Fundamentos de Matemática I FUNÇÕES POLINOMIAIS4. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 FUNÇÕES POLINOMIAIS4 Gl da Costa Marques Fudametos de Matemátca I 4.1 Potecação de epoete atural 4. Fuções polomas de grau 4. Fução polomal do segudo grau ou fução quadrátca 4.4 Aálse do gráfco de uma fução quadrátca 4.5 Gráfcos das fuções polomas 4.6 Raízes das fuções polomas 4.7 Raízes da fução quadrátca 4.8 Poto de mámo ou de mímo da fução quadrátca Lcecatura em Cêcas USP/ Uvesp

2 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo Potecação de epoete atural Ates de aordar as fuções polomas, devemos troduzr uma operação com úmeros reas, deomada potecação. Assm, defmos a potêca do úmero real a, com *, represetada por a, como o resultado do produto do úmero a vezes, ou seja, a = aa.... a vezes 4.1 Por eemplo, o caso de =, temos: a = aaa.. 4. ou seja, o produto sucessvo de a três vezes. O resultado da potecação de um úmero real é um outro úmero real. Por eemplo, = = 9 = 7 ( ) = ( ) ( ) ( )= 9 = 7 A potecação é uma operação astate smples sempre que o epoete for um úmero tero postvo Fuções polomas de grau A operação potecação com epoete atural permte-os defr uma ampla classe de fuções, deomadas geercamete fuções polomas. Por eemplo, a fução cúca ou fução polomal de tercero grau é defda a partr da potecação, uma vez que é uma fução da forma: f ( )= a 4.4 que assoca a cada valor da varável depedete o seu cuo multplcado pela costate a: f ( )= a ( ) 4.5 Fudametos de Matemátca I

3 76 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 Um eemplo smples de fução cúca é aquela que epressa o volume de uma esfera como fução do seu rao. Nesse caso, a depedêca do volume em relação ao rao R se escreve: V = 4 π R 4.6 Aalogamete, podemos defr uma fução evolvedo uma potêca artrára,, da varável depedete, ode * : f ( ) = = vezes 4.7 Um polômo de grau é defdo como uma soma de parcelas do tpo a. f ( ), para tero postvo ou, equvaletemete, uma comação lear de fuções do tpo 4.7. Assm, um polômo de grau (P ()), é defdo pela epressão geral: ( )= ( )+ ( )+ + ( )+ 1 1 P a f a f... af a ou, aalogamete, 1 P ( )= a + a a+ a Desse modo, um polômo de grau pode ser defdo como uma soma de moômos cujos graus varam de zero até um moômo de grau zero é uma costate que é um úmero real: P ( )= a = Da defção acma, temos que uma fução afm é, por defção, um polômo de prmero grau, ou seja, 1 P ( )= a+ a Fuções Polomas

4 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 77 Por eemplo, a velocdade escalar de uma partícula de massa m sujeta a uma força costate F, atuado ao logo de uma curva, é dada, como fução do tempo t decorrdo, por: V ()= F t m t+ V Nesse caso, a varável depedete é o tempo, Fgura 4.1: Gráfco de uma fução polomal do prmero grau ou fução afm. acma desgado por t, equato os parâmetros a 1 e a 0 são, respectvamete, a aceleração da partícula (a 1 = F/m) e a sua velocdade cal (a 0 = V(0) = V 0 ). Um polômo é par se: P ( )= P ( ) 4.1 Nesse caso, deve ser ecessaramete um úmero par e todos os coefcetes das potêcas ímpares devem ser ulos. Por eemplo, o polômo: 4 4 P ( )= é um polômo par. Um polômo é dto ímpar se: P ( )= P ( ) 4.15 Nesse caso, deve ser um úmero ímpar, em como todos os coefcetes das potêcas pares devem ser ulos. Assm, o polômo 5 5 P ( )= é um polômo ímpar. Fudametos de Matemátca I

