Modelos de Regressão Linear Simples e Múltipla. Fabio Antonio Avilla (Matemática) Profª Dra. Carine Savalli Redígolo (Orientadora)

Transcrição

1 Modelos de Regressão Lear Smples e Múltpla Fabo Atoo Avlla (Matemátca) Profª Dra. Care Savall Redígolo (Oretadora) Resumo Dversas áreas do cohecmeto cetífco procuram valdar suas hpóteses por meo de pesqusas quattatvas. Estudos plaejados para relacoar duas varáves quattatvas são bastate freqüetes em varas áreas de pesqusa, e, para sso utlzamos o Método de Regressão Lear Smples e, o caso de estudarmos mas do que duas varáves, é utlzada a geeralzação desse método que é chamada de Método da Regressão Lear Múltpla. Mas especfcamete esse método de aálse permte com que váras varáves (característcas quattatvas e qualtatvas) sejam utlzadas para eplcar a varabldade de uma característca quattatva de teresse. Os modelos de regressão são cosderados etremamete mportates em trabalhos prátcos, pos permtem que se estabeleça uma relação de casualdade etre váras característcas, ou seja, uma equação que represete o quato muda uma característca quado varamos outra característca. O objetvo desse trabalho fo aplcar os modelos de Regressão Lear em problemas prátcos. Icalmete defmos os aspectos teórcos e depos aplcamos a algus eemplos. Foram selecoados város eemplos para aplcar a Regressão Lear Múltpla e Regressão Lear Smples. Nesse artgo será apresetado somete um desses eemplos cujos dados foram etraídos de lvros. O estudo desse método de aálse de dados, além de proporcoar uma oportudade de apredzado e apromação com dferetes áreas de aplcação da Estatístca, é ada um mportate vestmeto para quem pretede dar cotudade os estudos essa área.

2 Abstract Several scetfc owledge s area are loog for valdatg ther hpotheses b meas of quattatve research. Plaed studes to relate two quattatve varable are frequetl used ma research areas ad for ths reaso the Regresso Lear Smple Method s used ad, the case where more the two varable are studed the geeralzato of ths method wll be used, whch s called Regresso Lear Multple Method. Specfcall ths method of aalss allows several varables (quattatve ad qualtatve feature) s used to epla the varablt of oe quattatve feature of terest. The regresso models are cosdered etremel mportat practcal research, because t allows to determe casualt relato betwee several features, other words, a equato that represets how oe characterstc chages whe others characterstcs are altered. The am of ths paperwor s to appl the Regresso Lear Method practcal problems. I the begg we defe the theoretcal aspects ad after we appl some eamples. Several eamples were selected to appl a Regresso Lear Multple ad Regresso Lear Smple, but ths paper we wll preset just oe of them whch data were tae from a boo. The stud of these data aalss method besdes provdg a opportut learg ad approaches wth dfferet areas of statstcs s stll a mportat vestmet for people who teds cotue stud ths area.

3 Itrodução O trabalho cal cosstu em selecoar eemplos de aplcação da aálse de Regressão Múltpla e Smples. O eemplo que será apresetado esse artgo está descrto abao e fo usado para aplcar o método de regressão lear Smples. Eemplo: No eemplo apresetado o lvro Estatístca Básca de Wlto de O Bussab (p. 47) buscouse avalar se reda famlar está relacoada com os gastos de almetação. Os dados estão apresetados abao a Tabela. Reda Famlar (Saláros míos) Gasto com a almetação (Saláros mímos) 3, Descrção do método Vamos calmete defr o modelo de Regressão Smples. Seja Y uma varável aleatóra de teresse e seja X uma varável regressora, que pretede eplcar Y. O modelo de regressão smples descreve Y como uma soma de uma quatdade determístca e uma quatdade aleatóra, a parte aleatóra é deomada erro, que provoca uma dstorção sobre a parte determístca. É razoável supor

