Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto

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1 Faculdade de Ecooma, Admstração e Cotabldade de Rberão Preto Ecooma Moetára Curso de Ecooma / º. Semestre de 014 Profa. Dra. Rosel da Slva Nota de aula CAPM Itrodução Há dos modelos bastate utlzados para precfcação de atvos de captal a lteratura empírca de mercados faceros, quas sejam: Captal Asset Prcg Model (CAPM) e o Arbtrage Prcg Theory (APT), prcpalmete porque são faclmete testados emprcamete. Os preços e os retoros dos atvos são versamete relacoados, ou seja: quato maor o preço de um título meor a sua taxa de retoro. Portato, podemos estudar a precfcação dos atvos aalsado seus retoros ao vés de seus preços. Além dsso, as característcas estatístcas dos retoros são de tratameto estatístco mas smples que as dos preços (em geral são passeos aleatóros, que correspode à hpótese fraca de mercados efcetes). Por estes motvos, estes modelos de precfcação são formalzados em termos dos retoros e ão dos preços dos atvos. Os atvos cujos retoros ão são garatdos (certos) são deomados atvos de rsco. Tato o retoro quato o rsco varam de atvo para atvo. CAPM Desevolvmeto: Markowtz (1959) desevolveu a teora de seleção de portfólo em termos de retoro esperado e varâca do retoro, estabelecedo as bases para o CAPM. A partr daí, Sharpe (1964) e Lter (1965b) desevolveram um modelo de mplcações ecoômcas mas amplas, o CAPM, que passamos a apresetar suctamete. Objetvo: quatfcar o tradeoff etre rsco e retoro esperado de um vestmeto de rsco. Como mplcação, este modelo apreseta uma relação lear etre o retoro de um atvo e sua covarâca com o retoro do portfólo de mercado. Quatfcado o rsco do atvo, podemos obter uma estmatva do preço justo deste atvo. 1

2 As hpóteses báscas deste modelo são: os vestdores têm expectatvas homogêeas (guas); os vestdores matêm portfólos que são méda-varâca efcetes; ão há mperfeções o mercado de atvos; e todos os agetes cotam com a possbldade de emprestar ou tomar emprestado atvos sem rsco às mesmas taxas de juros. Portfólos méda-varâca efcetes: Forma-se um portfólo (cartera) dstrbudo-se uma dada rqueza etre os dversos atvos faceros dspoíves. Deomado um atvo de rsco de x, com atvos de rsco a ecooma ( = 1,, 3,...,), um portfólo, p, é determado pela alocação percetual (w ) da rqueza em cada atvo x : p= w x + w x + w x + K+ w x = 1 w = 1 O retoro (r ) de cada atvo x é uma varável aleatóra, com dstrbução, por hpótese, ( ) N r,σ. A varâca do retoro do atvo (ou o seu desvo-padrão) é a medda do rsco assocado a ele: quato maor a varâca (ou o desvo-padrão) mas dspersos em toro do retoro médo estarão os valores possíves do retoro do atvo x, e portato maor a "certeza" quato a obter o retoro esperado (médo). O retoro do portfólo, r p, é uma méda poderada por w dos retoros dos atvos: r = w r + w r + w r + + w r p K O retoro esperado do portfólo, E[ rp] r = w r + w r + w r + + w r p K = r, é dado por: Smplfcado, podemos cosderar todos os atvos com mesma partcpação a composção do portfólo, w =1/, e o retoro esperado do portfólo tora-se: p

