Critérios de correção e orientações de resposta exame

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1 Mstéro da Cêca, Tecologa e Eso Superor U.C Elemetos de Probabldade e Estatístca 1 de Juho de 011 Crtéros de correção e oretações de resposta eame Neste relatóro apresetam-se os crtéros e um eemplo de resolução, bem como algumas otas suplemetares que pretedem clarfcar métodos e dcar sugestões de correção de algus erros que se observaram as provas etregues pelos estudates. I. Cosdere a precptação (em mm) caída o Porto os aos 1997 a 007: Aos Precptação 16,5 149,1 101,7 46,8 403,4 157,5 33, 16,8 9,6 6,3 53,3 Com base os dados apresetados, respoda às alíeas: a) (.0 v) Qual a méda, a varâca e o coefcete de varação da precptação o Porto os aos em aálse? Comete a dspersão que calculou em termos da sua magtude. b) (.0 v) Costrua o gráfco de dspersão. Iterprete-o e dga o que pode coclur quato à correlação etre a precptação e o tempo. Resolução e crtéros: a) Nesta alíea, devem costar as epressões das meddas de estatístca descrtva que são peddas (de acordo com o que costa as folhas dgtalzadas a pasta Apotametos-Dados Estatístcos a pága da UC, ou outras fórmulas que sejam equvaletes); Devem ser dcados pelo meos parte dos cálculos (mesmo que realzados com recurso a calculadora), os resultados e os cometáros peddos. Méda dos =11 valores de precptação é dada por (16,5 149,1... 6,3 53,3) 145, 93 mm A varâca dos dados dá-os um valor para a dspersão dos dados relatvamete ao seu valor médo. Pode ser calculada pelas segutes epressões equvaletes: 1 1 s ( ) ou s. 1 1 Se cosderarmos a seguda epressão para fazer os cálculos temos o segute: 1 11 (16,5 149,1... 6,3 53,3 ) s (145,93) (145,93) 1348, Este valor mostra uma varâca muto elevada, mas, sedo um valor que resulta de parcelas elevadas quadrado, é etrado a sua raz quadrada e obtedo o desvo padrão que se poderá ter uma melhor dea se os dados estão muto ou pouco dspersos em relação à méda. O desvo padrão está as udades de medda das observações.

2 O coefcete de varação dá-os uma medda da dspersão dos dados relatvamete à méda, em s termos percetuas de dspersão. C. V. (quocete etre o desvo padrão e a méda). O C.V. é muto útl para comparar duas ou mas amostras que podem ter dferetes udades de medda. s 1348,63 115,89 C. V. 0,794 79,4%. 145,93 145,93 Cometáro aos valores obtdos tedo em cota a amostra cal, vê-se que há valores bastate díspares e a varabldade é grade. Isto cofrma-se também em relação ao valor médo da preceptação. A varâca é elevada, o desvo padrão é de 115,89 mm de precptação. A percetagem de varabldade é de 79,4%. Outras meddas de dspersão que poderam ser dcadas são a ampltude dos dados, A=Ma-M, e a ampltude ter-quarts. Nota1: Quado se fala em Varâca de uma amostra, a epressão que se pede é a ateror, deotada por S. O deomador é, ou seja, o úmero total de observações da amostra. Quado é pedda a Varâca Corrgda, etão, o deomador passa a ser -1, e dca-se S (lê-se S lha ao quadrado). A varâca corrgda é etão calculada por 1 s' ( ), mas também pode ser calculada usado a prmera s' s. Recorde-se que sedo a varâca resultate da soma de parcelas elevadas ao quadrado, uca pode ter um valor egatvo. O mesmo acotece obvamete com o desvo padrão. Na folha de cálculo Mcrosoft Ecel 007, a fução estatístca que calcula a varâca mas comum S, deota-se por VAR). A varâca corrgda é calculada pela strução/fução VAR(). Nota: Algus aluos cofudram Coefcete de Varação com coefcete de Correlação coceto este que é totalmete dstto do prmero. O coefcete de correlação é uma medda da tesdade da relação lear etre duas varáves. Este coefcete vara etre -1 (correlação egatva perfeta) e 1 (correlação postva perfeta). Se a correlação é zero, etão as varáves ão são correlacoadas. O coefcete de correlação lear de Pearso, o mas comum, pode ser calculado pela epressão segute tópco 1.8 das folhas a pága da U.C., Apotametos-Dados Estatístcos). ode S e S y são os desvos padrões de e de Y respetvamete (Ver b) No gráfco de dspersão é possível vsualzar o comportameto dos íves de precptação ao logo do período de aos em causa. Observamos que os aos de 001 e 003 são os que têm íves de precptação mas elevados, 000 e 005 os mas baos. Relatvamete à correlação etre a precptação observada e o tempo, observado apeas o gráfco, ão parece haver um padrão de evolução ou dmução ao logo do tempo, ou seja, ão parece haver correlação forte etre as duas varáves, precptação (mm) e tempo (em aos) Precptação a cdade do Porto precptação Pága de 11

