Estatística. 2 - Estatística Descritiva

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1 Estatístca - Estatístca Descrtva UNESP FEG DPD Prof. Edgard

2 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Possblta descrever as Varáves: DESCRIÇÃO GRÁFICA MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE ASSIMETRIA MEDIDAS DE ACHATAMENTO MEDIDAS DE CORRELAÇÃO UNESP FEG DPD Prof. Edgard

3 PROBLEMA: Uma peça após fudda sob pressão a alta temperatura recebe um furo com dâmetro especfcado em,00 mm e tolerâca de 0,5 mm: (,75,5) Deseja-se DESCREVER as segutes Varáves de Resposta: X: úmero de defetos por peça fudda Y: dâmetro do furo Para tato, coletou-se dados de uma Amostra de 5 peças UNESP FEG DPD Prof. Edgard

4 COLETA DE DADOS: Peça X : úmero de defetos Y : dâmetro do Furo (mm), 0,7,94 4,86 5, 6 0,0 7,9 8 0,78 9,0 0,05,8,00,4 4 0,99 5,7 6, 7 6,80 8,0 9 0, 0,08 0,88,76,05 4 0,07 5 0,0 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

5 VARIÁVEL X : Número de Defetos por Peça Tabela de Dstrbução de frequêcas: frequêca ' f p Ordem X (absoluta) (relatva) 0 8 % 9 6% 5 0% 4 8% % % 7 6 4% DIAGRAMA DE BARRAS (Varável Dscreta) total 5 00% frequêca defetos por peça UNESP FEG DPD Prof. Edgard

6 VARIÁVEL Y : Dâmetro de Furo (mm) Tabela de Dstrbução de frequêcas: classe Dâmetro do Furo Valor médo Y frequêca,705 até,85,77 5 0%,85 até,965,90 %,965 até,095,0 7 8% 4,095 até,5,6 6 4% 5,5 até,55,9 4 6% total 5 00% f ' p HISTOGRAMA (Varável Cotíua) frequêca 5 4 0,77,90,0,6,9 Dâmetro do Furo (mm) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

7 HISTOGRAMA: dcas para costrução Número de classes: k (tero) Ampltude da Amostra: R X max X m Ampltude das classes: Exemplo da Fudção: h População: Total de peças produzdas Tamaho da Amostra: 5 peças R Varável Y: dâmetro do furo (mm) k Ampltude da amostra: R Y Y,4,7 max m 0,6 Número de classes: k 5 5 Ampltude das classes: R 06, h 0, k 5 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - 0 h 0, 0-7

8 HISTOGRAMA: dcas usado Excel:. Selecoar: Ferrametas >> Aálse de Dados >> Hstograma >> OK. Selecoar células com os dados da Amostra. Selecoar células com os lmtes ferores das classes 4. Escolher opção de saída 5. Selecoar Porcetagem Cumulatva 6. Selecoar Resultado do Gráfco 7. Clcar OK 8. Clcar em qualquer barra do Hstograma gerado 9. Selecoar o pael superor: Formatar >> Seqüêca de dados selecoada >> Opções >> Espaçameto >> DIMINUIR PARA ZERO! 0. Clcar OK UNESP FEG DPD Prof. Edgard

9 VARIÁVEL: Categora do Dâmetro de Furo Dstrbução de frequêca: frequêca classe Dâmetro do Furo Categora absoluta relatva <,75,75 até,5 >,5 abaxo da especfcação 4% detro da especfcação 84% Acma da especfcação % total 5 00% DIAGRAMA CIRCULAR (PIZZA) Dâmetro Abaxo da Especfcação Dâmetro Detro da Especfcação Dâmetro Acma da Especfcação UNESP FEG DPD Prof. Edgard

10 VARIÁVEL: Dâmetro de Furo (mm) Peça Dâmetro Y,,7,94 4,86 5, 6,0 7,9 8,78 9,0 0,05,8,00,4 4,99 5,7 6, 7,80 8,0 9, 0,08,88,76,05 4,07 5,0 DIAGRAMA DE CAULE E FOLHAS (Steam ad Leaf Dagram),7 6 8, , , 0 9, 0 0 7, 4 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

11 MEDIDAS DE POSIÇÃO Méda Medaa Quartl Decl Percetl Moda UNESP FEG DPD Prof. Edgard

12 Méda da População (Varável X): E(X) N µ X x N X : -ésmo valor da Varável X N : tamaho da População µ X é um PARÂMETRO, sto é, um DETERMINADO NÚMERO, pos cosdera TODOS os possíves valores da População UNESP FEG DPD Prof. Edgard

