MODELO DE ISING BIDIMENSIONAL SEGUNDO A TÉCNICA DE MATRIZ DE TRANSFERÊNCIA

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1 UIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ RAFAEL DE LIMA BARBOSA MODELO DE ISIG BIDIMESIOAL SEGUDO A TÉCICA DE MATRIZ DE TRASFERÊCIA FORTALEZA CEARÁ 4

2 RAFAEL DE LIMA BARBOSA MODELO DE ISIG BIDIMESIOAL SEGUDO A TÉCICA DE MATRIZ DE TRASFERÊCIA Moografa apresetada ao Curso de Graduação em Físca do Cetro de Cêcas e Tecologa da Uversdade Estadual do Ceará, como requsto parcal para obteção do grau de Bacharel em Físca. Oretador: Prof. Dr. Marcoy Slva Cuha. FORTALEZA CEARÁ 4

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4 3

5 A magação é mas mportate que o cohecmeto. (Albert Este 4

6 5 AGRADECIMETOS Ao Prof. Kleto do Carmo pelo apoo fudametal para o íco desta moografa. À mha mãe, Mara Juarta de Lma Barbosa, pelo suporte emocoal. Ao Professor Ramos pelos recursos ecessáros à realzação deste trabalho. À mha famíla pela pacêca. Ao Professor Marcoy por ter me oretado e audado a coclur este trabalho. Aos meus pas pelo apoo e a todos que, mesmo de loge, torceram muto por esse acotecmeto.

7 6 RESUMO O segute trabalho desevolve as questões propostas por Valter L. Líbero o artgo De Isg a Metropols sobre o modelo de Isg aplcado ao ferromagetsmo em redes bdmesoas. O obetvo é comparar a solução de Osager com a técca de matrzes de trasferêca a respeto dos resultados para a magetzação espotâea. Palavras-chave: Modelo de Isg, ferromagetsmo, magetzação espotâea, sp, temperatura Cure

8 7 ABSTRACT Ths research workout some matters purposed by Valter L. Líbero hs artcle From Isg to Metropols about Isg model aplled to ferromagetsm bdmesoal lattces. Our task s compare Osager soluto to trasfer matrces method o ther results for spotaeous magetzato. Key words: Isg Model, ferromagetsm, spotaeous magetzato, sp, Cure temperature.

9 8 SUMÁRIO ITRODUÇÃO... 9 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.... Descrção Prelmar do Modelo de Isg.... Prova da Exstêca de Ferromagetsmo em uma Dmesão....3 Trasções de Fase Magétcas....4 Expoetes Crítcos O Modelo de Isg Udmesoal Correlações....7 Prova da Exstêca de Ferromagetsmo em duas Dmesões A Solução de Osager formulação matrcal dgressão matemátca a solução A Técca de Matrz de Trasferêca METODOLOGIA RESULTADOS COCLUSÃO REFERÊCIAS APÊDICE A AS FASES MAGÉTICAS... 9 APÊDICE B MODELO DE ISIG ATIFERROMAGÉTICO... 9 APÊDICE C FUÇÃO PARTIÇÃO APÊDICE D PRODUTO TESORIAL... 95

10 9 ITRODUÇÃO Proposto em 9 por Wlhelm Lez ao seu aluo de doutorado Erest Isg, o modelo de Isg tha como obetvo prcpal estudar o ferromagetsmo. O modelo cal era uma cadea lear smples de mometos magétcos. Esperava-se ecotrar uma temperatura crítca acma da qual ão havera ordeameto da cadea e abaxo da qual havera ordeameto de toda a cadea. Para desapotameto de Isg e seu oretador, o modelo apresetava trasção de fase em temperatura ula. Posterormete, por meo de argumetos smples fo provado que o modelo tha trasção de fase em temperatura ão ula em duas ou mas dmesões. O método matrcal troduzdo por Motroll e Kramers e Waer, em 94, mostrou-se promssor. Até que em 944, Lars Osager obteve a expressão completa da fução partção e da eerga lvre de Helmholtz em duas dmesões para uma rede quadrada a ausêca de campo extero. Seu método fo smplfcado por Brura Kaufma em 949. Desde etão, mutas dervações tem sdo obtdas para a solução de Osager em outros arraos e através de téccas umércas, como o algortmo de Mote Carlo de Metropols. A expressão para a magetzação espotâea fo obtda por Yag em 95, o qual utlzou a solução matrcal de Osager-Kaufma para defr a magetzação como um elemeto de matrz, reduzdo o cálculo ao problema dos autovalores. Heseberg propôs em 98 um modelo semelhate e mas realsta, substtudo os sps ou mometos magétcos por operadores de sp. Tal modelo ada ão tem solução. Sua sofstcação é tamaha que em mutas stuações volta-se à formulação mas smples do modelo de Isg. Etre as vatages do modelo de Isg estão o fato de ser um modelo clássco, que cocetra o problema estatístco toda a sua dfculdade, e também de servr como prmera aproxmação para a descrção de város tpos de feômeos cooperatvos, ão só em magetsmo como a trasção gás-líqudo, em ferroeletrcdade e outros. ão há solução para o modelo em três dmesões. Cotudo, através da solução exata em duas dmesões apredeu-se muto sobre magetsmo e mecâca estatístca em geral.

11 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. DESCRIÇÃO PRELIMIAR DO MODELO DE ISIG O modelo de Isg é uma maera de smular a estrutura de uma substâca ferromagétca, sto é, seus domíos. Mas precsamete, ele avala a trasção de fase etre o ferromagetsmo e o atferromagetsmo. Esta trasção ocorre a temperatura crítca. As descrções geras sobre as fases magétcas dos materas estão o APÊDICE AS FASES MAGÉTICAS. O sstema cosderado é um arrao de potos fxos que formam uma rede peródca -dmesoal ( =,,3. Cada poto da rede correspode a uma varável de sp ( =,,...,, a qual só pode assumr dos valores: (sp up correspodedo ao mometo de sp, ou (sp dow correspodedo ao mometo de sp Um dado couto de úmeros determa a cofguração de todo o sstema.. Os sps teragem us com os outros segudo o termo de troca J, que é a eerga de teração. Como a eerga dmu rapdamete com a dstâca, cosderam-se somete as terações etre os vzhos mas próxmos. O Hamltoao do sstema, para uma rede lear e a ausêca de um campo extero é dado por: H( J ( O termo J é postvo, portato o alhameto paralelo de sps (sps o mesmo setdo correspode a uma eerga J e o alhameto atparalelo de sps (sps em setdos opostos correspode a uma eerga J. O alhameto paralelo de sps correspode a uma fase ferromagétca e o alhameto atparalelo correspode a uma fase atferromagétca. o modelo de Isg a fase ferromagétca, sto é, a exstêca de magetzação espotâea, é favorecda a baxas temperaturas.

