ANÁLISE DE CORRELAÇÃO: ABORDAGEM TEÓRICA E DE CONSTRUÇÃO DOS COEFICIENTES COM APLICAÇÕES

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1 UNIVERIDADE FEDERAL DO PARANÁ ANÁLIE DE CORRELAÇÃO: ABORDAGEM TEÓRICA E DE CONTRUÇÃO DO COEFICIENTE COM APLICAÇÕE CURITIBA 004

2 ACHIKO ARAKI LIRA ANÁLIE DE CORRELAÇÃO: ABORDAGEM TEÓRICA E DE CONTRUÇÃO DO COEFICIENTE COM APLICAÇÕE Dssertação apresetada ao Curso de Pós- Graduação em Métodos Numércos em Egehara dos etores de Cêcas Eatas e de Tecologa da Uversdade Federal do Paraá, como requsto parcal à obteção do Grau de "Mestre em Cêcas". Oretador: Prof. Dr. Aselmo Chaves Neto CURITIBA 004

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4 AGRADECIMENTO Ao oretador e amgo Prof. Aselmo Chaves Neto, pelos cohecmetos trasmtdos desde o curso da graduação, pelo cetvo para fazer o Mestrado e pela oretação a realzação deste trabalho. Aos professores, colegas e amgos do Programa de Curso de Pós- Graduação em Métodos Numércos em Egehara. Ao Prof. Ferado Lag da lvera, da Uversdade Federal do Ro Grade do ul, que, mesmo sem me cohecer pessoalmete, getlmete evou-me seus trabalhos e sugeru-me algumas leturas sobre dversas questões relacoadas ao tema. Ao Isttuto Paraaese de Desevolvmeto Ecoômco e ocal (Ipardes, que me apoou a decsão de fazer o Curso de Mestrado, e possbltou a utlzação do software A e dos mcrodados da Pesqusa Mesal de Emprego (PME. À Aa Rta Barzck Noguera e Estelta. de Matas, que muto me ajudaram a edtoração e revsão fal do teto. À Mara Luza Pllat Loureço, pela oretação quato às ormas para as referêcas ctadas o trabalho. À mha sobrha Josae, pela valosa cotrbução a localzação de lvros e trabalhos a bbloteca da UFRG. Ao meu esposo Herbert, pelo apoo rrestrto, pelo cetvo, carho e compreesão em todos os mometos, ão só durate o desevolvmeto deste trabalho, mas desde o mometo em que decd fazer o Curso de Mestrado. Aos meus flhos Herbert Júor e Berard, pela compreesão os mometos em que estve ausete. A todas as pessoas que, dreta ou dretamete, estveram presetes a realzação deste trabalho.

5 UMÁRIO LITA DE TABELA... v LITA DE QUADRO... LITA DE GRÁFICO... REUMO... ABTRACT... INTRODUÇÃO.... PRELIMINARE.... OBJETIVO....3 JUTIFICATIVA REUMO HITÓRICO APREENTAÇÃO DO CAPÍTULO... 4 REVIÃO DE LITERATURA VARIÁVEL QUALITATIVA, QUANTITATIVA E ECALA VARIÁVEL ALEATÓRIA PARÂMETRO DITRIBUIÇÕE DE PROBABILIDADE Dstrbução Dscreta Dstrbução de Beroull Dstrbuções Cotíuas Dstrbução ormal uvarada Dstrbução χ (qu-quadrado Dstrbução t de tudet Dstrbução F de edecor Dstrbução ormal multvarada ETIMADORE DO PARÂMETRO MÉTODO DE ETIMAÇÃO DO PARÂMETRO Método de Máma Verossmlhaça Método dos Mometos TETE PARAMÉTRICO E NÃO-PARAMÉTRICO Testes Paramétrcos Testes Não-Paramétrcos Testes de aderêca MEDIDA DE CORRELAÇÃO v

6 3. INTRODUÇÃO MEDIDA DE CORRELAÇÃO ENTRE DUA VARIÁVEI Coefcete de Correlação Lear de Pearso e a Dstrbução Normal Bvarada Estmadores de máma verossmlhaça uposções báscas para a utlzação do Coefcete de Correlação Lear de Pearso Iterpretação do Coefcete de Correlação Lear de Pearso Fatores que afetam o Coefcete de Correlação Lear de Pearso Dstrbução Amostral do Coefcete de Correlação Lear de Pearso Teste de hpótese para Trasformação Z de Fsher Teste de hpótese para Itervalo de cofaça para Cofabldade Cofabldade de strumetos de medda Correção de ateuação do coefcete de correlação Aplcação da correção de ateuação Aplcação da correção para restrção em varabldade Cofabldade em stemas de Egehara Cofabldade estrutural Cofabldade de sstemas Teste de ormaldade (Gaussadade Coefcete de Correlação Bsseral Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação Bsseral e do erro padrão uposções báscas para a utlzação do Coefcete de Correlação Bsseral Aplcação do Coefcete de Correlação Bsseral Coefcete de Correlação Poto Bsseral Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação Poto Bsseral e do erro padrão uposções báscas para a utlzação do Coefcete de Correlação Poto Bsseral Coefcete de Correlação Poto Bsseral e teste de médas Aplcação do Coefcete de Correlação Poto Bsseral Coefcete de Correlação Tetracórco v

7 3..4. Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação Tetracórco e do erro padrão uposções báscas para a utlzação do Coefcete de Correlação Tetracórco Aplcação do Coefcete de Correlação Tetracórco Coefcete de Correlação de pearma Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação de pearma e sgfcâca uposções para a utlzação do Coefcete de Correlação de pearma Aplcação do Coefcete de Correlação de pearma Coefcete de Correlação por Postos de Kedall Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação por Postos de Kedall e sgfcâca Aplcação do Coefcete de Correlação por Postos de Kedall Coefcete de Correlação Ph Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação Ph e sgfcâca O Coefcete de Correlação Ph e a Aálse de Agrupameto Aplcação do Coefcete de Correlação Ph Coefcete de Cotgêca Itrodução Estmador do Coefcete de Cotgêca e sgfcâca Aplcação do Coefcete de Cotgêca Coefcete de Correlação Eta Itrodução Estmador do Coefcete de Correlação Eta e sgfcâca O Coefcete de Correlação Eta e a Aálse de Varâca Aplcação do Coefcete de Correlação Eta Resumo dos Coefcetes de Correlação etre Duas Varáves MEDIDA DE CORRELAÇÃO ENTRE DIVERA VARIÁVEI Matrz de Correlações Aálse de Compoetes Prcpas Itrodução Aplcação da Aálse de Compoetes Prcpas Aálse Fatoral Itrodução... v

8 Aplcação da Aálse Fatoral Coefcete de Correlação Múltpla e Parcal Itrodução uposções para a utlzação do Coefcete de Correlação Múltpla Estmador do Coefcete de Correlação Múltpla Aplcação do Coefcete de Correlação Múltpla Aálse de Correlação Caôca Itrodução Aplcação da Aálse de Correlação Caôca REULTADO E DICUÃO INTRODUÇÃO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARON, BIERIAL E TETRACÓRICO Cálculo dos Coefcetes de Correlação Comparação dos Erros Padrão Comparação dos Coefcetes de Correlação Estmados AVALIAÇÃO DO REULTADO... 5 CONCLUÕE E RECOMENDAÇÕE REFERÊNCIA APÊNDICE - DITRIBUIÇÕE AMOTRAI DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARON ( APÊNDICE - DITRIBUIÇÕE AMOTRAI DE Z... 6 APÊNDICE 3 - TETE DE NORMALIDADE APÊNDICE 4 - APLICAÇÃO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO PONTO BIERIAL... 7 APÊNDICE 5 - CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARMAN E POR POTO DE KENDALL APÊNDICE 6 - PROGRAMA UTILIZADO ANEO - CO-RELATION AND THEIR MEAUREMENT, CHIEFL FROM ANTHROPOMETRIC DATA ANEO - VALORE CRÍTICO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO v

