CENTRO: GESTÃO ORGANIZACIONAL MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 CENTRO: GESTÃO ORGANIZACIONAL CÁLCULOS DE FINANÇAS MATEMÁTICA FINANCEIRA Semestre: A/2008 PROFESSOR: IRANI LASSEN CURSO: ALUNO:

2 SUMÁRIO CÁLCULOS DE FINANÇAS INTRODUÇÃO...3. OBJETIVO: FLUXO DE CAIXA O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO JUROS UTILIZAÇÃO DOS RECURSOS ASPECTOS RELACIONADOS A EMPRÉSTIMOS FORMAS DE APRESENTAÇÃO DA TAXA DE JUROS FORMA PORCENTUAL (PERCENTUAL) FORMA UNITÁRIA: APRESENTAÇÃO E RELAÇÃO ENTRE TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA FORMAS DE CALCULAR OS JUROS PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE JUROS CÁLCULO PELO REGIME DE JUROS SIMPLES CÁLCULO PELO REGIME DE JUROS COMPOSTOS JUROS SIMPLES CONVENÇÕES: DEDUÇÃO DA FÓRMULA (Juros x Captal) FÓRMULAS (Juros x Captal): DEDUÇÃO DA FÓRMULA(Valor Futuro x Valor Presete): FÓRMULAS (Motate x Captal): PERÍODOS NÃO INTEIROS E PERÍODOS PROPORCIONAIS TAXAS PROPORCIONAIS JURO EXATO E COMERCIAL Juro Comercal Juro Exato PRAZO MÉDIO SALDO MÉDIO TAXA MÉDIA EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES DESCONTO CONCEITOS: DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO : DESCONTO BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR FORA : A TAXA EFETIVA DE DESCONTO EXERCÍCIOS - DESCONTO SIMPLES...24 HP-2C - MÉDIAS ARITMÉTICA E PONDERADA...25 HP-2C - TRABALHANDO COM DATAS JUROS COMPOSTOS CONVENÇÕES: DEDUÇÃO DA FÓRMULA: FÓRMULAS (Valor Futuro x Valor Presete):...27 HP-2C JUROS COMPOSTOS...29 INSTRUÇÕES DE USO:...29 UTILIZANDO O EXCEL PERÍODOS NÃO INTEIROS CONVENÇÃO EXPONENCIAL CONVENÇÃO LINEAR TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE TAXA EFETIVA CAPITALIZAÇÃO DESCAPITALIZAÇÃO FÓRMULA GERAL (BÁSICA) CÁLCULO DA TAXA EFETIVA PELA HP2C - (CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO) TAXA EQUIVALENTE TAXA NOMINAL...36

3 4.5 EXERCÍCIOS - JUROS COMPOSTOS SÉRIES UNIFORMES - (DE PAGAMENTOS OU DE RENDAS) INTRODUÇÃO TIPOS DE SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO OU RENDA SÉRIES UNIFORMES POSTECIPADAS - FÓRMULAS RELAÇÃO PV x PMT RELAÇÃO FV x PMT DETERMINAÇÃO DO PRAZO (No. DE PARCELAS) DETERMINAÇÃO DA TAXA SÉRIES UNIFORMES ANTECIPADAS - FÓRMULAS RELAÇÃO PV x PMT RELAÇÃO FV x PMT DETERMINAÇÃO DO PRAZO (No. DE PARCELAS) DETERMINAÇÃO DA TAXA...46 HP-2C - SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS...47 UTILIZANDO O EXCEL: EXERCÍCIOS - SÉRIES UNIFORMES VALOR PRESENTE DE PERPETUIDADES EXERCÍCIOS - PERPETUIDADES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO INTRODUÇÃO SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO - SAF (PRESTAÇÕES CONSTANTES): SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) EXERCÍCIOS - AMORTIZAÇÃO...65 HP-2C - AMORTIZAÇÃO ANÁLISE DE INVESTIMENTOS INTRODUÇÃO VALOR PRESENTE VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL (NET PRESENT VALUE - NPV) TAXA INTERNA DE RETORNO -TIR (INTERN RATE OF RETURN -IRR)...70 UTILIZANDO O EXCEL: EXERCÍCIOS - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS INDEXAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA INTRODUÇÃO TAXA DE JUROS APARENTE E TAXAS DE JURO REAL ÍNDICE DE PREÇOS E INDEXADORES DE VALORES MONETÁRIOS: Algus ídces: FORMAÇÃO DE UM ÍNDICE: EXERCÍCIOS - INDEXAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA TRABALHOS JUROS SIMPLES DESCONTO SIMPLES JUROS COMPOSTOS SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ANÁLISE DE INVESTIMENTOS RESPOSTAS DOS TRABALHOS FÓRMULAS

