50 Logo, Número de erros de impressão

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1 Capítulo 3 Problema. (a) Sedo o úmero médo de erros por pága, tem-se: , Represetado o úmero medao de erros por md, tem-se, pela ordeação dos valores observados, que os valores de ordem 5 e 6 são e, respectvamete. Assm md +,5 (b) (c) (,66) + (,66) + 3 (,66) + ( 3,66) + ( 4,66) 5 var( X ) 5 5,4356 +,56 + 3, ,4756 +,556 5 Logo, dp ( X ),744, , 5,744 Freqüêca absoluta () Número de erros de mpressão (d) Gráfco de barras do úmero de erros por pága Uma vez que a méda de erros por pága é,66 e o lvro tem 5 págas, o úmero esperado de erros o lvro é, Problema. Méda:,59 +,64 +,6 +,6 +,57 +,55 +,6 +,5 +,63 +,64 Medaa:,6 +,6 md,65,595 Cap3-

2 Desvo Padrão: (,5) + (,45) + (,5) + (,5) + (,5) + (,45) + (,45) var( X ) (,5 ) + (,95) +,8 dp ( X ),8,44 Problema 3. (a) Núm ero de casas por quarterao (b) Méda: 4,4; desvo-padrão: 5,8. Problema 4. Hstograma do úmero de casas por quarterão (a) (b) (c) A medaa é uma medda de posção mas mportate do que a méda, por eemplo, em stuações em que a varável em estudo tem algum valor muto dscrepate que pua a méda para cma ou para bao Hstograma Cap3-

3 Em dstrbuções smétrcas, a méda e a medaa cocdem. (d) Méda, e Varâca Méda, e Varâca Méda, e Varâca 36 Cap3-3

4 Problema 5. Nessa stuação, tato a méda quato a medaa (que cocdem) ão se apresetam como boas meddas de posção. Elas ão retratam bem a dstrbução da varável estudada. Nessas codções, sera melhor cosderar a moda, ou modas, pos esse caso a dstrbução é b-modal. Problema 6. (a) A medaa do úmero de flhos é a méda artmétca das observações de ordem (b) 5 e 5, que é. (c) A moda do úmero de flhos é. (d) O cálculo da méda fca prejudcado pelo fato de haver uma categora represetada por mas que 5 flhos, sem a especfcação do valor eato. Neste caso, deve -se usar o cohecmeto empírco que se tem da varável para propor um valor mámo para o tervalo, ou o poto médo da classe. Aqu vamos supor que as famílas com mas que 5, teham em méda 8 flhos. Desse modo tem-se: , Problema Itervalo terquartl: q q q () 3 ( ) q 97 3 Dspersão feror (d): 9 Dspersão superor (ds): 66 Para que a dstrbução dos dados teha forma ormal (smétrca, em geral), é ecessáro: d ds q q q 3 q q e q3 q q < d e ds Os valores acma obtdos dcam que a dstrbução dos dados ão tem forma ormal. Problema Itervalo terquartl: q q () ( ) q Dspersão feror (d): q 35 4 Dspersão superor (ds): 4 Os valores acma obtdos dcam que a dstrbução dos dados tem forma apromadamete ormal. Cap3-4

5 Problema 9. Temos que: ( 3 + 4) q (,) 3,5, q (,5) 9, 5, q (,5) 3,, q (,75) 6,, ( ) q (,9) 79, Problema. Temos que: q (,) 576,84, q (,5),58, 7, q (,5),776, 6, q (,75) 5,95, 3, q (,8) 6,74,975, q (,95),993, 98 Problema. 5 Salaros (S.M.) 5 5 Bo-Plot dos Saláros dos fucoáros da Compaha MB Pode-se perceber uma dstrbução assmétrca à dreta. Problema Bo-Plot para os dados do Problema 3 Cap3-5

6 Cap3-6 Problema 3. 3 Populacao () Bo-Plot do Problema Problema 4. (a) ( ) (b) ( ) ( ) _ + + ( ) ( ) + (c) ( ) ( ) + + _ ( ) (d) ( ) ( ) + + _ f f f f f ( ) f Problema 6. (a)

