Notas de aula da disciplina Probabilidade e Estatística

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1 otas de aula da dscpla Probabldade e Estatístca Proessor M Sc Adré Luz DAMAT - UTFPR Esta apostla apreseta os tópcos prcpas abordados em sala de aula, cotedo deções, teoremas, eemplos Sua letura ão é obrgatóra, porem aula o etedmeto do coteúdo estudado Reerecas são etas ao al do materal, ão aparecedo às ctações o teto am de ão sobrecarregar a letura Curtba 0

2 Cocetos e deções O que é Estatístca? Podemos eteder o termo Estatístca como sedo um cojuto de téccas que permtem, de orma sstemátca, orgazar, descrever, aalsar e terpretar dados orudos de estudos ou epermetos, realzados em qualquer área do cohecmeto A grosso modo podemos dvdr a Estatístca em três áreas: Estatístca Descrtva Probabldade Ierêca Estatístca Estatístca Descrtva É, em geral, utlzada a etapa cal da aálse, quado tomamos cotato com os dados pela prmera vez Objetvado trar coclusões de modo ormal e dreto, a maera mas smples sera a observação dos valores colhdos Assm, a estatístca descrtva pode ser deda como um cojuto de téccas destadas a descrever e resumr os dados, a m de que possamos trar coclusões a respeto de característcas de teresse Probabldade Probabldade pode ser pesada como a teora matemátca utlzada para estudar a certeza oruda de eômeos de caráter aleatóro Observação Algus autores cosderam a Probabldade como uma das dvsões da Estatístca 3 Ierêca Estatístca É o estudo de téccas que possbltam a etrapolação, a um grade cojuto de dados, das ormações e coclusões obtdas a partr de subcojutos de valores, usualmete de dmesão muto meor Deve ser otado que, se tvermos acesso a todos os elemetos que desejamos estudar, ão é ecessáro o uso das téccas de erêca estatístca Etretato, elas são dspesáves quado este a mpossbldade de acesso a todo o cojuto de dados, por razões de atureza ecoômca, étca ou ísca Estudos compleos que evolver tratameto estatístco dos dados, usualmete, cluem as três áreas mecoadas aterormete Fases do Método Estatístco Deção do Problema e plaejameto Descrção dos objetvos da pesqusa e detcação da população/amostra Idetcação das varáves, método de vestgação, téccas de amostragem, apuração dos dados, pesqusa ploto e croograma ísco-acero Coleta de Dados A coleta pode ser dreta e dreta É dreta quado eta sobre elemetos ormatvos de regstros obrgatóros ascmetos, casametos, mportação e eportação de mercadoras, elemetos pertetes aos protuáros dos aluos de uma escola, ou ada, quado os dados são coletados pelo própro pesqusador através de quértos e questoáros, como é o caso das otas de vercação e de eames do ceso demográco, etc A coleta dreta de dados pode ser classcada relatvamete ao ator tempo em: a cotíua também deomada regstro, é eta cotuamete, tal como a de ascmetos, casametos e óbtos ou como o de vedas a vsta de uma empresa comercal;

3 b peródca quado eta em tervalos costates de tempo, como os cesos em geral de 0 em 0 aos e os balaços de uma empresa comercal; c ocasoal quado eta de tal modo que ão se cosdera o tempo em cotudade e em peródco, a saber, depedete do tempo e é eta quado a requer o estudo de um eômeo São realzadas a m de ateder a uma cojutura ou a uma emergêca, como o caso de epdemas que assolam ou dzmam rebahos teros A coleta se dz dreta quado é erda de elemetos cohecdos coleta dreta e/ou do cohecmeto de outros eômeos relacoados com o eômeo estudado Como por eemplo, podemos ctar a pesqusa sobre a mortaldade atl, que é eta através de dados colhdos por uma coleta dreta É coleta dreta também, a pesqusa sobre a duração de vda do ser humao que pode ser eta com os dados colhdos através da coleta dreta, obtdos pelos cartóros ou os valores represetatvos das vedas de uma empresa que são etraídos das otas scas e do caa 3 Crítca dos dados Com o propósto de detcar possíves alhas e mpereções que possam ocasoar erros grosseros ou de certo vulto e assm, luecar os resultados, os dados devem se cudadosamete crtcados A crítca pode ser etera ou tera a Etera: quado vsa às causas dos erros por parte do ormate, por dstração ou má terpretação das pergutas que lhe oram etas; b Itera: quado vsa observar os elemetos orgas dos dados da coleta 4 Apuração dos dados É o processameto dos dados obtdos e a dsposção medate crtéros de classcação Pode ser maual, eletromecâca ou eletrôca 5 Eposção ou apresetação dos dados Por mas dversa que seja a aldade que se teha em vsta, os dados devem ser apresetados sob orma adequada tabelas ou grácos, torado mas ácl o eame daqulo que está sedo objeto de tratameto estatístco e posteror obteção de médas, modas, medaas, etc 6 Aálse dos resultados Como já dssemos, o objetvo últmo da Estatístca é trar coclusões sobre o todo população a partr de ormações orecdas por parte represetatva do todo amostra Assm, realzadas as ases aterores Estatístca Descrtva, azemos uma aálse dos resultados obtdos através dos métodos da Estatístca Idutva ou Ierecal, que tem por base a dução ou erêca, e tramos desses resultados coclusões e prevsões 3 Varável Seja o eemplo a segur: Três pessoas estão em uma sala à espera para uma etrevsta Um questoáro é etregue a cada uma dessas pessoas e deve ser etregue o questoáro estem 4 pergutas pessoas, sedo elas: Gêero Seo; Idade em aos; 3 Altura em cm e 4 Fumate As respostas oram colocadas em a tabela a segur: Gêero Idade Altura Fumate Pessoa Masculo 9 79 ão Pessoa Femo 69 Sm Pessoa 3 Femo 64 ão