5 78 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 4. Fução polomal do segudo grau ou fução quadrátca A fução polomal do segudo grau ou o polômo de segudo grau mas geral é da forma: y ( )= a + + c 4.17 Na epressão acma, empregamos a forma covecoal de apresetar as fuções quadrátcas, ou seja, em termos de parâmetros desgados pelas letras a, e c. As costates a, e c são deomadas, respectvamete, coefcete quadrátco, coefcete lear e coefcete costate ou termo lvre. O coefcete quadrátco é o úco que ão pode ser ulo, pos, esse caso, a fução ão sera do segudo grau. O gráfco de um polômo do segudo grau é uma curva deomada paráola. Isto fo dscutdo em Aplcações à geometra aalítca, seção.6.1. O movmeto dos projétes a superfíce terrestre provê mas de um eemplo de gradezas que depedem, quadratcamete, umas das outras. Por eemplo, a coordeada y assocada à posção de um projétl depede da coordeada da segute forma: ode g é a aceleração da gravdade, y 0 é o valor da coordeada y quado do íco do movmeto, sto é, quado = 0, e a velocdade cal do projétl tem compoetes (v 0, v 0y ). g y( )= v + v0 0 y v0 + y Fgura 4.: A trajetóra de um projétl é descrta por uma fução quadrátca. 4 Fuções Polomas

6 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 79 A segur, escreveremos 4.17 de uma forma teramete equvalete, e muto útl, como se verá. Admtdo-se o parâmetro a ão ulo (a 0), podemos escrever as segutes gualdades: y a c a a c a a a c = + + = + + = + + a + a 4 = a a c 4 a a = + c a a + a 4.19 dode fermos que y( )= a + + c = a + a ode o termo é dado por 4.0 = c 4.1 Emora seja pouco comum, vamos usar, mutas vezes, esta últma forma da fução quadrátca. Em partcular, se recorrermos a um artfíco defdo como traslação de eos (mudaças de eos a dreção vertcal e horzotal), ela se tora útl para escrever a equação da paráola de uma forma mas smples. De fato, se redefrmos as varáves de acordo com as epressões: = + a y = y c etão, o polômo do segudo grau pode ser escrto, essas ovas varáves, como: 4. y ( )= a 4. Oserve que efetuar traslações ao logo dos eos e y correspode a realzar uma mudaça do sstema de coordeadas. Fudametos de Matemátca I

7 80 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 Fgura 4.: Por meo da traslação de eos, podemos smplfcar a forma da fução quadrátca. As trasformações 4. podem ser pesadas como traslações dos eos a dreção horzotal e a dreção vertcal. Assm, medate uma ova escolha de eos, escolha essa defda por 4., podemos reduzr a epressão 4.17 ou 4.0 a uma forma astate smples, que é dada em 4.. No que se segue, utlzaremos, dsttamete, qualquer uma das epressões 4.17, 4.0 ou 4.. De acordo com a epressão 4.1, podemos costatar que a fução polomal so a forma 4. é uma fução par. Assm, costatamos que a paráola dada em 4.0 apreseta um eo de smetra, que é a reta dada por: = a Aálse do gráfco de uma fução quadrátca Podemos classfcar as paráolas a partr de suas característcas. Uma prmera característca é a cocavdade. Uma seguda dz respeto ao fato de ela terceptar ou ão o eo. Uma fução quadrátca pode er dos tpos de cocavdade. A cocavdade é cosderada postva se a curva está vrada para cma. Se ocorrer o oposto, a cocavdade da curva é egatva. Nesse caso, dzemos, uma lguagem coloqual, que ela está vrada para ao. Posterormete, daremos uma defção mas precsa de cocavdade de uma curva. 4 Fuções Polomas

8 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 81 Levado em cota ada a forma 4., podemos verfcar que a cocavdade é determada pelo sal do parâmetro a da fução. A cocavdade será egatva se o parâmetro a for egatvo. E será postva se a for postvo. Isso pode ser faclmete oservado a Fgura 4.4. Fgura 4.4: A cocavdade da fução depede do sal do parâmetro a. Assm, o parâmetro a determa tamém o quão aerta ou fechada será a paráola. Quato maor o valor desse parâmetro tato mas fechada será a paráola (vde Fgura 4.5). A paráola pode terceptar ou ão o eo. Para determar se a curva tercepta o eo, asta procurar os valores de que toram y = 0. A tas valores, quado estem, damos o ome de raízes da fução ou raízes do polômo. Cada Fgura 4.5: Comportameto da paráola quado varamos o parâmetro a. poto em que a paráola cruza o eo é otdo por meo de um par ordeado da forma ( r, 0), ode r é uma das raízes do polômo de segudo grau, sto é: a + + c = 0 r r 4.5 Assm, o gráfco de um polômo do segudo grau pode terceptar duas vezes o eo (se ele possur duas raízes dsttas), terceptar apeas uma vez (o caso de ter apeas uma raz ou duas raízes guas), ou uca terceptá-lo (se ão houver raízes reas). De acordo com a aálse que Fudametos de Matemátca I