9 LITA DE TABELA COEFICIENTE DE CONFIABILIDADE E DE CORRELAÇÃO ENTRE O ECORE DA PROVA DO CONCURO VETIBULAR DA UFRG E DA PUCR COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE O ECORE DA PROVA DE REDAÇÃO E OUTRA PROVA DO CONCURO VETIBULAR DA UFRG E DA PUCR POPULAÇÃO MIGRANTE TOTAL E ECONOMICAMENTE ATIVA NA ATIVIDADE URBANA, EGUNDO MICRORREGIÕE DO PARANÁ ITUAÇÃO OCUPACIONAL DA POPULAÇÃO ECONOMICAMENTE ATIVA EGUNDO GÊNERO, NA RMC - AGOTO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEI DA EQUAÇÕE DE INFILTRAÇÃO E PORCENTAGEM DE ARGILA E ILTE, EM JOÃO PEOA COEFICIENTE DE REGREÃO E CORRELAÇÃO MÚLTIPLA v

10 LITA DE QUADRO VALORE DE V E V EGUNDO TAMANHO DA AMOTRA ETATÍTICA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA, EGUNDO A ORDEM CRECENTE COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARON E BIERIAL ENTRE A PONTUAÇÃO TOTAL E REPOTA DE CADA ITEM, NO TETE DE INTERPRETAÇÃO DE TETO DA 3.ª ÉRIE, DA ECOLA MUNICIPAI DE ANDIRÁ MATRIZ DE CORRELAÇÃO TETRACÓRICA EGUNDO ITEN DO TETE ALÉRGICO REUMO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ENTRE DUA VARIÁVEI MATRIZ DE CORRELAÇÃO ENTRE A BANDA LANDAT-TM EM MACURURÉ - OUTUBRO AUTOVALORE E AUTOVETORE EGUNDO COMPONENTE PRINCIPAI... 8 NÚMERO DE FAINAI, EGUNDO MUNICÍPIO DA REGIÃO CENTRO-UL DO PARANÁ - AGOTO 997-JULHO RANQUEAMENTO DO FAINAI DA REGIÃO CENTRO-UL DO PARANÁ - AGOTO 997- JULHO CORRELAÇÕE CANÔNICA ENTRE A VARIÁVEI DO GRUPO E GRUPO... 4 CORRELAÇÕE CANÔNICA ENTRE A VARIÁVEI DO GRUPO E GRUPO PARÂMETRO UTILIZADO NO PROCEO DE IMULAÇÃO PARA A OBTENÇÃO DA AMOTRA NORMAI BIVARIADA MÉDIA, DEVIO PADRÃO E MEDIANA DA VARIÁVEI ALEATÓRIA E, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA DEVIO PADRÃO DA VARIÁVEI E, RAZÃO F E VALOR-P, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARON ( E ERRO PADRÃO, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO BIERIAL ( b E ERRO PADRÃO, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO TETRACÓRICO ( t E ERRO PADRÃO, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA ERRO PADRÃO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARON, BIERIAL E TETRACÓRICO, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARON, BIERIAL E TETRACÓRICO E ERRO RELATIVO PERCENTUAI, BIERIAL E TETRACÓRICO, EGUNDO O TAMANHO DA AMOTRA... 5

11 LITA DE GRÁFICO CORRELAÇÃO LINEAR POITIVA PERFEITA ENTRE A VARIÁVEI E... 3 CORRELAÇÃO LINEAR NULA ENTRE A VARIÁVEI E CORRELAÇÃO LINEAR NEGATIVA PERFEITA ENTRE A VARIÁVEI E CORRELAÇÃO NÃO-LINEAR ENTRE A VARIÁVEI E DITRIBUIÇÃO AMOTRAL DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARON PARA 0, DITRIBUIÇÃO AMOTRAL DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARON PARA 0, DITRIBUIÇÃO AMOTRAL DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARON PARA DITRIBUIÇÃO AMOTRAL DE Z PARA 0, DITRIBUIÇÃO AMOTRAL DE Z PARA

12 REUMO A Aálse de Correlação é uma ferrameta mportate para as dferetes áreas do cohecmeto, ão somete como resultado fal, mas como uma das etapas para a utlzação de outras téccas de aálse. Detre as prcpas téccas que utlzam o Coefcete de Correlação estão a Aálse de Cofabldade, a Aálse da Estrutura de Varâca-Covarâca e o Teste de Normaldade ou Gaussadade. É mportate, desse modo, cohecer teorcamete os dferetes métodos e as suposções báscas requerdas para a sua utlzação de forma adequada. Este trabalho apreseta os métodos de Aálse de Correlação, evolvedo varáves meddas em ível tervalar, omal e ordal e a Aálse de Correlação Caôca. Os Coefcetes de Correlação mples abordados o trabalho foram: Coefcete Lear de Pearso, Coefcete de Correlação Bsseral, Coefcete de Correlação Poto Bsseral, Coefcete de Correlação Tetracórco, Coefcete de Correlação Eta, Coefcete de Correlação de pearma, Coefcete de Correlação por Postos de Kedall, Coefcete de Correlação Ph e Coefcete de Cotgêca. O presete trabalho dscutu algus estudos realzados em dferetes áreas de pesqusa, os quas mostram as aplcações dos dferetes coefcetes de correlação. Palavras-chave: Coefcete de Correlação; Medda de Assocação; Aálse da Estrutura de Varâca-Covarâca.

13 ABTRACT Dfferet research areas cosder Correlato Aalyss to be a mportat tool ot oly as a fal result, but also as oe of the steps of other aalyss techques. Amog the ma techques makg use of a Correlato Coeffcet we ca meto Relablty Aalyss, Varace-covarace tructure Aalyss ad Normalty or Gaussa Test. Thus, theoretcally t s mportat to kow dfferet methods ad the basc assumptos requred to usg such methods adequately. The preset work shows Correlato Aalyss methods volvg varables measured at terval, omal ad ordal levels, ad Caocal Correlato Aalyss. Ths work addresses the followg mple Correlato Coeffcets: Pearso Lear Correlato Coeffcet, Bseral Correlato Coeffcet, Pot Bseral Correlato Coeffcet, Tetrachorc Correlato Coeffcet, Eta Correlato Coeffcet, pearma Correlato Coeffcet, Kedall Rak Correlato Coeffcet, Ph Correlato Coeffcet ad Cotgecy Coeffcet. The preset work dscusses some studes, carred out dfferet research areas, showg dfferet uses of dfferet correlato coeffcets. Key words: Correlato Coeffcet; Assocato Measure; Varace-covarace tructure Aalyss.