4 Cada uma das característcas pergutadas as pessoas, gêero, dade, altura e umate, é deomada de varável Assm a varável Gêero assume o valore masculo ou emo, a varável dade os valores 9 aos, aos e assm por date É ácl de vercar que as varáves possuem aturezas deretes em relação aos valores que podem assumr Tal ato deve ser levado em cosderação as aalses Podemos dvdr as varáves em dos grupos qualtatvas ou quattatvas: 3 Varável qualtatva quado seus valores são epressos por atrbutos: seo masculo emo, cor da pele braca, preta, amarela, vermelha, parda, tamaho pequeo, médo ou grade etc 3 Qualtatva ordal tem uma ordeação atural, dcado tesdades crescetes de realzação Eemplo Classe Socal baa, méda ou alta 3 Qualtatva omal quado ão é possível estabelecer uma ordem atural Eemplo Fuma sm, ão 3 Varável quattatva quado seus valores são epressos em úmeros saláros dos operáros, dade dos aluos de uma escola etc 3 Varável dscreta Uma varável quattatva que só pode assumr valores pertecetes a um cojuto eumerável recebe o ome de varável dscreta Por eemplo, a determação do úmero de aluos de certa turma, a varável, úmero de aluos é dscreta 3 Varável cotíua uma varável quattatva que pode assumr, teorcamete, qualquer valor etre dos lmtes, chama-se varável cotíua Por eemplo, a determação das alturas dos adolescetes de uma escola, a varável altura é cotua Seja uma classe ode o meor aluo possu 55 cm e o mas alto 90 cm, os demas aluos podem assumr qualquer altura esse tervalo, dgamos 68,5 cm De um modo geral, as medções dão orgem a varáves cotíuas e as cotages ou eumerações, a varáves dscretas 4 População e Amostra 4 População Estatístca ou Uverso Estatístco É o cojuto de etes portadores de pelo meos uma característca comum Por eemplo, os estudates costtuem uma população, apresetam pelo meos uma característca comum: são os que estudam As populações podem ser tas, como, por eemplo, os aluos matrculados em determada matéra, ou tas, como por eemplo, os resultados obtdos quado se joga um dado sucessvamete Estem populações que embora ta, são cosderadas tas para qualquer aldade prátca Como eemplo, mage o úmero de grãos de area de uma praa Como em qualquer estudo estatístco temos em mete pesqusar uma ou mas característcas dos elemetos de alguma população, esta característca deve estar peretamete deda 4 Amostra Por mpossbldade ou vabldade ecoômca ou temporal, mutas vezes, lmtamos as observações reeretes a uma determada pesqusa a apeas uma parte da população A essa parte proveete da população em estudo deomamos amostra

5 Uma amostra é um subcojuto to de uma população Eemplo: Se qusermos estudar as dades dos aluos matrculados em uma dscpla, etão todos os aluos ormão a população e se apeas tomarmos as dades dos aluos, estaríamos retrado uma amostra da população total 43 Amostragem É uma técca especal para recolher amostras, de uma mesma população, que garata, tato quato possível, o acaso a escolha Dessa orma, cada elemeto da população passa a ter a mesma chace de ser escolhdo, o que garate à amostra o caráter de represetatvdade, da população da qual o etraída Uma amostra é represetatva de uma população quado é composta por elemetos escolhdos de orma ão tedecosa, geralmete, por um procedmeto que garata a casualdade, procedmeto mportate para a coabldade dos resultados e ecessáro à erêca Como é dícl cohecer a população dos dvíduos pesqusados, utlzamos a amostragem para tetar obter as característcas da população utlzado algus dvíduos apeas A amostragem deve ser usada quado: a a população é partcularmete grade ou ta; b as observações ou mesurações têm alto custo; c as meddas egem testes destrutvos; d há ecessdade de rapdez etc 44 Téccas de Amostragem a Amostragem casual ou aleatóra smples Este tpo de amostragem é equvalete a um sorteo lotérco a pratca, a amostragem casual ou aleatóra smples pode ser realzada umerado-se a população de a e sorteado-se, a segur, por meo de um dspostvo aleatóro qualquer, k úmeros dessa seqüêca, os quas correspoderão aos elemetos pertecetes à amostra b Amostragem proporcoal estratcada Mutas vezes a população se dvde em subpopulações estratos Como é provável que a varável em estudo apresete, de estrato, um comportameto heterogêeo e, detro de cada estrato, um comportameto homogêeo, covém que o sorteo dos elemetos da amostra leve em cosderação tas estratos É eatamete sso que azemos quado empregamos a amostragem proporcoal estratcada, que, além de cosderar a estêca dos estratos, obtém os elemetos da amostra proporcoal ao úmero de elemetos dos mesmos A amostragem por estratcação tem as segutes característcas: detro de cada estrato há uma grade homogeedade, ou etão uma pequea varabldade: etre os estratos há uma grade heterogeedade, ou etão uma grade varabldade c Amostragem por Coglomerados A população é dvdda em deretes coglomerados grupos Selecoa-se um coglomerado e detro dele são realzados os estudos Há uma mudaça udametal a udade de sorteo Passamos de elemeto para grupo Cosderamos coglomerados os grupos de elemetos com as segutes característcas: detro de cada coglomerado há uma grade heterogeedade, ou etão uma grade varabldade; etre os coglomerados há uma grade homogeedade, ou etão uma pequea varabldade