3 ota: Na resolução ão é peddo o cálculo do coefcete de correlação, mas sera possível cofrmar a ão estêca de uma correlação lear calculado o coefcete de correlação de Pearso, r, por eemplo, que é o coefcete mas comum. A título de eemplo, resummos aqu os passos para o cálculo do coefcete de correlação. Aos- Precptação-y *y ,5 3451, , , ,7 0398, , , , , , , , , 005 9, , , , ,1 soma Méda do aos e méda da precptação - Desvo padrão dos aos e da precptação Cofrma-se que a correlação fraca, pos ão é muto superor a zero. Sedo o coefcete egatvo, que dzer que as varáves crescem em setdo cotráro, ou seja, a precptação decresce com o aumeto do tempo. No etato, sedo o valor bao, ão podemos trar esta coclusão. A correlação sera forte (muto tesa), se o coefcete fosse superor a 0,8 em valor absoluto. II. Uma peça é maufacturada por 3 fábrcas: 1, e 3. Sabe-se que a fábrca produz,5 vezes a produção de cada uma das fábrcas 1 e 3. Além dsso, 3% das peças produzdas pelas fábrcas 1 e 3 são defetuosas, equato 4 % das produzdas pela fábrca são defetuosas. Todas as peças produzdas são colocadas o mesmo armazém. Tra-se uma peça ao acaso da produção global. Qual a probabldade: a) (1.0 v) De ter sdo produzda a fábrca? b) (1.0 v) Da peça ser defetuosa? (Caso ão teha resolvdo a alíea a) cosdere que é equprovável a probabldade da peça ser produzda em qualquer uma das fábrcas) c) (1.5 v) De ter sdo produzda a fábrca 1, sabedo que a peça retrada é defetuosa? (caso ão teha resolvdo a alíea ateror cosdere gual o valor 0,03 para a probabldade solctada) Resolução e crtéros a) O problema apresetado sere-se o cálculo de probabldades sobre acotecmetos que ocorrem um uverso, cludo as probabldades codcoas. Para ter uma resposta completa, teressa detfcar e descrever uma lguagem formal todos os acotecmetos evolvdos, detfcar quas as probabldades que são peddas as alíeas do eucado, apresetar o seu cálculo e os resultado. O Uverso é o uverso da produção das peças. O uverso é costtuído por 3 fábrcas F 1, F e F 3. Sejam etão os acotecmetos F 1 = «A peça é produzda pela fábrca F 1» F = «A peça é produzda pela fábrca F» F 3 = «A peça é produzda pela fábrca F 3» Pága 3 de 11

