CAPÍTULO 2 - Estatística Descritiva

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1 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell CAPÍTULO - Estatístca Descrtva Podemos dvdr a Estatístca em duas áreas: estatístca dutva (ferêca estatístca) e estatístca descrtva. Estatístca Idutva: (Iferêca Estatístca) Se uma amostra é represetatva de uma população, coclusões mportates sobre a população podem ser ferdas de sua aálse. A parte da estatístca que trata das codções sob as quas essas ferêcas são váldas chama-se estatístca dutva ou ferêca estatístca. Este assuto remos tratar apeas o fal desse curso. Neste capítulo, estudaremos a outra área da estatístca, que é a Estatístca Descrtva. Estatístca Descrtva É a parte da Estatístca que procura somete descrever e avalar um certo grupo, sem trar quasquer coclusões ou ferêcas sobre um grupo maor. A Estatístca Descrtva pode ser resumda as segutes etapas: Defção do problema: Plaejameto Coleta dos dados Crítca dos dados Apresetação dos dados tabelas gráfcos Descrção dos dados Nesse capítulo veremos como podem ser fetas tas apresetações (e descrções resumdas) dos dados. Em estatístca descrtva teremos portato dos métodos que podem ser usados para a apresetação dos dados: métodos gráfcos (evolvedo apresetação gráfca e/ou tabular) e métodos umércos (evolvedo apresetações de meddas de posção e/ou dspersão). Apresetação gráfca e tabular. Os gráfcos costtuem uma das formas mas efcetes de apresetação de dados. Um gráfco é, essecalmete, uma fgura costtuda à partr de uma tabela, pos é quase sempre possível locar um dado tabulado um gráfco. 3

2 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Equato as tabelas forecem uma déa mas precsa e possbltam uma speção mas rgorosa aos dados, os gráfcos são mas dcados em stuações que objetvam dar uma vsão mas rápda e fácl a respeto das varáves às quas se referem os dados. Embora a cofecção de gráfcos depeda muto da habldade dvdual, algumas regras geras são mportates. O letor deve fcar ateto e procurar saber sobre tas regras ates de se evolver a cofecção de gráfcos. Exstem város tpos de gráfcos que podem ser utlzados com o objetvo de descrever um cojuto de dados resumdamete. Algus deles serão aqu exemplfcados. Vejamos, prmero, uma forma tabular de apresetação de dados e, a segur, veremos 3 tpos de apresetação gráfca. Dstrbução de frequêca Orgazação tabular dos dados em classes de ocorrêca, ou ão, segudo suas respectvas frequêcas absolutas. Em algus casos há também o teresse de se apresetar os dados em frequêcas relatvas ou acumuladas. A apresetação dos dados em tabelas obedecem a certas ormas e recomedações. Essas ormas são útes para que as tabelas sejam fetas de modo que smplcdade, clareza e veracdade perdurem. Dferetes revstas costumam usar pequeas varações a cofecção de suas tabelas. Uma observação mportate é que as tabelas devem ter sgfcado própro, ou seja, devem ser eteddas mesmo quado ão se lê o texto em que estão apresetadas. O mesmo é váldo para as tabelas de dstrbução de frequêcas. Foram aotados os potos fas dos aluos de INF 60, referetes ao segudo semestre de 999. Fo feta a cotagem e depos a orgazação dos dados a segute tabela: Cocetos (Notas) Número de aluos Porcetagem A (90 a 00) 4 7,07 B (75 a 89) 3 6,6 C (60 a 74) 50 5,5 R (< 60) 63 3,8 L / 39 9, ,00 FONTE: Departameto de Iformátca UFV; / Reprovação por faltas. Dagrama de potos (dot dagram) Este tpo de dagrama é muto útl para apresetar um pequeo cojuto de dados (até cerca de 0 observações). Assm podemos ver, de uma maera rápda e fácl, a tedêca cetral dos dados, além da sua dstrbução ou varabldade. Cosdere o segute resultado de um expermeto o qual o egehero testa adção de uma substâca em cmeto de costrução para determar seu efeto a força da tesão de aderêca (em determada udade/cm ): 6,85 6,40 7, 6,35 6,5 7,04 6,96 7,5 6,59 6,57 4