7 Vedas semaas (em S.M.) Hstograma das vedas semaas de vededores de gêeros almetícos 7 (b) Supodo uma varável dscreta com todas as observações do tervalo cocetradas o poto médo: 3,5 + 37,5 + 4, , , ,5 36, ,5 4 5, (c) var( X ) ( 8,7), + ( 3,7),5 + ( 8,7),9 + ( 3,7), (,3),35 + ( 6,3),5 + (,3 ),9 + ( 6,3), 43, 8 Logo, dp ( X ) 6,6 (d) Temos que: s 5, 6,6 37, 96 e + s 5, + 6,6 64, 44 Assm, queremos achar as segutes áreas do hstograma: ,96 A,4% 5% A % 644,44 6 B 7,99% B Desse modo, o tervalo em questão abrga:,4% + 9% + 5% + 35% + 5% 94,3% (e) Pela dstrbução de freqüêcas, vê-se que a medaa bruta é 5,5. Problema 8. (a) Medaa: 4 q q 37,4 8 4 Cap3-7

8 (b) º decl: 6 7,69 (c) Itervalo terquartl(dq): q q 9, q 6 q,, , Portato, dq 63, 9,3 43, 77 Problema 9. X : tempo de casameto. X f F [;6) 8,56,56 [6;) 4,8,84 [;8) 6,,96 [8;4) 5,3,99 [4;3) 5,, Total 5, (a) 3,56 + 9,8 + 5, +,3 + 7, 6, 9 md 5,36 (b) var( X ) ( 3,9),56 + (,),8 + ( 8,), + ( 4,),3 + (,), 7,63 dp ( X ) 5,6 aos (c) Tem po de casam eto Hstograma do tempo até o desqute 3 Cap3-8

9 (d) 6 º decl:,7 aos 56 8 y 9º decl: y 5 aos 6 (e) 6 q º quartl: q 56 5,68 aos (f) 6 q3 6 3º quartl: q3 8 9,7 aos dq,7,68 7,39 Problema. (a) Salaro (em SM) Hstograma para os Saláros mesas dos fucoáros do setor admstratvo (b) Méda:,5 + 3,4 + 5, + 8,5 3, 65 Varâca: var( X ) (,65),5 + (,65),4 + (,35), + ( 4,35),5 8, 9 Varâca: dp ( X ) 8,9 5, 3 (c) º quartl: q 4 md Medaa: md 3, 5,4,5 (d) Se todos os saláros aumetarem em %, ou seja, dobrados, a méda dos saláros dobrará e a sua varâca será multplcada por 4.Trata-se de um resultado geral que pode ser demostrado da segute maera. Cap3-9

10 Supoha que haja uma coleção de valores, deotados por,,..., com méda e varâca s (X). Seja uma costate real. Se todos os valores da coleção acma forem multplcados por, teremos: () Para a méda: () Para a varâca: s ( ) ( ) s ( ) X (e) Dar um aboo de SM para todos os fucoáros sgfca aumetar a méda e a medaa em duas udades. A varâca ão se altera. Novamete, esse resultado pode ser geeralzado para a soma de qualquer costate real. Vejamos: Para a méda: ( + ) + + ( + ) Um racocío semelhate serve para a medaa. Para a varâc a: s [( + ) ( + )] ( + ) ( ) s ( ) X Problema. (a) méda: fca multplcada por - medaa: fca multplcada por - desvo-padrão: fca multplcado por (b) méda: aumeta em udades - medaa: aumeta em udades - desvo-padrão: ão se altera (c) méda: fca gual a zero: - medaa: fca reduzda em udades - desvo-padrão: ão se altera (d) méda: fca gual a zero - medaa: como todas as observações, fca reduzda em udadese dvdda por dp (X ) var( X ) - desvo-padrão: fca gual a um. dp( X ) var( X ) Cap3-