14 INTRODUÇÃO. PRELIMINARE A Aálse de Correlação e a Aálse de Regressão são métodos estatístcos amplamete utlzados para estudar o grau de relacoameto etre varáves. A Aálse de Correlação forece um úmero, dcado como duas varáves varam cojutamete. Mede a tesdade e a dreção da relação lear ou ão-lear etre duas varáves. É um dcador que atede à ecessdade de se estabelecer a estêca ou ão de uma relação etre essas varáves sem que, para sso, seja precso o ajuste de uma fução matemátca. Não este a dstção etre a varável eplcatva e a varável resposta, ou seja, o grau de varação cojuta etre e é gual ao grau de varação etre e. Já a aálse de regressão, além de medr a assocação etre uma varável resposta e um cojuto de varáves depedetes (,,..., p, também estma os parâmetros do comportameto sstemátco etre as mesmas. Necessta a especfcação da forma fucoal que relacoa a varável resposta às outras covaráves. Quado o objetvo é estudar a relação etre as varáves, em sempre é ecessáro um detalhameto como o da Aálse de Regressão, mas apeas determar o grau de relacoameto etre as varáves aalsadas. Coforme descreve IEGEL (975, p. 0: O estabelecmeto da estêca de uma correlação etre duas varáves pode costtur o objetvo precípuo de uma pesqusa (... Mas também represetar apeas um passo, ou estágo, de uma pesqusa com outros objetvos, como, por eemplo, quado empregamos meddas de correlação para comprovar a cofabldade de ossas observações". Dado um cojuto de varáves, pode haver somete uma relação umérca, sem relação causal. Dz-se, este caso, que a correlação etre as varáves evolvdas é espúra, devdo apeas à cocdêca.

15 Para o desevolvmeto teórco da Aálse de Correlação, são fetas determadas suposções sobre as varáves evolvdas a aálse. Na Aálse de Regressão, as suposções são com relação aos erros do modelo ajustado. Etretato, a prátca, em sempre é possível ateder a tas suposções. Quado as suposções ão forem ateddas para a Aálse de Correlação, são possíves os segutes procedmetos: - utlzar os métodos ão-paramétrcos; - adequar os dados às suposções através de uma trasformação das varáves evolvdas a aálse. Foram abordadas, o presete trabalho, a Aálse de Correlação mples Lear e Não-lear, Lear Múltpla, Aálse de Compoetes Prcpas, Aálse Fatoral e Correlação Caôca. A Aálse de Correlação é amplamete utlzada em Aálse de Cofabldade, Aálse da Estrutura de Varâca-Covarâca e Teste de Normaldade (Gaussadade.. OBJETIVO Os objetvos deste trabalho foram: a Apresetar a teora da Aálse de Correlação; b Dscutr os prcpas métodos e as suposções báscas de cada método; c Comparar, medate smulação, o Coefcete de Correlação Lear de Pearso com os Coefcetes de Correlação Bsseral e Tetracórco; d Apresetar as prcpas utldades da Aálse de Correlação com aplcações.

16 Cosderado que se trata de um assuto bastate amplo, o objetvo ão fo o de esgotar, mas de esclarecer algumas questões teórcas, de forma a cotrbur a utlzação adequada dos métodos dscutdos a lteratura que aborda o tema. Assm, procurou-se fazer um detalhameto teórco das téccas. 3.3 JUTIFICATIVA A Aálse de Correlação é uma ferrameta mportate para as dferetes áreas do cohecmeto, ão somete como resultado fal, mas como uma das etapas para a utlzação de outras téccas de aálse. A mportâca de cohecer teorcamete e em cojuto os dferetes métodos e as suposções báscas requerdas por parte de cada um deles é fudametal, para que ão se utlze medda de correlação adequada. É comum o uso do Coefcete de Correlação Lear de Pearso, por ser o mas cohecdo, mas em mutas stuações sto se dá sem que se teha a clareza de que este coefcete mede a relação lear etre duas varáves. Já algus métodos de uso mas restrto, tas como o Coefcete de Correlação Bsseral, Poto Bsseral e o Tetracórco, são pouco abordados as lteraturas clásscas de Estatístca. Ao apresetar os dferetes métodos de Aálse de Correlação e as suposções báscas para a sua utlzação, pretedeu-se cotrbur para o uso adequado de cada um deles, lustrado com algumas aplcações, através de trabalhos já realzados em dferetes áreas do cohecmeto..4 REUMO HITÓRICO A teora da aálse de correlação teve íco a seguda metade do século I. Fracs Galto (8-9 fo quem usou pela prmera vez os termos correlação e regressão. Publcou em 869 o lvro Heredtary Geus, sobre a teora da regressão (CHULTZ e CHULTZ, 99.

17 4 Galto adotou o termo regressão quado observou que flhos de homes altos ão são, em méda, tão altos quato os pas, mas os flhos de homes baos são, em méda, mas altos do que os pas. Deve-se a Galto a forma gráfca de represetar as propredades báscas do coefcete de correlação. O termo co-relação fo proposto por Galto, pela prmera vez, em 888 (CHULTZ e CHULTZ, 99. A correlação fo observada aalsado-se meddas atropométrcas e defda da segute forma : Two orgas are sad to be co-related or correlated, whe varatos the oe are geerally accompaed by varatos the other, the same drecto, whle the closeess of the relato dffers dfferet pars of orgas. (GALTON, 889, p. 38. eu aluo, Karl Pearso, desevolveu a fórmula matemátca que usamos hoje e que tem seu ome em homeagem. O símbolo do coefcete de correlação amostral r vem da prmera letra da palavra regressão, em recohecmeto a Galto (CHULTZ e CHULTZ, 99. No aeo, ecotra-se o artgo sobre co-relação escrto pelo autor, a ítegra..5 APREENTAÇÃO DO CAPÍTULO No segudo capítulo, apreseta-se uma rápda revsão de lteratura sobre algus cocetos, dstrbuções de probabldades dscreta e cotíua, estmadores de máma verossmlhaça e de mometos, testes paramétrcos e ãoparamétrcos, mportates para o desevolvmeto do tercero capítulo. Dos órgãos são dtos correlacoados quado a varação de um deles é geralmete acompahada pela varação do outro, e a mesma dreção, equato a promdade da relação dfere em dferetes pares de órgãos. O artgo fo obtdo o edereço eletrôco: <

18 5 O tercero capítulo trata da questão cetral deste trabalho, sedo apresetados, além da Teora Estatístca da Correlação, os dferetes Métodos de Correlação para varáves meddas em ível tervalar, ordal e omal, e suas suposções báscas e a Aálse de Correlação Caôca. Dscutem-se, ada, as prcpas utldades dos dferetes Métodos de Aálse de Correlação com suas aplcações, através de trabalhos realzados em dversas áreas do cohecmeto. No quarto capítulo são fetas comparações etre o Coefcete de Correlação Lear de Pearso e os Coefcetes de Correlação Tetracórco e Bsseral, a partr de dferetes tamahos de amostras, geradas por meo do processo de smulação. Falmete, faz-se recomedações para a utlzação dos dferetes Métodos de Aálse de Correlação evolvedo duas varáves e a possbldade da utlzação do Coefcete de Correlação Lear de Pearso mesmo em stuações que ão evolvam varáves meddas em ível tervalar.

19 6 REVIÃO DE LITERATURA. VARIÁVEL QUALITATIVA, QUANTITATIVA E ECALA Toda pesqusa evolve costruções teórcas que o pesqusador deseja comprovar. Para sso faz-se ecessára a defção de varáves, através das quas pode-se aferr as questões de teresse. Assm, é possível eteder que a varável é uma prmera forma de operacoalzar a costrução teórca. E pode-se afrmar que a varável é uma característca que pode ser medda. Uma varável pode se apresetar das segutes formas, quato aos valores assumdos:. o Escala omal: é aquela que permte o agrupameto da udade de observação (udade da pesqusa de acordo com uma classfcação qualtatva em categoras defdas, ou seja, cosste smplesmete em omear ou rotular, ão sedo possível estabelecer graduação ou ordeameto. Ao se trabalhar com essa escala, cada udade de observação deve ser classfcada em uma e somete uma categora, sto é, deve ser mutuamete ecludete. Ctado um eemplo bastate comum, cosderado que seja a varável produção dára de peças de automóves de uma determada dústra, é possível classfcar as peças em perfetas e defetuosas. Neste caso, a varável assume as categoras perfeta e defetuosa, sedo deomada dcotômca. Quado assume mas de duas categoras é deomada poltômca.. o Escala ordal: permte o agrupameto da udade de observação de acordo com uma ordem de classfcação. A escala ordal forece formações sobre a ordeação das categoras, mas ão dca a gradeza das dfereças etre os valores. Cosderado a produção dára das máquas de uma fábrca de peças de equpametos eletrôcos, é possível classfcá-las em: prmera em produção, seguda em produção, tercera em produção, e assm por date.