3 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Para esse cojuto de dados o dagrama de potos sera: 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 Observe que os dados estão cetrados um valor próxmo de 6,8 e que os valores da tesão de aderêca caem o tervalo de cerca de 6,3 até 7, ud/cm. Este tpo de dagrama pode também ser usado para se comparar dos ou mas cojutos de dados. Por exemplo supoha ter sdo verfcado a tesão de aderêca em cmetos ão modfcados. Os resultados são apresetados abaxo. 7,50 7,63 8,5 8,00 7,86 7,75 8, 7,90 7,96 8,5 Faça você mesmo o dagrama de potos para os dos cojutos de dados, ou seja, colocado ambos os cojutos de dados o mesmo dagrama. Observe que o dagrama revela medatamete que o cmeto modfcado parece ter uma meor força de tesão de aderêca, mas que a varabldade das meddas detro de ambos os cojutos de dados parece ser a mesma. Testes estatístcos para verfcar essas duas afrmatvas podem ser realzados com esses dados apresetados, e serão dscutdos o mometo oportuo. Quado o úmero de observações é pequeo, geralmete se tora dfícl detfcar algum padrão específco de varação. No etato este tpo de dagrama pode ser útl em mostrar alguma característca comum o cojuto de dados. Dagrama de ramos e folhas (stem-ad-leaf dagram) Quado o úmero de observações é relatvamete grade, este dagrama pode ser de boa utldade. Barulho é meddo em decbés, represetado por db. Um decbel correspode ao ível do som mas fraco que pode ser ouvdo em um local slecoso por alguém com boa audção. Um sussurro correspode a cerca de 30 db; a voz humaa em coversação ormal correspode a cerca de 70dB; um rádo em volume alto cerca de 00 db; Descoforto para os ouvdos geralmete ocorre a cerca de 0 db. Os dados abaxo correspodem aos íves de barulho meddos em 36 horáros dferetes em um determado local o gráfco de ramos e folhas para o cojuto acma é: 5

4 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell 6 0,5,5,8,9 7,4,4,5,7,8 8,3,3,5,7,8,9 9 0,0,,4,4,5,7 0 0,,7,8 0,,4,5,4,5 Hstograma Para algus cojutos de dados o úmero de valores dsttos da varável em estudo é muto grade para serem cosderados os tpos de apresetação gráfca apresetados acma. Em tas casos sera útl dvdr os valores em grupos, ou tervalos de classe, e etão plotar o úmero de valores dos dados correspodetes a cada tervalo de classe. Exstem váras fórmulas para se estabelecer o úmero de classes, porém qualquer úmero de classes podera ser utlzado, baseado-se as segutes observações: (a) ão escolher muto poucas classes, para evtar perda de formação sobre os dados; (b) ão escolher mutas classes, o que podera fazer com que as frequêcas referetes a cada classe fossem tão pequeas a poto de atrapalhar o dscermeto de algum padrão de dstrbução para a varável em estudo. O que se faz a prátca é tetar varados úmeros de classes e verfcar, com a ajuda de um computador, o úmero deal para os dados em questão. Além dsso, comumete usamos tervalos de classe de guas ampltudes. (evolvedo dstrbução de frequêca e hstograma, com algumas varações) Supohamos que uma empresa deseja avalar a dstrbução dos saláros pagos por hora a seus fucoáros. O estatístco da empresa possu os segutes dados: 3,3 5,,4 5,8 9,6 0,4 3, 8,8 8,3 8,5 0,,5,6 0,7,6 9,7, 3,5 0,3 4,3 9,8,3 0,4,6,4,9,6 0,3 4, 3,8 Temos a o que chamamos dados brutos. Dados como estes poderam ser agrupados em classes. Uma maera de escolher o úmero de classes podera ser usarmos um valor próxmo à raz quadrada do úmero de observações. Poderíamos usar, etão, 5 classes. Tomado-se a dfereça etre o maor e o meor valor do cojuto de dados, e dvddo pelo úmero de classes escolhdo teríamos: (5,8 8,3)/5 =,5. Esse sera o valor para ampltude da classe, ou tervalo da classe. A segute tabela pode ser costruda (com tervalo fechado à esquerda): Classes frequêcas 8,3 9,8 5 9,8,3 7,3,8 9,8 4,3 6 4,3 5,