6 d Amostragem Sstemátca Quado os elemetos da população já se acham ordeados, ão há ecessdade de costrur o sstema de reerêcas São eemplos os protuáros médcos de um hosptal, os prédos de uma rua, as lhas de produção, etc estes casos, a seleção dos elemetos que costturão a amostra pode ser eta por um sstema mposto pelo pesqusador A esse tpo de amostragem deomamos sstemátca Assm, o caso de uma lha de produção, podemos, a cada dez tes produzdos, retrar um para pertecer a uma amostra da produção dára este caso, estaríamos ado o tamaho da amostra em 0% da população Eemplo Supohamos uma rua cotedo ovecetos prédos, dos quas desejamos obter uma amostra ormada por cqüeta prédos Podemos, este caso, usar o segute procedmeto: como 900/50 = 8, escolheremos por sorteo casual um úmero de a 8 clusve, o qual dcara o prmero elemeto sorteado para a amostra; os demas elemetos seram perodcamete cosderados de 8 em 8 Assm, se o úmero sorteado osse o 4, tomaríamos, pelo lado dreto da rua, o 4º prédo, o º, o 40º etc, até voltarmos ao íco da rua, pelo lado esquerdo 45 Tedecosdade da Amostra Sempre é possível que a amostra obtda seja tedecosa ou vcada, sto é, ão represetatva da população Apresetação de Dados Bascamete a apresetação de dados é eta através de tabelas, quadros e grácos Tabela é um arrajo de dados a orma de grade com lateras abertas equato o quadro possu as lateras echadas As tabelas são mas utlzadas para ormações umércas e os quadros para ormações ão umércas Compoetes de uma tabela ou quadro a Cabeçalho ormações sobre os dados da tabela/quadro O que? Quado? Ode? b Corpo espaço tero à tabela/quadro destado à apresetação dos dados c Rodapé cotém a ote dos dados e demas ormações ecessáras ao etedmeto, tas como, como otas ou chamadas 3 Dstrbuções de Frequêcas Um dos objetvos da Estatístca é stetzar os valores que uma ou mas varáves podem assumr, para que tehamos uma vsão ampla da varação dessa ou dessas varáves E sso ela cosegue, calmete, apresetado esses valores em tabelas e grácos 3 Dados Brutos São aqueles que ada ão oram orgazados Um eemplo é o cojuto das alturas de 00 estudates trado de uma lsta alabétca do regstro da uversdade 3 Rol É um arrajo de dados brutos em ordem crescete ou decrescete Pode-se realzar a ordeação com o auílo sotwares, caso possua mutos dados, ou maualmete, quado o úmero de dados é reduzdo

7 33 Frequêca smples ou absoluta Frequêca smples ou absoluta do valor é o úmero de vezes que a varável estatístca assume o valor Mas o processo dado pode ser coveete, já que ege muto espaço, mesmo quado o úmero de valores da varável é de tamaho razoável Sedo possível, a solução mas acetável, pela própra atureza da varável cotíua, é o agrupameto de valores em város tervalos Deste modo, estaremos agrupado os valores da varável em tervalos, sedo que, em Estatístca, preermos chamar de classes Chamado de requêca de uma classe o úmero de valores da varável pertecetes à classe 34 Classes de Frequêca Classes de requêca ou, smplesmete, classes são tervalos de varação da varável As classes são represetadas smbolcamete por, sedo =,, 3,,k ode k é o úmero total de classes da dstrbução 35 Lmte de Classe Deomamos de lmte de classe os etremos de cada classe O meor úmero é o lmte eror da classe l e o maor úmero, o lmte superor da classel Obs Segudo Resolução 886/66 do IBGE o tervalo de classe deve ser echado à esquerda e aberto à dreta, e utlza-se o símbolo 36 Ampltude de um Itervalo de Classe Ampltude de um tervalo de classe ou, smplesmete, tervalo de classe é a medda do tervalo que dee a classe Ela é obtda pela dereça etre os lmtes superor e eror dessa classe e dcada por h Assm: h = L l 37 Poto Médo de uma Classe É o poto termedáro do tervalo de classe e é obtdo somado-se o lmte eror ao lmte superor e dvddo-se a soma por 38 Ampltude Total R É a dereça etre o valor mámo e o valor mímo observados o cojuto de dados Assm, o eemplo da seção 3 temos que a ampltude das dades dos etrevstados é: 39 Somatóro R = 9 = 3 O símbolo é usado para escrever abrevadamete epressões que evolvem sucessvas adções Assm, dcamos a adção dos termos, com varado de até k k *, como: k ou

