução de probabldade escolhda fo gama com parâmetro de dspersão φ 0, 0. Para gerar aleatoramete os dados, usamos a versa da dstrbução gama acumulada (INVGAMA da plalha Ecel, que usa a parametrzação com α e β, ode α φ 00 e β α 00.

15 80 Para sto ecesstamos de 6 úmeros aleatóros uformes etre zero e um, os quas foram gerados o software S-Plus a partr da semete Portato, temos que INVGAMA{Uforme [0, ]; 00; β } Tabela Dados do Epermeto. 3 4 Uforme [0, ] β ,83 0,8835 0,588 65, ,48 0,469 0,4348 4, ,3 0,4748 0, , ,65 0,38 0,564 4, ,04 0,30 0, , - - 8,87 0,060 0,887 5, ,6 0,509 0,96 9,56 -,99 0,684 0,99 3, ,83 0,063 0,588 53, ,48 0,466 0, , ,3 0,80 0,3030 3,94-5,65 0,938 0,564 4, ,04 0,8468 0, ,83-8,87 0,77 0,887 7,08-9,6 0,54 0,96 7,6,99 0,74 0,99,53 Na Tabela 3.4, forecda pelo software ARC, apresetamos as estmatvas dos coefcetes, o erro-padrão da estmatva e o quocete etre a estmatva e o erro-padrão. Os quocetes etre as estmatvas dos coefcetes de 4,, 4, 4 e 3 4 e seus respectvos erros-padrão têm valores ferores a um, dcado que esses coefcetes ão são sgfcatvos. Etretato, esta dcação ão é um teste formal. Vamos proceder à ANODE, que é um teste formal. Tabela Estmatva dos Coefcetes e Erro Padrão. Coefcete Estmatva Erro Padrão Estmatva/ErroPadrão Costate 0,0404 0,0078 3,88 X 0, ,005 8,05 X 0,0059 0,0095 8,59 X3 0, ,0075 0,7 X4-0, ,0047-0,05 XX -0, ,0005-0,04 XX3 0,0069 0,0063 5,3 XX4-0, , ,05 XX3 0, ,0038,08 XX4-0,0003 0, , X3X4-0, , ,87

16 8 As varáves, e 3 são claramete sgfcatvas. Começado com o modelo com estas três varáves vamos adcoado os termos que mas cotrbuem para o decréscmo o desvo devace (colua da tabela 3.5. Esta seqüêca e os respectvos devaces (colua 3 são forecdos pelo software ARC. Calculamos a dfereça o devace, ocasoada pelo acréscmo de cada termo (colua 4, calculamos a estatístca de teste F 0 (colua 5 e o P-valor desta estatístca (colua 6. Tabela Aálse de Devace (ANODE. ( ( (3 (4 (5 (6 Termo Graus de Dfereça o Estatístca Adcoado Lberdade Devace Devace F 0 P-valor X-X-X XX XX X3X XX XX X XX As terações 3 e 3 têm P-valor feror a 0,05, sedo cosderadas sgfcatvas. Reajustado o modelo com as varáves,, 3, 3 e 3, obtemos o modelo: ˆ 0, , ,003 0, , , Estmação do Parâmetro de Dspersão Em regressão lear estma-se σ com MLG é SS ˆ σ E. p Atkso e Ra (000, pág. 97, afrmam que o estmador aálogo para os (, ˆ D ˆ σ ˆ φ. p

