É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental.

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1 É o grau de assocação etre duas ou mas varáves. Pode ser: Prof. Lorí Val, Dr. correlacoal ou expermetal. Numa relação expermetal os valores de uma das varáves são cotrolados. No relacoameto correlacoal, por outro lado, ão se tem ehum cotrole sobre as varáves sedo estudadas. Um egehero químco está vestgado o efeto da temperatura de operação do processo o redmeto do produto. O estudo resultou os dados da tabela segute: Temperatura, C 0 ( Redmeto (Y

2 O prmero passo para determar se exste relacoameto etre as duas varáves é obter o dagrama de dspersão (scatter dagram Redmeto (Y Temperatura ( O dagrama de dspersão forece uma déa do tpo de relacoameto etre as duas varáves. Neste caso, percebe-se que exste um relacoameto lear. Quado o relacoameto etre duas varáves quattatvas for do tpo lear, ele pode ser meddo através do: Observado um relacoameto lear etre as duas varáves é possível determar a tesdade deste relacoameto. O coefcete que mede este relacoameto é deomado de Coefcete de Correlação (lear.

3 Quado se está trabalhado com amostras o coefcete de correlação é dcado pela letra r e é uma estmatva do coefcete de correlação populacoal que é represetado por ρ (rho. Para determar o coefcete de correlação (grau de relacoameto lear etre duas varáves vamos determar calmete a varação cojuta etre elas, sto é, a covarâca. A covarâca etre duas varáves e Y, é represetada por Cov Cov( (; Y e calculada por: ( Cov(,Y ( Y Y Mas ( [ Y ( Y Y Y Y + Y ] Etão: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y + Y + Y + Y Cov(,Y ( ( Y Y Y Y 3

4 A covarâca podera ser utlzada para medr o grau e o sal do relacoameto etre as duas varáves, mas ela é dfícl de terpretar por varar de - a +. Assm vamos utlzar o coefcete de correlação lear de Pearso. O coefcete de correlação lear (de Pearso é defdo por: Cov(,Y r Y Ode: Y Y Cov(,Y Y Y Y Esta expressão ão é muto prátca para calcular maualmete o coefcete de correlação. Pode-se obter uma expressão mas coveete para o cálculo maual e o cálculo de outras meddas ecessáras mas tarde. Tem-se: Cov(,Y r Y Y Y Y Y Y Y ( ( Y Y F a z e d o Tem se : Y Y Y Y Y r Y. 4

5 A vatagem do coefcete de correlação (de Pearso é ser admesoal e varar de a +, que o tora de fácl terpretação. Assm se r -, temos uma relacoameto lear egatvo perfeto, sto é, os potos estão todos alhados e quado aumeta Y decresce e vce-versa r e r +, temos uma relacoameto lear postvo perfeto, sto é, os potos estão todos alhados e quado aumeta Y também aumeta r + Assm se r 0, temos uma ausêca de relacoameto lear, sto é, os potos ão mostram alhameto

6 50 r Assm se < r < 0, temos uma relacoameto lear egatvo, sto é, os potos estão mas ou meos alhados e quado aumeta Y decresce e vce-versa. 50 < r < Assm se 0 < r <, temos uma relacoameto lear postvo, sto é, os potos estão mas ou meos alhados e quado aumeta Y também aumeta < r < Uma correlação amostral ão sgfca ecessaramete uma correlação populacoal e vce-versa. É ecessáro testar o coefcete de correlação para verfcar se a correlação amostral é também populacoal. 6

7 Observada uma amostra de ses pares, pode-se perceber que a correlação é quase um, sto é, r. No etato, observe o que ocorre quado mas potos são acrescetados, sto é, quado se observa a população! r ρ Determar o grau de relacoameto lear etre as varáves temperatura de operação do processo versus Y redmeto do produto, coforme tabela. Y Y Y Vamos calcular r utlzado a expressão em destaque vsta aterormete, sto é, através das quatdades, xy, e. Tem-se: Etão: Y Y 67,3 Y Y 475 Y Y Y ,