4 Sedo as 3 fábrcas resposáves pela totaldade da produção (do uverso), e assumdo que cada fábrca produz de forma depedete das outras, etão a soma das probabldades de produção das 3 fábrcas tem de ser gual a 1. )= P (F 1 ) + F ) + F 3 ) = 1. ( represeta o uverso dos locas de produção das peças) Do eucado retra-se o segute: F ) =,5 P (F 1 ) e F ) =,5 P (F 3 ). Daqu se coclu que F e F 3 produzem a mesma percetagem de peças. Etão, substtudo a equação cal e resolvedo tem-se P (F 1 ) +,5 P (F 1 ) + F 1 ) = 1, dode 4,5F 1 ) = 1 => F 1 ) = 0, Daqu tramos F 3 ) = 0, e F ) =,50,=0,56 Respodedo à perguta, coclu-se que a probabldade da peça trada ao acaso ser proveete da Fábrca é apromadamete gual a 0,56. b) Uma peça pode ser defetuosa a partr de três orges, ou seja a probabldade de ser defetuosa está codcoada ao local ode fo fabrcada. Como à partda ão é dto ode fo fabrcada, temos de calcular a Probabldade Total da peça ser defetuosa, poderado às 3 orges possíves. Defa-se o acotecmeto D que pode ocorrer o uverso das 3 fábrcas D = «Retra-se uma peça defetuosa». No eucado estão presetes as segutes probabldades codcoadas: Probabldade de uma peça ser defetuosa se (codcoada a) for produzda pela Fábrca 1 P (D F 1 ) = 0,03 (3%). Sabe-se também que P (D F 3 ) = 0,03 e que P (D F ) = 0,04. Pelo teorema das probabldades totas, a probabldade total da peça ser defetuosa, poderada às 3 orges possíves é: D) = P (D F 1 ) P (F 1 ) + P (D F ) P (F ) + P (D F 3 ) P (F 3 ) = 0,03 0, + 0,04 0,56 + 0,03 0,=0,0356 Nota: a resolução desta questão poda recorrer ao cohecdo dagrama de probabldades em árvore e sera acete essa apresetação, desde que fossem calmete defdos os acotecmetos. c) Nesta alíea é dto que se retra ao acaso uma peça da produção global e verfca-se que é defetuosa. A probabldade pedda é a segute: sabedo que a peça é defetuosa, qual a probabldade de ser proveete da Fábrca 1? -> P (F 1 D) (D é o acotecmeto codcoate o que sabemos a pror F 1 é o acotecmeto codcoado aquele cuja probabldade de ocorrêca pretedemos, codcoados à formação que se cohece) Trata-se de um problema que pode ser resolvdo com a fórmula de Bayes D F ) F1 ) 0,03 0, P (F 1 D) = 1 0, 185 D) 0,0356 III. Cosdere uma eperêca aleatóra que cosste o laçameto de dos dados perfetos (ão vcados) dsttos e observa-se o úmero de ptas a face voltada para cma. Defdo a varável aleatóra como o produto dos resultados obtdos as duas faces, determe: a) (1.0 v) O espaço de resultados da eperêca aleatóra do laçameto dos dados. b) (1.0 v) Os valores possíves para e a sua fução de probabldade. c) (1.0 v) A fução dstrbução da varável aleatóra. d) (1.5 v) O valor médo e a varâca da v. a.. Pága 4 de 11

5 Resolução e crtéros Na resolução das alíeas propostas o estudate deve detfcar as varáves, descrever todos os resultados possíves do laçameto e os valores possíves para a varável, tal como está defda. Devem apresetar todas as epressões que utlzam, as cosultadas o formuláro e outras de que ecesstem. a) A eperêca está defda do segute modo: laçameto de dos dados perfetos (ão vcados) dsttos e observa-se o úmero de ptas a face voltada para cma. Chamemos A e B aos dos dados. Etão, o espaço de resultados é costtuído por todos os pares ordeados (a, b) possíves, os quas a represeta o úmero de ptas do dados A e b represeta o úmero de ptas do dado B. a e b podem varar de 1 até 6, o que dá 36 pares possíves (porque os dados são dsttos). = {(1,1), (1,), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (, 1), (,), (,3),... (6,5), (6,6)}; ou resumdamete = {(a,b): a=1,,3, 4,5,6; b=1,,3, 4,5,6 }; b) Produto dos resultados obtdos as duas faces A vsualzação dos resultados possíves para é smplfcada se colocarmos as possbldades um quadro de dupla etrada. No teror grelha estão todos os produtos possíves. (são acetes em eame apresetações gualmete corretas) Face do Dado A Face do Dado B A fução de probabldade cosste em atrbur a cada valor de a sua probabldade de ocorrêca. Assummos que os dados são ão vcados e os laçametos depedetes. Assm, é possível calcular a probabldade como (úmero de casos favoráves/todos os casos possíves). Por eemplo, a probabldade de tomar o valor 1 é gual a 4/36. A probabldade de tomar o valor 10 é gual a /36. A fução de probabldade pode ser resumda da segute forma: c) Sedo uma varável aleatóra dscreta (toma valores em potos e ão um tervalo de úmeros reas), a fução dstrbução tem a epressão F f. É portato uma fução cumulatva de probabldades. Para cada do domío da varável, atrbu-se a probabldade de Pága 5 de 11