20 3. o Escala tervalar: ocorre quado as udades de observação, além de estarem uma ordem de classfcação, possbltam quatfcar as dfereças etre elas. Quado o zero está cluído como uma medda, é chamada escala de razão. Como eemplo, seja a varável o úmero de peças de automóves defetuosas produzdas daramete uma certa dústra, essa varável pode assumr valores: 0,,, 3,...,.000. empre que possível, é preferível utlzar a medda de escala de razão, pos a partr desta pode-se trasformar em escala tervalar, ordal ou omal, ão ocorredo o verso. De acordo com o ível de mesuração, a varável pode ser classfcada em qualtatva ou quattatva. Varável qualtatva é aquela cujo ível de mesuração é omal ou ordal, equato a quattatva é aquela em que o ível de mesuração é tervalar ou de razão. A varável quattatva pode ser dscreta ou cotíua, sedo a prmera resultate de cotagem, assumdo somete valores teros, e a últma de medções, assumdo qualquer valor o campo dos úmeros reas. Outra dfereça etre os dos tpos de varáves está a terpretação de seus resultados. A varável dscreta assume eatamete o valor a ela atrbuído. Por eemplo, quado se dz que uma máqua produzu 00 peças durate o da, sto sgfca dzer que a máqua produzu eatamete 00 peças o da. Já a terpretação de um valor de uma varável cotíua é a de ser um valor apromado, por ão estrem strumetos de medda capazes de medr com precsão absoluta, e mesmo porque pode ão haver teresse em se determar um valor cotíuo com tata precsão, cosderado todas as suas casas decmas. Portato, se a varável de teresse for o dâmetro etero de uma peça, e este for de 0,76 mm, o valor eato pode ser um valor etre 0,775 mm e 0,777 mm. 7

21 8. VARIÁVEL ALEATÓRIA Varável aleatóra é aquela cujo valor umérco ão é cohecdo ates da sua observação. Esta tem uma dstrbução de probabldades assocada, o que permte calcular a probabldade de ocorrêca de certos valores. A fução p(, que assoca as probabldades aos valores da varável, é chamada de fução de probabldade (f.p., o caso da varável aleatóra dscreta, e de fução desdade de probabldade (f.d.p., para varável aleatóra cotíua. Estem dstrbuções teórcas de probabldades para varáves dscretas e cotíuas, que serão descrtas adate..3 PARÂMETRO O parâmetro é uma medda que descreve de forma reduzda uma característca, represetada pela varável, da população ou uverso. O parâmetro ormalmete é descohecdo, e deseja-se estmá-lo através de dados amostras. População ou uverso é composto pelos dsttos elemetos (udades populacoas que apresetam pelo meos uma característca em comum, aos quas os resultados do estudo deverão ser ferdos. É mportate dstgur a população-alvo da população amostrada, que é aquela da qual é selecoada a amostra para o estudo. A população-alvo ou população-objetvo é aquela da qual se desejam formações, e que deve cocdr com a amostrada, porém algumas vezes, por razões de operacoaldade ou comoddade, a população amostrada é mas restrta que a população-objetvo. Neste caso, deve-se ter claro que os resultados forecdos pela amostra são váldos para a população amostrada (COCHRAN, 965. A esperaça matemátca E( de uma varável aleatóra, que é a méda da dstrbução, é defda, em CHAVE NETO (003, por: E( P ( (.

22 9 para varável aleatóra dscreta, e por E ( f( d (. para varável aleatóra cotíua. por: A varâca da varável aleatóra, represetada por V ( ou, é defda V( ( E( E( [ E( ] E (.3 ode: E ( P ( (.4 para varável aleatóra dscreta, e E( f( d (.5 para varável aleatóra cotíua. egudo MOOD, GRABILL e BOE (974, se é uma varável aleatóra, o r-ésmo mometo 3 r de, represetado por m r, é defdo como mr E(, se a esperaça este. Observe-se que se r, tem-se m E( µ, a méda artmétca. e é uma varável aleatóra, o r-ésmo mometo cetrado em "a" é r defdo como E[( a ]. e a µ, o r-ésmo mometo cetrado em µ será r m E[( ]. Fazedo r, obtém-se a varâca de, como se pode verfcar: r µ m E[( µ ] (.6 Uma fução que represeta todos os mometos é chamada fução geradora de mometos (f.g.m.. A f.g.m., represetada por m (t ou m(t, é dada por: 3 O método de estmação de parâmetros, deomado Método dos Mometos, fo uma das cotrbuções de Karl Pearso.

23 [ ] t t m (t E e e p( (.7 se a varável aleatóra é dscreta, e por 0 0 t [ ] m(t E e e f( d t (.8 se a varável aleatóra é cotíua. Coforme apresetado em MOOD, GRABILL e BOE (974, se a fução geradora de mometos este, etão m (t é cotuamete dferecável em alguma vzhaça da orgem. Calculado-se a dferecal da fução geradora de mometos r vezes em relação a t, e fazedo t0, tem-se: r m(t t r t0 [ ] r r E m (.9 e r, tem-se E( m (0, e para r, ( m (0. E Portato, uma vez cohecda a f.g.m. da dstrbução da varável aleatóra, a dervada prmera da f.g.m. em relação a t, o poto t0, forece a E (, ou seja, a méda da dstrbução, e a dervada seguda a E(..4 DITRIBUIÇÕE DE PROBABILIDADE.4. Dstrbução Dscreta Detre as dstrbuções de probabldades dscreta cta-se a de Beroull, mportate para o desevolvmeto do estmador do Coefcete de Correlação Poto Bsseral, a ser tratada a seção Dstrbução de Beroull Uma varável aleatóra tem dstrbução de Beroull, segudo CHAVE NETO (003, se assume somete um de dos valores, ou 0. A probabldade de assumr o valor é θ e a de assumr 0 é ( θ, ou seja:

24 P ( θ e P ( 0 θ (.0 A fução de probabldade (f.p. de é dada por: ( P θ ( θ, 0,, 0 < θ < (. Resultado.: Os parâmetros da dstrbução de Beroull são: E ( θ e V( θ( θ. Prova: A esperaça matemátca de uma varável aleatóra dscreta é defda por: E( P ( 0 logo, ( 0 θ ( θ 0 [ ] [ θ ( θ ] θ E (. A varâca de uma varável aleatóra é defda por: V( E( [ E( ] ode: E( P ( 0 logo, E( 0 θ ( θ 0 [ ] [ θ ( θ ] θ portato, V( θ [] θ θ( θ. (.3 Uma das aplcações da Dstrbução de Beroull está a aálse de dscrmação de um tem, ode a resposta ao tem é certo ou errado..4. Dstrbuções Cotíuas Detre as dstrbuções cotíuas, uma das mas mportates é a dstrbução ormal ou dstrbução de Gauss.

