Neste capítulo pretende-se introduzir o conceito de centróide, em especial quando aplicado para o caso de superfícies planas.
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- Therezinha Faria Canto
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1 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes ENTRÓIDES Neste capítulo pretede-se troduzr o coceto de cetróde, em especal quado aplcado para o caso de superfíces plaas. Este documeto, costtu apeas um strumeto de apoo às aulas de Físca plcada à Egehara vl II.
2 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes ENTRÓIDES ode-se defr cetróde, como o cetro geométrco de um corpo, de uma superfíce, ou de uma lha. ara formas relatvamete smples a determação de cetródes é etremamete fácl e objectva, por vezes até é tutva, o etato quado se trata de formas mas compleas, para determar cetródes é ecessáro recorrer a algus cocetos de base, os quas se apresetam de seguda.. ENTRO DE FORÇS RLELS osdere-se um sstema de forças paralelas, de epressão geral: F F u a) b) Fgura. a) Sstema de forças paralelas; b) Resultate do sstema de forças paralelas. resultate das forças paralelas R e o mometo resultate M pelas segutes epressões: em relação a são dados R F M r F em que r represeta o vector de posção do poto de aplcação de cada uma das forças em relação à orgem. osderado u como um vector utáro paralelo às forças represetadas, as epressões aterores também podem ser represetadas do segute modo:
3 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes R F u em que M M r F u também pode tomar a segute forma M r F u omo já se vu, este sstema pode ser represetado por uma força úca R, cosderado r c como o vector de posção do poto de aplcação de R em relação à orgem, pode-se escrever a epressão de M a segute forma: M r R c gualado as epressões de M, obtém-se a segute gualdade r F u r R c em que R F etão r F u r F c r F u rc F u r F u rc F u gualado os prmeros termos obtém-se r F r F c r F que se pode epressar da segute forma rc F O vector r c, assm defdo, represeta o cetro de forças paralelas, sedo o poto de aplcação da resultate deste sstema. osderado r c c + c j + z c k, as coordeadas do cetro de forças paralelas são dadas por:
4 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes 4 c F F ; c F F ; c z F z F. ENTRO DE GRVIDDE O peso de um corpo é defdo como a força com que a Terra atra o corpo. O poto de aplcação do peso de um corpo é deomado por cetro de gravdade (G ). osderado um corpo como um sstema materal, de massa total M, verfca-se que cada poto materal de massa m, está sujeto a uma força gravítca. Se o sstema for de pequeas dmesões, o cojuto destas forças, costtuem um sstema de forças paralelas, cuja resultate fca aplcada o poto G. osderado m g, em que g represeta a aceleração da gravdade, pode-se represetar o peso total de um corpo como sedo: Desta forma e por aaloga com o que fo apresetado a secção ateror, pode-se represetar o vector de posção de um cetro de gravdade (G ), como: G r r tal como a secção ateror também se podem represetar as coordeadas do cetro de gravdade, as quas se podem escrever como: G ; G ; G z z osderado agora que o úmero de elemetos em que se dvde um determado corpo é fto, e que esses elemetos apresetam smultaeamete dmesões meores, a
5 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes determação do seu cetro de gravdade só será possível recorredo ao coceto de cálculo tegral. Desta forma o peso do corpo será determado recorredo à segute epressão: d Desta forma o vector de posção do cetro de gravdade (G ), será dado da segute forma: r G rd d e em que as coordeadas do cetro de gravdade serão agora escrtas da segute forma: G d d ; G d d ; zg zd d. ENTRO DE MSS O coceto relatvo à obteção de cetro de massa (M ) basea-se o eposto para o caso de cetros de gravdade, baseado-se o facto de se cosderar a aceleração da gravdade g como sedo costate, obtedo-se como se apreseta: r r m g g r m r m M r m g g m m o qual se pode escrever também em fução de um sstema de coordeadas: M m m ; M m m z ; zm m m osderado agora que se está perate um sstema materal, com um grade úmero de partículas e uma dstrbução cotíua de matéra ão decompoível em partes ftas. determação das coordeadas de cetro de massa (M ) será feta com base as segutes epressões: 5
6 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes M dm dm ; M dm dm ; zm zdm dm orém, o cálculo destes tegras ão é drecto, é ecessáro troduzr algus cocetos, por forma a torá-los resolúves. omo seja a passagem de elemetos de massa para elemetos de volume, pelo coceto de massa volúmca ρ, em que: dm ρ dm ρdv dv quado se está perate corpos com materal homogéeo ρ cost., etão as coordeadas de cetro de massa (M ), passam a escrever-se da segute forma: M dv dv ; M dv dv ; zm zdv dv Depededo este caso, só das dmesões do corpo. O poto determado por estas epressões, será para corpos homogéeos, desgado por barcetro, uma vez que cocde com o cetro geométrco (cetróde) do corpo e com o seu cetro de massa..4 ENTRÓIDES DE SUERFÍIES E LINHS Relatvamete às superfíces, o cálculo dos seus cetródes é defdo por aaloga com que já fo apresetado para o caso de volumes. ssm sedo defem-se duas stuações: ) Superfíce decompoível em partes ftas de dmesões cohecdas, cujos ;. cetródes são cohecdos ( ) Fgura. Superfíce decomposta em fguras cohecdas de cetródes cohecdos. 6