6 ser meor ou gual que esse. Relembremos que o domío de são todos produtos, ou seja {1,, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 1, 15, 16, 18, 0, 4, 5, 30, 36}. Apresetado os cálculos a forma mas detalhada temos o segute quadro da fução dstrbução de : (todos os valores de ), F()= ) 0 1/36 1/36 + =) =3/36 Cotuação <1 1 < < 3 3 < 4 4 < 5 5 < 6 6 < 8 8 <9 9 <10 3/36 + =3) =3/36+/36 =5/36 5/36 + =4) =5/36+3/36 =8/36 8/36 + =5) =8/36+/36 =10/36 10/36 + =6) =10/36+4/36 =14/36 14/36 + =8) =14/36+/36 =16/36 16/36 + =9) =16/36+1/36 =17/36 ) 10 <1 1 <15 15 <16 16 <18 18 <0 0 <4 4 <5 5 <30 30 < /36 + =10) =17/36+/36 =19/36 19/36 + =1) =19/36+4/36 =3/36 3/36 + =15) =3/36+/36 =5/36 5/36 + =16) =5/36+1/36 =6/36 6/36 + =18) =6/36+/36 =8/36 8/36 + =0) =8/36+/36 =30/36 8/36 + =4) =30/36+/36 =3/36 3/36 + =5) =3/36+1/36 =33/36 33/36 + =30) =33/36+/36 =35/36 Nota: a letura do quadro faz-se do segute modo: a probabldade de o produto,, tomar valores ferores a 14 (ou à esquerda de 14) é gual a 3/36. O tervalo assalado a amarelo o quadro 1 <15, sgfca que pode tomar todos os valores esse tervalo, eceptuado 15, por ser aberto à dreta. 35/36 + =36) =35/36+1/36 =36/36=1 d) O valor médo ou Valor Esperado de uma varável aleatóra dscreta é dado por E f ) Var A varâca é dada por f Etão, para a presete varável, o cálculo do valor esperado é E , IV. Uma empresa dspõe de uma caa multbaco para utlzação dos seus fucoáros, depos de mutas observações cocluu-se que o úmero de utlzações da caa multbaco segue um processo de Posso. Em méda, por hora, 8 pessoas utlzam os servços da caa multbaco. Calcule a probabldade de: a) (1.0 v) Numa hora escolhda aleatoramete, ão ter havdo mas do que uma pessoa a utlzar a máqua. b) (1.0 v) Numa hora, escolhda aleatoramete, a máqua ter sdo utlzada o mímo por 7 pessoas. c) (1.5 v) Num tervalo de 10 mutos, escolhdos aleatoramete, ehuma pessoa ter utlzado a máqua. Resolução e crtéros Na resolução desta questão os estudates devem defr a varável aleatóra em causa, detfcar o parâmetro da dstrbução de Posso para este caso, defr os acotecmetos evolvdos em cada alíea dcar os cálculos ecessáros e apresetar os resultados. a) Comece-se por descrever formalmete a varável presete o eucado Número de utlzações da caa Multbaco (caa ATM) por hora(60 mutos). Pága 6 de 11

7 Sabe-se que em méda há 8 pessoas por hora que levatam dhero a caa multbaco da empresa, etão, a varável segue uma dstrbução de Posso com valor médo gual a 8. Sedo o parâmetro λ gual ao valor médo, tem-se Posso (λ = 8) ou, resumdamete P (λ = 8). Pede-se esta alíea a probabldade de ão haver mas de 1 pessoa a utlzar a máqua uma hora escolhda ao acaso. Não haver mas do que uma é equvalete a dzer que a caa é utlzada por zero pessoas ou por uma pessoa, o mámo. 1) 0) 0 8 e 1) 0! e 1! 8 0,003 b) Nesta alíea pede-se a probabldade, uma hora escolhda ao acaso, a máqua ter sdo utlzada o mímo por 7 pessoas. No mímo 7 sgfca que poderão ser 7, 8, 9, 10, 11, 1. Por ão haver lmte mámo, é mas fácl calcular a probabldade usado o verso ) 1 e 7) 1 0! 1!! 3! 4! 5! 6! Nota. Por defção o fatoral de zero, 0!, é 1. O fatoral de qualquer úmero tero é represetado por! e é determado por!= (-1) (-) 1. Por eemplo, o fatoral de 5 calcula-se por - 5!= =10. (uma calculadora cetífca tem uma fução que dca o fatoral de qualquer úmero tero, e geralmete está uma tecla assalada por!) c) Nesta alíea pede-se a probabldade de ehuma pessoa utlzar a máqua multbaco um período de 10 mutos escolhdos ao acaso. No eucado é dado o valor médo de utlzadores para uma hora, teressa fazer a proporção para 10 mutos. Se em 60 mutos a máqua é utlzada, em méda, por 8 pessoas, em 10 mutos, a máqua será utlzada em méda por 10 pessoas. 1, Temos agora a varável Y Número de utlzações da caa Multbaco em cada 10 m. 0 1,33 1,33 e A dstrbução passa a ser Y P (λ = 1,33). A probabldade pedda é P ( Y 0) 0, 64 0! V. Os resultados uma prova de corrda de determada modaldade são ormalmete dstrbuídos com uma méda de 35 segudos e um desvo padrão de 6 segudos. Qual a probabldade de uma prova seleccoada aleatoramete obter resultados: a) (1.0 v) Superores a 3s? (faça o esboço gráfco marcado a área correspodete) b) (1.0 v) Iferores a 36s? (faça o esboço gráfco) c) (1.5 v) Etre os 30s e os 37s? (faça o esboço gráfco) d) (1.0 v) De o fal da prmera volta, correspodete a quze provas de corrda, a méda dos resultados ser feror a 34 s? Resolução e crtéros Esta questão evolve prcpalmete o cohecmeto da le de dstrbução Normal, os seus parâmetros e e o cálculo das probabldades deste tpo de varável com recurso à stadardzação (varável reduzda) e à cosulta da tabela. É acete uma resolução equvalete à que se segue. a) Sedo Tempo de duração da corrda realzado pelo atleta, em segudos. N (=35; =6). Pága 7 de 11