8 Y Y ,3 93,0 r Y ,0 0,998 Apesar de r ser um valor admesoal, ele ão é uma taxa. Assm o resultado ão deve ser expresso em percetagem. O valor de r é obtdo com base em uma amostra. Ele é portato, uma estmatva do verdadero valor da correlação populacoal (ρ. A teora dos testes de hpóteses pode ser utlzada para verfcar se com base a estmatva r é possível coclur se exste ou ão correlação populacoal, sto é, desejamos testar : 8

9 H 0 : ρ 0 H : ρ > 0 (teste ulateral/ucaudal à dreta ρ < 0 (teste ulateral/ucaudal à esquerda ρ 0 (teste blateral/bcaudal. O teste para a exstêca de correlação lear etre duas varáves é realzado por: t r r µ r ˆσ r r r 0 r Rejeta-se a hpótese ula se: t - > t c (teste ulateral/ucaudal à dreta t - < t c (teste ulateral/ucaudal à esquerda t - > t c (teste blateral/bcaudal. Ode t c é tal que: P(t < t c α (teste ulateral/ucaudal à dreta P(t < t c α (teste ulateral/ucaudal à esquerda P(t < t c α/ ou P(t > t c α/ (teste blateral/bcaudal. upoha que uma amostra de, aluos foreceu um coefcete de correlação amostral de r 0,66 66, etre ota em cálculo e Y ota em Probabldade e Estatístca. Verfque se é possível afrmar que uma ota boa em Cálculo está relacoada com uma ota boa em Probabldade e Estatístca a % de sgfcâca. Hpóteses: H 0 : ρ 0 H : ρ > 0 Trata-se de um teste ulateral à dreta para o coefcete de correlação. Dados: r 0,66 α % 9

10 A varável teste é: Etão: t r r 0 r 0,66,778 r 066 t Regão de Não Rejeção,778 α % RC [,764; + A sgfcâca do resultado obtdo (,778, sto é, o valor-p é dado por P(T 0 >,778. Utlzado o Excel, temse: Como a sgfcâca do resultado (0,98% é meor que a sgfcâca do teste (% é possível rejetar a hpótese ula. O procedmeto realzado para testar o coefcete de correlação só é váldo para testar a hpótese ula de que ão exste correlação, sto é, ρ 0. Outros tpos de testes só podem ser realzados através da trasformada zeta de Fsher. 0

11 A trasformada ζ é dada por: ζ + r l r O que equvale a cosderar r como a tagete hperbólca de ζ A vatagem desta trasformação é que os valores de ζ estão dstrbuídos aproxmadamete de acordo com uma ormal de méda: + ρ µ ζ l ρ E desvo: σ ζ 3 Esta trasformação permte, realzar, testes de hpóteses e costrur tervalos de cofaça para o coefcete de correlação, através de ζ e da dstrbução ormal. H 0 : ρ ρ 0 H : ρ > ρ 0 (teste ulateral/ucaudal à dreta ρ < ρ 0 (teste ulateral/ucaudal à esquerda ρ ρ 0 (teste blateral/bcaudal. O teste para a exstêca de correlação lear populacoal etre duas varáves e Y é realzado por: ζ µ z σ ζ ζ + ρ ζ l ρ 3 Rejeta-se a hpótese ula se: z > z c (teste ulateral/ucaudal à dreta z < z c (teste ulateral/ucaudal à esquerda z > z c (teste blateral/bcaudal.