3 r p r = = 1 Apeas para lustrar o racocío, supoha que os retoros dos atvos sejam depedetes (o que mplca correlação ula) e de mesma varâca. A varâca do retoro do portfólo, essas codções, é dada por: var( rp ) = ο (mesma demostração da varâca da méda amostral) Ou, mas geercamete: var( rp ) = w1 var(r1 ) + w var(r ) + K+ w var(r ) + w1w cov(r1,r ) + K+ w w j cov(r,r ) j Assm, se qusermos dmur o rsco (varâca) do retoro do portfólo, podemos aumetar o úmero de atvos (), ou seja, a dversfcação, em geral, dmu o rsco do portfólo. Porém, também ocorre uma dmução do retoro do portfólo quado dversfcamos. Mutas pessoas ão estão dspostas a perder muto retoro para dmur um pouco o rsco, ada que cosderadas como vestdores avessos ao rsco, etão é ecessáro eteder os efetos da dversfcação sobre a méda e a varâca do portfólo: esta é a motvação do approach méda-varâca. Supoha que tehamos dos atvos de rsco, x e y, estes atvos podem ser combados, com certos pesos (α e (1-α)), formado um portfólo. p= αx+ ( 1 α) y 0< α< 1 A méda ( r p ) e a varâca (σ p ) do retoro do portfólo podem ser calculadas a partr das médas, varâcas e covarâca dos retoros dos atvos orgas x e y. Coforme os pesos (α) varem, r p e σ p depedem da correlação etre os atvos orgas. É possível mostrar que esta combação, para cada correlação (ρ), será delmtada pela área do trâgulo abaxo (o plao retoro médo cotra desvo-padrão), coforme a correlação passe de perfeta postva a perfeta egatva: 3

4 ρ = -1 x ρ=1 ρ = -1 y σ Para atvos de rsco, podemos plotar o dagrama méda - desvo-padrão todos os portfólos possíves para todos os esquemas de poderação possíves, para dada correlação etre os atvos, este cojuto de potos é chamado de cojuto ou regão factível e compreede toda a área do trâgulo axy. É possível mostrar que este cojuto tem a aparêca do gráfco abaxo. Pesemos um portfólo como o apotado por a o gráfco abaxo. Embora seja um portfólo possível, o agete que deseja obter o retoro assocado ao portfólo a, pode obtê-lo combado os atvos de outra forma de modo a correr em meor rsco (desvo padrão meor), escolhedo o portfólo do poto d. Segudo este racocío, apeas os portfólos da frotera da regão factível serão, de fato, escolhdos, chamados de cojuto de varâca míma (frotera). d a No cojuto de varâca míma σ há um portfólo que oferece a meor varâca possível, dado pelo vértce da parábola vertda. Se o agete está dsposto a correr um rsco maor que o mímo, ele escolherá maxmzar o retoro, escolhedo um portfólo o cojuto de varâca míma (frotera) que esteja acma do retoro do portfólo de varâca míma, e ão abaxo. O cojuto desses portfólos acma do portfólo de varâca míma é chamado de frotera efcete. Se cosderarmos a exstêca de um atvo lvre de rsco, com retoro r f, também podemos mostrar que todos os agetes - por hpótese, avessos ao rsco - dessa ecooma 4

5 formarão portfólos em que seja possível obter o retoro certo (r f ) e uma combação dos demas atvos de rsco da ecooma, que permte o alcace de um retoro maor. Escolherão, portato, portfólos de equlíbro que são combações leares deste atvo sem rsco e do portfólo tagete à frotera efcete, este chamado de portfólo de mercado, com retoro r m : r m r f σ Baseado este arcabouço teórco, uma das versões do modelo CAPM afrma que o retoro de qualquer atvo da ecooma, que pertecerá a um portfólo sobre a reta do gráfco acma, pode ser expresso como uma fução lear do excesso de retoro do portfólo de mercado. r = α + β ( r r ) m f Neste caso, o parâmetro estmado α é uma medda do retoro do atvo lvre de rsco. Numa outra versão, mas popular, o modelo CAPM é formulado em termos do excesso de retoro, ou seja, da dfereça etre o retoro do atvo ou do portfólo e o retoro do atvo lvre de rsco (r f ): z = r rf z = r r m m f Assm, o excesso de retoro sobre o atvo sem rsco de um atvo de rsco qualquer (z ) pode ser expresso como uma fução lear do excesso de retoro do portfólo de mercado também em relação ao atvo sem rsco (z m ). z = α + β z m Neste caso, esperamos que o coefcete lear, tratado tal modelo como um modelo regressão lear smples, dessa equação seja estatstcamete ulo. Ao aplcarmos um método estatístco para estmar os parâmetros desta regressão lear smples, os testes sobre estas estmatvas estarão testado, de fato, a hpótese de 5