8 Pede-se a probabldade >3), probabldade correspodete à área da curva que fca à dreta de 3. Sabe-se que ão é fácl determar aaltcamete esta probabldade mas o cálculo é facltado usado a varável Normal reduzda é dada por Z ~ N( 0, 1) e que tem a fução dstrbução tabelada. Sabemos também que a tabela forece probabldades acumuladas à esquerda de um Z, por sso é coveete utlzar a probabldade complemetar (probabldade à dreta de z = 1-probabldade à esquerda de z). 3) 1 3) ta em s ambososlados dardzado P Z 0,5) 1 ( 0,5) 1 0,309 0, 691 valor paraz tabelado 0, ,4 40,4 43,4 46,4 49,4 5,4 55,4 z 0 1-0,6 0,74 0,71-0,5 0,309 0,305-0,4 0,345 0,341 b) Nesta alíea pede-se a probabldade < 36). Utlzado um racocío aálogo ao da alíea ateror determa-se esta probabldade. 36) Z 0,167) (0,17) 0, ,4 40,4 43,4 46,4 49,4 5,4 55,4 c) Nesta alíea pede-se a probabldade de um tervalo, 30<<37). Sabemos da teora das probabldades que a<<b)=f(b)-f(a). No caso da dstrbução ormal reduzda a otação é a<<b)=(b)-(a). Utlzado ovamete o racocío das alíeas aterores, tem-se: ) P Z 6 6 0,83 Z 0,33) (0,33) ( 0,83) 0,69 0,03 0, ,4 18,8 1, 3,6 6 8,4 30,8 33, 35 37,4 39,8 4, 44, ,4 51,8 54, z ,0 0,03 0,0 0,0 0, ,8 0,1 0,09 0,06 0, ,3 0,618 0,6 0,66 0,69 Pága 8 de 11

9 d) Nesta alíea pede-se a probabldade para uma méda de um cojuto de 15 provas. Não é pedda uma probabldade para, o tempo de uma prova de corrda. A méda de 15 provas também é uma varável aleatóra (porque para cada amostra de provas temos uma méda de tempos, logo ma méda é varável). Defa-se etão = Tempo médo de corrda relatvo, a 15 provas realzadas Sedo a méda de tempos de prova que seguem cada um uma dstrbução ormal; sedo as provas de corrda depedetes; a méda das 15 provas também tem dstrbução ormal, e sabe-se que os parâmetros são os segutes: N ; N ; Etão, para =15, 35 segudos e a varâca é 6 /15 36/15, 4, o que quer dzer que o desvo padrão é,4 1, P ( 34) PZ Z 0.646) ( 0,65) 0,58 1,549 Pága 9 de 11