8 39 Propredades do somatóro P Seja X = { } =,, k uma varável e α uma costate, etão, P Seja α uma costate, etão k k P3 O somatóro de uma soma de varáves é gual à soma dos somatóros de cada uma das varáves: y y P4 O somatóro de uma dereça de varáves é gual à dereça dos somatóros de cada uma das varáves: y y 30 Frequêca Absoluta Acumulada Podemos completar a tabela de reqüêcas absolutas com uma colua de reqüêcas absolutas acumuladas a ou somete reqüêca acumulada, cujos valores são obtdos adcoado a cada reqüêca absoluta os valores das reqüêcas aterores 3 Frequêca Relatva Chama-se requêca relatva r do valor de da varável o quocete etre a reqüêca absoluta e o úmero de elemetos da amostra e é, geralmete, epressa em porcetagem, ou seja: r 4 Represetação Gráca Após a coleta de dados em uma pesqusa, vmos que uma maera de orgazar dados de orma cocsa é costrur tabelas de requêcas Uma vez obtda a tabela de requêcas podemos vsualzar melhor os dados destas, costrudo-se grácos A apresetação em grácos, das dstrbuções de reqüêcas de uma varável em estudo, permte ao letor uma vsualzação acurada dos resultados serdos as tabelas Estem dversos tpos de grácos e a escolha adequada depede bascamete do tpo de dado e da aldade da apresetação Os grácos podem ser aclmete elaborados com uso de sotwares especícos, tal como o sotware Ecel 4 Gráco de Lha Estudamos grácos de lha desde o eso udametal, ode costruímos os grácos de uções de uma varável Tas grácos são etos o chamado plao cartesao y, ode corotamos para cada valor de, varável, com seu respectvo par y = os grácos de lha de varáves estatístcas são costruídos da mesma maera, ou seja, para cada varável temos um correspodete y = Os grácos de lhas são muto utlzados para mostrar a evolução durate certo período séres temporas O gráco permte vsualzar muto bem o crescmeto, o decréscmo ou a establdade do objeto a ser aalsado 4 Gráco de Barras É um tpo de gráco em que barras horzotas com larguras guas e comprmetos proporcoas à requêca de cada dado

9 O gráco de barras é aproprado para represetar gracamete os dados qualtatvos, porém pode, também, ser utlzado para represetar dados quattatvos dscretos 43 Gráco de Coluas É um tpo de gráco em que barras vertcas com larguras guas e comprmetos proporcoas à requêca de cada dado Os valores da varável são colocados o eo horzotal, e as requêcas o eo vertcal Idcado para séres temporas, séres cojugadas, varáves qualtatvas e quattatvas dscretas 45 Hstograma Para dados agrupados em classes, a represetação gráca da dstrbução de requêcas é eta por meo de um hstograma, que é um gráco ormado por um cojuto de coluas retagulares o eo das abscssas marcamos as classes, cujas ampltudes correspodem às bases dos retâgulos o eo das ordeadas marcamos as requêcas absolutas ou relatvas, que correspodem às alturas dos retâgulos Os potos médos das bases dos retâgulos cocdem com os potos médos dos tervalos de classes 45 Rotero para costrução do hstograma a Obteha a tabela de requêca a partr dos dados, agrupado-os em classes; b desehe dos eos ortogoas de bom tamaho; c dvda o eo horzotal em tatas partes quato or o úmero de classes mas dos cosdere uma classe à esquerda da prmera classe e outra à dreta da últma classe, para dear espaço sucete para traçar o polígoo de requêca, que veremos mas adate, e marque os úmeros correspodetes aos lmtes eror e superor de cada classe; d detque a maor requêca da classe a tabela de requêca; escolha um úmero adequado, maor ou gual àquela requêca; marque esse úmero a etremdade do eo vertcal; dvda o eo vertcal em algumas partes e marque os úmeros correspodetes; e para cada classe, desehe um retâgulo com largura gual a ampltude da classe com altura gual à requêca da classe 46 Gráco Polígoo de Frequêca O polígoo de requêca também é estruturado a partr da tabela de requêca, tal qual o hstograma Dee-se o gráco polígoo de requêca como um gráco de lha, ode os potos a serem coectados pela lha são os potos médos dos tervalos de classe para as abscssas com as correspodetes requêcas para as ordeadas 47 Gráco Polígoo de Frequêcas Acumuladas Ogva A represetação gráca da requêca acumulada é deomada ogva e é costruída por segmetos de reta terlgado os potos dedos pela requêca acumulada e pelo lmte superor de cada classe 5 Meddas de posção ou de tedêca cetral A pretesão é de determar as meddas que oerecem o poscoameto da dstrbução dos valores de uma varável que desejamos aalsar Ou seja, são meddas utlzadas para represetar eômeos coletvos através de um úco valor, orecedo uma déa geral a respeto do ato ou eômeo aalsado Dvdem-se em:

