Matemática Financeira

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1 Cocetos Báscos de Matemátca Facera Uversdade do Porto Faculdade de Egehara Mestrado Itegrado em Egehara Electrotécca e de Computadores Ecooma e Gestão Na prátca As decsões faceras evolvem frequetemete stuações em que um agete efectua um pagameto uma determada d altura e recebe uma altura posteror. Euros pagos ou recebdos em alturas dferetes são dferetes, e essa dfereça é recohecda e quatfcada pela aálse de cash-flow actualzado. Este tpo de aálse é utlzado as mas varadas stuações: avalação de ovos projectos; decsão de compra ou leasg de um determado actvo; decsão de refacar uma emssão de obrgações; avalação de acções e obrgações. Frequetemete chamada pedra agular das faças João Claro, Novembro de 2006

2 Exo temporal Dagrama utlzado para vsualzar problemas partculares Istates 0: hoje : um período após hoje, ou o fm do período 2: dos períodos após hoje, ou o fm do período 2... As marcações o exo represetam fs de período João Claro, Novembro de Exo temporal 0 5% 2 0% ? Fluxos faceros (cash flows) represetados sob as marcações Taxas de juro represetadas sobre o exo temporal João Claro, Novembro de

3 Valor futuro Um euro em cartera hoje vale mas do que um euro a receber o futuro. Tedo hoje essa quata, poderíamos vest-la, receber juros e obter assm o futuro uma quata superor a um euro. Valor futuro de um cash flow ou uma sére de cash flows quata cal acrescetada dos juros obtdos João Claro, Novembro de Valor futuro Notação VA = Valor actual (cal) do cash-flow VF t = Valor futuro do cash-flow ao fm do tervalo de tempo em aálse (t períodos) = taxa de juro um período I = valor dos juros obtdos o prmero período = úmero de períodos João Claro, Novembro de

4 Valor futuro 0 =5% Depósto cal Juros obtdos Motates o fm dos períodos -00 VF =? VF 2 =? VF 3 =? VF 4 =? VF 5 =? VF = VA + I = VA + VA. = VA ( + ) VF 2 = VF ( + ) = VA ( + ) 2... VF = VA ( + ) João Claro, Novembro de Valor futuro Regmes de captalzação dos juros composto: taxa de juro aplcada perodcamete sobre o captal e os juros acumulados dto smples: taxa de juro aplcada perodcamete sobre o captal, sem etrega peródca de juros smples: taxa de juro aplcada perodcamete sobre o captal, com etrega peródca de juros João Claro, Novembro de

5 Valor actual Supohamos duas opções de vestmeto: título de baxo rsco remuerado a ao fm de 5 aos certfcados de aforro a 5 aos com 5% de taxa de juro ível de rsco dêtco Custo de oportudade taxa que se podera obter em vestmetos alteratvos de dêtco ível de rsco 5% Quato estaríamos dspostos a pagar pelo título? João Claro, Novembro de Valor actual Do exemplo ateror 00 vestdos a 5 aos com 5% de taxa de juro aual valeram ao fm de 5 aos O motate que torara dferetes as duas opções sera 00 Se o motate fosse feror a 00 preferêca pelo título Se o motate fosse superor a 00 preferêca pelos certfcados 00 é o valor actual dos João Claro, Novembro de

6 Valor actual Em geral o valor actual de um cash flow devdo de hoje a períodos é o motate que, se fosse detdo hoje, crescera durate os períodos, gualado o motate futuro Actualzação ou descoto processo de determar valores actuas verso do processo de determação do valor futuro VA = VF + João Claro, Novembro de Valor actual Determar taxa de juro ou úmero de períodos VF ( + ) mesma equação, sob duas formas = VA VA = VF + quatro varáves: VA, VF,, cohecedo quasquer três, é possível determar o valor da quarta João Claro, Novembro de

7 Valor futuro de redas peródcas Reda sére de pagametos dêtcos ocorrdos um determado úmero de períodos de tervalos fxos exemplos: 00 o fal de cada um dos próxmos três aos; 50 o íco de cada um dos próxmos ses meses Ocorrêca dos pagametos o fal de cada período redas postcpadas o íco de cada período redas atecpadas Notação VFR = valor futuro das redas a receber em períodos R = reda peródca costate João Claro, Novembro de Valor futuro de redas peródcas Redas postcpadas p Se depostarmos 00 o fal de cada ao, durate 3 aos, uma cota a prazo com uma taxa de juro de 5% ao ao, qual será o motate ao fm de 3 aos? 0 =5% VF 3 = João Claro, Novembro de

8 Valor futuro de redas peródcas Redas postcpadas p VFR VFR = R = R 0 2 ( + ) + R( + ) + R( + ) R( + ) t= ( + ) -t ( + ) VFR = R determação do valor futuro de cada reda somatóro dos valores futuros - João Claro, Novembro de Valor actual de redas peródcas Redas postcpadas p Supohamos duas opções: uma reda a 3 aos com pagametos auas de 00 um motate dspoblzado à ordem hoje Não exste ecessdade de utlzação dos motates, pelo que as redas seram smplesmete depostadas uma cota a prazo com taxa a de juro aual de 5% O motate dspoblzado à ordem sera depostado uma cota semelhate Qual sera o motate equvalete à reda peródca? João Claro, Novembro de