12 . PROVA DA AUSÊCIA DE FERROMAGETISMO EM UMA DIMESÃO o modelo de Isg udmesoal, a trasção de fase ocorre à temperatura ula. Se os sps estão alhados (Fg. (a, todos apotam a mesma dreção. Quado vramos parte do couto (Fg. (b, ocorre um aumeto de eerga. (a (b Fg. (a todos os sps estão alhados, (b parte dos sps está desalhada. O custo eergétco para vrar parte dos sps é J Peerls provou em 936 que o modelo de Isg tem trasção de fase em duas ou mas dmesões em temperatura ão ula. o mesmo trabalho ele utlza um argumeto para provar que a ordem de logo alcace, sto é, o ordeameto de todos os sps perssta mesmo aumetado levemete a temperatura a partr de T=. O mesmo argumeto é faclmete elaborado em uma dmesão, resultado em temperatura crítca T c =, o que utlzaremos esta seção como prova da ausêca de magetzação espotâea em uma dmesão. Partdo da Fg. e da equação (, que trata do problema sem campo extero, a eerga cal é E = J e a eerga fal é E f = ( J+J. Assm a varação de eerga é: E E E J ( f A etropa cal é zero, pos há apeas um estado, equato a etropa fal é k l(, pos há formas de separar os domíos, de forma que a varação da eerga lvre de Helmholtz, da qual tratamos o APÊDICE FUÇÃO PARTIÇÃO, é: g E TS J kt l( (3

13 o lmte termodâmco mostrado que a cadea é stável cotra qualquer mudaça de sp., para qualquer T teremos g <, Assm, a úca possbldade de haver o ordeameto de todos os sps é em T=, que é a temperatura crítca para um arrao lear. Embora ão haa magetzação espotâea para T >, as trasções de fase podem ser observadas em laboratóro..3 TRASIÇÕES DE FASE MAGÉTICAS As trasções de fase e os comportametos crítcos para magetzação se dão como a segur. Um materal é dto em trasção de fase quado uma característca macroscópca, como a desdade ou a magetzação, muda drastcamete. Cosdere uma barra de ferro em um forte campo magétco, H, paralelo ao seu exo. A barra será quase completamete magetzada, sedo que sua magetzação, M, em udades apropradas será +. Dmudo H a zero, M dmurá, mas ão a zero, de forma que a barra apresetará uma magetzação espotâea M. Revertedo o setdo do campo magétco, a magetzação será revertda, de forma que M é uma fução ímpar de H, coforme o gráfco da Fg. (a, com uma descotudade, de tal forma a ser cosderada em trasção de fase em H=, á que a magetzação muda de setdo postvo para egatvo. Devdo ao fato de a barra de ferro ão estar realmete em equlíbro termodâmco, esta descotudade é dstorcda os expermetos e, assm, ocorre o feômeo de hsterese. Se a temperatura é aumetada levemete, o gráfco de M cotuará smlar. Até que T ata o valor crítco T c (poto Cure, o qual a magetzação espotâea desaparece e a fução M(H torar-se-á cotíua, com uma sgulardade em H=, como a Fg. (b. Para qualquer aumeto acma de T c, a fução M(H torar-se-á cotíua e aalítca em H=, como a Fg. (c.

14 3 (a (b (c Fg. de M(H para (a T<T C, (b T=T C, (c T>T C. Adaptado de "Exactly Solved Models Statstcal Mechacs", de R. J. Baxter..4 EXPOETES CRÍTICOS As fuções termodâmcas possuem sgulardades próxmas do poto crítco, de forma que dvergem. Uma avalação mas precsa do comportameto das quatdades termodâmcas mas mportates as proxmdades do poto crítco é feto cosderado-as fuções da temperatura. Para sso são usadas les de potêcas, cuos expoetes são chamados expoetes crítcos. Defe-se susceptbldade magétca: M ( H, T ( H, T (4 H

15 4 Ao se cosderar o comportameto crítco é coveete se substtur T por: t T T c (5 T c de forma que, o caso do magetsmo, as fuções termodâmcas teham sgulardades em H=t=. Espera-se que estas sgulardades seam ormalmete potêcas smples de expoetes ão teros. Espera-se que: M ( T ~ ( t para t (6 M ( H, T c ~ H para H (7 (, T ~ t para t (8 (, T ~ ( t para t (9 ode M (T é a magetzação espotâea e a otação X ~ Y sgfca que X/Y tede a um lmte ão ulo. Os expoetes crítcos assocados com magetzação β,δ,γ,γ são úmeros, depedetes de H e T. Tora-se usual se defrem dos expoetes crítcos α e α de forma que próxmo de T c o calor específco em campo ulo dverge segudo uma le de potêca : C (, T ~ t para t ( C (, T ~ ( t para t ( A defção acma pode apresetar dfculdade a medda em que C(,T permaece fto pata t do a zero por valores postvos ou egatvos, embora sea uma fução aalítca em t=. Por exemplo, C(,T pode ter um smples salto descotíuo em t=, como ocorre o modelo de campo médo ( ou Bragg-Wllas.

16 5.5 O MODELO DE ISIG UIDIMESIOAL Agora detalharemos o problema orgal de Erest Isg. O problema em uma dmesão cosste um arrao lear e crcular fechado de sps (Fg., sedo que cada sp terage com os dos mas próxmos e com o campo magétco extero. Fg. 3 Thermodyamcs ad Statstcal Mechacs, Walter Greer, Ludwg ese, Horst Stöcker, pág. 438 Resolver o modelo de Isg sgfca escrever a fução partção caôca: Z E( kt ( ode k é a costate de Boltzma, k=,38 x -3. O Hamltoao do Sstema é dado por: J H E (3 J correspode à costate de acoplameto etre os sps e H correspode ao campo magétco extero, também cosderado costate. Os sps (sp de Isg são assocados às suas oretações, podedo, assumr os valores (sp up, correspodedo ao mometo de sp + /, ou (sp dow, correspodedo ao mometo de sp -/. Dessa forma, a fução partção se escreve:

17 6 Z ( H, T... exp{ [ J H( ]} com (4 kt Cotablzado a estrutura da cadea de sps, podemos avalar a relação de smetra as somas. Orgalmete, Isg usou um método combatóro para calcular a fução partção. Cotudo, H. A. Kramers e G. H. Waer utlzaram uma formulação matrcal mas smples, e elegate. Defdo P um operador o espaço de sp (matrz x cuos elemetos de matrz são dados por: P exp{ [ J H( ]} (5 Os elemetos de matrz são: P exp[ ( J H] P exp[ ( J H] P P exp[ J] (6 Se um sp k correspode ao vetor utáro e um sp k correspode ao vetor utáro, a matrz P tem represetações: exp[ ( J H] exp[ J] P= exp[ J] exp[ ( J H] Completado a equação (4 obtemos: (7

18 7 Z ( H, T... P (8 P P 3... Como os estados formam um couto completo, a relação de clausura é verfcada, assm: Z ( H, T P TrP (9 A matrz dos autovalores é ecotrada trasformado P a forma dagoal através da equação secular: exp[ ( J H] exp[ J] exp[ J] exp[ ( J H] exp[ J]cosh( H seh(j ( ode o º termo da gualdade acma é chamado polômo característco. Assm:, exp( Jcosh( H [exp( J exp( J seh ( H] ( Z ( H, T Tr ( de tal forma que, com a fução partção calculada, as fuções termodâmcas são obtdas da eerga lvre de Helmholtz: g( H, T ktl Z ( H, T (3 a qual o lmte termodâmco, temos: g( H, T ktl{ } ktl{ [ ( ]}

19 8 ktl kt l (4 á que. As fuções: g U( H, T kt T kt (eerga tera (5 U C( H, T T (capacdade térmca (6 g M ( H, T s (magetzação (7 H são as cosderadas este trabalho. Tomado a equação (, a eerga lvre de Helmholtz por sp é: pos: g( H, T J ktl[cosh( H seh ( H exp( 4J ] (8 exp{ J[cosh( H seh ( H exp( 4 ]} (9 J a magetzação por sp é: g seh( H M ( H, T (3 H seh ( H exp( 4J Os gráfcos de M ( H, T para váras temperaturas estão a Fg. 4.