4 CÁLCULOS DE FINANÇAS (MATEMÁTICA FINANCEIRA) INTRODUÇÃO. OBJETIVO: A Matemátca Facera tem por objetvo o mauseo de fluxos de caxa vsado suas trasformações em outros fluxos equvaletes que permtam as suas comparações de maera mas fácl e segura. Por que estudar Matemátca Facera? Sabemos que o valor do dhero evolvdo uma trasação facera ão permaece costate durate o prazo da operação. Em geral, o valor a data cal da operação é dferete do valor em qualquer outra data; sto é o valor do captal evolvdo uma operação facera vara com o tempo." (J.C.Lappo NOTAS 3

5 .2 FLUXO DE CAIXA Deoma-se Fluxo de Caxa ( de uma empresa, de um vestmeto, de um dvíduo, etc.) ao cojuto de etradas e saídas de dhero ao logo do tempo. Em um fluxo de caxa covecoamos: Etradas são os recebmetos e têm sal postvo. Saídas são os pagametos e têm sal egatvo. FLUXO DE CAIXA DO PONTO DE VISTA DE QUEM EMPRESTA: ( + ) Etradas de caxa ( - ) Saídas de caxa FLUXO DE CAIXA DO PONTO DE VISTA DE QUEM TOMA EMPRESTADO: ( + ) Etradas de caxa ( - ) Saídas de caxa Exercíco. Uma empresa tomou emprestado para captal de gro, em um baco comercal, o valor de $5.000,00 para serem pagos da segute forma: em ses parcelas mesas e cosecutvas de $800,00, com a prmera vecedo ao fal do segudo mês, mas dos reforços de $.000,00 a serem pagos juto com a tercera e a sexta prestação. Costrua o fluxo de caxa do baco e o fluxo de caxa da empresa. 4

6 .3 O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO dhero cresce o tempo devdo aos juros. Nuca somar valores moetáros de datas dferetes sem cosderar os juros dos períodos..4 JUROS Dhero pago pelo uso de dhero emprestado, ou seja, custo do captal de terceros colocados à ossa dsposção. Remueração do captal empregado em atvdades produtvas ou, ada, remueração paga pelas sttuções faceras sobre o captal elas aplcado. É a remueração do captal emprestado, podedo ser eteddo, de forma smplfcada, como sedo o aluguel pago pelo uso do dhero..5 UTILIZAÇÃO DOS RECURSOS Como alguém que possua recursos (faceros) poderá utlzá-los: a compra de bes de cosumo; a compra de servços; a aqusção de bes de produção; a compra de móves para uso própro ou veda futura; o empréstmo a terceros; a aqusção de títulos de reda fxa ou varável; dexado depostado para ateder a "evetualdades"; guardá-lo a expectatva de uma oportudade melhor para sua utlzação; ou guardá-lo pela smples satsfação de ter dhero. NOTAS 5

7 .6 ASPECTOS RELACIONADOS A EMPRÉSTIMOS Fatores relacoados com a taxa de remueração avalados por quem possu dhero ates de se dspor a emprestar:. RISCO: probabldade do tomador de empréstmo ão poder pagar o empréstmo; 2. DESPESAS: todas as despesas operacoas, cotratuas e trbutáras para a formalzação do empréstmo e à efetvação da cobraça; 3. INFLAÇÃO: ídce de desvalorzação do poder aqustvo da moeda prevsto para o prazo do empréstmo; 4. GANHO (ou LUCRO): fxado em fução das demas oportudades de vestmetos ("custo de oportudade"); justfca-se pela prvação, por parte do seu doo, da utldade do captal. A receta de juros deve ser sufcete para cobrr o rsco, as despesas e a perda do poder aqustvo da captal emprestado, além de proporcoar ao seu aplcador um certo lucro. NOTAS 6

