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1 Questões tpo eame Pá O poto U tem coordeadas (6, 6, 6) e o poto S pertece ao eo Oz, pelo que as suas coordeadas são (,, 6) Um vetor dretor da reta US é, por eemplo, US Determemos as suas coordeadas: US S U,, 6 6, 6, 6 6,6, Assm, um sstema de equações paramétrcas da reta US é: 6 6k k, k R z 6 As coordeadas dos potos N e P são, respetvamete: N(, 6, ) e P(6,, ) Determemos as coordeadas do vetor NP : NP P N ( 6,, ) (, 6, ) ( 6, 6, ) Assm, o semeto de reta [NP] pode ser defdo, aaltcamete, pela seute codção:,, z, 6, + k 6, 6,, k, [ ] As coordeadas dos potos P e T são, respetvamete: P(6,, ) e T (6,, 6) Determemos as coordeadas do poto médo da aresta [PT]: M,, M ( 6,, ) O poto R tem coordeadas (, 6, 6) e RM M R 6,,, 6, 6 ( 6, 6, ) RU + UT RT ST + UT RT TS TU RT () Por outro lado, RT + TM RM RT + TP RM () Assm, tedo em cosderação () e (), tem-se que: RT + TP RM TS TU + TP RM RM TS TU + TP Assm, a, b e c PV,, P ( 6,, ) PV V P V PV + P V PV + P + V (,, ) (,, ) ( 6,, ) (,, ) Sedo W(,, z ) um poto eérco do plao medador do semeto de reta [VT], tem-se que: d W, V d W, T ( ) ( ) ( z ) ( 6) ( ) ( z 6) z 8z z + z z+ + z z z z 8 + z 9 O plao medador do semeto de reta [VT] pode ser defdo pela equação + z 9 O quadrlátero [PQRU] é um quadrado, pelo que os vetores PU e QR têm a mesma dreção, o mesmo setdo e o mesmo comprmeto Assm: R Q+ PU PU,,,,,, R Q+ PU + R (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Seja M o cetro do quadrado [PQRU] M é, também, o poto médo do semeto de reta [QU] Etão: M +, +, + (,, ) S M + TS (,, ) + (,, ) (,, ) + (,, ) (,, + ) T M TS (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Pretede-se determar as coordeadas de um vetor u tal que: u kpr, com k R \{ } u PR R P (,, ) (,, ) (,, ) Tem-se que: u k (,, ), com k R \{ }, ou seja: u ( k, k, ) com k R \{ } Por outro lado, tem-se que u, dode: ( k) ( k ) + + Elevado ambos os membros ao quadrado: k + k k + 6k k k 9 k k k u k, k, : Substtudo em u,, ou u, 6, ou u(, 6, ) u,, a) O poto Q tem coordeadas (,, ), pelo que o plao paralelo ao plao Oz que cotém o poto Q pode ser defdo pela equação b) Q(,, ) e R(,, ) Seja W o poto médo da aresta [QR] W +, +, +,, Assm, o plao perpedcular ao eo O que cotém o poto médo da aresta [QR] pode ser defda pela equação