20 9 M(H,T/ T <T T T H Fg. 4 Magetzação por sp do modelo de Isg em uma dmesão. ão há magetzação espotâea Logo, para qualquer T >: M (, T (3 de forma que ão há magetzação espotâea em uma dmesão. Coforme dto a seção.3, a magetzação é uma fução ímpar de H: M( H, T M( H, T (3 sp estão o tervalo: Da equação (7 e da Fg. 4 sabe-se que os valores da fução magetzação por M ( H, T (33 Como lustra a Fg. (b, a clação da fução magetzação é fta o poto crítco T=T c. Dferecado a equação (7 com relação a H:

21 , (, ( T H H T H M (34 ode é a fução susceptbldade magétca. A fução, ( T H em uma dmesão é etão obtda: 3/ ] 4 exp( ( [ cosh( 4 exp(, ( J H seh H J T H (35 Para os lmtes H e T :, ( T H (36 mostrado assm que, para T e H, a fução M tem um comportameto crítco de trasção de fase..6 CORRELAÇÕES A fução correlação para dadas duas posções em uma rede, o modelo de Isg uma rede de sps, determa qual a probabldade de os sps serem guas. A correlação etre dos sps e é: f (37 Se a cotrbução eergétca do Hamltoao é varate sob traslação, como o é a maora das stuações, é gual para todas as posções. Utlzado a equação (4 do APÊDICE FUÇÃO PARTIÇÃO: H E Z T H M ( exp, ( (38

22 ode E ( é a cotrbução tera do Hamltoao de sps. De forma que é o mesmo para todas as cotrbuções, sto é: M ( H, T (39 e, de forma smlar, a fução f depederá apeas o vetor dstâca r etre as posções e : f f r (4 ode f é a fução correlação. r A ordem de curto alcace é descrta pelas correlações para pequeas dstâcas etre as posções. A ordem de logo alcace é o lmte para grades dstâcas. Loge de T c, espera-se que a fução f r decaa expoecalmete à medda que r se tora maor. Mas precsamete, sea k um vetor utáro fxo, espera-se que: f x xk ~ x e para x (4 ode τ é um úmero e ξ é o comprmeto de correlação a dreção k. O comprmeto de correlação é uma fução de H e T, e é esperado que teda ao fto em T c. De fato, esta propredade de o comprmeto de correlação se torar fto pode ser cosderada um díco de um poto crítco. Espera-se que: (, T ~ t ~ t para t para t (4 ode υ e υ são os expoetes crítcos de comprmeto de correlação. Espera-se que a depedêca de ξ a dreção k desapareça próxmo a T c. Agora utlzaremos a técca de matrz de trasferêca para calcularmos as correlações sp-sp.

23 Usado as equações (3, (5 e a equação ( do APÊDICE FUÇÃO PARTIÇÃO, a probabldade de um sstema estar em um estado,,, é:, 3 Z P, P, P, P, (43 ode P, é o operador cuos elemetos de matrz são P ( equação (5. Cosdere V uma matrz de base x com vetores colua (x,x, sto é:, os mesmos da V x, x (44 ( sedo x e x autovetores de P, de modo que: Px x,, (45 Temos da equação ateror: PV V (46 Como P é uma matrz smétrca, é possível x e x ortogoas e learmete depedetes, resultado que V teha uma versa V -. Multplcado o lado dreto da equação (46 por V - : P V V (47 Cosdere a correlação etre os sps e 3. O valor médo de 3 é:, P, P, P 3 Z P , (48

24 3 matrz dagoal: A equação ateror pode ser escrta em termos de matrzes: cosdere S sedo a S (49 A matrz S tem elemetos:, ', ' S (5 Etão o lado dreto da equação (48 pode ser escrto como: Z TrSPPSP P, (5 assm: 3 Z TrSP SP (5 Smlarmete, se : Z TrSP SP (53 Z TrSP (54 de forma que é depedete de e depede apeas da dfereça -, mostrado assm a varâca do sstema sob traslação. A matrz P é cohecda como matrz de trasferêca, e pode ser defda para modelos de duas ou mas dmesões. Utlzado as equações (7, (44 e (45 o cálculo dos autovalores de P, observa-se que a matrz V pode ser escolhda ortogoal, dada por:

25 4 cos se V (55 se cos As trasformações de smlardade da eq. (47 podem ser aplcadas smultaeamete para P e S, substtudo P e S por: V PV (56 cos se V SV se cos (57 respectvamete. Substtudo a expressão da eq. (56 por P a equação (9, obtemos: Z Tr (58 que é dêtca à equação (. Substtudo as eq.s (56 e (57 as eq.s (53 e (54, tomado-se o lmte e matedo-se o valor - fxo, obtemos: cos se (59 cos (6 cosderado λ o maor dos autovalores. A equação (6, combada à equação (3, resulta uma avalação do úmero ϕ: cot g exp K seh( h (6 com K=J/kT e h=h/kt.

26 5 Das equações (37, (59 e (6 a fução correlação f pode ser calculada: f se ( (6 Como, cocluímos que f deca expoecalmete a zero à medda que - assume valores maores, e da equação (4 o comprmeto de correlação ξ é dado(em udades de espaçameto de rede por: l (63.7 PROVA DA EXISTÊCIA DE FERROMAGETISMO EM DUAS DIMESÕES O argumeto de Peerls prova que em campo magétco extero ulo e em temperaturas ão ulas o valor médo termodâmco do mometo dpolo magétco é dferete de zero em duas dmesões. Grffths em 964 propôs uma demostração smlar à de Peerls. Agora segue uma demostração smlar à de Grffths(Statstcal Mechacs; Shag-Keg Ma; pága Ates da rgorosa demostração matemátca segue uma argumetação teórca. Cosdere uma rede quadrada como a lustrada a Fg. 5.

27 6 Fg. 5 Statstcal Mechacs, Shag-Keg Ma, pága 3 A eerga total é: H( s, ( J s s h J J > e são vzhos medatos s J ademas (64 ode H(s é o Hamltoao do sstema e h é o campo extero. Utlzaremos as defções de poto de partção e lha de partção. a fgura os sps de valores + e - são represetados por + e -, respectvamete.

28 7 Cada poto, sto é, cada sp tem quatro vzhos mas próxmos. Exste um poto de partção etre cada par de sps vzhos com sas opostos. Ao serem coectados, estes potos formam lhas de partção, dvddo a rede em regões. O comprmeto de cada lha de partção é determado pelo úmero de potos da lha. O mometo magétco total da rede é a área da regão postva meos a área da regão egatva. Para se crarem lhas de partção, a temperatura T do sstema deve ser aumetada. Quado T=, todos os sps têm a mesma dreção e ão há ehuma lha de partção. Se o perímetro de uma certa regão egatva é L, a eerga é JL, porque a eerga de cada poto de partção é J. Logo a probabldade de haver esta regão egatva é: e JL kt (65 Cosderado h= e L o mímo gual a 4, para temperaturas sufcetemete baxas deve haver regões egatvas de áreas pequeas em relação ao sstema. Dessa forma, haverá mas sps postvos do que egatvos e o mometo magétco total é dferete de zero, provado-se assm a exstêca de ferromagetsmo. Agora segue a rgorosa demostração matemátca. Tomemos um sp qualquer s e cosderemos p + e p - as probabldades de ele assumr os valores + e -, respectvamete. O valor médo termodâmco de s é: s p p (66 temos O obetvo é provarmos que para uma temperatura T sufcetemete pequea s, sto é, p - < p +. Se s tver valor -, ele deverá estar crcudado por um úmero ímpar de lhas. E se s estver crcudado por um úmero par de lhas, terá valor +. Se s ão estver crcudado por ehuma lha, terá valor +. Cosderemos agora s como à lha de partção mas tera e tedo valor -. Mudado os valores dos sps mas teros para +, teremos uma lha a meos e esta será a cofguração para s =+.