17 8 Na Seção forecemos os estmadores de máma verossmlhaça de φ, para cada uma das dstrbuções da famíla epoecal. A estmatva do parâmetro de dspersão para o Eemplo 3. é (, ˆ ˆ D 0,0774 φ 0,0 p 6 0, que está de acordo com o valor φ 0, 0, com que os dados foram gerados. McCullagh e Nelder (989, pág. 96, afrmam que, para a dstrbução gama, este estmador e etremamete sesível à erros de arredodameto, quado as observações são prómas de zero. Eles recomedam o estmador pelo método dos mometos ode X é a estatístca de Pearso Adequação do Modelo ( ˆ ~ X φ. p p Como em regressão lear, os MLG, resíduos também são utlzados para verfcar a adequação do modelo. Para os MLG, McCullagh e Nelder (989, pág 39 defem város tpos de resíduos. Etretato, Perce e Schafer (989, ctados por Lee e Nelder (998, mostraram que, para o caso das dstrbuções da famíla epoecal, o resíduo devace é o que mas se aproma da dstrbução ormal e recomedam o resíduo devace studetzado para verfcar a adequação do modelo. Esses tpos de resíduos serão descrtos a segur Resíduo Devace Para cada resposta pode-se defr a devace d D (, ˆ. Como os MLG a devace é usada como medda de dscrepâca, etão cada udade cotrbu com uma quatdade d, de tal modo que d D(, ˆ. Defe-se etão o resíduo devace correspodete a cada resposta: D ( d r sal ˆ (3.

18 Resíduo Devace Studetzado Nos MLG a matrz chapéu é dada por (McCullagh e Nelder 989, pág 37: ( X W H W X X WX ode a matrz W é matrz dagoal, com os elemetos da dagoal prcpal dados por w var ( d. dη Os resíduos studetzados são etão defdos como r φˆ r D ( h (3.3 ode h é o -ésmo elemeto da dagoal da matrz H e ˆ φ D(, ( p a estmatva do parâmetro de dspersão. é A adequação do modelo e a estêca de observações atípcas podem ser observadas com o gráfco de probabldade ormal dos resíduos devace studetzados. Para o Eemplo 3., apresetamos a Fgura 3.3 esse gráfco com evelope, forecdo pelo software ARC. Fgura 3.3 Gráfco de Probabldade Normal com Evelope

19 84 Não observamos potos muto fora do evelope e ão observamos potos muto fora do alhameto. Por cosegute, ão há dcação de observações atípcas em de que o modelo seja adequado Verfcação da Adequação da Fução de Lgação A fução de lgação é verfcada através do gráfco dos resíduos studetzados versus valores ajustados. Na Fgura 3.4 temos esse gráfco para o Eemplo 3., forecdo pelo software ARC. Fgura 3.4 Gráfco do Resíduo Studetzado versus Valor Ajustado No gráfco em questão, os resíduos apresetam-se de forma desestruturada; sto é, eles ão cotêm ehum padrão óbvo, apresetado-se aleatoramete dstrbuídos. A lha resultate do amortecmeto (lowess é apromadamete horzotal e próma da reta horzotal de ordeada zero, dcado que a fução de lgação é correta Verfcação da Adequação da Fução de Varâca A fução de varâca é verfcada através do gráfco do valor absoluto dos resíduos studetzados versus valores ajustados. Na Fgura 3.5 temos esse gráfco para o Eemplo 3., forecdo pelo software ARC.

20 85 Fgura 3.5 Valor Absoluto do Resíduo Studetzado Versus Valor Ajustado Como fo vsto a Seção 3., a fução de varâca geralmete é defda como uma fução de potêca da méda: λ var ( quado a lha lowess cresce sstematcamete, da esquerda para a dreta, com o aumeto da méda, dca que deve-se usar um maor valor para λ do que o valor correspodete à dstrbução que fo usada o modelo, e quado decresce sstematcamete, dca a adequação de um meor valor para λ. Para o gráfco em questão, a lha resultate do amortecmeto (lowess apreseta crescmeto sstemátco da esquerda para a dreta a partr do 4 o resíduo. Etretato, observamos que ela é ocasoada essecalmete pelos dos maores resíduos (em valor absoluto, uma regão em que os potos são mas esparsos e, portato, a cofaça a forma da lha lowess é meor. Portato, ão devemos cosderar como dcação de fução de varâca correta Dstâca de Cook A dstâca de Cook para os MLG é forecda por Atkso e Ra (000: D rp h (3.4 p ˆ φ ( h ode p é o úmero de parâmetros e r P r P é o resíduo de Pearso studetzado. ˆ φ var ˆ ( ( h.