10 Matemátcas: Méda artmétca; Méda geométrca; Méda harmôca ão matemátcas: Moda; Medaa 5 Méda artmétca É a mas comum e mas tutva das meddas de posção; Tem uso geeralzado, ou seja, aplca-se a um grade úmero de stuações prátcas; Deve ser empregada com cautela, pos sore luêca de todos os valores presetes a amostra sére; v É represetada por: méda da amostra; méda populacoal Calculo da méda artmétca a Sére smples, lsta de dados ou dados brutos Amostra Seja,,, uma amostra com observações, a méda artmétca é: Méda artmétca de uma população de tamaho : b Séres agrupadas Méda artmétca de uma população de tamaho :

11 5 Méda geométrca Deve ser utlzada sempre que a sére amostra: Apromar-se de uma Progressão Geométrca PG; Represeta percetages sucessvas quado deretes porcetages cdem uma sobre as outras Cálculo da méda geométrca a Sére smples amostra Seja,,, uma amostra com observações o ormato de uma PG, a méda geométrca smples desse cojuto de dados é obtda por: G b Séres agrupadas,, uma amostra com observações o ormato de uma PG, ode podem ocorrer repetções os valores observados Temos que a méda geométrca desse cojuto de dados é obtda por: Seja, G Podemos ver que quado trabalhamos com a méda geométrca para séres agrupadas, temos a multplcação de valores com uma potêca relacoada, assm podedo coduzr a valores elevados Uma solução alteratva que se apreseta esses casos cosste em utlzar logartmos e trasormar as epressões para as que seguem: Sére smples amostra at log G l G 53 Méda harmôca H log l Sére agrupada log G l G l log log log G 0 G at log l G e G É um tpo especal de méda, deve ser usada quado a sére apresetar uma relação versa etre os dados, por eemplo, os casos de cálculo de velocdade méda ou cosumo médo, pos, à medda que a velocdade ou cosumo aumetam, o tempo evolvdo dmu A méda harmôca correspode ao verso da méda artmétca com os dados vertdos Cálculo da méda harmôca

12 a Sére smples amostra Seja,,, uma amostra com observações, a méda harmôca desse cojuto de dados é: H b Séres agrupadas Se, e,,,,, 54 Medaa, etão a méda harmôca de é: H É utlzada para destacar o elemeto cetral em um cojuto de dados, ou seja, a medaa é o elemeto que dvde uma sére amostra em duas partes guas 0% M e 00% Por estar o cetro da sére em termos da quatdade de elemetos, a medaa ão sore tererêca dos valores etremos Por sso acaba sedo uma medda mas útl e mas teressate do que a própra méda, prcpalmete para a aálse e terpretação de atos socoecoômcos, ode é requete a preseça de valores etremos ortemete derecados Cálculo da medaa a Sére smples ímpar A medaa correspode ao termo cetral b Sére smples par A medaa correspode a méda artmétca smples dos valores dos dos termos cetras c Sére Agrupada ímpar, a medaa será o elemeto cetral ; par, a medaa será a méda etre os elemetos cetras e

13 55 Moda M o É utlzada para destacar o elemeto que mas se repete um cojuto de dados, ou seja, moda é o elemeto que tver a maor requêca Cálculo da moda a Séres smples amostra A moda ão é calculada, apeas dcada b Sére agrupada Basta detcar qual é o elemeto que apreseta a maor requêca 6 Meddas de ordeação ou separatrzes São meddas utlzadas para azer cortes ordeados em uma sére amostra, vsado detcar característcas relevates Dvdem-se em: Medaa; Quarts; Decs; Percets 6 Medaa É o elemeto que dvde a sére em partes guas 50% abao e 50% acma do seu valor 6 Quarts São elemetos que dvdem a amostra sére em quatro partes guas, ou seja, de 5% em 5% 63 Decs São elemetos que dvdem a sére em dez partes guas, ou seja, de 0% em 0% 64 Percets São elemetos que dvdem a sére em cem partes guas, ou seja, de % em % Podemos otar que a medaa, quarts e os decs são cojutos de percets, assm podemos substtur todas as separatrzes apeas pelos percets Decs Percets D P 0 D P 0 D 9 P 90 Quarts Percets Q P 5 Q P 50 Q 3 P 75 Medaa Percets M e P 50