7 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes ; ) Superfíce só decompoível em partes ftesmas, recorredo a áreas elemetares d, cuja posção é defda pelas coordeadas e. Fgura. Superfíce decompoível em áreas elemetares. d d ; d d ssocada à defção dos cetródes de superfíces surge também a dos cetródes de lhas, a qual se defe da mesma maera. Defem-se gualmete duas stuações: ) Lha decompoível em partes ftas de dmesões cohecdas L, cujos cetródes ;. são cohecdos ( ) L L ; L L ) Lha só decompoível em partes ftesmas, recorredo a troços elemetares dl, cuja posção é defda pelas coordeadas e. dl dl ; dl dl 7
8 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes.5 RORIEDDES DE BRIENTROS E ENTRÓIDES Relatvamete aos barcetros e/ou cetródes estem algumas propredades, as quas estão relacoadas com elemetos de smetra, partcularmete eos e potos de smetra, os quas mporta defr em prmero lugar: ) Eo de smetra, é um eo que dvde uma superfíce ou um corpo em duas partes eactamete guas. smetra aal ão é forçosamete ortogoal, podedo mafestar-se paralelamete a uma qualquer recta ão perpedcular ao eo de smetra. ) etro de smetra, a uma trasformação geométrca que a cada poto do plao faz correspoder outro poto desse plao de tal forma que ambos estejam alhados com um determado poto fo, à mesma dstâca deste (ão podedo ser cocdetes, e localzam-se em lados opostos relatvamete a ) dá-se o ome de smetra cetral. O poto recebe o ome de cetro de smetra e e dzem-se potos smétrcos. Também se pode desgar esta trasformação geométrca por smetra potual. smetra cetral pode eteder-se como sedo um caso partcular de uma rotação de 8º. a) b) Fgura 4. a) Eo de smetra; b) etro de smetra. presetam-se em seguda as prcpas propredades, relatvas aos barcetros e cetródes: Se uma superfíce apreseta um elemeto de smetra, o cetroíde está ecessaramete cotdo esse elemeto; Se a superfíce tem um cetro de smetra, esse poto é o barcetro ou o cetróde; Se a superfíce admte dos eos de smetra o cetróde ou barcetro é o poto de ecotro dos dos eos; 8
9 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes Nem sempre o cetróde está localzado o teror de uma superfíce, poderá ser ecotrado fora dela. a) b) Fgura 5. a) Fguras com dos eos de smetra; b) etróde fora da superfíce. ara um corpo de forma rregular, costtuído por materas dferetes o cetro de gravdade estará mas prómo da zoa mas pesada..6 MOMENTO ESTÁTIO Em prmero lugar covém abordar o coceto geral de mometo de uma força. O mometo estátco de uma força em relação a um plao, eo ou poto, é gual ao produto da força pela dstâca do seu poto de aplcação à base de referêca. M F d.6. Mometo estátco de uma superfíce plaa O mometo estátco de uma superfíce plaa dfere do coceto geral de mometo estátco aterormete defdo em dos aspectos: ) força F é substtuída pela área da superfíce; ) Relatvamete às forças cosdera-se d como a dstâca do poto de aplcação destas à base de referêca, equato que para as superfíces se cosdera d como a dstâca do cetróde da superfíce à base de referêca. Em seguda apreseta-se a defção de mometo estátco de acordo com o tpo de superfíce cosderada. osderam-se as segutes duas stuações: ) Superfíce decompoível em partes ftas (superfíces cohecdas como sejam rectâgulos, trâgulos, círculos, etc.) de área, tedo como coordeadas do seu ; poto de aplcação (cetróde) ( ) 9
10 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes M ; M ) Superfíce só decompoível em parcelas ftesmas, de área elemetar d, cuja posção é dada pelas coordeadas e M d ; M d O coceto de mometo estátco de lhas pode ser obtdo por aaloga com o de superfíces, o etato, devdo à sua pouca aplcabldade, ão será eposto..7 TEOREMS DE US-GULDINUS formulação destes teoremas remota ao século III a.., os quas foram calmete abordados pelo geómetra grego appus e mas tarde retomados pelo matemátco suíço Guldus (577-64), resultado da combação dos omes destes dos autores a sua desgação. Estudam superfíces e corpos de revolução, permtdo o cálculo das suas áreas e volumes. tes de troduzr estes teoremas proceder-se-á à defção de superfíce de revolução e corpo de revolução. Uma superfíce de revolução é uma superfíce que pode ser gerada pela rotação de uma lha plaa em toro de um eo fo, tal como se apreseta as fguras segutes. Superfíce cóca Superfíce esférca Fgura 6. Superfíces de revolução. Um corpo de revolução é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma superfíce plaa em toro de um eo fo, tal como se apreseta as fguras segutes.