12 Ode z c é tal que: Φ(z c α (teste ulateral/ucaudal à dreta Φ(z c α (teste ulateral/ucaudal à esquerda Φ(z c α/ ou Φ(z c α/ (teste blateral/bcaudal. upoha que uma amostra de 35, aluos foreceu um coefcete de correlação amostral de r 0,75 75, etre úmero de horas de estudo e Y ota em Probabldade e Estatístca. Verfque se é possível afrmar que o o úmero de horas de estudo apreseta uma correlação de pelo meos 0,5 a população com a ota em Probabldade e Estatístca, a % de sgfcâca. Hpóteses: H 0 : ρ 0,5 H : ρ > 0,5 Trata-se de um teste ulateral à dreta para o coefcete de correlação. Dados: 35 r 0,75 α % A varável teste é: Etão: ζ µ z σ ζ ζ + ρ ζ l ρ 3 + 0,75 ζ l 0,9730 0, 75 A méda vale: µ ζ l + ρ ρ E o desvo padrão vale: σ ζ 3 + 0,5 l 0,5493 0, ,768 Padrozado, tem-se: ζ µ z σ ζ ζ 0,9730 0,5493 0,768 + ρ ζ l ρ 3,40

13 O valor crítco z c é tal que: P(Z > z c α %. Ou Φ(z c 99%. Etão z c,33. Assm RC [,33; Regão de Não Rejeção,40 α % RC [,33; + A sgfcâca do resultado obtdo (,40, sto é, o valor-p. Para sto, deve-se calcular P(Z >,40, sto é, Φ(-,40 0,8%. Como p 0,8% < α %. Rejeto H 0. Em mutas stuações duas ou mas varáves estão relacoadas e surge etão a ecessdade de determar a atureza deste relacoameto. A aálse de regressão é uma técca estatístca para modelar e vestgar o relacoameto etre duas ou mas varáves. 3

14 De fato a regressão pode dvdda em dos problemas: ( o da especfcação e ( o da determação. ser O problema da especfcação é descobrr detre os possíves modelos (lear, quadrátco, expoecal, etc. qual o mas adequado. O problema da determação é uma vez defdo o modelo (lear, quadrátco, expoecal, etc. estmar os parâmetros da equação. Normalmete é suposto que exsta uma varável Y (depedete ou resposta, que está relacoada a k varáves (depedetes ou regressoras (,,..., k. A varável resposta Y é aleatóra, equato que as varáves regressoras são ormalmete cotroladas. O relacoameto etre elas é caracterzado por uma equação deomada de equação de regressão Quado exstr apeas uma varável regressora ( tem-se a regressão smples, se Y depeder de duas ou mas varáves regressoras, etão tem-se a regressão múltpla. 4

15 y Vamos supor que a regressão é do tpo smples e que o o modelo seja lear, sto é, vamos supor que a equação de regressão seja do tpo: Y α + β + U Y α + β + U; x x x x O termo U é o termo erro, sto é, U represeta outras fluêcas sobre a varável Y, além da exercda pela varável. A varação resdual (termo U é suposto de méda zero e desvo costate e gual a σ. Ou ada pode-se admtr que o modelo forece o valor médo de Y, para um dado x, sto é, E(Y/x α + β Y α + β + U; E(Y/x α + β, sto é, E(U 0 V(Y/x σ ; Cov(U, Uj 0, para j; A varável permaece fxa em observações sucessvas e os erros U são ormalmete dstrbuídos. O modelo suposto E(Y/x α + β é populacoal. Vamos supor que se teha pares de observações, dgamos: (x, y, (x, y,..., (x, y e que através deles queremos estmar o modelo acma. 5

16 A reta estmada será represetada por: Ŷ a + b ou Y a + b + E Ode a é um estmador de α e b é um estmador de β, sedo estmador de E(Y/x. Ŷ um Exstem dversos métodos para a determação da reta desejada. Um deles, deomado de MMQ (Métodos dos Mímos Quadrados, cosste em mmzar a soma dos quadrados das dstâcas da reta aos potos. Tem-se: Y a + bx + E, Etão: E Y - (a + bx Deve-se mmzar: φ E ( Y ( Y Ŷ a b Y a + b + E Dervado parcalmete tem-se: y ŷ E φ a ( Y a b x φ b x ( Y a b Curso: Egehara de Processos e de stemas de Produção - Prof. Lorí Val, Dr. PUCR FAMAT: Departameto de Estatístca 6