2 Questões tpo eame c) U(,, ) e T (,, ) O rao da superfíce esférca é ual a Rao UT UT PU + + A superfíce esférca de cetro em U e que passa o poto T pode ser defda pela equação: z + + Volume do octaedro [PQRSTU] volume da prâmde [PQRUS] área da base altura PQ TS u v PQ PU e (,, TS ) Um vetor dretor da reta AB é, por eemplo, AB AB B A ( 8,, ) (,, ) (,, ) Assm, uma equação vetoral da reta AB é:,, z,, + k,,, k R Pá O cojuto de potos do espaço cuja dstâca ao poto C é ual a 8 é a superfíce esférca de cetro o poto C e rao ual a 8 Determemos as coordeadas do poto C: B+ BC C BC AD B+ BC C B+ AD C 8,, + D A C ( 8,, ) + (,, ) C 8,, +,,,, C (,, ) C A superfíce esférca de cetro o poto C e rao ual a 8 pode ser defda pela equação: ( ) + ( ) + z 8 ( ) z z O poto médo de [BD] é M,,, ou seja, 9 M,, O poto V tem abcssa e ordeada uas às de M Portato, V 9 tem coordeadas,, 6, pelo que o poto smétrco do poto V em relação ao plao Oz tem coordeadas 9,, 6, ou seja, 9 W,, 6 Determemos as coordeadas do vetor VW 9 9 VW W V,, 6,, 6 8,, 9,, Assm, o semeto de reta [VW] pode ser defdo aaltcamete pela seute codção: 9 (,, z),, 6+ k( 9,, ), k R Também pode ser defdo pela codção: 9 9 z 6 Área total da prâmde Área lateral + Área da base Área[ ABV ] + Área[ ABCD ] AB NV + AB sedo N o poto médo de [AB] A,, e B 8,, M,, M 6,, (, ) 6 ( 6) d N V + ( ) + ( 6) d A, B AB + + Área total da prâmde u a O poto B pertece ao ráfco de f e ao eo O, e a sua abcssa é tal que f ( ) Assm: f ( ) Loo, B (, ) O poto A tem abcssa e pertece, também, ao ráfco de f, sedo as suas coordeada (, ) A f, sto é, (, ) A Determemos, aora, as coordeadas do poto C Seja M o poto médo do semeto de reta [BC] As suas coordeadas são (, ) e BM(,) C B+ BM, +,, + 6, ( + 6, ) (, ) Assm, C(, ) BC 6 6 C B porque se >, etão 6>

3 Questões tpo eame Área [ ] BC MA ABC ordeada de A C B ( ) 6 ( ) Loo, ], + [ ( ) para cada pertecete a 8 8 ( ) ( ) ( ) O valor de para o qual a área do trâulo [ABC] é ual a 8 é Pá O poto A tem coordeadas (, ) e um poto qualquer do, f, ou seja, ráfco de f tem coordeadas ( ) (, + ) Etão: (, ) ( ) + ( + ) d A P (cqp) A fução assoca a cada a dstâca etre o poto A e o poto do ráfco da fução f de abcssa, pelo que a equação que traduz o problema é ( ) Assm: Os dvsores teros de são,,,,,, e Substtudo por em 6 +, obtemos o valor umérco zero, loo Assm, é o valor eato da abcssa de um dos potos do ráfco de f que dsta cco udades do poto A Recorredo à calculadora ráfca determa-se a abcssa do outro poto de terseção do ráfco de f com a reta de equação Obtém-se, e (, ; ) P é o outro poto do ráfco de f, que dsta, apromadamete, cco udades do poto A f e: A equação que traduz o problema é f Verfcação: f (Verdadero) Os ráfcos de f e tersetam-se o poto W de coordeadas (, ) W, sobre o eo O é o A projeção ortooal do poto poto A(, ) Por sso, d( A, W) 6 A elpse tem cetro a orem do referecal e a dstâca focal é ual a 6 udades, pelo que c 6 c O comprmeto do eo meor é ual a 8 udades, loo b 8 b Como o eo maor da elpse se stua sobre o eo das abcssas, etão a b + c Assm: a + a a A equação reduzda da elpse é O poto P pertece à elpse e tem abcssa Determemos a sua ordeada em fução de Para tal, basta resolver a equação da elpse em ordem a Como a ordeada do poto P é postva, pos P stua-se o prmero quadrate, tem-se que: 6 ( ) Área do retâulo [MNPQ] ( abcssa de P) ( ordeada de P) abcssa de P ordeada de P 6 6, para cada pertecete a ], [ 6 A equação que traduz o problema é ( ) 8, 6 ( ) 8, 8, 6 8, 8, Substtudo por, tem-se que: + ± 6 ± Voltado à varável : 6 9,, tem-se que Como ] [