11 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes oe Esfera Fgura 7. orpos de revolução. º TEOREM (lhas plaas superfíces): área de uma superfíce de revolução é obtda multplcado o comprmeto da lha geratrz, pelo percurso do cetróde da lha, durate o movmeto de rotação que gera a superfíce. θ d L em que: - é a área da superfíce de revolução; θ - é o âgulo de revolução, em radaos; d - é a dstâca do cetróde da lha ao eo de rotação; L - é comprmeto da lha. º TEOREM (superfíces plaas corpos): O volume de um corpo de revolução é obtdo multplcado a área da superfíce geradora, pelo percurso do cetróde desta, durate o movmeto de rotação que gera o volume. V θ d s em que: V - é o volume de revolução; θ - é o âgulo de revolução, em radaos; d - é a dstâca do cetróde da superfíce plaa ao eo de rotação; s - é a área da superfíce plaa.
12 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes.8 OUTRS LIÇÕES O coceto de cetróde pode também ser utlzado em outras aplcações, como seja o caso de cargas dstrbuídas em vgas, as quas este coceto é aplcado para determar a localzação do poto da vga em que deverá ser aplcada uma úca carga cocetrada (que represeta a resultate das cargas dstrbuídas). a) b) Fgura 8. a) arga dstrbuída uma vga; b) oto de aplcação da carga cocetrada..9 EERÍIOS presetam-se agora algus eercícos para melhor compreeder e colocar em prátca os cocetos atrás eucados..9. Eercíco osdere a chapa dcada a fgura. ara as udades dadas em [cm], determe: a) s coordeadas do cetróde. b) O mometo estátco relatvamete ao eo -.
13 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes R: superfíce aparece já dvdda em fguras e com o sstema de eos dcado. a) ara determar as coordeadas do cetróde basta aplcar as segutes epressões: 6 π 4 ( 6,5) π, cm 6 π ( 6) π 4 ( 6 ) π,96 cm 6 π ( 6) + 4 b) Relatvamete ao mometo estátco, basta aplcar a epressão M d, tem-se etão: M d,86 +,96,47 cm ( ) ( ).9. Eercíco fgura dcada é costtuída pela secção trasversal de dos perfs UN, com guas dmesões. Determe e dque a fgura o cetro de gravdade do cojuto. (osdere as udades em cm) R: Em prmero lugar deverá dcar-se o sstema de eos a utlzar para a resolução do problema, de seguda procede-se à dvsão da secção trasversal (superfíce) em fguras das quas se cohece perfetamete os cetródes (como sejam rectâgulos, trâgulos, círculos, etc.). ovém utlzar o meor umero de fguras possível, por forma a smplfcar em termos de cálculo, a fgura segute apresetam-se as opções tomadas, que podem ser outras.
14 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes 4 Trata-se portato de uma superfíce decompoível em fguras, aplcado-se as segutes epressões: ( 7 4,5) ( 5,5, 75 ) + ( 4 7 4) ( 5,5 4 ) 9,55 cm ( 7 4) ( 5,5 ) + ( 4 7) ( 5,5 ) ( 7 4 7) ( 5,5 7 ) + ( 4 7,5) ( 5,5 9,75 ) 9,55 cm ( 7 4) ( 5,5 ) + ( 4 7) ( 5,5 ) em que os valores de represetam as dstâcas dos cetródes das fguras ao eo dos meddas o eo dos e os valores de represetam as dstâcas dos cetródes das fguras ao eo dos meddas o eo dos..9. Eercíco s fguras que se apresetam em seguda cotém a plata e a secção trasversal de uma pequea barragem de betão, com as dmesões dcadas em metros. Determe: a) área de cofragem ecessára para a betoagem das faces lateras B e D. b) O volume total de betão ecessáro para a costrução da barragem. 4
15 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes R: Em prmero lugar covém compreeder bem a fgura, à esquerda ecotra-se a plata e à dreta um corte. a) Relatvamete a esta alíea, resolve-se aplcado o º teorema de appus-guldus, que se basea a aplcação da segute epressão θ d L. Uma vez que o que se pretede é a superfíce gerada pela rotação das lhas B e D (que se podem ver o corte ). O âgulo de rotação θ está dcado a plata da fgura, em que o valor de 45º deverá obrgatoramete ser covertdo em radaos π /4 ou, 785. Relatvamete à dstâca d, para a face lateral B correspode à dstâca do cetro de rotação ao cetróde da lha B medda em plata, ou seja, aos m correspodetes ao rao R deverão somar-se, 5 m que correspode à dstâca do cetróde da lha B até, quado esta é projectada em plata. ara a face lateral D, aos m correspodetes ao rao R deverão somar-se 7 m, que correspode à dstãca de a D (a projecção em plata do cetróde da lha D correspode ao própro poto D e também ao poto ). Relatvamete aos comprmetos das lhas L, para a lha B aplca-se o teorema de tágoras, equato que o comprmeto da lha D é dado drectamete. ssm sedo: LB +,44 m B π,5,44 8,6 m 4 D π 7 84,8 m ,64 m total B D 5