9 Valor actual de redas peródcas Redas postcpadas p Notação VAR = valor actual das redas a receber em períodos 0 =5% VAR 3 = João Claro, Novembro de Valor actual de redas peródcas Redas postcpadas p VAR VAR = R = R - - ( ) ( ) ( - ) - ( ) ( R + + R + ) R( + ) t= t ( + ) ( + ) - VAR = R determação do valor actual de cada reda somatóro dos valores actuas - João Claro, Novembro de

10 Valor actual de redas peródcas Perpetudades úmero de redas é fto R VAR = redas crescetes a uma taxa costate g R VAR = g João Claro, Novembro de Séres de cash-flows dferetes Valor actual Valor futuro VA = t= CFt + t VF = t= CF t ( + ) -t CF t = cash-flow o período t João Claro, Novembro de

11 Séres de cash-flows dferetes Taxa Itera de Retabldade (TIR) É a taxa de juro r que tora ulo o valor actual de uma sére de cashflows, cludo o custo dessa sére de cash-flows (CF 0 ) t CF0 + CFt = 0 t= + r É a taxa de actualzação que guala o valor actual dos cash-flows de um projecto ao valor actual dos custos esperados do projecto Se a TIR exceder o custo de captal, o projecto é lucratvo para os vestdores Caso cotráro, assumr o projecto mporá um custo aos vestdores É esta característca de breakeve que resde a utldade da TIR a avalação de projectos de vestmeto João Claro, Novembro de Taxas omas e taxas efectvas Publcdade de produtos bacáros Cartão de crédto Taxa de.5% por mês Taxa aual omal de 8% =.5% 2 meses (prátca facera correte) Taxa aual efectva é.05 2 = 9.6% Produto de poupaça Utlzar a taxa aual efectva de modo a apresetar valores mas elevados João Claro, Novembro de

12 Taxas omas e taxas efectvas Relação etre taxa omal e taxa efectva AN = taxa aual omal AE = taxa aual efectva = úmero de períodos em que o ao é decomposto AE = + AN João Claro, Novembro de Amortzação de empréstmos Empréstmo amortzado Pagametos em motates peródcos fxos Uma empresa obtém um empréstmo bacáro de 000, que deverá pagar em 3 prestações o fal de cada um dos próxmos 3 aos. O baco rá receber 6% de juros sobre o saldo em dívda o íco de cada ao. Qual o valor de cada prestação? João Claro, Novembro de

13 Amortzação de empréstmos 000 valor actual de uma sére de redas peródcas auas a 3 aos, de valor R, actualzada a 6% VAR = R 3 VAR = R 3 VAR = R 3 0 6% R R R -3-2 ( + ) + R ( + ) + R ( + ) 3 t t= ( + ) ( + ) -3 João Claro, Novembro de R = VAR3 ( + ) -3 = 374. Amortzação de empréstmos Compoetes da reda compoete-juro: cde sobre o saldo em dívda compoete-reembolso: dfereça em relação à reda Comportameto das compoetes compoete-juro redução ao logo do tempo motate em dívda va sedo reduzdo, com a acumulação dos reembolsos compoete-reembolso aumeto ao logo do tempo, uma vez que as redas são costates João Claro, Novembro de

14 Amortzação de empréstmos Quadro de amortzação 6% Ao Motate cal Reda Compoetejuro Compoetereembolso Valor em dívda 000,00 374, 60,00 34, 685, ,89 374, 4,5 332,96 352, ,93 374, 2,8 352,93 0,00 22,33 22,33 000,00 João Claro, Novembro de Bblografa Sousa, Atóo Itrodução à Gestão, uma Abordagem Sstémca, ª edção Edtoral Verbo, 990 (pp ) Brgham, E. F. e Capesk, L. C. Facal Maagemet, Theory ad Practce, 8th Edto The Dryde Press, 997 (pp ) Cadlhe, Mguel Matemátca Facera Aplcada, 3ª edção Edções Asa, 994 João Claro, Novembro de

E-mails: damasceno1204@yahoo.com.br damasceno@interjato.com.br damasceno12@hotmail.com http://www. damasceno.info www. damasceno.info damasceno.

E-mails: damasceno1204@yahoo.com.br damasceno@interjato.com.br damasceno12@hotmail.com http://www. damasceno.info www. damasceno.info damasceno. Matemátca Facera 2007.1 Prof.: Luz Gozaga Damasceo 1 E-mals: damasceo1204@yahoo.com.br damasceo@terjato.com.br damasceo12@hotmal.com http://www. damasceo.fo www. damasceo.fo damasceo.fo Obs.: (1 Quado

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