21 86 Na Fgura 3.6, forecdo pelo software ARC, temos o gráfco da dstâca de Cook. Não há dcação de observação fluete. Fgura 3.6 Gráfco da Dstâca de Cook Forward Search Na Fgura 3.7, apresetamos os resultados da FS da devace (à esquerda e da estmatva do parâmetro de dspersão σ (à dreta. As duas estatístcas crescem sem saltos, o que dca ão haver observações atípcas ou fluetes mascaradas. Devace m Parâmetro de Dspersão m Fgura 3.7 Gráfco da FS para a Devace e φˆ. Na Fgura 3.8, apresetamos o gráfco dos resultados da FS para os resíduos devace. Durate toda a FS ão há resíduos que se destaquem. Não há dcação de observações atípcas mascaradas.

22 87 Resíduo Devace m Fgura 3.8 Gráfco da FS para o Resíduo Devace 3.6. Quase-Verossmlhaça Até aqu, para a defção dos modelos, cosderamos ucamete as dstrbuções da famíla epoecal. Mutas vezes observa-se que ão é adequado escolher um dos membros de tal famíla. Para superar este problema, Wedderbur (974, ctado por McCullagh e Nelder (989, Cap. 9, defe a fução de quaseverossmlhaça, que tem certas propredades da fução de log-verossmlhaça. A déa é usar os mímos quadrados poderados pela varâca de : SQP ( ( ( φv ( var Para mmzar SQP, dervamos a epressão acma em relação aos coefcetes: dsqp dβ φv d ( dβ Igualado a dervada a zero, obtemos as equações-escore ( φv ( d d β 0. (3.5 Para estmar os coefcetes, temos que resolver as Equações (3.5. Mas adate abordaremos a resolução destas equações. A fução de quase-verossmlhaça para uma observação é Q, t φv ( t (3.6 ( dt

23 88 e, para as observações a fução de quase-verossmlhaça é t φv ( t (, Q (, Q dt. As dervadas dessa fução em relação aos coefcetes reproduzrão a Equação (3.5. Portato a fução de quase-verossmlhaça correspode à fução de log-verossmlhaça. A dfereça está em que quado se usa a fução de quaseverossmlhaça para estmar os coefcetes, apeas se defe a relação da varâca da resposta com a méda da resposta, ão sedo ecessáro defr uma dstrbução de probabldade. Para chegar à equação (3.5 ão é precso usar as propredades dos membros da famíla epoecal. Em partcular, se fzermos (, obteremos a Equação 3.3. θ V Ademas, a Equação (3.5, a fução-escore U, φv ( tem as segutes propredades: var ( E U ( U E 0, φv ( var φv ( U E φv (, var( [ φv ( ] φv ( [ φv ( ] φv ( que são propredades das fuções-escore das dervadas da fução de logverossmlhaça. Como fo vsto, a relação da fução de varâca com a méda pode ser represetada por uma fução de potêca V ( Usado a Equação (3.6 temos que: Para t 0 a fução de quase-verossmlhaça é Q (, t (

24 89 Para t a fução quase-verossmlhaça é ( Q (, l Para t a fução quase-verossmlhaça é ( Q (, l Para t 3 a fução quase-verossmlhaça é Q (, + Para t 0, e a fução quase-verossmlhaça é t Q (, t t Para a fução de varâca ( ( V a fução quase-verossmlhaça é Q + (, l l( Para t 0,, e 3, as fuções de quase-verossmlhaça correspodem, respectvamete, às fuções de log-verossmlhaça das dstrbuções ormal, de Posso, gama e ormal versa. Para V ( (, que é a fução de varâca da bomal, a fução de quase-verossmlhaça correspode a fução de log-verossmlhaça da bomal Estmação dos Coefcetes Como acabamos de ver, os casos acma, a mamzação da fução de quase-verossmlhaça produz as mesmas estmatvas dos coefcetes, portato, pode-se usar o mesmo algortmo de estmatva dos coefcetes, vsto a Seção Para outros valores da fução de varâca, que ão são guas aos da famíla epoecal, McCullagh e Nelder (989, pág. 37, descrevem um algortmo teratvo, smlar ao algortmo vsto a Seção 3.3.., e forecem a matrz de varâca-covarâca dos estmadores dos coefcetes: ( ˆ [ D WD] σ covβ (3.7 ode D é uma matrz p, cujos elemetos são β j.