14 Tas meddas de ordeação são geralmete utlzadas as dstrbuções de requêca de varáves cotíuas Porém, é possível eetuar seu cálculo para séres smples e agrupadas de dados dscretos Cálculo de meddas de ordeação as séres smples e agrupadas Ordea-se a sére de orma crescete; Atrbu-se um úmero atural a cada posção do elemeto, ou seja, ª posção recebe o úmero e assm até a últma posção Como podemos substtur qualquer uma das três meddas pelos percets, apeas uma equação é ecessára: ode: 00% 0% p 0% é o úmero de observações; é a ordem de uma determada observação; p é o percetl desejado epresso em % Ada, sedo cohecdo o percetl p, temos que: 7 Meddas de dspersão p 00 São meddas utlzadas para avalar o grau de dspersão, ou varabldade, dos valores em toro da méda Servem para medr a represetatvdade da méda ou 7 Ampltude total É a dereça etre os etremos, ou seja, a maor observação meos a meor: R ma m A ampltude é uma medda lmtada, já que leva em cosderação apeas os etremos, assm pode ão dcar o tamaho da varabldade das observações 7 Varâca Quado aalsamos a dspersão dos dados em relação à méda estudamos os desvos de cada valor em relação à méda ou Assm, se os teremos pouca dspersão Caso cotráro, a dspersão será alta d d orem prómos à zero,

15 Podemos vercar que a soma dos desvos 0 d, assm, para o cálculo da varâca utlzaremos o quadrado dos desvos d, sedo que: d ou d 0 d d ou d A varâca é apresetada em dos cocetos: Populacoal ; Amostral S A varâca,, reerete à população com observações é gual a soma dos quadrados dos desvos dvddo por Assm: d Para dados agrupados: d A varâca, S, de uma amostra com observações é gual a soma dos quadrados dos desvos, dvddo por, assm: d S Para dados agrupados: d S 73 Desvo Padrão Quado calculamos a varâca, estamos estudado a dspersão de uma amostra, porém, como utlzamos os quadrados dos desvos, a varâca acaba os ormado o valor da dspersão com uma dmesão a mas que a amostra Por eemplo, se a varável em aálse dor medda em metro, a varâca será epressa por m Portato, para dear a a mesma dmesão da amostra, devemos etrar a raz quadrada da varâca, deomado de desvo padrão ou erro padrão: desvo padrão populacoal;

16 S S desvo padrão amostral O desvo padrão relete a varação méda absoluta dos dados em toro da méda artmétca A teora dos ses sgmas ses desvos padrão a área da qualdade, busca reduzr ada mas a varabldade dos processos produtvos, ou seja, busca reduzr a possbldade do processo apresetar deeto Iterpretação do desvo padrão º Regra Empírca: Para qualquer dstrbução amostral ou populacoal com méda ou e desvo padrão S ou, há: O tervalo S ou cotém etre 60% e 80% de todas as observações A porcetagem se aproma de 70% para dstrbuções apromadamete smétrcas, chegado a 90% para dstrbuções ortemete assmétrcas; O tervalo S ou cotém apromadamete 95% das observações para dstrbuções smétrcas e apromadamete 00% para dstrbuções com assmetra elevada; O tervalo 3S ou 3 cotém apromadamete 00% das observações, para dstrbuções smétrcas º Teorema de Tchebyche Para qualquer dstrbução com méda e desvo padrão: O tervalo S ou cotém, o mímo, 75% de todas as observações; O tervalo 3S ou 3 cotém, o mímo, 89% de todas as observações 74 Coecete de varação de Pearso É uma medda relatva de dspersão O coecete de varação CV mede a dspersão relatva Assm: ode: S é o desvo padrão amostral; é o desvo padrão populacoal; é a méda amostral; é a méda populacoal Iterpretação do Coecete de Varação S CV 00 ou CV 00 CV 5% 5% CV 30% 30 % CV Este baa dspersão boa represetatvdade para a méda artmétca como medda como medda de posção; Há méda dspersão a represetatvdade da méda artmétca como medda de posção Há elevada dspersão a represetatvdade da méda artmétca como medda de posção é rum

17 75 Escore padrozado Também é uma medda de dspersão relatva Z ou S Z O valor do escore padrozado relete a dspersão da observação em relação à méda Um valor Z 0 dca que a observação está à esquerda da méda, equato um escore postvo dca que a observação está à dreta da méda 76 Detectado Outlers Às vezes quado trabalhamos com amostras de observações reas podemos os deparar valores etremos muto deretes da meda Chamamos tas valores de outlers Esses valores podem provocar dstorções a aálse dos resultados Portato, é teressate detcar-los, ates mesmo de car as aálses º Método: Podemos calcular o escore padrozado Z e cosderar outlers as observações com Z 3 º Método: Podemos utlzar o coceto do gráco boplot presete em algus sotwares estatístcos Aaltcamete, prmero precsamos calcular o prmero e o tercero quartl Q P5 e Q3 P 75 A dereça etre Q 3 e Q é chamado tervalo terquartílco I Q 3 Q Os dados stuados ora dos tervalos que serão aucados a segur, podem ser cosderados dados etremos moderados Outlers moderados: Outlers severos L L sup Q 3I Q,5 I Q 3I Q,5 I 3 3 L Q 3I L Q 3I 77 Meddas de assmetra É o grau de aastameto, de uma dstrbução, da udade de smetra Em uma dstrbução smétrca, há gualdade etre os valores da méda, medaa e moda