25 Adolph Quetelet, estatístco belga, fo o prmero a aplcar a curva ormal de probabldade em Quetelet demostrou que meddas atropométrcas de amostras aleatóras de pessoas formavam uma curva ormal. Ele utlzou o termo l homme moye (o homem médo para eprmr a descoberta de que a maora dos dvíduos se cocetra em toro da méda (cetro da dstrbução, e à medda que se afasta ecotra-se um úmero cada vez meor (CHULTZ e CHULTZ, 99. A dstrbução de mutas estatístcas de testes é ormal (Gaussaa ou segue alguma forma que é dervada da dstrbução ormal, tas como t, χ (qu-quadrado e F..4.. Dstrbução ormal uvarada Uma varável aleatóra tem dstrbução ormal ou dstrbução Gaussaa, segudo CHAVE NETO (003, quado a sua fução desdade de probabldade (f.d.p. é dada por: µ ( f ( e, < µ <, > 0, < < (.4 π Resultado.: Os parâmetros da dstrbução ormal uvarada são: E ( µ e V(. Prova: A esperaça matemátca de uma varável aleatóra cotíua é defda por: E( f( d E( π e µ ( d Fazedo z µ, tem-se que dz d 4 Esta formação fo obtda o ste:

26 3 E( (z µ e π z dz E( (z µ π z e dz E( z µ µ µ π π z 0 e dz e dz (.5 A varâca é obtda através de: V( E( [ E( ] ode: logo, E( E( f( d e π µ ( d Fazedo z µ, tem-se que dz d etão: E( (z µ z e π dz E( E( z (z z e µ µ π dz z z z z e dz µ ze dz µ e π 4 π π4 4 0 dz 4 3 Para calcular π z z e dz, faz-se tegração por partes. Fazedo: ze z dv e z u z v e e dz du

27 4 Obtém-se: π z e E ( (0 µ µ z z z e dz π π e z dz V( µ µ (.6 Quado se tem méda0 e varâca, a dstrbução é chamada ormal padrão e represetada pela varável aleatóra cotíua Z. Etão, µ Z ~ N (0, e (.7 z fz (z e, z R (.8 π A Dstrbução Normal tem grades aplcações a ferêca estatístca, como testes de hpóteses e tervalos de cofaça..4.. Dstrbução χ (qu-quadrado Uma varável aleatóra tem dstrbução χ, segudo CHAVE NETO (003, se sua fução desdade de probabldade (f.d.p. é dada por: f ( e, > 0, > 0 (.9 Γ( Resultado.3: Os parâmetros da dstrbução χ são: E ( e V( Prova: Tem-se que:

28 5 ( d e f(d ( E 0 0 Γ ( ( Γ Γ 0 0 d e d e E( A fução gama geeralzada é defda por: m a 0 m a m d e Γ (.0 Assm, tem-se que: E( Γ Γ Γ Γ. ( E (. A varâca da varável é obtda por: [ ] E( E( ( V ode: d e f(d ( E 0 0 Γ, > geeralzada Gama d e E( 0 Γ Γ Γ Γ Γ E( Portato, V( (.

29 6 Detre as aplcações da Dstrbução Qu-quadrado cta-se a costrução de tervalos de cofaça para varâcas e testes de hpóteses Dstrbução t de tudet Uma varável aleatóra tem dstrbução t com graus de lberdade se sua fução desdade de probabldade (f.d.p. é dada por: f ( ( Γ π Γ (, R, > 0 (.3 Resultado.4: Os parâmetros da dstrbução t são: E (T 0 e V(T, > Prova: A dstrbução t é dada por T Z U ode Z ~ N(0, e V v U ~ χ (.4 Tem-se que z f(z e, z R e π f ( e, > 0, > 0 Γ( U V U Z Z Etão E(T E V E V E[ Z] E mas, ( f(u du u u u 3 u E e du u e du U u Γ Γ gama geeralzada E U 3 3 Γ v Γ A varâca é dada por: V (T E(T [ E(T ] U, portato E (T V 0 E 0 (.5 U

30 7 ode: [ ] U E VE Z U V Z E E(T e, [ ] dz e z dz e dz e E Z gama geeralzada 0 z z z z z π π π mas, ( gama geeralzada du e u du u u f(udu u U E u 0 4 u 0 0 e Γ Γ etão, U E, portato (T E e V(T. (.6 Detre as utlzações da Dstrbução t, ctam-se os testes de hpóteses e tervalos de cofaça para amostras pequeas 30 ( < e testes de hpóteses para coefcete de correlação amostral Dstrbução F de edecor A varável aleatóra tem dstrbução F de edecor com e graus de lberdade se sua fução desdade de probabldade (f.d.p. é dada por: ( Γ Γ Γ ( f, R, 0, > (.7 Resultado.5: Os parâmetros da dstrbução F de edecor são: E(, > e 4 ( ( ( V(, 4 > Prova: eja, ~ F V U etão V U E V U E E( (.8

31 8 [ ] V U.E E E( (U E dv v v V E 0 V e Γ geeralzada gama dv e v V E 0 v Γ V E ( Γ Γ Etão, tem-se que ( E (.9 [ ] E( E( ( V [ ] V E E U V U E V U E E( ( du e u u f(udu u U E u 0 0 Γ ( geeralzada Gama du e u E U 0 u Γ ( ( U E Γ Γ

32 9 dv e v v V E 0 v Γ ( ( 4 dv e v V E 0 v 3 Γ Γ Γ ( ( ( ( 4 E ( ( ( ( ( ( ( 4 4 V( (.30 Detre as aplcações da Dstrbução F é possível ctar a aálse de varâca (ANOVA e aálse de regressão Dstrbução ormal multvarada A fução desdade de probabldade da dstrbução ormal multvarada é uma geeralzação da ormal uvarada para p dmesões (JOHNON e WICHERN, 988. Relembrado a fução desdade de probabldade da dstrbução ormal uvarada, apresetada a seção.4.., que é: ( e ( f µ π, µ < <, 0 >, < < esta otação poderá ser estedda para o caso multvarado. O termo ( ( ( µ µ µ pode ser geeralzado para o vetor de dmesão p de observações de váras varáves como ( ( µ µ Σ. O vetor µ de dmesão p represeta o valor esperado do vetor aleatóro e a matrz Σ de dmesão p p é sua matrz de varâca-covarâca. Assume-se que a matrz smétrca Σ é defda postva e, etão, a epressão ( ( µ µ Σ é o quadrado da dstâca geeralzada de até µ.

33 A fução desdade da dstrbução ormal multvarada é obtda substtudo a dstâca uvarada pela dstâca geeralzada multvarada. Quado sto é feto, a costate ( / / ( π deve ser substtuída para uma costate que represete o volume sob a superfíce da fução desdade multvarada. Isto pode ser feto, coforme descrto em JOHNON e WICHERN (988, quado esta costate for ( p / / π Σ, ode p é a dmesão do vetor aleatóro [ ],,..., p A fução desdade de probabldade será dada por: ( π 0. µ Σ µ f ( e, < < p / /,,,..., p (.3 Σ p µ R, Σ defda ão egatva. Represeta-se esta fução desdade por ( µ, Σ, ode Σ é a matrz de varâca-covarâca, ou seja, V ( E[( µ ( µ ] e E( µ Os estmadores de máma verossmlhaça de µ e Σ são apresetados a segur, coforme demostrados em JOHNON e WICHERN (988, p.40: N p µ e ( ( ( Σ j j j ode ( ( j j j (.3 (.33 A dstrbução ormal bvarada é um caso partcular da multvarada para p. e as varáves aleatóras e, ormalmete dstrbuídas, têm dstrbução ormal bvarada, etão sua fução desdade de probabldade (f.d.p. é dada por: µ ep ( µ µ µ f,(, (.34 π R, R, µ R, µ R, R, R e