29 8 Assm a probabldade para uma cofguração s = - pode ser escrta como: e JL kt e Z JL kt (67 L é o comprmeto da lha de partção mas tera e L é a soma das outras lhas. Z é a fução partção. A equação ateror os dá apeas uma cofguração. Cosderemos G(L a fução que os dá o úmero de cofgurações com comprmeto L a lha mas tera. Utlzaremos G(L o cálculo de p -. Para fazê-lo devemos fxar as lhas exteras de forma que estas ão seam terceptadas. Descosderado esta restrção, superestmamos G(L e cosequetemete p -. Assm a probabldade de s = - deve ser meor que: G( L e Z LJ kt e LJ kt (68 ode o termo fora do parêtese é ustamete a probabldade p +. Temos etão: p LJ kt G( L e p (69 L E G(L é o úmero de maeras de traçar uma lha em toro de s. Há três modos de desehar um passo, sempre começado de um poto. Para se desehar L passos, têm-se 4x3 L modos. Queremos que L volte ao poto cal, de forma que o úmero total é meor que 4x3 L. Pode-se traçar a lha o setdo horáro ou o setdo at-horáro. Mas uma vez superestmado G(L, devemos dvdr 4x3 L por L.

30 9 Assm: G 4 L L ( L 3 L 4 (7 ode L 4 é a maor área que pode ser delmtada pela lha de partção. Como pode estar em qualquer poto detro da curva, G(L deve coter este fator. Substtudo a equação (35 a equação (34: L 8 JL L kt p 3 e (7 L4 ode o termo p + é descosderado por ser meor que. Calculado a sére a equação (36: p 4 4e 3e 4( e 5 J l 3 (7 kt 4 (4e 3e p ( e 5 s (73 Se kt = J, e é meor que, portato se k J T a coclusão acma resulta em: 9 96 s (74

31 3 cotráro uma smetra: a demostração acma os sps mas exteros devem ser fxados em +, do s deve ser gual a zero, pos a ausêca de campo extero o modelo apreseta H( s H( s (75 Ferromagetsmo sgfca que qualquer míma força aplcada, por exemplo uma força aplcada a uma pequea regão do sstema, resulta em s. A demostração acma pode ser estedda para três ou mas dmesões..8 A SOLUÇÃO DE OSAGER.8. FORMULAÇÃO MATRICIAL O modelo de Isg bdmesoal é formulado em termos de matrzes para chegarmos a uma solução exata do modelo. A rede quadrada do problema deste capítulo (Fg. 6a está a topologa de um toróde (Fg. 6b, ao vés da topologa de um cldro utlzada o trabalho de Osager. A solução a segur está baseada a formulação de Kaufma. Fg. 6a Fg. 6b Fg. 6a Rede de Isg bdmesoal Fg. 6b Topologa da rede de Isg bdmesoal Cosdere uma rede quadrada de =² sps com lhas e coluas, com a codção de que as cofgurações das (+-ésmas lhas e coluas seam dêtcas com as prmeras lhas e coluas, respectvamete. Sedo de sp da lha α: (α=,..., o couto de coordeadas

32 3 s s s, s,..., (76, 3 A codção de cotoro do toróde mplca: (77 A rede completa é defda por,..., ode a lha α terage apeas com as lhas (α+ e (α-. Cosdere E (, ' a eerga de teração etre duas lhas da rede de sps vzhas, e E ( a eerga de teração etre os sps da lha com seus vzhos mas próxmos a lha e com o campo extero. Etão: E (, ' J k s s k k (78 E( J s s H s (79 k k k k k ode: ' s,..., s s,..., s (8 A codção de cotoro do toróde mplca em cada lha: s s (8 A eerga total da cofguração da rede é dada por: U E(, E( ( (8,...,

33 3 ode E (, e E ( equvalem, respectvamete, às equações (78 e (79. A fução partção é: Z ( H, T exp [ E(, E( ]} (83 Como cada sp da rede assume somete duas cofgurações a rede é composta de lhas e coluas. Cosdere a matrz P do tpo x cuos elemetos de matrz são: P ' exp E(, ' E( (84 A fução partção se tora: Z ( H, T P P 3 P P TrP (85 A rede bdmesoal este trabalho é covertda de um cldro para um toróde de modo a facltar a dagoalzação de P. A mesma a forma dagoal se tora: P (86 ode, são os autovalores de P. A matrz P, que também é dagoal, tem elemetos,..., (,(,...,(, de forma que: Z ( H, T ( (87

34 33 Espera-se que P sea da ordem de e á que, da eq. (84, E (, ' e E ( são da ordem de. Se max é o maor autovalor de P e se: lm l( max úmero fto (88 O modelo possu solução fta. Se, além dsso, todos os autovalores postvos, o que será cofrmado adate: são ( max Z ( max (89 ou: l max l Z l max l (9 e portato: lm l Z lm l max (9 ode =². Agora segue uma descrção explícta de P. Da eq. (84 e das eq.s (78 e (79 é possível obter os elemetos da matrz P a forma: s,..., s P s,..., s k e Hsk e Js k sk e Jsksk (9 Defdo três matrzes x V, V e V, cuos elemetos de matrz são: 3 s,..., s V s,..., s k e Jsk sk (93

35 34 s,..., s V s,..., s Jsksk s s s s e (94 k s,..., s V s,..., s 3 ss Hsk e (95 ss k ode ss é o delta de Kroecker. Utlzado uma multplcação de matrz usual: s,..., s s,..., s,..., s s P s,..., s s,..., s V 3 s,..., s s,..., s V s,..., s s,..., s Vs,..., s (96 verfcado-se assm que: P V V (97 3 V As matrzes V, V e V comutam etre s, á que V e V são dagoas e podem 3 3 ser expressas em termos de matrzes especas. Cosdere as matrzes de Paul X, Y e Z: X, Y, Z (98 com as segutes propredades: X ², Y ², Z ² XY YX, YZ ZY, ZX XZ (99 XY Z, YZ X, ZX Y que seguem: Defem-se as matrzes x X α, Y α, Z α (α=,..., como os produtos tesoras

36 35 - ésmo fator ( fatores ( fatores ( fatores ( Z Z Y Y X X ( Para, verfcam-se as relações de comutação:,,,,,, Z Y Z X Y X Z Z Y Y X X ( Verfca-se também que para um dado α as matrzes x X α, Y α e Z α satsfazem as relações da equação (. Cosdere a detdade: e X Xseh cosh ( ode X é qualquer matrz cuo quadrado é a matrz utára e θ é um úmero. A prova da equação ( segue: par ímpar cosh!!! X Xseh X X e (3 e a equação ( é satsfeta. Verfcado-se a eq. (93, fca claro que V é um produto tesoral de matrzes x dêtcas: a a a V (4 ode: ' ' Jss e s a s (5 portato: X e e e e e e a J J J J J J (6

37 36 Usado a equação ( obtém-se: a X seh( J e (7 ode: tg J e (8 Assm: X X X seh(j e e e V (9 Combado as relações do APÊDICE PRODUTO TESORIAL com a equação ( e (6 obtém-se: seh(j V V ( V X e, J tg e ( Calculado os elemetos de matrz obtemos: V V 3 e JZ Z ( HZ e, Z Z (3 de forma que: seh( J V3V V P (4 Para o caso de H=, V e a equação acma fca: 3 P seh ( J V V (5

38 37 completado a formulação bdmesoal do modelo de Isg..8. DIGRESSÃO MATEMÁTICA As matrzes a segur são de grade mportâca a solução do modelo de Isg bdmesoal a ausêca de campo extero. Cosdere as matrzes satsfazedo a segute regra de atcomutação:, (,..., (,..., (,..., Cosdere as propredades a segur: a A matrz ão pode ser de dmesão meor que. b Se e forma que (6 são dos couto de matrzes, exste uma matrz sgular S de S S. c Qualquer matrz x é uma combação lear da matrz utára, das matrzes,,..., do tpo x e de todos os produtos depedetes Para =, a eq. (6 defe duas das matrzes de Paul x, e para =, defe duas das quatro matrzes de Drac 4 x 4.. O couto de matrzes, x pode ser represetado por: 3 5 Z X X Z X Z X X X X 3 X X Y Z 4 6 Y X Y X X Y 3 (,..., (,..., (7 (8 Uma represetação também satsfatóra é obtda permutado-se as fuções X α e Z α (α=,...,. E uma represetação equvalete à eq. (8 é obtda permutado-se a umeração