4 que, em méda, o erro seja ulo. Vamos trabalhar aqu somete com o modelo de reta que é dada pela equação, = a + + ε, b em que a é o coefcete lear, b é o coefcete agular da reta que represeta a relação etre, e ε é o erro para o -esmo dvíduo e assume uma dstrbução ormal de méda e varâca e ˆ σ. Para ecotramos os estmadores dos coefcetes a e b da reta de mímos quadrados temos que ecotrar os valores da clação e tercepto da reta que mmzam a soma dos erros quadrátcos dos potos em toro da reta e, para tato, é ecessáro obter as dervadas parcas de: = [ ( a + )] = ε b = com relação a a e b e gualá-las a zero. Além de estmar a reta, estudou-se mportates propredades dos parâmetros dessa reta e a dstrbução dos mesmos, assm como suas esperaças e suas varâcas. Em seguda, fo feto um teste de hpótese para avalar se coefcete agular da reta é dferete de zero, ou seja, se varável regressora realmete eplca a varabldade da varável resposta, e para tato, costruuse a Tabela de aálse de varâca (ANOVA). Por fm o resíduo do modelo de regressão Lear Smples, que é a dfereça etre o valor estmado e o valor observado, fo estudado. O modelo de regressão lear múltpla (MLRM) também descreve Y como uma soma de parte determístca e parte aleatóra, sedo que a parte determístca pode ser: uma fução de váras varáves regressoras, ou uma fução de polômo de maor grau de uma úca varável regressora. As suposções sobre o erro são as mesmas defdas para o MRLS. O modelo polomal com uma varável regressora, por eemplo, é dado por:

5 + + + ε, com ε ~ N ( ; σ ). Y = K + Nesse modelo,, K, é o valor fo da varável regressora X para o -ésmo dvíduo. Os parâmetros, são os coefcetes de polômo de grau, que relacoa Y, e X. Note que o MRLS é um caso partcular deste modelo, quado temos =. Da mesma forma que podemos testar a hpótese de que coefcete agular a Regressão Lear Smples é gual a, a Regressão Lear Múltpla também podemos fazer testes equvaletes para os coefcetes,, K, a partr da Tabela de Aálse de Varâca. Para o modelo de Regressão Lear Múltpla a otação matrcal é a mas dcada sedo dada por: = X + ε M = M M L L O L M M ε ε + M ε ε,e é o vetor ulo de dmesão e I é a matrz detdade e em que ~ NM ( ; σ I ) NM deota a dstrbução ormal multvarada de dmesão. O estmador de mímos quadrados pode ser obtdo a forma matrcal, e, é dado por: ˆ = t t ( X X ) X. Que pode também ser usado o caso do modelo de Aálse de Regressão Lear Smples assumdo uma úca varável regressora X. Resultados No eemplo apresetado calmete costruu-se um gráfco de dspersão para vsualzar a relação etre a reda famlar e os gastos com a almetação. O gráfco dca que este uma relação lear etre as duas varáves, e, portato, o modelo de Regressão lear Smples pode ser aplcado para estmar a reta que relacoa as duas varáves.

6 9 Gasto com Almetação e Reda Famlar 8 Gasto com a Almetação Reda Famlar 5 abao. Os coefcetes da reta â e bˆ, foram obtdos. As epressões e resultados estão apresetados ( ) ˆ = = = b = = =,39,e, = ( ) ( ) = aˆ = b ˆ ( 63,8), 954 ˆ = 5,95,39 = a. Assm, a equação da reta estmada é dada por: ˆ =,954 +, 39. O teste de hpótese sobre a clação da reta dcou que, de fato, a reda famlar pode ser usada para eplcar os gastos com a almetação.

7 Coclusão O estudo dos modelos de regressão lear smples e múltplas é muto mportate para pesqusa quattatva prátca, uma vez que permte aalsar o quato uma varável pode ser eplcada por uma ou mas varáves. Referecas Bblográfca: Bussab, Wlto O. e Morett, Pedro A. Estatístca Básca 5ª ed. São Paulo: Sarava, 3. Paula, Gberto A. Modelos de Regressão com apoo computacoal - São Paulo: IME-USP, Juho 4. Magalhães, Marcos N. e Lma, Atoo C.P, Noções de Probabldade e Estatístca - 6ª ed.- São Paulo: Edtora da Uversdade de São Paulo,4. Realdo Charet [et al] Aálse de modelos de regressão Lear com Aplcações Campas, SP: Edtora da Ucamp, 999.