9 8 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 faremos a seção 4.7, tas casos podem ser decddos por meo da relação etre os parâmetros a, e c. O resultado é o segute: Se > 0 > c o gráfco corta o eo duas vezes = 0 = c o gráfco corta o eo uma úca vez < 0 < c o gráfco ão corta o eo. 4.6 Fgura 4.6: A paráola para dferetes possldades de. Assm, a fução quadrátca, por eemplo, y( )= tercepta o eo duas vezes pos, esse caso, = = 1, ao passo que a fução y( )= tercepta o eo apeas uma vez, pos = = 0. A fução y( )= ão tercepta o eo. 4 Fuções Polomas

10 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 8 Eemplo 1 Estude a fução: Eemplos y = f ( )= com relação às suas tersecções com os eos coordeados. 4.0 Resolução: Prmeramete, oservamos que, esse caso, temos: a = 1, = 6, c = 5. a. Itersecção com o eo 0y: Para ecotrar o valor de y, asta tomar = 0 a equação 4.0. Otemos: y( 0) = ( 0) 60 ( )+ 5= 5 Portato, o gráfco corta o eo 0y o poto de coordeadas (0,5). Oservamos tamém que, como a = 1 > 0, a cocavdade é para cma Itersecção com o eo : Devemos verfcar se estem potos a curva tas que y = 0, ou seja, potos para os quas: Vamos determar o valor de : 6 + 5= 0 4. ( ) ()( )= = = c = Logo, a fução dada admte duas raízes reas, ou seja, seu gráfco cortará o eo horzotal em dos potos. 4. Fudametos de Matemátca I

11 84 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo Gráfcos das fuções polomas Gráfcos típcos de fuções polomas são apresetados as fguras aao. O polômo da Fgura 4.7d é um polômo par. Os demas gráfcos são de fuções que ão são pares em ímpares. a c d Fgura 4.7: Algus gráfcos de fuções polomas Pode-se ver, pelos gráfcos, que as fuções polomas ão são lmtadas, sto é, elas podem crescer defdamete, decrescer defdamete, ou amos. A curva assocada ao gráfco de uma fução polomal de grau pode cortar o eo um certo úmero de vezes. Esse úmero é gual ou meor do que. Aos potos em que o gráfco tercepta o eo damos o ome de raízes do polômo. 4 Fuções Polomas

12 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 85 Os polômos, em geral, eem potos de mámo ou de mímo locas. Por eemplo, o gráfco da Fgura 4.7c ee dos mámos locas e um mímo local, equato que a Fgura 4.7d apreseta dos mámos locas e três mímos locas. 4.6 Raízes das fuções polomas A determação das raízes de um polômo de grau se faz medate a resolução de uma equação algérca. De fato, desgado por a -ésma raz de um polômo, por defção, deve satsfazer à equação algérca: P ( )= ou seja, 1 a + a a + a = Podemos ter até soluções reas para tal equação. Não estr solução, o cojuto dos úmeros reas, é, tamém, uma possldade. O estudo das raízes de um polômo tem desafado os matemátcos. Assm, desde o século XVI, sae-se ecotrar a solução para as segutes equações cúcas e quadrátcas: + m = p + q + r = 0 Nos casos mas geras, o prolema é compleo. O caso mas smples etre todos é aquele em que o polômo é fatorável, de tal forma que se pode escrevê-lo como produto de polômos de prmero grau: 4.6 P ( )= a ( )( ) 1 ( ) 4.7 Por eemplo, o polômo dado por 4.14 pode ser escrto como 4 4 P ( )= = ( ) ( + ) ( ) + ( ) 4.8 Fudametos de Matemátca I