39 38. Cosdere um couto defdo de,..., e ω sedo uma matrz x descrevedo a trasformação lear ortogoal etre os membros de : (9 ode os termos são úmeros complexos satsfazedo: ( A equação acma pode ser escrta a forma: T ( ode T é o trasposto de. Se é o compoete de um vetor em um espaço dmesoal, duz uma rotação este espaço:,,,,, ( Substtudo a eq. (9 a eq. (6 verfca-se que o couto também satsfaz (6 por causa da eq. (. Etão: S ( S ( (3 ode S ( é uma matrz x ão-sgular. S ( é a represetação matrcal x de uma rotação um espaço -dmesoal, devdo à correspodêca: S( (4

40 39 Das duas relações aterores temos: S ( S( (5 É óbvo que se e são duas rotações, também é uma rotação. Assm: S S( S( (6 ( Sea uma rotação um plao bdmesoal do espaço de dmesão. Uma rotação de âgulo o plao é defda pela trasformação: (, cos se ( (7 se cos ( ode também é um úmero complexo. A matrz é uma rotação S( é o represetatvo de sp da rotação. A matrz de rotação, dada por ( é explctamete dada por: - ésma - ésma colua colua ( cos se se cos - - ésma lha ésma lha (8 ode os elemetos ão mostrados são utáros ao logo da dagoal prcpal e zero as posções ademas. Etão ( o plao de rotação o plao. As detdades ( ( T ( ( (9

41 4 são faclmete verfcadas. As propredades de e S ( a segur são relevates para a solução do modelo de Isg.A prova da exstêca de S ( segue por costrução: LEMA Se ( S (, etão: S ( e (3 Prova: como para e, uma detdade aáloga à eq. ( é: e cos se (3 de forma que temos: e e e ( e e (3 logo: S ( e (33 Por meo de um cálculo dreto verfcam-se as segutes detdades: S ( S ( (, (34

42 4 S S ( ( cos se (35 S ( S ( se cos (36 LEMA Os autovalores de ( são, com degeerescêca -, e e, que ão são degeerados. Os autovalores de ( S são e, cada um com degeerescêca -. Prova: A prmera parte é trval. A seguda parte pode ser provada escolhedo-se uma represetação especal para permutados. Escolhemos:. Cosdere e como a equação (8 com X e Z Z Z Y X (37 etão: portato: X Y Z (38 S ( cos se e (39 e e os elemetos de matrz de S ( são: s s,..., s S ( s,..., s e sksk ' k (4 aparecedo - vezes. Pelo delta de Kroecker, ( S é dagoal com elemetos e ou e, cada um

43 4 LEMA 3 Se é o produto de rotações plaas comutates: ode,...,, ( ( (4 (, é uma permutação do couto de teros,,...,, são úmeros complexos. Etão: a S(, com S e e e e,..., ( (4 b Os autovalores são: e, e,..., e (43 c Os autovalores de S ( são: e ( (44 com os sas escolhdos depedetemete. Prova: este lema é coseqüêca dreta dos lemas e. Com este lema, os autovalores de S ( são obtdos medatamete dos de, se estes são da forma (43. A utldade destes lemas está o fato de que V V pode ser expresso em termos de S (..8.3 A SOLUÇÃO Combado as equações (85, (9 e (5 obtemos: lm l Z (, T l (45 seh( J lm l ode é o maor autovalor de V e: V VV (46

44 43 Devemos dagoalzar V por meo de mapulação das matrzes represetatvas de sp, sedo estas e as demas matrzes desta seção dadas por represetação defda. Pela defção da eq. (7: Y Z X (,..., (47 etão: V X J e e, tg e (48 de forma que V é um represetatvo de sp de rotações plaares comutates. Pela equação (: V e JZ Z JZZ e (49 O últmo termo comuta com o termo detro dos colchetes: V e JZZ e JU J e e (5 JZ Z ode: U X X (5 X Se ão fosse pelo termo fora dos colchetes, V também sera um represetatvo de sp de rotações plaares comutates. O termo fora dos colchetes é devdo à codção de cotoro do toróde, smlar à codção o problema udmesoal de Erest Isg. Substtudo as equações (5 e (48 em (46:

45 44 U e e e V V V (5 ode. J J, A matrz U tem as segutes propredades: ( (, (, U U U U U U U (53 ( U (54 (3 U comuta com um produto par de matrzes e atcomuta com um produto ímpar de matrzes. Um cálculo smples mostra que: U e U e U seh U seh U Useh U U e ( ( cosh ( cosh ( cosh ( ( (55 resultado em: V U V U V ( ( (56 ode V e V são represetatvos de sp dados por: e e e V (57 Para dagoalzarmos V procede-se da segute forma:

46 45 RVR ~ V ( ~ ~ U V ~ ~ ( U V (58 ode R é uma matrz que trasforma U uma represetação dagoal, mas represetação ão exatamete dagoal. Os autovalores de U são + ou - e: V e V uma U X X X (59 etão: U Z Z Z (6 é a represetação dagoal de U. Devemos escolher R de forma que os autovalores + esteam em uma submatrz e - a outra, e U ~ sea represetado por: ~ U (6 ode é uma matrz utára - x -. Como as matrzes ser da forma: V ~ comutam com U ~, elas devem ~ V C D (6 ode as submatrzes C e D ão são ecessaramete dagoas. A matrz / ( U aqula a submatrz feror e a matrz / ( U a submatrz feror, pos as submatrzes C e D são do tpo - x - : ~ ~ ~ ~ C ( U V (63 ~ ~ ( U V D (64

47 46 e assm: ~ C V D (65 autovalores de Para dagoalzarmos V devemos dagoalzar V ~ e V ~. Portato devemos dagoalzar V e V e V, que têm os mesmos V separadamete e depedetemete. Utlzado o lema 3, ecotraremos os autovalores das rotações, das quas V e V são represetatvos de sp: e V (66 ode e são matrzes x. Da equação (57 temos: (, (, (, (67 Os autovalores de são os mesmos de: (68 ode é dado por: (, (, (69 Assm: (7

48 47, ( (3,4, ( (7, ( (4,5 (,3, ( (7 Explctamete: cosh cosh, seh seh J J J J (73, a b K K K b a cosh cosh cosh seh b a seh seh K (74 Realzado a multplcação da eq. (7:

49 48 A B B B B A B B A B B A * * * * * (75 ode A e B são dados por: cosh cosh cosh cosh cosh cosh seh seh A (76 cosh² ² seh seh seh seh seh seh seh B (77 e B * é o cougado Hermtao de B. Utlzaremos um autovetor da forma a segur para ecotrarmos os autovalores de : u z u z zu (78 sedo z um úmero e u um vetor de duas compoetes: u u u (79 Espera-se que: (8

50 49 As equações de autovalor são: u z u B z zb A z u z u B z B z A z u z u B z B z z u z u zb B z A z u z u B z B z za ( ( ( ( ( * * 3 * 4 3 * 3 * (8 As equações depedetes são: u B z B z A u B z zb A u B z zb A ( ( ( * * * (8 que são solúves cosderado: z (83 etão: u B z zb A ( * (84 A equação acma é equvalete às três depedetes, e o sal a eq. (8 está assocado com. Os valores de z são: -,,..., ( k e z k (85 ode:

51 5 ( k,3,5,..., ( k,,4,..., para - para (86 equação: Cada k está assocado com dos autovalores k que serão ecotrados pela ( A z B z k k * B u u k (87 logo temos autovalores de. ota-se que: * det A z z k B k B (88 portato os autovalores k tem a forma: e k ( k,,..., (89 k e são ecotrados pela equação: cosh k k cosh cosh cos seh seh ( k,,..., - (9 a qual é obtda por meo do traço da matrz determate a equação (88. Cosderamos as soluções postvas de k a eq. (9. Observa-se que: k k... (9 sedo a seguda parte verfcada pela equação:

52 5 k se( k / seh seh k seh k (9 Os autovalores de V, por meo do lema 3, são: autovalores dev autovalores dev : e : e ( 4 ( 3 5 (93 (94 Escolheremos duas matrzes F e G do tpo x com a codção de que F trasforma a eq. (63 a forma dagoal e G trasforma a eq. (64 a forma dagoal: ~ ~ F ( U V ~ ~ G ( U V F G V V D D (95 (96 Como U ~ é da forma da equação (6, F e G dexam U ~ a forma orgal ou permutam as submatrzes e - a equação (6. Portato: ~ ~ V D ( U FV F (97 ~ ~ V D ( U GV G (98 e escrevemos: ~ ( U ( ZZ Z (99 ~ k Z Pk FV F e k ~ k Z Qk GV G e k ( (

53 5 ode P e Q são duas permutações, as quas descohecdas até etão, dos teros,,...,. A permutação P põe k a posção Pk e a permutação Q põe k a posção Qk. Como os autovalores de Z k são : ~, seumúmero par de Z k são ( U (, seumúmero ímpar de Z k são ~ Pelo fato de detu. A matrz V D é de dupla degeerescêca, á que os autovalores e Logo, para : / ( 4 são muto próxmos. O mesmo ocorre para a matrz V D. o maor autovalor de o maor autovalor de V V D D e e ( 4 k ( 3 5 k (3 e o maor autovalor de V é: e ( 3 5 Mapulado a equação acma obtemos: (4 l lm ( 3 5 (5 Cosdere: ( k (k (6 desa: Quado, se tora uma varável cotíua e a equação (5 se tora

54 53 k d (7 k ( e portato: 4 ( d ( d (8 Agora ecotraremos uma expressão para (. Reescrevedo a equação (9: cosh ( cosh cosh cos seh seh (9 Uma mapulação resulta em: seh seh cosh coth ( A equação (9 se tora: cosh ( cosh coth cos ( Pela detdade a segur: z l coshz costdt ( verfcamos que ( tem a represetação tegral: ( l cosh coth cos cos d (3 resultado em:

55 54 l cosh coth (cos cos d d (4 Observado a Fgura 7, se mudarmos a regão de teração do quadrado sombreado para o retâgulo da lha potlhada, a tegral ão se altera: Fg. 7 Regão de teração a equação (4 (5 Cosdere: (6 segue:

56 55 / / lcosh coth 4cos cos d d l cosh coth 4cos cos d d l(cos d / cosh D d cos (7 ode: D cosh coth (8 Como: cosh x l x x (9 segue: l D cos d ( ode: ( D Logo: a equação ( o termo cos pode ser substtuído por se sem alteração. l cosh J sehj l se d ( Avalado a fução partção, obtemos a eerga lvre de Helmholtz por sp:

57 56 kt g(, T l Z ktl (, T kt se cosh J l d (3 ode k é a costate de Boltzma. Obtemos a eerga tera por sp : d U(, T ( g J coth(j I( d (4 com: seh(j cosh (J tgh (J (5 (6 / se / I ( d (7 ode I ( é a tegral elíptca completa do prmero tpo. E também obtemos o calor específco da rede, que é obtdo por meo dos segutes resultados: d d d, 8Jtgh(J tgh (J (8 d d d di( E( I( (9 d ode E ( é a tegral elíptca completa do segudo tpo: / / E ( ( se d (3

58 57 resultado em: C(, T k [ J coth(j ] I( E( ( I ( (3 vzhaça: A tegral elíptca I ( tem uma sgulardade em (ou, em cua 4 I ( l e E ( (3 Fg. 8 As fuções κ e κ T=T c, ode: Assm, todas as fuções termodâmcas têm sgulardades de algum tpo em tgh J kt c J ktc, (33 e outras relações satsfetas por T c são:

59 58 e J kt c J cosh ktc J seh ktc (34 A magetzação espotâea, ou a ordem de logo alcace, ão pode ser obtda pelos cálculos realzados até agora, á que estamos tratado do problema a ausêca de campo extero, sto é, H. Yag, em 95, obteve a expressão para a magetzação espotâea, sedo os cálculos termedáros muto dfíces. Etretato, o resultado é smples: M (, T seh 4 (J 8,, para T T para T T c c (35 sedo o gráfco lustrado a Fgura 9. Uma forma equvalete é: M (, T 4 l 6l l l / 4,, para T T c para T T c (36 com: l J e, c l (37

60 59 M(,T.5 T/T c.5 Fg. 9 Magetzação espotâea segudo a solução de Osager.9 A TÉCICA DE MATRIZ DE TRASFERECIA A déa básca é cosderar a matrz de trasferêca dagoal a dagoal como fução de dos coefcetes de teração K e L. Cosdere a rede quadrada do modelo de Isg bdmesoal em campo ulo, com topologa torodal, desehada dagoalmete como a Fgura. Agruparemos as posções da rede em lhas horzotas, as quas podem ser de dos tpos: lhas com círculos abertos e com círculos fechados. Cosdere m sedo o úmero de lhas a rede, umeradas de baxo para cma. Imporemos codções de cotoro de forma que a lha r estea abaxo da lha r + e a lha m estea abaxo da lha. Cosdere o úmero de posções em cada lha, umeradas da esquerda para a dreta. Imporemos ovamete codções de cotoro para que a posção estea à esquerda da posção. Cosdere r sedo o couto de todas as posções a lha r, de forma que tem possíves valores. Seam duas lhas sucessvas,,..., lha feror e,..., os sps a lha superor. sedo os sps a

61 6 3 K L K L K L K L K L 3 3 W V Fg. Três lhas sucessvas da rede quadrada desehada dagoalmete Observa-se que: V, W, exp exp K K L L (38 Como os sps teragem apeas com os vzhos mas próxmos as lhas adacetes, a fução partção pode ser escrta como: Z V (39, W, V 3 3,, W 4 4, W 5 m, Pela equação (38, V (, é o elemeto, da matrz V. O mesmo se dz da matrz W. A equação (39 pode ser escrta como: Z TrVWVW... W Tr VW m / (4 e têm valores e V e são matrzes x. A equação ateror pode ser escrta como: m m m Z (4

62 6 ode m m,... são os autovalores de VW. As matrzes V e W são cohecdas como as, matrzes de trasferêca. Devemos ecotrar os autovalores de VW. Estamos teressados o lmte termodâmco m,. Sea m e matedo fxo, segue: Z max ~ (4 sedo max o maor autovalor de VW. A segur mostraremos duas mportates propredades e algumas relações de smetra de V e W que serão muto mportates o cálculo de max. Como as matrzes V e W são fuções dos coefcetes K e L, escreveremos explctamete V ( K, L e W ( K, L. Geeralzado esta otação cosdere o produto: V( K, L W( K, L (43 O produto acma é a matrz de trasferêca para rmos da lha abaxo de círculos abertos para a lha acma de círculos abertos. Cada elemeto do produto de matrzes é o produto dos fatores de Boltzma das quatro extremdades a Fgura somados em todos os sps,..., das lhas termedáras de círculos fechados, sedo agora os coefcetes K e L das extremdades acma dos círculos fechados substtuídos por K e L, respectvamete. Seam,..., os sps da lha feror de círculos abertos e,..., os sps da lha superor de círculos abertos. O elemeto, do produto matrcal da equação (43 é: exp K L K L (44 Como aparece somete a cada fator de Boltzma das quatro extremdades, a soma é cofgurada em. A equação acma é reescrta: ;,, (45