34 A fução geradora de mometos desta dstrbução, coforme apresetada em MOOD, GRABILL e BOE (974, é: m(t t,t e ( t t t µ tµ t (.35 Tem-se, assm, os segutes resultados: Resultado.6: As médas (parâmetros das varáves aleatóras e, com dstrbução ormal bvarada, são µ e µ, respectvamete. Prova: Calculado-se a dervada prmera da fução geradora de mometos em relação a t, o poto t e t guas a zero, tem-se: E( m(t,t t,t 0 t E( e ( t tt t ( µ t t t µ t µ t,t 0 E ( µ (.36 Da mesma forma, calculado-se a dervada prmera da fução geradora de mometos em relação a t, o poto t e t guas a zero, tem-se: m(t,t E ( t,t 0 t ( t t t t t µ tµ E ( e t t µ t,t 0 E ( µ (.37

35 Resultado.7: As varâcas (parâmetros das varáves aleatóras e, com dstrbução ormal bvarada, são e, respectvamete. Prova: Calculado-se a dervada seguda da fução geradora de mometos em relação t, o poto t e t guas a zero, tem-se: m(t,t E ( t,t 0 t µ E( Tem-se que V( E( [ E( ], logo V( (.38 Da mesma forma, obtém-se: µ E( e V( (.39 Resultado.8: O coefcete de correlação (parâmetro etre as varáves aleatóras e, com dstrbução ormal bvarada, é gual a, defda por: COV(,,y Prova: A covarâca de e é dada por: [( µ ( µ ] E[ µ µ µ µ ] E[ ] µ E µ (.40 Para se obter mometos cojuto, dfereca-se m(t,t, r vezes em relação a t e s vezes em relação a t e faz-se t e t guas a zero. m(t,t Etão, tem-se que: E ( t,t 0 t t ( µ µ E

36 3 E E ( µ µ [( µ ( µ ] ode é o coefcete de correlação etre e e pode-se escrever: COV(,,y (.4 Resultado.9: O Coefcete de Correlação populacoal vara etre e, ou seja,. Prova: A correlação etre duas varáves e é defda por: COV(,,y ode: é o desvo padrão de ; é o desvo padrão de ; COV (, é a covarâca etre e. A varâca de qualquer valor é sempre postva, por defção. Assm: V 0 (.4 Usado a propredade da varâca, tem-se: V V V( COV, V( 0 COV(, 0 COV(, 0 COV(, 0 COV(,

37 4 De forma aáloga: V 0 (.43 V V COV, 0 V( V( COV(, 0 COV(, 0,y COV(, 0 COV(, Portato:,y (.44.5 ETIMADORE DO PARÂMETRO No caso das dstrbuções de probabldades teórcas descrtas a seção ateror (.4, os parâmetros poderão ser estmados através de estmador ou estatístca. Estmador ou estatístca é uma fução dos valores da amostra, ou seja, é uma varável aleatóra, pos depede dos elemetos selecoados para compor a amostra. Deve-se sempre levar em cota as qualdades de um estmador. Um bom estmador deve possur as segutes propredades:. o er ão-vcado, ou seja, E (T θ ode T estmador. o er efcete (míma varâca θ parâmetro Tedo dos estmadores T e T, a serem utlzados para estmar o mesmo parâmetro θ, T será dto mas efcete que T se para um mesmo tamaho de

38 amostra E ( T θ [ ] < E[ ( T θ ], sedo T e T estmadores ão-vcados de θ. Esta codção dca que a varâca de T é meor que a varâca de T. 3. o er cosstete lm ε Um estmador é dto cosstete se P( T θ 0, ε > 0. e o estmador for ão-vcado, a codção de cosstêca equvale a dzer que sua varâca tede a zero quado tede a crescer ftamete, ou seja, lm V(T 0 e lm E(T θ, ode θ é o parâmetro. Isto sgfca dzer que, à medda que se aumeta o tamaho da amostra (, a dfereça etre a estmatva e o parâmetro dmu, chegado a cocdr quado N (tamaho da população. 4. o er sufcete O estmador ou estatístca é sufcete para estmar um parâmetro θ quado é uma fução dos valores da amostra, e resume todas as formações que a mesma tem sobre o parâmetro. Portato, um estmador sufcete é aquele que depede somete dos dados amostras. Uma forma smples de obter-se estatístcas sufcetes é usar propredades das dstrbuções da famíla epoecal uparamétrca ou k-paramétrca, coforme defções apresetadas em CHAVE NETO (00a. 5 Defção : Uma varável aleatóra em R possu dstrbução da famíla epoecal uparamétrca se a sua fução de probabldade (f.p. ou fução desdade de probabldade (f.d.p. é da forma f( / { ep[ c( θt( d( θ ( ]} IA ( tervalo aberto de R e o cojuto A { / f( / θ > 0} sedo a fução dcadora. θ, ode θ Θ, é depedete de θ, com I Defção : A famíla de dstrbução { P θ;θ Θ} é dta famíla epoecal com k parâmetros ou k-paramétrca se estem as fuções de valor real e, ada, T,T,..., Tk cojuto c,..., c c k, e d( θ,, fuções de varável real, e também, defdas em R, e um A R, tal que a f.d.p. (ou f.p. P θ pode ser escrta a forma:

39 6 p( k, θ ep c ( θt ( d( θ ( I Pelo Teorema da Fatorzação o vetor T( [ T (,...,T ( ] ( θ, θ θ θ.,..., k A ( k é sufcete para Teorema da Fatorzação ou de Neyma-Fsher: eja uma amostra aleatóra [,,..., ] de uma dstrbução f(; θ, θ Θ. A estatístca T( é sufcete para θ se e somete se este fução g(t, θ, defda para todo t e para todo θ Θ, e h( defda em R tal que: P(,θ g(t(,θ h(. Cta-se, ada, o Teorema da Famíla Epoecal para Estatístcas ufcetes e Completas: p( eja { θ Θ} P uma famíla epoecal k-paramétrca dada por θ / k, θ ep c ( θt ( d( θ ( I A (. upoha que a varação de [ C θ, C ( θ,..., C ( ] teha um teror ão-vazo. Etão T( [ T (,...,T ( ] C ( k θ uma estatístca sufcete e completa. é k.6 MÉTODO DE ETIMAÇÃO DO PARÂMETRO Dferetes métodos foram desevolvdos para a estmação dos parâmetros. Ctam-se os métodos de máma verossmlhaça e o dos mometos..6. Método de Máma Verossmlhaça Tem-se que é a varável aleatóra, e θ o parâmetro. A fução de verossmlhaça L é a fução ode θ passa a ser a varável e uma formação dada, de forma que L(, p( θ, θ. No método da máma verossmlhaça, procura-se achar o valor u ( do parâmetro θ que mamza (, estmador de máma verossmlhaça de θ. L θ para cada valor de. edo possível sso, u( é o