10 ANEO A Modelos Epressão das fuções de Probabldade Beroull ) p ( 1 p ) =0,1 1 p p(1-p) Bomal ) p (1 p) =0,1,.. p p(1-p) Posso e ) =0,1,...! Uforme ) 1 =0,1, Geométrca P ( ) p( 1 p ) 1 ; =1,... 1 p 1 p p M N M Hpergeométrca ) N M M N M N.. N N N N 1 Epressão das fuções de: Modelos Desdade Dstrbução Epoeca l f() ep( ) 0 F() 1 ep( ) b a f() a, b Uforme a F() a, b b a a b b a 1 Normal f() 1 1 ep Pága 10 de 11

11 Aeo A - Valores da Fução Dstrbução Normal Reduzda z u z 1 e du PZ z z ,0 0,03 0,0 0,0 0,01 0,01 0,00 0,00 0,019 0,019 0,018-1,9 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05 0,04 0,04 0,03-1,8 0,036 0,035 0,034 0,034 0,033 0,03 0,031 0,031 0,030 0,09-1,7 0,045 0,044 0,043 0,04 0,041 0,040 0,039 0,038 0,038 0,037-1,6 0,055 0,054 0,053 0,05 0,051 0,049 0,048 0,047 0,046 0,046-1,5 0,067 0,066 0,064 0,063 0,06 0,061 0,059 0,058 0,057 0,056-1,4 0,081 0,079 0,078 0,076 0,075 0,074 0,07 0,071 0,069 0,068-1,3 0,097 0,095 0,093 0,09 0,090 0,089 0,087 0,085 0,084 0,08-1, 0,115 0,113 0,111 0,109 0,107 0,106 0,104 0,10 0,100 0,099-1,1 0,136 0,134 0,131 0,19 0,17 0,15 0,13 0,11 0,119 0,117-1,0 0,159 0,156 0,154 0,15 0,149 0,147 0,145 0,14 0,140 0,138-0,9 0,184 0,181 0,179 0,176 0,174 0,171 0,169 0,166 0,164 0,161-0,8 0,1 0,09 0,06 0,03 0,00 0,198 0,195 0,19 0,189 0,187-0,7 0,4 0,39 0,36 0,33 0,30 0,7 0,4 0,1 0,18 0,15-0,6 0,74 0,71 0,68 0,64 0,61 0,58 0,55 0,51 0,48 0,45-0,5 0,309 0,305 0,30 0,98 0,95 0,91 0,88 0,84 0,81 0,78-0,4 0,345 0,341 0,337 0,334 0,330 0,36 0,33 0,319 0,316 0,31-0,3 0,38 0,378 0,374 0,371 0,367 0,363 0,359 0,356 0,35 0,348-0, 0,41 0,417 0,413 0,409 0,405 0,401 0,397 0,394 0,390 0,386-0,1 0,460 0,456 0,45 0,448 0,444 0,440 0,436 0,433 0,49 0,45-0,0 0,500 0,496 0,49 0,488 0,484 0,480 0,476 0,47 0,468 0,464 0,0 0,500 0,504 0,508 0,51 0,516 0,50 0,54 0,58 0,53 0,536 0,1 0,540 0,544 0,548 0,55 0,556 0,560 0,564 0,567 0,571 0,575 0, 0,579 0,583 0,587 0,591 0,595 0,599 0,603 0,606 0,610 0,614 0,3 0,618 0,6 0,66 0,69 0,633 0,637 0,641 0,644 0,648 0,65 0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,681 0,684 0,688 0,5 0,691 0,695 0,698 0,70 0,705 0,709 0,71 0,716 0,719 0,7 0,6 0,76 0,79 0,73 0,736 0,739 0,74 0,745 0,749 0,75 0,755 0,7 0,758 0,761 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,78 0,785 0,8 0,788 0,791 0,794 0,797 0,800 0,80 0,805 0,808 0,811 0,813 0,9 0,816 0,819 0,81 0,84 0,86 0,89 0,831 0,834 0,836 0,839 1,0 0,841 0,844 0,846 0,848 0,851 0,853 0,855 0,858 0,860 0,86 1,1 0,864 0,867 0,869 0,871 0,873 0,875 0,877 0,879 0,881 0,883 1, 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,901 1,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,910 0,911 0,913 0,915 0,916 0,918 1,4 0,919 0,91 0,9 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 0,931 0,93 1,5 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,941 0,94 0,943 0,944 1,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,950 0,951 0,95 0,953 0,954 0,954 1,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,961 0,96 0,96 0,963 1,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,971 1,9 0,971 0,97 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,98 FIM Pága 11 de 11