13 Méda da Amostra ou Méda Amostral : X X N x X : -ésmo valor de uma Amostra da Varável X : tamaho da Amostra X é uma VARIÁVEL, pos depede dos valores de cada Amostra Dca Excell para a Méda: Selecoar: fx >> Estatístca >> Méda Selecoar: células com a tabela de dados Clcar: OK UNESP FEG DPD Prof. Edgard

14 Méda da Amostra ou Méda Amostral: Dados em Tabela de frequêca dos valores de uma dada Amostra da Varável X X X k x f k x p ' f : frequêca do valor X k f : tamaho da Amostra ' p f : frequêca relatva k : úmero de dferetes valores da Amostra Dados em Tabela de frequêca das classes de uma dada Amostra da Varável X X k x f x : valor médo da classe f : freqüêca da classe k : úmero de classes UNESP FEG DPD Prof. Edgard

15 MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fudção Varável X: úmero de defetos por peça Tabela de Dstrbução de frequêca dos Valores Ordem Número de Defetos X frequêca f X f total 5 X k X f 5,4 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

16 MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fudção Varável Y: dâmetro do furo (mm) Tabela de Dstrbução de frequêca das Classes Classe Dâmetro do Furo frequêca Y f,705 até,85, ,85,85 até,965,90 5,7,965 até,095,0 7 84, 4,095 até,5,6 6 7,96 5,5 até,55,9 4 49,6 Y f total 5 00,88 Y k Y f 00,88 5,04 Dca Excell para Méda em tabela de frequêca das classes: Selecoar: fx >> Matemátca >> SOMARPRODUTOS Selecoar: células com os valores de X Selecoar: células com os valores de f >> Clcar: OK >> Dvdr por UNESP FEG DPD Prof. Edgard

17 MEDIANA : md Idéa: dvdr em partes um cojuto ordeado de valores - Tabela com valores ordeados: : ímpar md valor de ordem ( + )/ Exemplo: 9 (+)/ 5 valor de ordem 5 40 ordem valor md 40 : par md valor médo etre o de ordem / e o de ordem /+ Exemplo: 8 valor de ordem / 5 valor de ordem(/) + 6 ordem valor md 5,5 Dca Excell : Selecoar: fx >> Estatístca >> Med Selecoar: células com a tabela de dados >> Clcar: OK UNESP FEG DPD Prof. Edgard

18 MEDIANA : md Tabela de Dstrbução em classes de freqüêcas: md L md + F f md < md h ode: L md : lmte feror da classe que cotém a medaa : tamaho da Amostra F <md : frequêca acumulada das classes aterores à classe que cotém a medaa f md : freqüêca da classe que cotém a medaa h : ampltude das classes UNESP FEG DPD Prof. Edgard

19 MEDIANA : md Exemplo da Fudção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) Lmtes Reas absoluta classe Lm. f. Lm. sup.,705,85 5 5,85,965 8,965, ,095,5 6 5,5, f frequêca Acumulada F md L md + F f md < md h 5 8 md,965 +,0 7 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - 0,80 0-9

20 QUARTIL : Q Idéa: dvdr em 4 partes um cojuto ordeado de valores umércos 0% 5% 50% 75% 00% Q Q md Q Q : Prmero Quartl Q : Segudo Quartl Medaa Q : Tercero Quartl Dca Excell (os dados ão precsam estar ordeados): Selecoar:Iserr>>fução fx >> Estatístca >> Quartl >> OK Selecoar: células com a tabela de dados >> OK Segur struções da jaela UNESP FEG DPD Prof. Edgard

21 QUARTIL : Q Exemplo da Fudção: Varável X: úmero de defetos por peça ordem X Q 0 (prmero quartl) 4 5 Q (segudo quartl) Q (tercero quartl) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

22 QUARTIL : Q Exemplo da Fudção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) peça Y,7,76,78 4,80 5,8 6,86 7,88 8,94 9,99 0,00 Q,88 (prmero quartl),0,05,05 4,07 Q,05 (segudo quartl) 5,08 6,0 7, 8,9 9,0 0,0,,,7 4, 5,4 Q,0 (tercero quartl) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

23 QUARTIL : Q Dstrbução em classes de freqüêcas: Q L Q + 4 f Q F < Q h ode: L Q : lmte feror da classe que cotém o -ésmo Quartl : tamaho da Amostra F <Q : frequêca acumulada das classes aterores à classe que cotém o -ésmo Quartl; f Q : freqüêca da classe que cotém o -ésmo Quartl; H : ampltude das classes UNESP FEG DPD Prof. Edgard