40 7 edo a fução logartmo atural (l uma fução estrtamete crescete, o valor mámo de p( θ, rá ocorrer o mesmo poto do valor mámo de [ L(, ] l θ. Estdo o estmador de máma verossmlhaça ( θ, deve-se verfcar: [ p( θ, ] l 0 em θ θ θ Deve-se ctar um teorema mportate para a obteção do estmador de máma verossmlhaça, apresetado em CHAVE NETO (00a: Teorema da Famíla Epoecal para Estmador de Máma Verossmlhaça k eja p(, θ ep c ( θt ( d( θ ( I A (, A, θ Θ e seja C que deota o teror da varação de (, c θ { c ( θ,c ( θ,c ( θ,...,c ( } 3 k θ Eθ [ T ( ] T ( para,,3,..., k têm solução ( θ (, (,..., θ θk ( { c ((,c (( θ,...,c (( θ } C k. e as equações: θ para as quas θ, etão θ é o úco estmador de máma verossmlhaça de θ..6. Método dos Mometos É um método para obter estmadores de parâmetros, baseado a combação do mometo amostral com a correspodete dstrbução de mometos. eja m ( j j E, que represeta o j-ésmo mometo de o poto 0. eja M j o j-ésmo mometo amostral dado por: j j M, j,, 3,..., k Formado as equações: M m f( θ, θ,..., θ, j,, 3,..., k j j k Admtdo-se que tem solução úca, θ (,,...,, j,, 3,..., k. Estes k estmadores, solução do sstema de equações, são os estmadores dos parâmetros pelo método dos mometos. j k

41 8.7 TETE PARAMÉTRICO E NÃO-PARAMÉTRICO.7. Testes Paramétrcos Quado é possível cohecer a dstrbução de probabldades teórca da varável em estudo, pode-se estmar os parâmetros e realzar testes de hpóteses para os mesmos de forma otmzada. Estes testes são cohecdos como testes paramétrcos. Os testes paramétrcos cluem o requsto de que a varável em aálse teha dstrbução de probabldade cohecda. Também supõem que a varável teha sdo medda o mímo em ível tervalar, e para algus casos há a ecessdade de as varáves evolvdas terem as varâcas homogêeas (homocedastcdade..7. Testes Não-Paramétrcos Um teste é ão-paramétrco quado ão há suposções formuladas sobre a atureza ou a forma das dstrbuções populacoas. Estes testes são chamados também de testes lvres de dstrbução. Detre os testes ão-paramétrcos ctam-se os de aderêca..7.. Testes de aderêca A hpótese a ser testada refere-se à forma da dstrbução da população. Admte-se, por hpótese, que a dstrbução da varável em estudo sga o comportameto de uma dstrbução teórca de probabldade, a população. Detre os testes de aderêca mas comus cta-se o Qu-quadrado e de Kolmogorov-mrov. No método de Kolmogorov-mrov a estatístca do teste é a maor dfereça observada etre a fução de dstrbução acumulada da dstrbução teórca e a da varável em estudo.

42 O teste cosste a verfcação do valor d ma F( G( e da comparação com um valor crítco tabelado em fução do ível de sgfcâca (α e o tamaho da amostra (. O teste é ulateral, rejetado-se a hpótese H 0 de que a varável em estudo segue a dstrbução de probabldade ajustada a população, se d for maor que o valor crítco. No método qu-quadrado calcula-se a estatístca através da epressão: 9 χ k ( f f o f e e (.45 ode: χ é o qu-quadrado calculado; f o é a freqüêca observada de uma determada classe ou valor da varável; fe é a freqüêca esperada, segudo modelo testado, dessa classe ou valor da varável; k k f o f e é o úmero de observações da amostra; k é o úmero de classes ou valores dsttos observados a amostra. O teste também é ulateral e rejeta-se H 0 quado o valor de for superor ao valor crítco. χ calculado

43 30 3 MEDIDA DE CORRELAÇÃO 3. INTRODUÇÃO Em estudos que evolvem duas ou mas varáves, é comum o teresse em cohecer o relacoameto etre elas, além das estatístcas descrtvas ormalmete calculadas. A medda que mostra o grau de relacoameto etre duas varáves, como se vu o Capítulo, é chamada de coefcete de correlação. É também cohecda como medda de assocação, de terdepedêca, de tercorrelação ou de relação etre as varáves. Dferetes formas de correlação podem estr etre as varáves. O caso mas smples e mas cohecdo é a correlação smples, evolvedo duas varáves, e. A relação etre duas varáves será lear quado o valor de uma pode ser obtdo apromadamete por meo da equação da reta. Assm, é possível ajustar uma reta da forma α β aos dados. Neste caso, a correlação é lear smples. Etretato, quado ão for possível o ajuste da equação ateror, ão sgfca que ão este correlação etre elas. Poderá haver correlação ão-lear etre as mesmas. Uma forma smples de verfcar o tpo de correlação estete etre duas varáves é através do gráfco chamado dagrama de dspersão. Trata-se de um gráfco ode são represetados os pares (,,,,...,, ode úmero total de observações. Os gráfcos,, 3 e 4 represetam o dagrama de dspersão etre as varáves e. O método que permte estudar as relações ou assocações é cohecdo como Aálse de Correlação. Esta aálse mostra o grau de relacoameto etre as varáves, forecedo um úmero, dcado como as varáves varam cojutamete. Não há a ecessdade de defr as relações de causa e efeto, ou seja, qual é a varável depedete e a depedete. Os dagramas de dspersão a segur mostram os tpos de correlações etre duas varáves.

44 3 GRÁFICO - CORRELAÇÃO LINEAR POITIVA PERFEITA ENTRE A VARIÁVEI E FONTE: A autora GRÁFICO - CORRELAÇÃO LINEAR NULA ENTRE A VARIÁVEI E FONTE: A autora GRÁFICO 3 - CORRELAÇÃO LINEAR NEGATIVA PERFEITA ENTRE A VARIÁVEI E FONTE: A autora

45 3 GRÁFICO 4 - CORRELAÇÃO NÃO-LINEAR ENTRE A VARIÁVEI E FONTE: A autora Quado a aálse evolve grade úmero de varáves e há teresse em cohecer a correlação duas a duas, é comum a costrução de uma matrz de correlações. Esta é uma matrz formada pelas correlações etre as varáves e j, j, fora da dagoal e a dagoal, dcado a correlação das varáves e j, sedo j. Pode ocorrer, ada, stuação ode se tem dos cojutos de varáves, um composto por uma varável ( e o outro com p varáves (,,..., p, e se deseja aalsar a correlação etre a varável e a varável,,,..., p. Neste caso a correlação é chamada de múltpla e calculada por R QRegr Q Total, detalhada a seção Evdetemete, o relacoameto etre e,,..., p pode ser epresso pelo hperplao β β β... β, admtdo relação lear etre e, 0 p p,..., p. Ada, se o teresse é aalsar a correlação etre dos cojutos de varáves,,,,..., p e j, j,,..., q sedo p q, é possível utlzar a técca de Aálse Multvarada, cohecda como Aálse de Correlação Caôca. É possível, resumdamete, reur os métodos de Aálse de Correlação, os quas foram tratados este trabalho em: Aálse de Correlação mples Lear e Não-lear, Aálse de Correlação Lear Múltpla e Aálse de Correlação Caôca.

46 Ates de aplcar qualquer método estatístco paramétrco é ecessáro verfcar se as suposções (tas como Gaussadade, homocedastcdade, depedêca do modelo estão sedo razoavelmete satsfetas, através de uma aálse eploratóra dos dados. Para IQUEIRA (983, a falha de uma das suposções altera o ível de sgfcâca do teste estatístco. O pesqusador pode pesar estar testado, por eemplo, a um ível de sgfcâca de 5%, e a realdade estar testado a um ível maor. Além dsso, é possível causar perda de precsão das estmatvas obtdas MEDIDA DE CORRELAÇÃO ENTRE DUA VARIÁVEI Para McNEMAR (969, as stuações mas freqüetes, a prátca, para as quas as meddas de correlação smples são ecessáras, podem ser agrupadas como se segue: a ocorrem medda cotíua para uma varável e duas categoras para a outra varável; b ambas as varáves são dcotomzadas; c ocorrem três ou mas categoras para uma varável e duas ou mas para a seguda; d ocorrem três ou mas categoras para uma varável e uma medda cotíua para outra; e quado os dados são postos (raks; f as duas varáves são cotíuas. egudo DOWNIE e HEATH (959, estem stuações em que o relacoameto etre as duas varáves ão é lear, ou uma delas ão é cotíua, ou o úmero de pares das meddas é muto pequeo. Etão, para cada uma dessas stuações há ecessdade de uma medda adequada de assocação etre as varáves.