5 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Agora podemos ter uma déa da dstrbução dos saláros. Apeas com essas formações poderíamos coclur que a classe de saláros predomate a empresa é a tercera, ou seja, com saláros de,3 a,8 saláros mímos. Se quséssemos obter maores formações sobre os dados, poderíamos motar uma ova tabela, cludo outros tpos de frequêca, como: frequêca acumulada (f a ), frequêca relatva (f r ), e frequêca acumulada relatva (f ar ). Classes f f a f r f ar 8,3 9, ,7 0,7 9,8,3 7 0,3 0,40,3,8 9 0,30 0,70,8 4, ,0 0,90 4,3 5, ,0,00 30,00 Dscussão: exemplos - a tercera colua, a frequêca acumulada dca que, essa empresa, fucoáros recebem saláros/hora abaxo de,8 udades; - Podemos costatar, também, uma certa predomâca de saláros mas baxos. Realmete cerca de 70% da dstrbução de saláros cocetra-se até o saláro de,8 udades; - Os maores saláros serve a apeas 0% dos fucoáros da empresa.; - 40% dos fucoáros ( fucoáros) recebem até,3 udades, sedo 3% (ou seja, 7 fucoáros) recebedo etre 9,8 e,3 udades. Essas formações prelmares, bem como outras, seram mpossíves de serem obtdas se a população de fucoáros fosse muto maor e os dados correspodetes ão estvessem tabelados. O hstograma pode ser feto a partr das frequêca smples de cada classe ou a partr das frequecas relatvas. Bastara formar corretamete o que sera usado o exo vertcal. Algumas vezes há o teresse em plotar as frequêcas acumuladas, ou frequêcas acumuladas relatvas. Nesse caso teríamos a chamada Ogva, ou ogva percetual, respectvamete (veja abaxo). 7

6 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Meddas de posção e de dspersão. Nesse tópco serão apresetadas algumas estatístcas útes para resumr, de modo bastate cocso, as formações cotdas em um cojuto do dados. Estatítca, esse cotexto, sgfca alguma quatdade umérca cujo valor é determado pelos dados. Meddas de Posção Serão apresetadas algumas estatístcas usadas para descrever o cetro de um cojuto de dados.! Méda Artmétca Supoha termos um cojuto de valores umércos x, x,, x. A méda artmétca desses valores será dada por: x = x =. obs.: o cálculo da méda pode ser frequetemete smplfcado se observarmos que, para quasquer cotates a e b y = ax + b, =,. de modo que a méda amostral do ovo cojuto de dados será: y ( ax + b) ax + b = = = = y = = = = ax + b Cosdere o segute cojuto de dados: 84, 80, 77, 8, 79, 85, 8, 83, 78, 77 ecotre a méda desses valores. solução: uma solução é a segute: ao vés de adcoar esses valores dretamete, fca mas fácl se subtraírmos 80 de cada um para obter os ovos valores y = x 80 : 4, 0, -3,, -, 5,, 3, -, -3. A méda dos valores trasformados será: y = 6 /0 = 0,6. Desse modo, 8

7 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell x = y + 80 = 80,6. Algumas vezes queremos determar a méda de um cojuto de dados orgazados em uma tabela de dstrbução de frequêcas ode os k valores dsttos de X (x, x,, x k ) ocorrem as respectvas frequêcas f, f,, f k. Nesse caso a méda artmétca será dada por: k f x = x = k, ode = f = Escrevedo a fórmula ateror como f f f x = x x k + +! + xk pode ser observado que a méda amostral correspode à méda poderada dos valores dsttos de X a amostra, ode o peso dado a cada valor x esse caso correspode à proporção dos valores guas a x, com = a k. a segute dstrbução de frequêca dá as dades de joves em determada lachoete a determada hora. Idade Frequêca ecotre a méda artmétca da dade dos dvíduos acma. solução: x = ( )/54 8,4. OBS.: se a tabela for orgazada em classes de valores da varável, para o cálculo da méda devemos substtur cada classe pelo seu poto médo (méda artmétca do lmte superor e feror da classe em questão) e calcular a méda coforme dscutdo acma.! Medaa amostral Outra estatístca usada para dcar o cetro de um cojuto de dados é a medaa amostral, que pode ser defda, de maera smplfcada, como o valor termedáro do cojuto de dados, cujos valores são dspostos em ordem crescete. Se for ímpar, a medaa será o valor que ocupa a posção ( + )/; se for par, a medaa será a méda artmétca dos valores ocupado as posções / e / +. ecotre a medaa para os dados apresetados acma. 9