63 6 ode para a, b, c, d : f ( a, b, c, d exp f La Kb Kc Ld (46 Se permutássemos os coefcetes K e K e os coefcetes L e L de forma que o produto matrcal em (43 ão se alterasse, sto é: V( K, L W( K, L V( K, L, W( K, L (47 verfcar-se-a assm uma relação de comutação geeralzada. Pela trasformação trâgulo para estrela, que é uma relação etre as fuções partção dos modelos de Isg tragular e favo de mel, segue que K, L, Ke L devem satsfazer: seh( K seh(l seh(k seh(l (48 A verfcação da equação acma ão será desevolvda este trabalho, pos evolve modelos de Isg bdmesoas em outros arraos. A equação acma é a codção para a relação de comutação (47. Outra propredade mportate é a relação para a versa de V ou W, ou sea, a possbldade de trasformar o produto em (43 em uma matrz dagoal ou quase dagoal. Tal propredade sera satsfeta se ( a, b; c, d se aulasse para a c ( ou b d, que é uma codção muto forte. Etretato uma codção mas fraca pode ser satsfeta: ( a, b; c, d se aula para a c e b d. Em outras palavras: cosh( L K K L cosh( L K K L (49 As equações acma possuem apeas soluções complexas: K L /, L K (5

64 63 e O efeto do requermeto acma é o fato de se e também são dferetes. Ou sea, todos os são dferetes, etão, são guas ou são dferetes. Se são guas, sto é, para a c e b d, temos: seh(l (5 gual Se são dferetes, sto é, para a c e b d, temos: abseh( K (5 dferete A expressão fal para a equação (45 é: (seh L (, (, (, ( seh K (, (, (, (53 que é a expressão para os elemetos da matrz V( K, L W( K, L. Sea I a matrz detdade de dmesão e R a matrz de versão de sps com elemetos: R, (, (, (54 ( obtemos assm a detdade: V( K, L W( L /, K (seh L I ( seh K R (55 Como R I, o lado dreto da equação ateror é faclmete versível. As propredades mostradas acma são característcas smples da rede de sps, o que é uma vatagem do modelo como um todo. Ates da avalação dos autovalores, seguem algumas relações bastate útes para as matrzes de trasferêca. Cosdere as detdades de smetra: T W( K, L V ( L, K (56 T V ( K, L W( K, L V( L, K W( L, K (57

65 64 A equação (56 resulta da permuta etre K e L e cada com cada. Tem-se: V ( K, L RV( K, L V( K, L R (58 O mesmo se aplca a W. Sea r o úmero de pares dferetes (, e s o úmero de pares dferetes,. Etão r+s é o úmero de mudaças de sal a ( sequêca,,,,...,, de forma que r+s é par. Temos: V, exp ( r K ( s L (59 com: p (6 ode p é um úmero tero. Falmete: V rk s, exp L (6 ode r e s são teros ão egatvos etre e p, sedo ambos pares ou mpares, de forma que a equação ateror ão se altera se ambos exp( K e exp( L forem egatvos. Da afrmação ateror segue: V( K /, L / V( K, L (6 elemetos: As equações (58 e (6 também se aplcam a W. Sea C a matrz x com, (, (, (63 ( 3

66 65 Este operador desloca as coluas da rede da esquerda para a dreta. A trasformação A C AC tem o efeto de trocar as detfcações das posções,..., da matrz A, por,...,,. Da equação (38 segue: V ( K, L C V( K, L C (64 W ( K, L C W( K, L C (65 W ( K, L V( K, L C (66 de forma que V ( K, L, W( K, L e C comutam etre s. Substtudo (66 em (47: V( K, L V( K, L V( K, L V( K, L (67 Desde que a equação (48 sea satsfeta. Assm V( K, L, V( K, L, W( K, L e W( K, L comutam etre s. Podemos etão elmar a matrz W pela equação (66 e a detdade (55 resulta em: V( K, L V( L /, K C (seh L I ( seh K R (68 Falmete, temos da eq. (54: V ( K, L R V( K, L R (69 Já que a trasformação A C AC este caso é equvalete a egatvar todos os sps,...,,,...,. Portato V ( K, L também comuta com R e mesmo ocorre para W ( K, L. Como as matrzes autovetores. Cosdere a relação: V, C e R comutam etre s, elas têm o mesmo couto de k (sehk sehl (7

67 66 ode k é um determado úmero real, e K e L são varáves complexas suetas à relação (7. Há um fto couto de matrzes V, que podem ser geradas apeas varado K e L. Sea v um autovetor das matrzes V, R e C. Ele ão pode depeder de K ou L, pos a equação (7 deve ser satsfeta. Ele pode depeder e depede de k, de modo que v=v(k. Seam satsfazedo (7: ( K, L, c, r os autovalores de V ( K, L, C, R. Para qualquer K,L V ( K, Lv( k ( K, Lv( k Cv( k cv( k Rv( k rv( k (7 Como C R I, c e r são costates de módulo satsfazedo: c r (7 Se K, L satsfazem (7, o mesmo ocorre para K, L. Segue: ( K, L ( L /, K c (seh L ( seh K r (73 Os autovalores do produto VW etão são dados por: ( K, L ( K, L c (74 e ( K, L é defdo por: ( K, L ( K, L c (75 ode ( K, L é o correspodete. A equação (73 pode ser escrta:

68 67 ( K, L ( L /, K (seh L ( seh K (76 A equação acma é uma relação fucoal de ( K, L e uto com algumas propredades aalítcas smples de ( K, L determa ( K, L completamete. Pelo argumeto de Kramers e Waer (94 para ecotrar a temperatura crítca uma rede quadrada: seh ( K seh(l (77 A relação acma é a para a temperatura crítca uma rede quadrada, de que para T=T c, k=. Segue etão que se T<T c, k< e se T>T c, k>. Restrgremo-os a ecotrar os autovalores para k= e k<. ão detalharemos o argumeto de Kramers e Waer este trabalho. Agora ecotraremos os autovalores de para T=T c.fazedo uma parametrzação de K e L, é coveete defr: seh K tg u seh L cot u (78 A codção (7 é automatcamete satsfeta. ( K, L se tora (u de modo que a eq. (76 se tora: ( u ( u / ( cot u ( tg u r (79 Da equação (78 segue que exp( K e exp( L são fuções smples de u: exp( K ( se u / cos u exp( K ( se u / cosu exp( L ( cos u / se u exp( L ( cos u / se u (8

69 68 As fuções acma, cosderado u uma varável complexa, são moovaloradas, meromorfas, sto é, suas sgulardades são polos, de fato polos smples, e são peródcas. Substtudo a forma de (8 em (6, os elemetos da matrz V se toram:, V p, t( u/( se u cos u (8 ode t (u é um polômo em se u e cos u, podedo ser escrto como: pu u 4pu t( u e ( c c e c e (8 Os autovalores ( K, L da eq. (7 são combações leares dos elemetos da matrz V ( K, L, sedo os coefcetes combações dos elemetos dos vetores v(k. como estas combações depedem apeas de k e ão de u, ( K, L é uma combação lear da forma de (8 com coefcetes costates. ( K, L agora será (u a ova forma. Se u fosse substtuído por u, uma forma equvalete sera obtda trocado K e L por K π/ e L π/, que sera o mesmo que multplcar V ( K, L por R : V ( K, L Rv(k ( u v(k (83 ( u r ( u (84 ( u ( u (85 O polômo em (8, pelas relações de perodcdade acma, tem coefcetes ão ulos para r, e coefcetes ão ulos ímpares se r. Segue a relação: l p ( u ( se u cos u se u u (86 ode, u,..., ul são costates e:

70 69 l p l p se se r r (87 Para ecotrarmos os zeros de (u vamos substtur a equação (86 em (79: l p 4 p 4 p se( u u cos( u u cos u se u (88 reescrevedo a equação acma em termos das varáves: z exp( u, z exp( u (89 temos: l l p l p 4 p / 4 z z / z z z rz 4 p (9 Ambos os lados da equação acma são polômos de grau z z são os l zeros dsttos sedo dados por:,..., l em z. Obvamete z tg ( / (9 ode: ( / / p / p se se r r (9 com todos os θ etre e π. Defa: l tg( /,,..., l (93

71 7 segue das equações (89 e (9: / 4, l u,..., (94 Da equação acma coclu-se que exstem l soluções dsttas para a equação (86. Exstem outras, mas estas correspodem a u somado a um múltplo de π, o que o máxmo altera rrelevatemete o sal de (u. em todas estas soluções, etretato, são possíves. Supoha u. Isso sgfca que exp( K e exp( L. Mas pela equação (6, egatvar ambos exp( K e exp( L ão altera os elemetos da matrz de trasferêca. Etão: ( ( (95 A codção acma é automatcamete satsfeta para r, pos: ( ( (96 Se r : u u p / tero / (97 p e portato: ( ( (98 e apeas p sas podem ser escolhdos em (94, resultado em p autovalores para r, e também para r. Segue que a equação (96 também ocorre para r. Assm todos os autovalores são ulos para T=T c, e ão há magetzação espotâea como esperado. A expressão fal dos autovalores para k= é:

72 7 (99 l p ( u ( se u cos u se( u 4 com:,..., (3 e os autovalores das matrzes de trasferêca para T=T c são obtdos através de álgebra ordára. Agora ecotraremos os autovalores para T<T c. Fazedo uma ova parametrzação de K e L: seh K x seh L ( kx (3 resultado em: exp( K x x exp( L ( kx / k x / (3 x e A parametrzação acma ão pode ser feta por fuções elemetares que façam x k quadrados perfetos.cotudo, pode ser feta por meo de fuções elíptcas. Segue agora uma breve descrção das fuções elíptcas s u, c u e d u. Tas fuções são meromorfas e obedecem às relações: c d u s u k u s u (33 As fuções elíptcas usuas são fuções de duas varáves: o ome q e o argumeto u, sedo q uma costate real etre e, e u uma varável complexa. Seam I e I as magtudes de meo período dadas por:

73 7 q q q q I (34 l q I I (35 I I q / exp (36 sedo I o exo real e I o exo complexo. E sea k o módulo e k o módulo cougado. As fuções teta são: q q I u q u q q I u q u q q I u q I u q u H q q I u q I u se q u H / 4 4 / cos ( cos ( cos cos ( cos ( (37 As fuções elíptcas acobaas são obtdas por meo das fuções acma: ( / ( ( / ( / ( / ( / / / u u k d u u u H k k c u u u H k s u (38 As fuções teta são teras, ou sea, são aalítcas em todo o plao complexo, e seus zeros são todos zeros smples. Os zeros de (u H e (u em partcular são: I mi u u H se, ( (39 I mi u u ( se, ( (3

74 73 com m e teros. Das equações (37 segue que as fuções s, c u e d u são meromorfas, ou sea, suas sgulardades são polos.cosdere as relações de quasperodcdade: H( u I H( u (3 H( u I q exp( u/ I H( u (3 e as relações: H ( u H ( u I, ( u q ( u q / / 4 ( u ( u I, 4 exp u/ I H ( u I (33 exp u/ I H ( u I I de fato, as fuções s, c u e d u são dtas duplamete peródcas, pos satsfazem as relações: f ( u I f ( u, f ( u I f ( u (34 Se uma fução é cohecda detro e o cotoro de um retâgulo de período, sedo este um retâgulo o plao complexo de comprmeto I e altura I, etão seu valor em qualquer poto do plao complexo pode ser repetdo por meo da equação (34. Cosdere os segutes teoremas, que serão útes: (.9a Teorema de Louvlle: se uma fução é duplamete peródca e aalítca detro e sobre um retâgulo de período, etão ela é costate. (.9b Se uma fução é duplamete peródca e meromorfa, e tem polos por retâgulo de período, etão ela também tem zeros por retâgulo de período. (.9c Se uma fução é meromorfa e satsfaz as codções de perodcdade: f ( u I ( f ( u I ( s f ( u r f ( u (35

75 74 com r e s teros, e se f (u tem polos por retâgulo de período em u,..., u (cotado um polo de ordem r como r polos smples cocddo etão: H ( u u / H( u u f ( u Ce (36 sedo C e u,..., u costates satsfazedo:, u... u... ( r m I ( s I (37 ( s I (38 com m e também teros. Pelo teorema acma, qualquer fução duplamete peródca e meromorfa pode ser expressa em termos da equação (36. Cosdere: d u (39 / k se esta é a tegral que relacoa u e s u, com s u defdo por: s u se (3 sedo a ampltude. Segue: c u cos (3 Am (u (3 Uma fução útl é a fução ampltude: / Am( u l k s( u I/ (33

76 75 Sea: / d I (34 / k se a expressão para I cohecda como tegral elíptca completa do prmero tpo de módulo k. Se u é um magáro puro postvo, s u também o é, sedo c u e d u úmeros reas de mesmo sal. Pelas equações (37 e (38 s u tede ao fto o lmte, (39 resulta em: u I. Fazedo d I (35 / k seh Por meo da relação: tg seh (36 a equação (39 resulta em: / d I (37 / k se sedo que k e k obedecem à relação: k k (38 Agora retoraremos à avalação dos autovalores. Fazedo: x s u (39 etão:

77 76 exp( K c u s u exp( L k d u / s u (33 Em termos das fuções teta, a equação acma se tora: exp( K exp( L k / H ( ( / / u H u k ( u k ( ( / ( / u u k / H u (33 Se u é um magáro puro, etão s u aumeta mootocamete com Im(u. Das equações (3 e (39 podemos relacoar o coefcete de teração K e o parâmetro u: s u se K (33 Das equações (39 e (3, fazedo, temos: u K d k seh / (333 E se K e L são reas e postvos, etão u é real e com o caso T=T c, etão u I. Se k=, comparado I, I / e s u tg u. Assm as equações (33 de fato se reduzem a (8. As fuções elíptcas mostradas este trabalho são defdas apeas para <k<. Cotudo, mas adate esta restrção será removda. A partr de agora a forma de (u se dará em toro das fuções elíptcas e smlarmete ao caso em que T=T c. Pela equação (33 os elemetos de V a equação (6 são da forma: V, (334 h u p ode: h( u H( u ( u (335

78 77 e o a equação (334 é uma fução tera de u. Resultado uma ova expressão de : ( u (336 h u p ovamete é uma fução tera de u. Cosdere o efeto de somar u a I e I. Somar u a I em (33 é equvalete a substtur K e L por K / e L /. Isso substtu por r, ode r é o autovalor da matrz de reversão de sp R : ( u I r( u (337 Somar u a I em (33 é equvalete a substtur K e L por K / e L /. Como r +s é par, sso ão muda os elemetos de V: ( u I ( u (338 Com o auxílo do teorema.9c podemos escrever uma expressão para (u, que pelas equações (337 e (338 é duplamete peródco e pela eq. (334 tem p polos por retâgulo de período: p p hu Hu u u ( u e (339 ode,..., são os zeros de (u detro do retâgulo de período, e são costates e u u p deve ser escolhdo de forma a assegurar (337 e (338. O próxmo passo é determar os zeros de (u pela detdade (76, que se tora: ( u ( u I su r k su (34