25 Estmação do Parâmetro de Dspersão Segudo McCullagh e Nelder (989, pág. 38, a estmatva do parâmetro de dspersão é ode X é a estatístca de Pearso. ( ˆ X V ( ˆ p ~ φ (3.8 p Sgfcâca dos Coefcetes Para testar a sgfcâca dos coefcetes tem-se a estatístca quasedevace. A quase-devace está para a modelagem pela fução de quaseverossmlhaça como a devace para os MLG. Por aaloga, a quase-devace de um modelo qualquer é defda como sedo o desvo deste modelo em relação ao modelo saturado, coforme a defção: D ˆ, (3.9 V ( ˆ φ [ Q (, ˆ Q (, ] φ [ Q (, ˆ ] ode Q ( ˆ questão e ( ( ˆ, é a fução de máma quase-verossmlhaça do modelo em Q, é a fução de máma quase-verossmlhaça do modelo saturado, que é o modelo para o qual os valores ajustados respostas observadas. ˆ são guas às O procedmeto recomedado é a aálse de quase-devace. Este procedmeto é o equvalete à aálse de devace para os modelos baseados os MLG, como fo vsto a Seção Adequação do Modelo Como os MLG, resíduos são utlzados para verfcar a adequação do modelo. Para o método da quase-verossmlhaça, Lee e Nelder (998, recomedam utlzar o resíduo devace studetzado, apresetado a Seção 3.5.: r φˆ r D ( h Os gráfcos para verfcar a adequação dos modelos são os apresetados a Seção 3.5.

26 9 Eemplo 3. (cot. Neste eemplo os dados foram gerados a partr do modelo 0, , , , , , 00 3 A dstrbução de probabldade escolhda fo a dstrbução gama com parâmetro de dspersão φ 0, 0, cuja fução de varâca é V (. O modelo ajustado fo ˆ 0, , , , ,0063 0, Como lustração, vamos usar o mesmo modelo e, para estmar os parâmetros, a mamzação da fução de quase-verossmlhaça, com a fução de varâca V (. O software S-Plus foreceu o segute resultado para o modelo da méda: ˆ 0,04 + 0, , , , , 007 Observamos que os dos modelos são smlares. A modelagem com as fuções de varâca e, resultaram, pratcamete, a mesma estmatva dos coefcetes. A estatístca de Pearso é X,3870 e a estmatva do parâmetro de dspersão é 3 ˆ φ X p,3870 0, que é mas que o dobro do valor real 0,0. Isto se deve à fução de varâca adotada que fo e ão a real. Na Fgura 3.9 apresetamos o gráfco dos resíduos devace studetzados versus valores ajustados e o gráfco do valor absoluto dos resíduos de devace studetzados versus valores ajustados, ambos forecdos pelo software ARC.

27 9 Fgura Gráfco dos Resíduos Devace Studetzados versus Valores Ajustados (à esquerda e Gráfco Valor Absoluto do Resíduo de Devace Studetzados Versus Valor Ajustado (à dreta. No gráfco à esquerda os resíduos apresetam-se de forma desestruturada; sto é, eles ão cotêm ehum padrão evdete, apresetado-se aleatoramete dstrbuídos. A lha resultate do amortecmeto (lowess é apromadamete horzotal e próma da reta horzotal de ordeada zero, dcado que a fução de lgação é adequada. No gráfco à dreta a lha resultate do amortecmeto (lowess apreseta crescmeto da esquerda para a dreta. Isto dca que o epoete da méda a fução de varâca deve ser aumetado. Isto se deve à fução de varâca do modelo, V (, que ão é a real, V ( Quase-Verossmlhaça Estedda A fução de quase-verossmlhaça ão permte represetar os casos em que o parâmetro de dspersão φ vara coforme cada tratameto. Para esses casos, e McCullagh e Nelder (989 propõem a fução de quase-verossmlhaça estedda (eteded quas-lkelhood: d + Q + l πφ φ [ V ( ] (3. ode d é o quase-devace, dado por d t dt. V ( t