8 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell solução: já que temos 54 observações, segue que a medaa amostral será a meda dos valores ocupado as posções 7 e 8, quado essas 54 observações são orgazadas em ordem crescete. Portato a medaa será o valor 8,5. OBS.: a escolha etre meda e medaa depede do tpo de formação o pesqusador teta obter dos dados. A meda é afetada por valores extremos ocorredo a dstrbução, equato a medaa faz uso de apeas um ou dos valores cetras, ão sedo, portato, afetada por valores extremos.! Moda amostral Outra estatístca que tem sdo usada para dcar a tedêca cetral de um cojuto de observações é a moda amostral. Ela é defda como o valor que ocorre com maor frequêca. Podemos ter séres umodas, bmodas ou multmodas, depededo do úmero de valores modas ocorredo a amostra. ecotre a moda para o mesmo exemplo acma. solução: a moda será o valor 9, pos esse valor ocorre com maor frequêca a dstrbução. Essa é uma dstrbução umodal. Meddas de Dspersão Essas meddas são útes para complemetar as formações forecdas pelas meddas de posção. Descrevem a varabldade ocorredo o cojuto de dados sedo aalsados.! Varâca amostral A varâca amostral de um cojuto de dados, x, x,, x, é defda por s = = ( x x) = SQD x, ode SQD x correspode à soma de quadrados dos desvos de X. ecotre a varâca amostral para os dos cojutos de dados abaxo: A: 3, 4, 6, 7, 0 B: -0, 5, 5, 4 solução: a méda para o cojuto A é 6; portato a varâca será: s = [(-3) +(-) + (0) ]/4 = 7,5 a méda para o cojuto B também é 6; portato a varâca de B será: s = [(-6) + (-) (8) ]/3 360,67 0

9 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Portato, apesar dos dos cojutos terem a mesma méda, há maor varabldade os valores do cojuto B do que os do cojuto A. Para o cálculo da varâca útl se faz a segute detdade algébrca: = (x x) = = x x Também, o cálculo da varâca pode ser smplfcado por otar que se: y = ax + b, =,, etão, como vsto atrás, y = ax + b e, etão = ( y y) = a = = = x ( x x) ou seja, adcoado uma costate a cada valor do cojuto de dados ão altera a varâca amostral; equato multplcado-se cada valor por uma costate, a ova varâca amostral será gual a varâca orgal multplcada pelo quadrado da costate. O cojuto de dados abaxo forece o úmero mudal de acdetes aéreos fatas de aeroaves comercas os aos de 985 a 993. Ao Acdetes ecotre a varâca amostral do úmero de acdetes esses aos. solução: cosdere o segute cojuto de dados resultate da subtração de de cada valor orgal: 0, 0, 4, 6, 5, 3, 8, 7, chamado esses valores de y, y,, y 9, teremos 9 = y = 35, y = 03. Portato, já que a varâca dos dados trasformados correspode exatamete à varâca dos dados orgas, usado-se a detdade algébrca acma teremos: 03 9(35 / 9) s = 8,36 8 OBS.: se a cada valor de X tvermos assocado sua frequêca de ocorrêca, etão ( f x ) f x f ( x x) f s = = f f 9 = = x

10 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell! Desvo padrão amostral A raz quadrada postva da varâca amostral é chamada de desvo padrão amostral, ou seja, s = s = = ( x x) Exstem outras meddas também útes para represetar a dspersão dos dados. Poderíamos ctar: Ampltude Total, Erro padrão da méda, Coefcete de varação.! Ampltude total A ampltude total é a dfereça etre o maor e o meor valor da sére. Tem a vatagem de ser rápdo e fácl de ser calculada, porém forece um úmero ídce grossero da varabldade de uma dstrbução, por levar em cota apeas valores de um cojuto.! Erro-padrão da méda O erro-padrão da méda mede a precsão da méda. Sua fórmula é dada por: s s X s(x) = V(X) = X =! Coefcete de Varação O coefcete de varação é uma medda de dspersão relatva. É uma medda útl para comparação, em termos relatvos, do grau de cocetração, em toro da méda, de séres dsttas. Por ser um úmero admesoal permte a comparação de séres de varáves com udades dferetes. Sua fórmula é dada por: s (X) C.V. (%) = 00 X OBS.: se exstem duas amostras dsttas A e B, e se desejamos saber qual delas é a mas homogêea, ou seja, de meor varabldade, basta fazermos o segute: calculamos as médas e os desvos padrões de A e B, e: - se X A = X B, etão o própro desvo padrão formará qual é a mas homogêea. - se X A X B, etão a mas homogêea será a que tver meor C.V. OBS.: valores muto altos de C.V. dcam pequea represetatvdade da méda. Supor duas amostras: A={, 3, 5} B={53, 55, 57} Qual das duas é a mas homogêea? solução: C.V. A = /3(00) = 66,7% C.V. B = /55(00) = 3,6%