6 equlíbro da ecooma, de dstrbução de probabldade ormal dos retoros (devdo à utlzação da matrz teórca de méda-varâca), de adequação da proxy para o portfólo de mercado e dos métodos ecoométrcos utlzados. Na prátca, qualquer que seja a cartera dvdual do vestdor, o CAPM correlacoa as expectatvas de retoro destes atvos com um ídce mas abragete que pode ser deomado portfolo de mercado. Na realdade, a déa cetrada a exstêca de um portfolo de mercado resde o fato de que haja apeas um dcador que possa oferecer a todos os vestdores o mesmo ível de formação em que se baseam todas as tomadas de decsão. A costtução da cartera dvdual do vestdor depederá da alocação de cada atvo, porém coterá certamete atvos egocados o mercado. O portfolo de mercado será portato uma cartera que cotém todos os atvos egocados o mercado. De certa forma, este será o portfolo mas dversfcado, pos coterá uma pequea parcela de cada um dos atvos egocados o mercado. Como exemplo de precfcação, supoha que um atvo seja comprado a um preço P (cohecdo) e mas tarde veddo a um preço Q (aleatóro): Q P = rf +β P ( r r ) Resolvedo para P, obtemos: M f P= 1+ r f Q +β ( r r ) M f 6

7 Iterpretado o CAPM O CAPM utlza os cocetos de rsco dversfcável e rsco ão-dversfcável para coclur que o fator de rsco relevate de um atvo dvdual é sua cotrbução para o rsco de um portfolo bem dversfcado. Na verdade o CAPM parte da premssa de que exste um lmtado relacoameto etre os retoros dos atvos e os retoros do mercado. Esse retoro, seja para uma cartera ou para o mercado, cosste em gahos de captal mas receta de dvdedos. A volatldade do mercado pode ser tomada como um parâmetro para a avalação dos graus de rsco dos atvos e títulos dvduas. De fato, o grau de rsco é determado pela medda da sesbldade dos retoros de uma cartera em relação aos retoros de mercado. Assm, o CAPM estabelece que a sesbldade das ações dvduas pode ser medda se comparadas a um ídce comum, este caso, o mercado. A tedêca que um atvo possu de subr ou car com o mercado se reflete em seu Coefcete Beta (β) que represeta uma medda de varação dos retoros de um dado atvo em relação a um ídce de mercado defdo. O Coefcete Beta (β) costtu um elemeto fudametal do CAPM que sgfca a medda relatva do rsco ão-dversfcável assocado aos retoros de um portfolo com relação ao retoro do ídce do mercado. De fato, o mercado é um padrão para a obteção do que é cohecdo como rsco ão-dversfcável. O modelo parte da taxa lvre de rsco e, etão, adcoa o prêmo pelo rsco, que cosste o retoro médo do mercado meos a taxa lvre de rsco e multplcado pelo ídce do rsco ão-dversfcável do título, ou seja, o beta. A composção do portfolo dvdual de um sujeto depederá da estratéga de mercado que for adotada. Na realdade, a tomada de decsão quato ao vestmeto está vculada ao ível de rsco que se está dsposto a suportar. De fato, o ível acetável de rsco é o que separa o poupador do vestdor. Assm, da escolha dvdual da taxa de rsco admssível depederá a parcela do captal que será vestdo em cada um dos mercados ecotrado assm o poto ótmo sobre a frotera efcete em que resdrá o portfolo. É 7

8 relevate ressaltar que o ível da taxa de juros afeta todos vestmetos e coseqüetemete a decsão do vestdor. Referẽcas CAMPBELL, J.; LO, A.; MACKINLAY, A. The Ecoometrcs of Facal Markets, Prceto Uversty Press, LUENBERGER, Ivestmet Scece ROSS, S., The Arbtrage Theory of Captal Asset Prcg, Joural of Ecoomc Theory, vol. 13,

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