16 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes b) resolução desta alíea basea-se a aplcação do º teorema de appus-guldus, que cosste a aplcação da epressão V θ d s. O âgulo de rotação θ é 45º, deverá obrgatoramete ser covertdo em radaos π /4 ou, 785. dstâca d, va do cetro de rotação até à projecção em plata do cetróde da secção. E s correspode à área da secção trasversal do corte. osdere-se a secção trasversal como se mostra em seguda. + ( 4 5 ) 4,8 m + ( 4 ) d + 4,8 4,8 m s + ( 4 ) 55 m V π 4, ,5 m Eercíco Uma chapa metálca fo cortada ao logo da curva, da recta e (udades SI), determe por tegração: a) sua área. b) s coordeadas do barcetro. c) Determe o volume do sóldo gerado pela rotação completa da referda chapa em toro do eo 6. 6
17 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes R: Em prmero lugar covém desehar a superfíce: Uma vez desehada a superfíce a resposta às váras alíeas é quase medata (é ecessáro proceder à resolução dos tegras). a) área de uma superfíce é dada pelo segute tegral: ( ) d dd d,67 m b) ara determar as coordeadas do barcetro ou cetróde é ecessáro calcular os mometos estátcos relatvamete aos eos e : 4 5 M d ( ) dd d d, m ( ) [ ] 4 M d dd d d 4, m o 4 as coordeadas dos cetróde são dadas por: M d 4,, 5 m d,67 M d,, m d,67 c) Relatvamete ao cálculo deste volume, cosste a aplcação do º teorema de appus-guldus, que se basea a segute epressão V θ d s, em que θ é o 7
18 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes âgulo de revolução, que este caso como é uma rotação completa correspode a π (este valor é sempre cosderado em radaos). O parâmetro d, represeta a dstâca que va do cetro de rotação (este caso o eo 6) até ao cetróde da fgura. E s correspode à área da fgura. Tem-se etão: ( ) V θ d π 6,5,67 75,49 m.9.5 Eercíco s osdere uma superfíce lmtada pelas segutes lhas, ; 4; ; e /, com udades dadas em [m]. Determe: a) O mometo estátco relatvamete ao eo -5. b) Qual a rotação ecessára para orgar um volume de m em toro do eo. R: Em prmero lugar covém desehar a superfíce: a) determação do mometo estátco ão é drecta, em prmero lugar determa-se por tergração a área da fgura e o cetróde : [ ] ( ) 8,55 d dd d d m ( ) [ ] ( ) 6,8 5 M d dd d d m M d 6,8, m d 8,55 8
19 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes Uma vez determada a área da superfíce e o seu cetróde relatvamete ao eo dos, basta aplcar a defção do coceto de mometo estátco, ou seja M d, tem-se etão: M d 8,55 5 +, 69,5 cm 5 ( ) ( ) b) Em prmero lugar é ecessáro determar o cetróde, M d ( ) dd d d 4, m 6 4 M d 4, 4, m d 8,55 agora basta aplcar o º teorema de appus-guldus, ou seja, a epressão V θ d : s ( ) V θ d θ 4, 8,55 θ,9 rad s. BIBLIOGRFI Beer, F.; Johsto, E. Mecâca Vectoral para Egeheros Estátca (seta edção), MacGrawHll, 998. Meram, J.; Krage, L. Egeerg Mechacs Statcs (fourth edto), Joh Wlle & Sos, IN, 998. Brazão Farha, J. Tabelas Téccas, Edções Téccas E. T. L. L. da,
20 Físca plcada à Egehara vl II aulo Medes FORMULÁRIOS DE ENTRÓIDES LINHS ÁRES FORM FORM rco de rcuferêca R α G α se R α Sector rcular R α G α se R α Quarto de rcuferêca G R R π R π Quarto de írculo G R 4R π 4R π G R R π Meo írculo G R 4R π Mea rcuferêca Quarto de Elpse b G a 4a π 4b π Trâgulo b G h - h
Capítulo 6 - Centro de Gravidade de Superfícies Planas
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