11 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Portato a amostra B é a mas homogêea. Exercícos Propostos ) Cosderado os dados amostras abaxo, calcular: méda artmétca, varâca, desvo padrão, erro padrão da méda e coefcete de varação Dados:, 3, 5,,,, 4, 3, 3, 4, 3. R.:,8;,56;,4; 0,37; 44,% ) Em certa regão a temperatura méda é 0 0 C e a precptação méda é 700 mm. O desvo padrão para temperatura é 3 0 C, equato que a varâca para a precptação é 5 mm. Qual dos dos feômeos apreseta maor varabldade? Justfque. R.: a temperatura apreseta maor varabldade relatva. Você justfca 3) Um artgo retrado da revsta Techometrcs (Vol. 9, 977, p. 45) apreseta os segutes dados sobre a taxa de octaagem de váras msturas de gasola: 88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 9,5 88,6 00,3 96,5 93,3 94,7 9, 9,0 94, 87,8 89,9 88,3 87,6 84,3 86,7 84,3 86,7 88, 90,8 88,3 98,8 94, 9,7 93, 9,0 90, 93,4 88,5 90, 89, 88,3 85,3 87,9 88,6 90,9 89,0 96, 93,3 9,8 9,3 90,4 90, 93,0 88,7 89,9 89,8 89,6 87,4 88,4 88,9 9, 89,3 94,4 9,7 9,8 9,6 90,4 9, 9,6 89,8 90,6 9, 90,4 89,3 89,7 90,3 9,6 90,5 93,7 9,7 9, 9, 9, 9,0 9, 90,0 90,7 (a) Costrua o dagrama de folhas-e-ramos para esses dados (b) Costrua a dstrbução de frequêca e o hstograma. Use 8 tervalos de classe. (c) Costrua a dstrbução de frequêca e o hstograma, agora com 6 tervalos de classe. (d) Compare a forma dos dos hstogramas em b e c. Ambos os hstogramas mostram formações smlares? 4) O segute cojuto de dados represeta as vdas de 40 bateras de carro da mesma marca e mesmas característcas com aproxmação até décmos do ao. As bateras tham garata para 3 aos., 4, 3,5 4,5 3, 3,7 3,0,6 3,4,6 3, 3,3 3,8 3, 4,7 3,7,5 4,3 3,4 3,6,9 3,3 3,9 3, 3,3 3, 3,7 4,4 3, 4,,9 3,4 4,7 3,8 3,,6 3,9 3,0 4, 3,5 (a) Costrua a dstrbução de frequêca e o hstograma; (b) Faça o gráfco da dstrbução de frequêcas relatvas acumuladas. (c) Calcule a méda artmétca dos dados orgas 3

12 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell (d) Usado a dstrbução de frequêca coforme obtdo em a calcule a méda ovamete. Para tal, cosdere os potos médos de cada classe (méda etre os dos lmtes de cada classe) para serem os valores da varável o cálculo da méda. (e) Obteha a varâca para os dados orgas coforme feto para a méda em c. (f) Obteha a varâca a partr da dstrbução de frequêca coforme feto para a méda o ítem d. obs.: use 7 tervalos de classe. Ampltude da classe gual a 0,5. E o íco do tervalo mas baxo em,5. ( f x ) 5) Mostre que f ( x x) = f x f 6) Mostre que a soma de quadrados dos desvos (SQD) em relação à méda é um mímo. Dca: Cosdere f(a) a fução que represeta a SQD em relação a a. Ou seja, = f ( a) = ( x a). Usado seus cohecmetos de cálculo, mostre que f(a) será mímo quado a for gual a méda dos valores de X. 7) Calcule a méda, medaa, e ampltude total dos valores dspostos o segute dagrama de ramos e folhas