11 Problema. (a) Se o tercero quartl da dstrbução dos saláros da compaha A é 5, a probabldade de um caddato receber mas de 5 udades é,5. Assm, o mas provável é receber meos que essa quata. (b) Na empresa B, o saláro sera de 7 udades, com certeza. Na empresa A, como fo vsto o tem ateror, a probabldade de se receber mas que 5 udades é,5. Desse modo, é mas teressate empregar-se a empresa B. Problema 3. (a) Meddas descrtvas obtdas a amostra-ploto (b) Méda 3 Medaa 7 Varâca 8, Ampltude 37 Das meddas acma, a mas mportate para a determação do tamaho da amostra fal é a varâca, pos forece formação a respeto da varabldade da varável Idade. Problema 4. (a) (b) Dstrbução de freqüêcas do cosumo dáro de lete Cosumo dáro de lete f Meos de ltro, a ltros,5 a 3 ltros, 3 a 5 ltros, Cosum o de lete (em ltros) 5 Hstograma (c),5, +,5,5 +,5, + 4,,75 ltros md Medaa: md, 6,5,3 Cap3-

12 (d) var( X ) (,5), + (,5),5 + (,75), + (,5),, 965 dp ( X ),98 (e) q q,5,5, Problema 5. (a) Salaro aual ( SM) 4 Hstograma (b),49 + 3,9 + 5, + 7,5 + 9,4 +,3 + 3, 3, 9 (,9),49 + (,9),9 + (,8), + ( 3,8), + var( X ) 5 ( 5,8),4 + ( 7,8),3 + ( 9,8), 5,7 dp ( ) 3, 96 + X (c) (d) No barro A, pos tem meor desvo-padrão. Faa salaral f F ! Total 5. Isso posto, pode-se perceber que os % mas rcos da população são os que pertecem a faa salaral compreedda etre e 4 saláros mímos auas. Problema 6. Méda: 3,5 + 5,5 + 7, + 9,3 +, 6,9 Medaa: Cap3-

13 8 6 md 6 md,, 7 Moda: esse caso, a moda é 9. Varâca: var( X ) ( 3,9),5 + (,9),5 + (,), + (,),3 + (4,), 6,9 6 4 q 4 º quartl: q 4, 8,5, Problema 7. (a) ( ), 8 (b) var( X ) ( 58, , , , , ,64 8) 69, 36 (c) Peso (gramas) 6 8 (d) Hstograma A tabela bao mostra o crtéro a ser utlzado a classfcação dos fragos: Peso(g) Categora Meos de 997,5 D 997,5 a, C, a 45, B Mas de 45, A 98 D 98 D 997, B 4 B Cap3-3

14 (e) Temos que: dp( X ) 968,. Dos fragos desta graja,,46% estão abao deste peso: , 96,46 6 Também, +,5dp( X ) 6, 4. Acma deste patamar, ecotram-se 7,9% dos fragos: ,4 y 7,9 8 y Problema 8. (a) Aparetemete, a campaha ão produzu o efeto esperado. A méda dos dados é,48 aos. ( ), 48 5 (b) A méda dos dados é,48 e o desvo-padrão é 3,83. Assm, a dfereça é,48 e dp ( X ) é,8. Desse modo, o crtéro do outro pesqusador também dca que a campaha ão surtu efeto. (c) Idade 3 36 Hstograma da dade méda dos caddatos Esquema dos cco úmeros para a corretora A Esquema dos cco úmeros para a corretora B Cap3-4

15 Represetação gráfca: B 55 A Corretora A Corretora B As meddas e a fgura acma dcam que, a despeto do fato de o mámo lucro observado ser proveete da corretora A, é a corretora B que apreseta meor varabldade os lucros proporcoados. As medaas das duas empresas estão bastate prómas. Estes elemetos permtem acredtar que é mas vatajoso ter o dhero vestdo pela corretora B. Problema 3. Se as populações são homogêeas, espera-se uqe suas varâcas sejam prómas, de modo que o quocete F deve ser prómo de. Problema 3. A fgura do Problema 9, os mostra que os dados da corretora A têm maor varabldade que os da corretora B. A medaa dos lucros proporcoados pela seguda é um pouco mas alta que a dos lucros da prmera corretora. Problema 3. ( A ) Var( X A) + ( B ) Var( X B) 7 58,98 +,5 3,66 S * A B A B 55,7 55,43,9 t,3 3,53,3,4 S* + A B Como t,3 <, coclu-se que os desempehos das duas corretoras são semelhates. 3,53 Problema 33. Méda Ical ( ): 5,9 Desvo Padrão (dp): 3,5 + dp( X ),9 dp( X ) 8,8 Logo, os lmtes são 8,8 e 9,9, ou seja, valores maores que,9 ou meores uqe 8,8 devem ser retrados do cálculo. Para esse cojuto de dados, somete o valor 8 ecotra-se abo de 8,8. Assm, calculado a méda fal, tem-se: Méda fal 6,8 Cap3-5