18 Dstrbução Smétrca M e M o Dstrbução Assmétrca Postva M o M e Dstrbução Assmétrca egatva M e M o Cálculo do coecete de assmetra º Coecete de Pearso: M 0 A S ou S M 0 A S º Coecete de Pearso: A S Q 3 Q M Q 3 Q e Iterpretação quato ao sal: Se: A 0, dz-se que a dstrbução é smétrca; S A 0, dz-se que a dstrbução é assmétrca postva; S A 0, dz-se que a dstrbução é assmétrca egatva S Iterpretação quato à tesdade cosderado os resultados em módulo:

19 Se: Ou 0 A Assmetra raca; S AS Assmetra orte 0 A 0 Assmetra raca; S 0, A Assmetra orte 78 Meddas de Curtose S É utlzado para calcular o achatameto de uma sére estatístca, podedo ocorrer três possbldades: Para medr o grau de curtose, utlzamos o segute coecete de Kelley: K P 75 P 5 P90 P0 Iterpretação: Se K 0, 63 Curva Mesocúrtca; Se K 0, 63 Curva Leptocúrtca; Se K 0, 63 Curva Platcúrtca

20 8 Probabldades 8 Eperêca aleatóra Cosdere uma eperêca comportado resultados mprevsíves e mutuamete eclusvos, ou seja, em cada repetção dessa eperêca é mpossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado será obtdo, além dsso, a ocorrêca de um deles eclu os demas Por eemplo: O laçameto de um dado de ses aces, cujos possíves resultados são: {,,3, 4,5,6} Toda eperêca aleatóra, e seus possíves resultados, mutuamete eclusvos, são chamados de evetos smples 8 Espaço amostral É o cojuto de todos os evetos smples possíves, ou seja, todos os valores que podem aparecer, o caso do dado, ou todos os eômeos possíves de acotecer Eemplo: a prevsão do clma para uma cdade, temos três tpos de eômeos possíves: C { chuva, sol, ublado }, que é o espaço amostral para o clma 83 Meddas de probabldade escola objetvsta Da deção clássca de probabldade temos: Dado um espaço amostral to S a, a,, a } com a,, potos amostras que { podem ter a mesma chace de acotecer, ou seja, são cosderados equprováves Etão, todo subcojuto A do espaço amostral S é chamado de eveto, com sua probabldade calculada por: m úmero de casos avoráves P A úmero de casos possíves Por eemplo: o caso dos dados, a probabldade do úmero 3 sar é gual à: P 3 6 que é a probabldade para qualquer outro úmero sar 84 Meddas de probabldades escola subjetvsta Tal escola cosdera a probabldade como a medda de uma creça pessoal de que determado eveto teha ocorrdo, ocorrerá ou esteja ocorredo Uma declaração do grau de creça em um acotecmeto, com base em cosderações pessoas, deoma-se probabldade subjetva Quado um gerete declara que é de 80% a probabldade de êto do laçameto de um produto, ele está utlzado a probabldade subjetva em ace do acotecmeto de um eveto, o caso, laçameto do produto 85 Regras báscas da probabldade 85 Campo de varação das possbldades A probabldade de um eveto acotecer vara de 0 à 85 Probabldade do espaço amostral 0 P A 0% P A 00%

21 É sempre gual a : P S P S 00% 853 Regra da adção de probabldades A probabldade da ocorrêca do eveto A ou B ou de ambos é dada por: P A B P A P B P A B caso A e B sejam mutuamete eclusvos, sto é, A B temos: P A B P A P B * Podemos esteder essa déa para um cojuto A A, A,, ormado por evetos mutuamete eclusvos: P A A Ap P A P A P Ap P A 854 Probabldade de um eveto complemetar Se c A é o eveto complemetar de A temos etão: P A c P A 86 Multplcação de probabldades e depedêca estatístca Dos evetos são dtos estatstcamete depedetes se a ocorrêca de um deles ão aetar a ocorrêca do outro Assm, um epermeto de laçar uma moeda duas vezes, a probabldade de sar cara, ou coroa, o segudo laçameto, ão é aetada pelo resultado do prmero Assm temos que, dados dos evetos, A e B, a probabldade da ocorrêca cojuta é deda pela regra da multplcação P A B P A P B * Geeralzado, temos que para város evetos A A, A,, a probabldade cojuta é deda por: 86 Probabldade codcoada P A A Ap P A P A P Ap P A Caso, em um epermeto, a codção de depedêca de dos evetos ão estver estabelecda, estaremos trabalhado com um problema de probabldade codcoal Dados dos evetos, A e B, a probabldade de que o eveto B ocorra, dado que o eveto A já ocorreu, é a probabldade codcoada de B a A, escrta por P B / A Smlarmete, podemos escrever a probabldade da ocorrêca de A, codcoada à ocorrêca de B, como P A/ B lê-se probabldade de A dado que B acoteceu, ou probabldade de A codcoada à ocorrêca de B A p A p