47 3.. Coefcete de Correlação Lear de Pearso e a Dstrbução Normal Bvarada 34 O método usualmete cohecdo para medr a correlação etre duas varáves é o Coefcete de Correlação Lear de Pearso, também cohecdo como Coefcete de Correlação do Mometo Produto. Este fo o prmero método de correlação, estudado por Fracs Galto e seu aluo Karl Pearso, em (CHULTZ e CHULTZ, 99. Este coefcete de correlação é utlzado a Aálse de Compoetes Prcpas, Aálse Fatoral, Aálse de Cofabldade, etre outras, que serão apresetadas este trabalho. O coefcete de correlação populacoal (parâmetro e sua estmatva amostral estão tmamete relacoados com a dstrbução ormal bvarada, defda a seção Cosderado a população ormal bvarada, ode é uma varável ormalmete dstrbuída, com méda µ e desvo padrão, e varável também ormalmete dstrbuída com méda µ y e desvo padrão y, a epressão matemátca da dstrbução (fução desdade de probabldade é dada pela epressão abao, coforme já apresetada a seção.4..5 do Capítulo. f, (, π ep ( µ µ µ µ (3. ode a varação dos parâmetros é: µ R, µ R, R, R e Essa fução cotém os parâmetros obtdos o Capítulo : µ, µ,, e, ode é o coefcete de correlação para a população ormal bvarada, e vara etre e. O coefcete de correlação é defdo como: 5 Esta formação fo obtda o ste:

48 COV(,,, 35 (3. A covarâca é uma medda que epressa a varação cojuta de duas varáves, cuja epressão é dada por: [( µ ( ] COV (, E µ (3.3 Ela depede da escala das meddas, o que mpossblta a déa de como as duas varáves estão relacoadas. Quado se padroza as varáves tem-se o coefcete de correlação, coforme epressão (3. acma, ou seja, COV(, E [( µ ( µ ] µ µ E COV ( Z,Z (3.4 e, é claro, a oção de assocação etre as varáves é percebda mas faclmete Estmadores de máma verossmlhaça Os estmadores de máma verossmlhaça dos parâmetros e são obtdos pelo resultado a segur. µ, µ,, Resultado 3.: ejam pares de observações [(,y,(,y,...,(, y ] do vetor aleatóro [,] que se dstrbu coforme a dstrbução ormal bvarada, ou seja, [,] ~ Ν ( µ, Σ, com [ µ ],µ f, µ e Σ e f.d.p. gual a µ µ µ µ (, ep π ( Etão, os estmadores de máma verossmlhaça dos parâmetros são: µ, µ, (, ( e

49 36 ( ( ( ( Prova: A f.d.p. a forma da fução dstrbução de probabldade cojuta é dada por: µ µ µ µ π,, ( ( ep f Passado para a forma da famíla epoecal: µ µ µ π,, ( ( l ep f µ, ( ( ( l ep f (, µ µ π µ µ ( ( ( ( µ µ µ µ ( ( ( Pelo teorema da famíla epoecal k-paramétrca (defção da seção.5 para estatístcas sufcetes, tem-se que: ( ( ( c µ µ θ e ( T ( ( ( c µ µ θ e ( T 3 ( ( c θ e 3 ( T 4 ( ( c θ e 4 ( T ( ( c 5 θ e 5, ( T

50 Aplcado o Teorema da Famíla Epoecal para Estmador de Máma Verossmlhaça (seção.6. para a obteção dos estmadores: 37 E [ T (] T ( Estmador de Máma Verossmlhaça (EMV para T ( [ (] E T µ µ µ (3.5 Estmador de Máma Verossmlhaça (EMV para T ( [ (] E T µ µ µ (3.6 Estmador de Máma Verossmlhaça (EMV para T 3( 3 [ (] E T

51 38 [ ] ( E V( µ ( µ (3.7 Estmador de Máma Verossmlhaça (EMV para 4 ( T [ ] 4 ( E T [ ] ( E V( µ ( µ (3.8 Estmador de Máma Verossmlhaça (EMV para 5, ( T [ ] ( T, ( T E, 5 5 E [ ], cov( E( E( [ ] E( E( µ µ

52 39 ( (, (3.9 ( ( ( ( ( ( ( (, (3.0 Etão, pelo Teorema da Famíla Epoecal para Estmador de Máma Verossmlhaça, é o úco estmador de máma verossmlhaça de. Fazedo e y a epressão acma poderá ser escrta da segute forma:, y y y y y (3. Este coefcete de correlação é também chamado de "coefcete de correlação do mometo produto", porque é calculado multplcado-se os escores Z de duas varáves (produto de duas varáves e etão calcula-se a méda (mometo do produto de um grupo de observações (CHEN e POPOVICH, 00. Z Z, (3. ode: Z e Z 3... uposções báscas para a utlzação do Coefcete de Correlação Lear de Pearso A suposção básca para a utlzação deste coefcete é de que o relacoameto etre as duas varáves seja lear, ou seja, é adequado para medr o relacoameto lear.

53 40 A seguda hpótese é de que as varáves evolvdas sejam aleatóras e que sejam meddas o mímo em escala tervalar. Uma tercera hpótese é de que as duas varáves teham uma dstrbução ormal bvarada cojuta, o que equvale a dzer que para cada dado, a varável é ormalmete dstrbuída. Esta hpótese é ecessára para fazer ferêcas estatístcas (teste de hpótese e tervalo de cofaça, sedo dspesável quado se tratar de estudos amostras. Esta últma hpótese é mprescdível para amostras pequeas, segudo BUNCHAFT e KELLNER (999, e dmu a mportâca à medda que aumeta o tamaho da amostra, o que é justfcado pelo Teorema Cetral do Lmte para dstrbuções multvaradas apresetado em JOHNON e WICHERN (988, p.45. egudo NEDECOR e COCHRAN (980, a prátca mutas vezes a dstrbução bvarada de teresse está loge de ser ormal. Assm, é possível fazer uma trasformação de varáves de forma que se aprome da dstrbução ormal bvarada cojuta. Assm, tora-se possível estmar a ova escala. Um dos objetvos das trasformações, segudo IQUEIRA (983, é a correção da ão-ormaldade e também a homogeezação da varâca das varáves evolvdas a aálse. As trasformações são leares quado evolvem apeas uma mudaça de orgem e/ou de escala, podedo-se ctar, como eemplo, a padrozação de uma varável ( Z. Este tpo de trasformação ão afeta as característcas essecas de uma aálse estatístca (IQUEIRA, 983. A trasformação lear ão afeta a heterogeedade das varâcas, e se a varável ão é ormal, uma trasformação lear de ão será ormal. Etretato, as trasformações mas mportates são as ão-leares, em que um certo cremeto a escala orgal ormalmete ão correspode ao mesmo cremeto a ova escala, que é o fator resposável pelo efeto da correção dos desvos das suposções. Uma característca mportate a trasformação é que esta mateha a relação de ordem, ou seja, que a ordeação das observações seja preservada. Uma