16 Problema DP Hstograma para os dados da repartção A Hstograma para os dados da repartção B Problema 35. 4,, 4, 4,, 4, Hstograma para a Regão A: Hstograma para a Regão B: Bascamete, as dfereças etre os gráfcos dzem respeto à varabldade e à smetra. O gráfco da regão B apreseta maor varabldade e é assmétrco. Problema Cap3-6

17 As taas apresetam-se apromadamete smétrcas em toro de 4,3, que é o valor médo.a taa míma é de,9 e a máma é de 8,45. Problema 37. (a), 35 ; var( X ), 35 (b) (c) O valor de dca a proporção de empregados orudos da captal X Hstograma de X Problema 38. (a) (b) (c) O valor Z é uma ota padrozada. Nessa padrozação, o valor dca que o dvíduo que o dvíduo em questão obteve a ota méda. A ota Z também forece déa sobre o desempeho de cada elemeto com relação a todo o grupo. As otas padrozadas são:,58,58 -,8 -,8,58,35 -,8 -,8,58 -,8,35 -,95 -,95,58,58 -,95 -,8,58-3,6 -,95 -,95 -,8,35,58,58 Como as otas foram padrozadas pela subtração da méda e dvsão pelo desvo-padrão, tem-se (Problema ) que z ; dp ( Z) (d) Este um fucoáro que obteve Z 3, 6, sedo, pos, cosderado aormal. (e) (f) Para avalar o seu desempeho relatvo, é ecessáro comparar as otas padrozadas as três dscplas. Em Dreto, todos obtveram 9,; de modo que o fucoáro obteve a ota méda, cujo valor padrozado é zero. Em Polítca, a méda das otas fo 7,76 e o desvo padrão,,67. Com sso, a ota padrozada do fucoáro é,74. Com sso, seu desempeho relatvo fo melhor em Polítca. Cap3-7

18 Problema 39. Para os saláros da Tabela., temos que:, (,),84 (foram elmadas as 4 prmeras e as 4 últmas observações) (,5),5 (foram elmadas as 9 prmeras e as 9 últmas observações) Problema 4. Para a regão A: s 4 CV A % % % Para a regão B: s 6 CV A % % 3% Como já hava percebdo o Problema 35, a varabldade dos dados proveetes da regão B é maor que a dos dados da regão A. O coefcete de varação dca a dmesão da varabldade com relação à méda. Problema 4. População Urbaa med.76. ; dam.43. População Rural med 75.; dam Problema 44. (a) CO Hstograma para a varável CO Cap3-8

19 Hgh: : 77 5 : 5 : : : : : : : : 4 9 : 557 : 333 : 8 : 4 Ramo e folhas 3 CO Bo-Plot para a varável CO (b) Saláros Mecâcos Frequecy Salaros () 4 Hstograma para a varável Saláros Mecâcos Cap3-9

20 : 4 : : 34 : 678 : 4 : : 3 3 : : Ramo e folhas 4 Salaros () 3 Bo-Plot para a varável Saláros Mecâcos (c) Freqüeca 5 P reco 3 4 Hstograma para a varável Preço Cap3-

21 : : : 3 : 4 : 5 : 7 6 : : 78 8 : 9 : 34 : 48 : 46 : 99 3 : 78 4 : 5 5 : 5 6 : 3 7 : 8 : 9 : : : 5 : 3 : 4 : 6 Ramo e folhas 4 3 Preco Bo-Plot para a varável Preço Cap3-

22 Problema 45. 3, 5,, 5,,,,4,6,8, 8, v 6, 4,,,,, 4, 6, 8,, u Gráfco de Smetra Problema 48. (a), 6 (b) 3, 374 d, 6 (,39896) 3 5, 47 q q d, 374 (,4937 ) 3 76 Cap3-