24 QUARTIL : Q Exemplo da Fudção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) Lmtes Reas absoluta classe Lm. f. Lm. sup. f frequêca Acumulada,705,85 5 5,85,965 8,965, ,095,5 6 5,5, Q valor de ordem 7 (5/4) classe Q valor de ordem (50/4) classe Q valor de ordem 9 (75/4) classe 4 F Q L Q + F 4 f Q < Q h Q,85 + 0,,89 Aalogamete: Q,05 Q,8 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

25 DIAGRAMA DE CAIXA E BIGODE (Box-plot) PE: Poto Extremo (outler) BS: Barrera Superor Q +,5 (Q Q ) PS: Poto Adjacete Superor Q : Tercero Quartl Q : Segudo Quartl Medaa Q : Prmero Quartl PS: Poto Adjacete Iferor BI: Barrera Iferor Q,5 (Q Q ) PE: Potos Extremos (outlers) Usualmete: apresetar os Potos Extremos ão apresetar as Barreras ( (BI e BS) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

26 DIAGRAMA DE CAIXA E BIGODE (Box-plot) Exemplo da Fudção: Varável X: úmero de defetos por peça X 7 6 Poto Extremo (outler) BS 5 PS Q Q BS Q +,5 (Q Q BS +,5 ( 0) 5 ) Q 0 PS 0 (sem bgode feror) BI - BI Q,5 (Q Q ) BI 0,5 ( 0) UNESP FEG DPD Prof. Edgard

27 DIAGRAMA DE CAIXA E BIGODE (Box-plot) Exemplo da Fudção: Varável Y: dâmetro do furo (mm) BS,68 BS Q +,5 (Q Q ) BS,0 +,5 (,0,88),68 PS,4 Q,0 Q,05 Q,88 PS,7 BI,40 BI Q,5 (Q Q ) BI,88,5 (,0,88,40) Observação: o exemplo ão ocorreram Potos Extremos UNESP FEG DPD Prof. Edgard

28 Decl (D ) Idéa: Dvdr o cojuto de dados em 0 partes guas 0% 0% 0% 0% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 00% ode: D D D D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D 5 medaa D L D + 0 f D F D h L D : lmte feror da classe que cotém o -ésmo Decl : úmero de elemetos do cojuto de dados; F D : frequêca acumulada das classes aterores à classe que cotém o -ésmo Decl; f D : freqüêca da classe que cotém o -ésmo Decl; h D : ampltude da classe que cotém o -ésmo Decl. D Dca Excell: Como D P 0. usar a fução Percetl etão pode-se UNESP FEG DPD Prof. Edgard

29 Percetl (P ) Idéa: Dvdr o cojuto de dados em 00 partes guas 0% % % % 50% 97% 98% 99% 00% P P P P 50 md P 97 P 98 P 99 ode: P L P + 00 f P F P L P : lmte feror da classe que cotém o -ésmo Percetl : úmero de elemetos do cojuto de dados; F P : frequêca acumulada das classes aterores à classe que cotém o -ésmo Percetl f P : freqüêca da classe que cotém o -ésmo Percetl h P : ampltude da classe que cotém o -ésmo Percetl Dca Excell : Selecoar: fx >> Estatístca >> Percetl Selecoar: células com a tabela de dados Clcar: OK >> segur struções da jaela h P UNESP FEG DPD Prof. Edgard

30 Moda: mo Valor de máxma freqüêca detro de um cojuto de dados Dados em Tabela de frequêca dos valores Exemplo da Fudção Varável X: úmero de defetos por peça frequêca ' f p Ordem X (absoluta) (relatva) 0 8 % 9 6% 5 0% 4 8% % % 7 6 4% total 5 00% mo moda é apresetar defeto por peça UNESP FEG DPD Prof. Edgard

31 Moda: mo Dados em Tabelas de frequêca das classes Classe Modal: aquela(s) de maor frequêca mo L + d d + d h L : lmte feror da classe modal d d h : dfereça etre a freqüêca da classe modal e a medatamete ateror : dfereça etre a freqüêca da classe modal e a da medatamete segute : ampltude das classes Dca Excell (os dados ão precsam estar ordeados): Selecoar:Iserr>>fução fx >> Estatístca >> Modo >> OK Selecoar: células com a tabela de dados >> OK Segur struções da jaela UNESP FEG DPD Prof. Edgard

32 Moda: mo Dados em Tabelas de frequêca das classes Exemplo da Fudção Varável Y: dâmetro do furo (mm) Lmtes Reas absoluta classe Lm. f. Lm. sup.,705,85 5 5,85,965 8,965, ,095,5 6 5,5, f frequêca Acumulada F mo L + d d + d h d 7 4 d mo, , 4 +,07 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