17 Igualado as dervadas parcas a zero vem: ( Y x ( Y a b a b 0 0 Isolado as cógtas, tem-se: Y a Y + b + b Resolvedo para a e b, segue: b y Y a Y b Y Lembrado que: Y Y Y Y Y Um egehero químco está vestgado o efeto da temperatura de operação do processo o redmeto do produto. O estudo resultou os dados da tabela, ao lado. Determar a lha de regressão. Temperatura, C 0 ( Redmeto (Y

18 Da mesma forma que para calcular o coefcete de correlação é ecessáro a costrução de três ovas coluas. Uma para, uma para Y e outra para Y. Y Y Y Tem-se: Etão: Y Y 67,3 Y Y 475 Y Y Y , Y Y ,3 93,0 A equação de regressão, será, etão: b a Y Y b 67,30 0, , 7394,74 0,4830 0,48 Ŷ, ,48x A perguta que cabe agora é: este modelo represeta bem os potos dados? A resposta é dada através do erro padrão da regressão. 8

19 O objetvo do MMQ é mmzar a varação resdual em toro da reta de regressão. Uma avalação desta varação é dada por: E ( Y a b O cálculo da varâca resdual, por esta expressão, é muto trabalhoso, pos é ecessáro prmero determar os valores prevstos. Etretato é possível obter uma expressão que ão requera o cálculo dos valores prevstos, sto é, de Ŷ a + b Desevolvedo o umerador da expressão, vem: ( Y a b [ Y Y + b b ] [ Y Y b( ] ( Y Y b b ( Y [ Y ( Y b b ] + b ( Y Y + b ( Uma vez que: ( Y Y ( ( Y Y ( Y Y Y Y Y Deste modo, tem-se: Mas: Etão: ( Y a b b Y + b b ( Y a b b Y + b Y b Y b + b b 9

20 Falmete: s E ( Y a b b b Y Cosderado os valores do exemplo ateror, determar o erro padrão da regressão. Tem-se: b ,0 Y ,4830 Etão: s b , ,9503 0,95 Y Os valores de a e b são estmadores de α e β. As propredades estatístcas destes estmadores são útes para testar a adequação do modelo. Eles são varáves aleatóras uma vez que são combações leares dos Y que são, por sua vez, varáves aleatóras. As prcpas propredades de teresse são a méda (expectâca, a varabldade (erro padrão e a dstrbução de probabldade de cada um dos estmadores. 0

21 Comportameto de a ( Expectâca ( Varâca V ( a V ( b α E( a E Y... ( Y b... σ + Portato a dstrbução da estatístca a, será: a ~ N ( α, σ + Como o valor σ ão é cohecdo e precsa ser estmado por s, etão, de fato, utlza-se a dstrbução t -. Comportameto de b ( Expectâca Y E( b E... β ( Varâca V ( b V Y σ... Portato a dstrbução da estatístca b, será: b ~ N ( β, σ Como o valor σ ão é cohecdo e precsa ser estmado por s, etão, de fato, utlza-se a dstrbução t -. Da mesma forma que foram obtdos IC para a méda, a proporção e a varâca de uma população, pode-se determar tervalos para os parâmetros α e β da regressão.

22 O IC de α de cofaça para o coefcete lear α é dado por: P ( a t α + α a + t + " α" O IC de α de cofaça para o coefcete da regressão β é dado por: P( b t " β" β b + t α Determar tervalos de cofaça de 95% para os parâmetros da equação de regressão, utlzado os dados do exercíco ateror. Yˆ, ,48 x 93,0 850 Y Y 67,30 a, 7394 b 0,4830 s 0, α 95% O IC de - α para o Coef. Lear α é dado por: Etão: -,7394 ±,306.0,9503 -,7394 a [-6,3; 0,83] ± 3,5663 t + ± O IC de - α para o Coef. Agular β é dado por: b ± t Etão: 0,9503 0,4830 ±, ,4830 ±,306 [0,4589; 0,507] [0,46; 0,5]