13 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA --Departameto de Iformátca / CCE INF 6 - Icação à Estatístca / INF 6 Estatístca I Lsta de Exercícos: Estatístca Descrtva ) Os dados abaxo se referem a meddas tomadas em uma amostra de 0 cães: Cão Peso (kg) 3,0,7,,5 7,0 8,4 9,0 4,5 9,0 9,5 Comprmeto (cm) Pede-se, para as característcas avaladas, peso e comprmeto, as estatístcas: a) Méda; b) Varâca; c) Desvo-padrão; d) Erro-padrão da méda; e) Coefcete de varação; f) Qual das duas característcas é a mas homogêea; g) Medaa; h) Moda. ) Um pesqusador dspõe das segutes formações, a respeto dos valores de uma amostra: - a méda de todos os valores é gual a 50,34; - a soma dos quadrados dos valores é gual a ; - a amostra é costtuída de 5 valores dsttos. Perguta-se: Com essas formações é possível obter alguma(s) medda(s) de dspersão dos valores amostras? Em caso afrmatvo, efetue os cálculos e obteha a(s) respectva(s) medda(s). 3) Cosdere os dados:, 7, 7, 7, 0, 0, 9, 9, 9,,, 6, 6, 6, 7, 7,,, 9, 9, 9,,,,. Supodo que sejam valores assumdos por uma varável aleatóra dscreta X, pede-se: a) Méda, medaa e moda; b) Erro-padrão da méda e C.V.(%). 5

14 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell 4) Duas turmas A e B com A = 50 e B = 80 apresetaram médas X A = 65 e X B = 70 e varâcas s A = 5 e s B = 35. Qual é a turma mas homogêea? 5) A méda de aprovação a dscpla de Estatístca é 6 ou mas. Durate um período letvo foram realzadas quatro provas, sedo que a prmera prova teve peso dos, a seguda e a tercera o dobro do peso da prmera e a últma gual ao peso da prmera. Os resultados, cludo os de uma prova de substtução optatva, foram os segutes: Estudates a a 3 a 4 a Optatva,5 4,5 5,0 6,0 7,0,0 8,5 7,0 3,0 5,0 3 8,5 0,0 9,0 8,5 c 4 3,5 5,5 8,5 7,5 6,5 5 3,0 5,0 6,0 4,5 5,0 6 6,0 3,0 4,0 5,0,0 7 8,0,5,0 9,0 5,0 8,5,0,0,5 c 9 7,5 8,0 8,5 0,0 c 0 5,5 4,5 5,0 4,5,5 Sabedo-se que a ota da prova optatva substtu a meor ota das provas precedetes, determe: a) Méda de cada estudate; b) Para cada prova: méda, moda, medaa, varâca, desvo-padrão, erro-padrão da méda e CV. c) Para o período: méda, varâca, desvo-padrão, erro-padrão da méda, CV. d) Lste as provas em ordem crescete de homogeedade. 6

15 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell. a) X = 0,58kg; Y = 0,3cm ˆ ( X ) = 4,973kg ; Vˆ ( Y ) ( X ) = 3,78kg; s( Y ) = RESPOSTAS b) V = 7,7889cm c) s 4,77cm d) s( X ) =,957kg; s( Y ) =,3338cm e) CVX = 8,37%; CVY = 4,6% f) Comprmeto, pos é a que possu meor CV. g) Md X = 0,35kg; MdY = 0,50cm h) Mo = 9,0kg; Mo = 00 cm, 04cm e 05cm X Y. s = 357,373; s = 8,9043; CV = 37,55%; s(x) =,65 3. a) X =,4; Md = ; Mo = b) ( ) Turma B 5. a) s X = 0, ; CV = 30,8% Estudate b) Méda 5,33 6,50 9,7 7,00 5,5 3,83 5,7,67 8,4 4,50 a a 3 a 4 a Argução X 6,05 5,50 5,60 5,85 Mo 5 ; 4,5; 5 5; 8,5,5 Md 6,5 5,0 5,5 5,5 s 4,0 6,94 7,54 7,78 s,0,64,75,79 s( X) 0,63 0,83 0,87 0,88 CV(%) 33,6% 47,9% 49,05% 47,68% ( ) c) X= 5, 6833; s = 6, 098 ; s= 499 ; s X = 0, 75 ; CV= 43, 85% d) 3 a, a, 4 a, a 7

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