33 MEDIDAS DE DISPERSÃO Varâca Desvo padrão Coefcete de Varação Ampltude UNESP FEG DPD Prof. Edgard

34 Varâca da População (Varável X): Var(X) σ X N [ X ] µ N x X : -ésmo valor da Varável X µ x : Méda da População N : tamaho da População σ X é um PARÂMETRO, sto é, um DETERMINADO NÚMERO, pos cosdera TODOS os possíves valores da População UNESP FEG DPD Prof. Edgard

35 Varâca da Amostra ou Varâca Amostral : s X S X N [ X X] No Cap. 9 Estmação de Parâmetros por Poto será apresetada a justfcatva da dvsão por - X : -ésmo valor de uma Amostra da Varável X : tamaho da Amostra S X é uma VARIÁVEL, pos depede dos valores de cada Amostra Dca Excell : Selecoar: fx >> Estatístca >> VAR Selecoar: células com a tabela de dados Clcar: OK Obs.: No caso de População usar VARP UNESP FEG DPD Prof. Edgard

36 Varâca Amostral S X (x - x ) Exemplo: valores da amostra: x (x x ) (x x ) x 5 4 s (x x) ,5 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

37 Varâca Amostral Cosderado dstrbução de freqüêcas de valores S X (x - equvalete x) f S X x f ( x f )/ Exemplo da Fudção X: úmero de defetos por peça X f X f total 5 8 X f s 8 () 5 5 X,86 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

38 Varâca Amostral Cosderado dstrbução de freqüêcas de classes S X (x - equvalete x) f S X x f ( x f )/ Exemplo da Fudção Y: dâmetro do furo (mm) Y f Y f, ,85 69,66,90 5,7 44,8,0 7 84, 0,05 4,6 6 7,96 887,9 5,9 4 49,6 604,8 Y f total 5 00,88 6,9 s 6,9 (00,88 ) 5 5 Y 0,0 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

39 Desvo Padrão DP(X) População: Amostra: s σ X σ X s x x Emprcamete: ode c: s c s x x No Cap. 9 Estmação de Parâmetros por Poto será apresetada a justfcatva da dvsão por c >00 c 0,7979 0,886 0,9 0,9400 0,9594 0,977 0,9776 0,98 0,9869 0,9896 0,9949 0,9975,0000 Exemplo da Fudção 5 c 0,9896 X: úmero de defetos por peça s,86 X s X,86 0,9896,8 Y: dâmetro do furo (mm) s 0,0 s Y 0,0 Y 0,9896 0,8 Dca Excell : Selecoar: fx >> Estatístca >> DESVPAD Selecoar: células com a tabela de dados Clcar: OK Obs.: Para População usar DESVPADP UNESP FEG DPD Prof. Edgard

40 Coefcete de Varação CV(X) Idéa: relação etre Desvo padrão e Méda (%) População: Amostra: CV(X) σ µ X X 00 CV(X) s x x 00 Regra empírca: CV < 5% dspersão baxa 5% < CV < 5% dspersão moderada 5% < CV < 0% dspersão moderada 0% < CV < 50% dspersão alta CV > 50% dspersão muto alta Exemplo da Fudção: X: úmero de defetos por peça cv,8,4 ( X ), % dspersão muto alta Y: dâmetro do furo cv ( Y ) 0,8,04,5 % dspersão muto baxa UNESP FEG DPD Prof. Edgard

41 Ampltude: R(X) (R X ) X máx X m Exemplo da Fudção: X: úmero de defetos por peça X máx 6 R(X) X mí 0 Y: dâmetro do furo (mm) Y máx,4 R(Y),4 -,7 0,6 Y mí,7 Relação Empírca (útl para verfcação de erros grosseros): R / 6 < s < R / Exemplo da Fudção: X: úmero de defetos por peça R(X) 6 S X,8 6 / 6 < s < 6 / S X < < OK! Y: dâmetro do furo (mm) R(Y) 0,6 S Y 0,8 0,6/ 6 < s < 0,6/ 0,0 s < 0, 0 < OK! UNESP FEG DPD Prof. Edgard

42 x) (x M t t 0 M X ) (X Mometos de Ordem t Cetrado Logo: 0-4 UNESP FEG DPD Prof. Edgard - 0 ) ( S M x x x x X ) (X M x x 6 x x 4 x X ) (X M +

43 MEDIDAS DE ASSIMETRIA Idéa: represeta o grau de afastameto da codção de smetra Assmetra Postva Assmetra Negatva Coefcete de Assmetra de Fsher (g ): g ( () M )S g < 0 : Assmetra Negatva g 0 : Smetra g > 0 : Assmetra Postva UNESP FEG DPD Prof. Edgard