22 Portato, dados dos evetos, A e B, que ão são depedetes, a probabldade codcoada de A, dado que B acoteceu, é deda por: P A B P A/ B P B 86 Regra geral da multplcação de probabldades A partr da deção de probabldade codcoal, é possível eucar a regra geral de multplcação de probabldade: A probabldade da ocorrêca smultâea de dos evetos, A e B, do mesmo espaço amostral, é gual ao produto da probabldade de um deles pela probabldade codcoada do outro, dado o prmero 863 Idepedêca de evetos P A B P A P B / A P B P A/ B Um eveto B é dto depedete do eveto A se a probabldade de B é gual a probabldade codcoal de B dado que A acotece, ou seja, se P B P B / A Se: P A B P A P B / A com P B P B / A temos P A B P A P B 87 Teorema de Bayes Sejam P E, E,, E k evetos mutuamete eclusvos, tas que E P E P Ek Seja A um eveto qualquer, que se sabe ocorrerá em cojuto com, ou em coseqüêca, um dos evetos E Etão, a probabldade de ocorrêca de um eveto E, dada a ocorrêca de A, é dada por: P E P E P A/ E / A P E P A/ E P E P A/ E P E P A/ E k k Este resultado relacoa a probabldade a pror P E com a probabldade a posteror P A/ E, probabldade da ocorrêca de A 9 Dstrbuções de probabldades de varáves aleatóras dscretas 9 Varáves aleatóras Seja um epermeto aleatóro e S o espaço amostral assocado ao epermeto Uma ução X que assoce a cada elemeto s S um úmero real X s é deomada varável aleatóra va

23 9 Varável aleatóra dscreta Seja X uma varável aleatóra Se o úmero de valores possíves de X or to ou to eumerável, deomaremos X de varável aleatóra dscreta 9 Varável aleatóra cotíua Seja X uma varável aleatóra Se o cotra domío de X é um tervalo, ou uma coleção de tervalos, deomaremos X de varável aleatóra cotua 9 Fução de probabldade Seja X uma varável aleatóra dscreta Sejam,, seus possíves valores A cada resultado assocaremos um úmero p P X, deomado probabldade de, tal que: a p ; ; b p Essa ução é deomada ução de probabldade da varável aleatóra X A dstrbução de probabldade de X é dada pelos pares [ ; p ],,, e poderá ser epressa por uma tabela, gráco ou órmula 93 Fução de dstrbução acumulada Dado X varável aleatóra dscreta, dee-se ução de dstrbução acumulada em um poto, a soma das probabldades dos valores meores ou guas a F p 94 Esperaça ou méda de uma varável aleatóra Seja uma v a dscreta, com valores,,, esperaça matemátca de, ou méda de, é deda como: k, os valores esperados de ou k E[ ] p 95 Varâca e desvo-padrão de uma varável aleatóra dscreta A deção de varâca de uma v a dscreta é dada por: desevolvedo o quadrado temos: Var[ ] V[ ] E[, E ] [ ]

24 ode E [ ] p e p O desvo padrão é gual à raz quadrada postva da varâca 96 Dstrbução de Beroull É um modelo que da a probabldade de sucesso quado se realza um epermeto que admte dos resultados sucesso ou racasso com probabldade de sucesso e para racasso 96 Eemplo de eperêca de Beroull Laçar uma moeda e vercar a ace que ca voltada para cma Se a moeda or ão vcada, assumdo que a ace voltada para cma seja cara como sucesso, temos que coroa é um racasso p e q p Uma varável aleatóra Beroull com como probabldade de sucesso tem ução de probabldade dada por: P P X ; 0,; 0 E [] e V [ ] 97 Dstrbução Bomal Uma v a Y tem dstrbução bomal com parâmetros e quado assume valores o cojuto { 0,,,, } e sua p é dada pela epressão: P Y y y y PY Y y ; y 0,,, ; 0, y E[ ] e V [ ] A v a bomal correspode ao úmero de sucessos em provas do tpo Beroull, depedetes Eemplos: Y cota o úmero de meos em uma amíla com 5 craças, com Y cota o úmero de peças deetuosas em um lote com 0 peças, com probabldade de deetos 0, 00

25 98 Dstrbução Hpergeométrca Uma v a X tem dstrbução chamada Hpergeométrca se a sua ução de probabldade é dada por: K P X K K E[ ] e K K V [ ], 0,,,, ; K 0,,,, ;,,, ; 0,,, 99 Dstrbução de Posso Uma v a X tem dstrbução de Posso quado a sua p é da orma: e P X 0,,, ; 0! E [] e V []

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