13 86 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 Fgura 4.8 Gráfco do polômo P 4 dcado suas raízes. Ele tem, portato, quatro raízes e elas são represetadas pelo cojuto {,,, } 4.9 O polômo ímpar, dado por 4.16, pode ser escrto como 5 5 P ( )= = ( ) ( + ) ( ) + ( ) 4.40 Fgura 4.9 Gráfco do polômo P 5 dcado suas raízes. Ele tem, portato, cco raízes, costtudo o cojuto: {,, 0,, } Fuções Polomas

14 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo Raízes da fução quadrátca Aalsaremos, a segur, o prolema da determação das raízes de uma equação do segudo grau. A solução desse prolema é astate smples e se aplca a qualquer fução polomal de segudo grau. A equação que os permte determar as raízes da fução quadrátca, de acordo com a otação da seção precedete, é dada por: a + + c = ode a 0. De 4.0 vemos que ela pode ser escrta como: a + a ( c) = 0 E, portato, tas valores, se estrem, devem satsfazer à detdade: a = ( c) = Ora, como é possível oservar, a fm de que estam valores que satsfaçam à relação acma, é ecessáro que o lado dreto de 4.44 seja postvo ou ulo, ou seja: Tedo em vsta a epressão 4.4, otemos a segute epressão: a + a = 0 Uma vez que o coefcete a é ão ulo, temos: a = 4.47 Fudametos de Matemátca I

15 88 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 E, portato, se 0, as raízes são dadas da segute maera: + a =± a Cocluímos etão que, depededo do valor de, podemos ter até três possldades: 4.48 > 0 dduas raízes reas dferetes = 0 duas raízes reas guas (uma úca raz) < 0 ão há raízes reas 4.49 Assm, para > 0, ecotramos as duas raízes dadas pelos valores: c = = a a 1 c = + = + a a Se, o etato, = 0, as duas raízes se reduzem a uma só: 4.50 = = a 1 De 4.50 ou 4.51, podemos coclur que a soma das raízes (S ) e o seu produto (P) são dados, respectvamete, por: S = + = 1 a 4.5 c P= 1 = a Falmete, é fácl verfcar que, em termos das raízes dadas por 4.50 ou 4.51, um polômo do segudo grau pode ser escrto como: 4.51 a c a a c + + = + + a a = ( ) ( ) 1 Por eemplo, as raízes da fução 4.7 são determadas pela equação: = Fuções Polomas

16 cujas soluções, de acordo com 4.50, são: Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 89 equato a equação = = = + = = admte apeas uma raz, já que, esse caso, = 0. Tal raz, de acordo com a epressão 4.51, é dada por: A fução 4.9 ão tem raízes reas, pos < 0. = = = Fgura 4.10: Gráfcos de fuções quadrátcas edo duas, uma ou ehuma raz. Eemplo Determe as raízes do polômo dado por 4.0 (y = f ( )= 6 + 5). Resolução: A partr da epressão 4.1, ecotramos = 16 e, portato, = 16 = Fudametos de Matemátca I

17 90 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 e, a partr daí, = ± = ( 6 )± 4 6 = ± 4 a 1 () ou seja, = = = + = Poto de mámo ou de mímo da fução quadrátca Falmete, lemramos que uma paráola ee um poto em que a varável y atge um valor mámo (ou um valor mímo). Qualquer que seja o caso (mámo ou mímo), esse valor de y será represetado geercamete por y m. O valor da varável depedete,, para o qual ocorre o valor mámo (ou mímo) da fução polomal do segudo grau, será desgado por m. Como a cada par de valores das varáves correspode um poto (, y) o plao, esse poto muto especal da paráola é: (, y ) m m 4.61 Esse poto é o vértce da paráola. Este uma forma sstemátca de determar o poto de mámo ou de mímo de um polômo do segudo grau. Para sso, reescrevemos a fução do segudo grau utlzado a epressão 4.0, ou seja, y = a + a Da epressão acma, resulta que o mámo ou o mímo da fução quadrátca ocorrerá para o valor de, para o qual o prmero termo etre parêteses do lado dreto se aula, sto é, m é tal que: m a = Fuções Polomas