44 MEDIDAS DE ASSIMETRIA Coefcete de Assmetra de Fsher (g ): g M ( () )S Exemplo da Fudção: X: úmero de defetos por peça frequêca defetos por peça M(X ) k (X X ) f 5 4,6 (5 () 5 ),8 g 4,6,88 Y: dâmetro do furo (mm) frequêca ,77,90,0,6,9 Dâmetro do Furo (mm) M(Y ) k (X X ) f 5 0,009 (5 () 5 )0,8 g 0,0009 0,7 UNESP FEG DPD Prof. Edgard

45 Meddas de Achatameto ou Curtose Idéa: represeta o grau de achatameto comparado com a Gaussaa (dstrbução Normal) Curva Curva Curva Platcúrtca Mesocúrtca Leptocúrtca (Normal) Coefcete de Achatameto de Fsher (g ): g ( ( + )M () () 4 )S 4 ( ) ( ) ( ) g < 0 g 0 g > 0 Curva Platcúrtca Curva Mesocúrtca ( Normal) Curva Leptocúrtca UNESP FEG DPD Prof. Edgard

46 Meddas de Achatameto ou Curtose Coefcete de Achatameto de Fsher (g ): g ( + )M ( () () 4 )S 4 ( ) ( ) ( ) Exemplo da Fudção: X: úmero de defetos por peça f re q u ê c a M(X ) k (X 4 X ) f 4 g (X) 4,47,7 defetos por peça Curva Leptocúrtca Y: dâmetro do furo (mm) frequêca k 4 (Y Y ) f M(Y ) g (Y), 9 4 0,007 0,77,90,0,6,9 Dâmetro do Furo (mm) Curva Platcúrtca UNESP FEG DPD Prof. Edgard

47 CORRELAÇÂO LINEAR & RETA DE REGRESSÃO Exemplo: amostra de 8 países X : Reda Per Capta (U$ 000) Y : Taxa de Aalfabetsmo ( % ) Reda Per Capta versus Taxa de Aalfabetsmo Y (% aalf.) reta de regressão X (U$000) Verfcação Vsual: Exste tedêca dos maores valores de X correspoderem aos meores valores de Y, ou seja: Exste Correlação Lear Negatva etre as varáves Uma Correlação Lear Postva ocorre quado se verfca uma reta ascedete. UNESP FEG DPD Prof. Edgard

48 CORRELAÇÂO LINEAR ) Grau Acetuado (Correlação Postva): ) Grau Moderado (Correlação Postva): ) Grau Nulo UNESP FEG DPD Prof. Edgard

49 MEDIDA DE CORRELAÇÂO LINEAR Covarâca: Mede a varabldade cosderado duas varáves S XY cov(x, Y ) ( x x) * ( y y) Caso partcular: ( x x) S cov(x, x ) S xx x Varâca Amostral Coefcete de Correlação Lear de Pearso População: ρ cov( x, y) σ σ x y Amostra: r cov( x, y) S x S y Dca Excell : Selecoar: fx >> Estatístca >> Pearso Selecoar: células com os dados da varável X Selecoar: células com os dados da varável Y Clcar: OK UNESP FEG DPD Prof. Edgard

50 EXISTE CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS? Varáves: D: Número de Defetos por Peça F: Dâmetro do Furo DIAGRAMA DE DISPERSÃO E RETA DE REGRESSÃO,40,0 o do Furo (mm) Dâmetr,0,0,00,90,80,70,60 y -0,006x +,04 R 0, ,5,5,5,5 4 4,5 Número de Defetos por Peça NÃO EXISTE EVIDÊNCIA DE CORRELAÇÃO ENTRE O DIÂMETRO DO FURO E O NÚMERO DE DEFEITOS POR PEÇA UNESP FEG DPD Prof. Edgard

51 CORRELAÇÃO: dcas usado Excell Dagrama de Dspersão: >> Selecoar: Assstete de gráfco >> Tpo: Dspersão (XY) >> Sub-tpo: só potos; >> Avaçar; >> Itervalo de dados: selecoar células com os dados da varável Y >> Clcar a aba Sequêca >> Valores de x: selecoar células com os dados da varável X >> Avaçar >> Avaçar >> Coclur Reta de Regressão: >> Selecoar os potos do gráfco gerado >> Clcar aba Gráfco (pael superor) >> Adcoar lha de tedêca: >> Tpo: lear >> Clcar opções : exbr equação e exbr R-quadrado ; >> clcar OK UNESP FEG DPD Prof. Edgard