4 Questões tpo eame Os valores de para os quas a área do retâulo [MNPQ] é ual a 8, são e + a e + a SS ( ) SS a a + + SS a a SS ( ) + SS SS a) Tem-se que: (, ),,, 6 (,,,, ) Assm: ( ),,,, 6 Pá ( ), 6,, 6, (, 6 6,, 6, 6 6 ) (, 6, 6 ), 6, 6 88 (, 6, 6 6, ), , 6, 6, 6, 6 88 b) e como : (cqm) 8 Comecemos por escrever os dados da amostra de forma ordeada (, ;,6 ;, ;,88 ;,9 ;,9 ;,9 ;, ;, ;,8 ;,6 ;,6 ;, ;, ;,8 ;,9 ;,9 ;, ;, ;,) 8 Sabe-se que ( ), Vejamos se este Pk ( ) Para tal, é ecessáro que k k seja um úmero ão tero e que +, ou seja, k que < < Assm, vem que: k < < < k < 6< k < 6 O dado da amostra correspodete ao peso, k pode pertecer a P6, P6, P 6 ou P 6 8 Determemos o percetl e é um úmero tero, etão: + ( 6),8+,9 P P P,86 O percetl é,86 k, por sso há bebés deste estudo com peso feror ao percetl 8 Determemos o percetl e é um úmero tero, e: + ( ),88+,9 P P P,89 O percetl é,89 k, loo o peso mas elevado é de,88 k FA,, 6 A F+ FA + 9 F (,, ) e (,, ) (,, 6) (, 6, ) Assm, a reta que passa o poto A e é paralela ao eo O pode ser defda pela seute codção:,, z, 6, + k,,, k R ou 6 z 9 O poto E tem abcssa e cota, loo (,, ) E Como [ABCDEFGH] é um cubo, etão FA FE FA (,, 6) FE E F,,,, ( 6,, ) FE FA ( ) ( ) A ordeada do poto E é (terá de ser meor do que a ordeado do poto A) 9 a) Por eemplo: AF :,, z,, + k,, 6, k R b) A superfíce esférca de cetro F à qual pertece o poto G tem rao ual a FG O semeto de reta [FG] é uma aresta do cubo, pelo que: FG FA Assm: + + z + 9 é uma codção cartesaa que defe a superfíce esférca referda

5 Questões tpo eame f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < < < Os zeros da fução f são e >, loo < : f f f f Sedo a um úmero real postvo, tem-se que: f a a Por outro lado, a é um úmero real eatvo, pelo que: ( ) a a f a a a Assm: ( ) ( ) f a f a a a a a a a SS s s ( ) ( ) ( a ) + ( b ) s s s a + b s a a + + b b + s a + b a b + Por outro lado, sabemos que Assm: a + b e que a+ b a+ b a+ b s a b + Pá 6 + a b a ab ba b a + ab+ b s + a ab b s a ab ba b a b s a b + + ab+ ab a b s ab a + b s s ab s ab ab Determemos, calmete, o domío da fução f e o da fução Df { R : + } R : D f, + R : D, + D { }, loo [ [ Sabemos que Df Df D Df, +, +, + [ [ [ [ Vamos aora, determar os zeros da fução h: h ( f )( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) Verfcação: : + + (Verdadero) : + + (Verdadero) Os zeros da fução h são e j f { : } Por tem-se que [, + [ D D D ( ) D D Vamos resolver a codção ( ) ( ) + f + apeas tem sfcado em R quado R, pelo que + R,, daí que a codção seja + uversal em R Loo, [, + [ D j ( ) f f ( ) > 6 > ( ) 6 6 > > Cálculos aulares: ± 6 ± 6 + 6