23 Da mesma forma que foram obtdos IC para os parâmetros da regressão, pode-se obter IC para os valores estmados de Y para um dado x. Vamos cosderar dos casos: (a Cosderado somete a certeza da lha de regressão; (b Cosderado a certeza da lha mas a varação da varável Y. Para costrur o IC de α para o valor médo de Y, dado x, é ecessáro cohecer sua dstrbução. Tem-se: Yˆ ~ N ( α + βx ; σ ( + Etão IC de α de cofaça para o um valor médo de Y, dado x, é: Yˆ ± t ( + Uma estmatva do valor dvdual de Y é dado por estmatva será dada por: Ŷ ~ N ( 0 ; a + bx e a dstrbução desta ( σ + + Etão IC de α de cofaça para o um valor dvdual de Y, dado x, será: Ŷ ± t + ( + 3

24 Determar tervalos de cofaça de 95% para os valores médo e dvdual de Y, a hpótese de x ,0 850 Y Y 67,30 x 00 a, 7394 b 0,4830 s 0, α 95% O IC de - α para o valor médo de Y, dado x é: Etão: Ŷ ± t ( + ŷ, , , , ,8606 ( ±,306.0, ±,4970 ou [9,36; 95,36] O IC de - α para o valor dvdual de Y, dado x é: Etão: 93, ,8606 Ŷ ± t ±,306.0, ±,6539 ou [9,; 96,5] ( ( Da mesma forma que foram testados todos os parâmetros até etão pode-se testar os parâmetros α e β da regressão. 4

25 A varável teste para testar o coefcete lear é dado por: t a α + " α" " β" A varável teste para testar o coefcete da regressão β é dada por: t b β (a Testar, a % de sgfcâca, se é possível afrmar que a lha de regressão, do exemplo dado, ão passa pela orgem. (b Testar se é possível, a % de sgfcâca, afrmar que exste regressão postva etre as duas varáves. a, 7394 b 0,4830 s 0, α % 93,0 850 Y 3985 Hpóteses: H 0 : α 0 H : α 0 Dados: 0 a -,739 α % Trata-se de um teste blateral para o coefcete lear da regressão. A varável teste é: Etão: t t 0,9503, a α +, 77 5

26 O valor crítco t c é tal que: P( T > t c α Etão t c -3,355. Assm RC [-3,355; Decsão e coclusão: Como t 8 -,77 RC ou -,77 > -3,355. Aceto H 0, sto é, a % de sgfcâca, ão se pode afrmar que a lha de regressão ão passe pela orgem. Hpóteses: H 0 : β 0 H : β > 0 Dados: 0 b 0,4830 α % Trata-se de um teste ulateral para o coefcete agular da regressão. A varável teste é: Etão: t b β 0, t 8 46,65 0,9503 / 850 O valor crítco t c é tal que: P(T > t c Etão t c,896. Assm RC [,896; Decsão e coclusão: Como t 8 46,65 RC ou 46,65 >,896. Rejeto H 0, sto é, a % de sgfcâca, pode-se afrmar que exste regressão etre as duas varáves. α Y Ŷ Y Y Y Y Ŷ Ŷ Y Y Y Y Ŷ + Ŷ Y ( Y Y ( Y Ŷ + ( Ŷ Y VT VR + VE x 6

27 VR (a Varação Total: VT VT ( Y Y (b Varação Resdual: VR ( Y Ŷ b VT VE (c Varação Explcada: VE VE ( Ŷ Y b Uma maera de medr o grau de aderêca (adequação de um modelo é verfcar o quato da varação total de Y é explcada pela reta de regressão. Para sto, toma-se o quocete etre a varação explcada, VE, pela varação total,vt: R VE / VT Este resultado é deomado de Coefcete de Determação. R VE b b Y VT Este resultado mede o quato as varações de uma das varáves são explcadas pelas varações da outra varável. Y Ou ada, ele mede a parcela da varação total que é explcada pela reta de regressão, sto é: VE b R A varação resdual correspode a: VR ( R Assm R é o Coefcete de Idetermação. 7

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