18 ou seja, para Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 91 = m a 4.64 Outro modo de determar a ascssa do vértce é lemrar que, havedo raízes reas, o vértce se stua um poto cuja ascssa é a méda artmétca das raízes: = 1+ m = a 4.65 ao passo que o valor de y m, sto é, o valor mámo (ou mímo) será determado susttudo-se em 4.6 o valor dado por 4.64, ou seja, ym = y( m)= a m + a Otemos, assm, eplctamete: = a a = 0 4 y = m = + c Assm, o poto de mámo ou de mímo tem coordeadas dadas por: ( m, ym)=, + c a Os potos de mímo, sto é, os vértces das fuções quadrátcas 4.7, 4.8 e 4.9, são dados, respectvamete, por: , 10, 01, 4 ( ) ( ) 4.69 Fgura 4.11: Vértces das fuções quadrátcas 4.7, 4.8 e 4.9. Fudametos de Matemátca I

19 9 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 No caso da fução: y = a ascssa do vértce ( v ) é dada por: ( ) () = v = 6 a 1 = ao passo que, de 4.66, vemos que a ordeada do vértce é dada por: y = m = () = Eemplo A Fgura 4.1 apreseta o gráfco de uma fução quadrátca. Escreva a epressão que defe a fução. Determe as coordeadas do vértce: Resolução: Lemrado a forma geral da fução quadrátca y = a + + c, o prolema que se coloca é o de determar os coefcetes a,, e c. Da Fgura 4.1 fermos que as raízes são 1 = 1 e =. Cosderado, agora, a forma fatorada de uma fução polomal do segudo grau, escrevemos: y = a( )( )= a( + 1) ( )= a 1 Fgura 4.1: Gráfco de uma fução quadrátca ( ) Resta-os, portato, determar o valor do parâmetro a. Para sso, oserve que o gráfco corta o eo y o poto (0,), sto é, para = 0, temos y = : 4.7 Dode fermos que y( 0) = = a( 0 0 ) a = a = Susttudo esse valor de a em 4.7, otemos: y = ( ) Fuções Polomas

20 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 9 ou, de modo equvalete, 4 y = + + Para determar as coordeadas do vértce, lemramos prmeramete que a ascssa do vértce é, essecalmete, a méda artmétca das ascssas das raízes. Assm, esse caso, otemos: 4 = + m = + = 1 1 = = 1 a Da epressão 4.66, que dá o valor da ordeada do vértce, otemos: 64 y = m = 9 8 = Portato, o vértce é o poto (1, 8/). Oserve que, esse caso, a cocavdade da paráola é para ao e a fução admte um valor mámo, que é 8/. Eemplo 4 Uma pessoa quer costrur um galhero de forma retagular, usado um muro reto já costruído como um dos lados do galhero. Dado que essa pessoa tem materal para costrur 60 metros de cerca de uma altura fa, determe os valores de e z, de modo que a área do galhero seja a maor possível (possa argar o maor úmero possível de galhas). Resolução: Tedo em vsta que o galhero é retagular, a sua área, deomada y, é dada pelo produto dos lados: y = z Os lados e z devem respetar a lmtação mposta pela quatdade de materal à dsposção. Assm, escrevemos para a soma dos três lados do galhero: 4.80 Fgura 4.1: A stuação descrta o Prolema 4. + z+ = 60 Dode cocluímos que, com o materal estete, a relação etre os lados é dada por: z = Fudametos de Matemátca I

21 94 Lcecatura em Cêcas USP/Uvesp Módulo 1 Portato, escrevedo a área da costrução em fução do comprmeto do lado,, otemos: y = ( 60 )= + 60 Como a < 0, a cocavdade da paráola, que é o gráfco da fução y = f (), é para ao e a fução admte um valor mámo para a ascssa dada por: = = 4.84 a = 60 m ( ) = 15 Assm, para esse valor de, o valor do outro lado será dado por: z = 60 = 60 ( 15)= 0 Portato, para que o galhero teha a área máma, devemos ter: = 15 metros e z = 0 metros 4.86 Fgura 4.14: O prolema resolvdo. 4 Fuções Polomas

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