6 Questões tpo eame ± ± + ( ) ( ) > 6 > 6 > < 6 O cojuto-solução é ], ] [, 6] f ( f ) Como > : f f f f 6 6 Por coseute: ( ) f 6 k 6+ 6k 6k k f ( ) ( 6 ) ( ) + > Zeros de + 6 : Os dvsores teros do termo depedete deste polómo são 6,,,,,, e 6 Para, o polómo + 6 toma o valor umérco zero e é uma das suas raízes Recorredo à rera de Ruff: ( )( + + ) ( 6 ) ( ) ( ( )( + + ) ) ( > ) (( + + ) ) ( ( ) > ) + > ± (( ) ) > ± 8 (( ) ) > Os zeros da fução f são, e Pá O poto B é o vértce do ráfco da fução f e as suas coordeadas são (, ) Por outro lado, o poto A tem abcssa zero, uma vez que pertece ao eo das ordeadas Assm, o domío da fução D,, já que o poto D se desloca sobre [AB], h é [ [ h mas uca cocde com o poto B Vamos, aora, determar a área do retâulo [PQRS] em fução da abcssa do poto P Área do retâulo [PQRS] PQ SP A abcssa do poto S é ual à abcssa do poto P, ou seja, Seja h PQ Com < e + h < : f f + h ( + ) + ( + h ) h h Loo, PQ Por outro lado: SP f ( ) ( ) SP + Como <, + Loo, SP + Assm, a área do retâulo [PQRS] é: ( ) ( + ) + 6+ h A área do retâulo [PQRS] é dada por uma epressão que correspode a uma fução quadrátca, pelo que o seu ráfco é parte de uma parábola, este caso com a cocavdade voltada para bao h ( ) ( ) Loo, V (, ) Como a parábola tem a cocavdade voltada para bao, a abcssa do vértce é o mamzate da fução h e a ordeada do vértce é o mámo da fução h Para, tem-se que: PQ PQ 8 PQ SP + SP 6 As dmesões do retâulo que tem maor área são por 6 Pá 8 d O, A d O, B O trâulo [ABO] é sósceles, loo Seja a a abcssa do poto A ode a > Assm: A (a,, ) e B (, a, ) O poto C tem coordeadas (,, 6) Por outro lado, sabe-se que o volume do tetraedro [ABCO] é ual a, daí que: 6

7 Questões tpo eame Volume do tetraedro [ABCO] [ ABO] Área da base altura Área cota do poto C AO BO a a a a a Como a >, a, pelo que A (,, ) e B (,, ) A (,, ) e C (,, 6) M,, M ( 6,, ) Um vetor dretor da reta MB é, por eemplo, MB MB B M MB (,, ) ( 6,, ) MB 6,, A reta MB pode ser defda pela equação:,, z 6,, + k 6,,, k R a) A esfera tem cetro a orem do referecal e o seu rao é ual a d (O, P) Determemos a ordeada e a cota do poto P, já que sabemos que a sua abcssa é ual a O poto P pertece à reta OP, pelo que substtudo por as equações paramétrcas tem-se: k k k, loo P (,, ) z k z Rao da esfera: d (O, P) ( ) ( ) ( ) A equação reduzda da esfera é π 6 b) Volume da esfera c) π 6 π π z a a + + z a + z a a + + z Se o rao do círculo é, ou seja, r, tem-se que r 8 e a 8 Loo: a 8 8 a 6 a a a Os valores de a peddos são e 6 Restaurate O FOMINHAS Seja a amostra (,,, 6, 6,, 8) 6 Tem-se, ou seja: Restaurate O GOSTOSO Seja a amostra ( 8,,, 6,,, 8) Tem-se, ou seja: A méda do úmero de refeções servdas por da, essa semaa, é de, apromadamete, o restaurate O FOMINHAS e de, apromadamete, o restaurate O GOSTOSO s SS SS SS ( ) SS SS s s s, 6 s SS SS, daí que: SS SS SS s s s 6, 6 No restaurate O GOSTOSO, a dspersão do úmero de refeções servdas, por da, essa semaa, relatvamete ao úmero médo de refeções semaas por da, esse mesmo período, é maor do que a mesma dspersão relatvamete ao restaurate O FOMINHAS O úmero de refeções servdas este últmo restaurate, por da, é mas reular do que o restaurate O GOSTOSO

8 Questões tpo eame Equação da reta AB: m+ b A (, ) e B (, ) m e b 8 + < < P, - + < < Q, < < base altura Área[OQP] ordeada de OQ P A + 8 Loo, A + 8 ( ) 8 ( + ) 8 ( ) + 8 V, Como a cocavdade do ráfco é voltada para bao, a área do trâulo [OQP] é máma para 8

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