28 93 Na verdade, a utlzação da QVE pode ser vsta como um artfíco para os casos em que a fução de varâca ão eplca completamete a varabldade da resposta, quado etão o parâmetro de dspersão ão é costate para cada tratameto (como os MLG, mas depede dos fatores j. Um modelo para a dspersão é etão costruído para estabelecer esta relação de depedêca. Esta aplcação de QVE será vsta o Capítulo 5 a modelagem cojuta da méda e da varâca Estmação dos Coefcetes A mamzação da fução de quase-verossmlhaça estedda (QVE com relação a β será obtda com os estmadores de quase-verossmlhaça (QV, com pesos ou ada: φ, cujas equações-escore são Q β + ( φ V ( β 0 0 φ V ( η (3. cohecdos As equações-escore de QVE são as mesmas equações de QV com pesos φ. Portato, sabedo-se o valor dos pesos, para estmar os coefcetes, procede-se da mesma forma que em QV. Na Seção vmos que, para as dstrbuções da famíla epoecal, a mamzação da fução de QV e os MLG produzem as mesmas estmatvas dos coefcetes, portato, pode-se usar o mesmo algortmo de estmação dos coefcetes, vsto a Seção Como as equações-escore de QVE são as mesmas equações de quaseverossmlhaça (QV com pesos cohecdos φ, podemos usar o mesmo algortmo, vsto a Seção 3.3.., para resolver as Equações (3.. A úca dfereça está a Equação (3.5 que passa a ser w ( m φ V ( m,, K, ( η.

29 Estmação do Parâmetro de Dspersão Na quase-verossmlhaça estedda o parâmetro de dspersão φ é dferete para cada resposta, e é estmado com um modelo costruído para a dspersão, o que será vsta a Seção 5.4 a modelagem cojuta da méda e da varâca Sgfcâca dos Coefcetes McCullagh e Nelder (989, pág. 35, afrmam que a fução de quaseverossmlhaça estedda tem as mesmas propredades que a fução de quaseverossmlhaça. Portato, para testar a sgfcâca dos coefcetes adota-se o mesmo procedmeto descrto a Seção 3.6., com fução de quaseverossmlhaça estedda o lugar da fução de quase-verossmlhaça Adequação do Modelo Como os MLG, resíduos são utlzados para verfcar a adequação do modelo. Para o método da quase-verossmlhaça Lee e Nelder (998 recomedam os resíduos devace studetzados, apresetado a Seção Os gráfcos para verfcar a adequação são os apresetados as seções 3.5., 3.5.3, 3.5.4, e Máma verossmlhaça restrta. Em epermetos altamete fracoados, os quas o úmero de dados é pequeo em relação ao úmero de parâmetros do modelo para a méda, os estmadores dos parâmetros do modelo de dspersão podem ter veses acetuados, devdo à escassez de graus de lberdade para modelagem da dspersão (Lee e Nelder, 998. Neste caso, procedmetos de ajuste devem ser adotados para o modelo da méda. Lee e Nelder ctam város tpos de ajuste e propõem uso da técca de máma verossmlhaça restrta (MVR, com a mamzação da segute fução de verossmlhaça * ode d d ( h * d QB + l[ πφ V ( ] (3.3 φ e h,,,..., são os elemetos da dagoal da matrz chapéu (hat matr H, que é a matrz de projeção dos valores ajustados sobre os valores observados para a méda, ou seja: ˆ H. No Capítulo 5 veremos uma aplcação de máma verossmlhaça restrta.