8 .7 FORMAS DE APRESENTAÇÃO DA TAXA DE JUROS.7. FORMA PORCENTUAL (PERCENTUAL) A taxa de juros é apresetada em cetos do captal, para se fazer o cálculo prmero tem-se que dvdr por cem..7.2 FORMA UNITÁRIA: Exemplo.2.: Qual o juro que rede o captal de $.000,00 aplcado por ao à taxa de juros de 6% ao ao? Resposta: juro =.000,00 x 6 00 x ao = 0 x 6 x = $ 60,00 Portato é de $ 60,00 o juro que a aplcação rede em um ao. A Taxa refere-se à udade do captal, calcula-se o que rede a aplcação de uma udade de captal o tervalo de tempo referdo pela taxa. Exemplo.3: Qual o juro que rede o captal de $.000,00 aplcado por ao à taxa de juros de 0,06 ao ao? Resposta: juro =.000,00 x 0,06 x ao =.000 x 0.06 x = $ 60,00 Portato é de $ 60,00 o juro que a aplcação rede em um ao. LEMBRETES: Nos cálculos com uso de fórmulas usa-se sempre a taxa utára >>>> 2%a.a. = 0,2 No uso de calculadoras programáves (H2C) usa-se a forma Percetual >>>> 2% a.a. = 2 NOTAS 7

9 .7.3 APRESENTAÇÃO E RELAÇÃO ENTRE TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA Normalmete as taxas de juros são expressas a forma percetual, para trasformá-las a forma utára, para que possam ser aplcada dretamete as fórmulas estas devem ser dvddas por cem (00). Exemplo.4:: FORMA PERCENTUAL FORMA UNITÁRIA LEGENDA 2% a.a. = 2 00 = 0,2 a.a. a.a. = ao ao 6% a.s. = 6 00 = 0,06 a.s. a.s. = ao semestre 4% a.t. = 4 00 = 0,04 a.t a.t. = ao trmestre % a.m. = 2 00 = 0,0 a.m. a.m. = ao mês 0,033% a.d. = 0, = 0,00033 a.d. a.d. = ao da De modo semelhate para trasformar a taxa de juros da forma utára para a forma percetual basta multplcar-se por cem (00). = 0,2 a.a. = 0,2 x 00 = 2% a.a. LEMBRETE A taxa de juros sempre é relacoada a um período de tempo específco, o qual é baseado o cálculo dos juros. Este período sempre deverá estar expresso após a taxa. NOTAS 8

10 .8 FORMAS DE CALCULAR OS JUROS JUROS SIMPLES - Neste regme a remueração do Captal Ical aplcado ( Prcpal ou Valor Presete) é dretamete proporcoal ao seu valor e ao tempo de aplcação. Remuera-se somete o captal. JUROS COMPOSTOS -Neste regme ao Captal Ical aplcado a cada período será somado o juro calculado e sobre este motate será calculado o juros do período segute. Exemplo.5: Qual o motate ao fal de 5 meses, para um captal de $.000 aplcado a taxa de 0% a.m.? JUROS SIMPLES MÊS CAPITAL JUROS MONTANTE JUROS COMPOSTOS MÊS CAPITAL JUROS MONTANTE 9

11 .9 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE JUROS.9. CÁLCULO PELO REGIME DE JUROS SIMPLES Juros de cada período são calculados sobre o captal cal (prcpal) aplcado. Juros ão redem juros. Não há captalzação de juros. Crescmeto lear ou em progressão artmétca..9.2 CÁLCULO PELO REGIME DE JUROS COMPOSTOS Juros de cada período são calculados sobre o captal do íco do período (saldo). Juros redem juros. Há captalzação de juros. Crescmeto expoecal ou em progressão geométrca. NOTAS 0

12 2 JUROS SIMPLES 2. CONVENÇÕES: Juros ão geram juros J = Juros = úmero de períodos = Taxa de juros C ou PV = Captal = Valor Presete (Preset Value) = Atual FV = Motate = Valor Futuro (Future Value = Futuro 2.2 DEDUÇÃO DA FÓRMULA (Juros x Captal) O juro relatvo a um período é formado pela aplcado-se a taxa proporcoal ao período ( ) aplcada a um captal (C), como o sstema de juros smples, juros ão redem juros, podemos escrever: No íco da operação...: J 0 = 0 No fal do o. Período...: J = C. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> J =C.. No fal do 2 o. Período...: J 2 = (C. + (C. = (C..2 >>>>>>>>>>> J 2 =C..2 No fal do 3 o. Período...: J 3 = (C. + (C. + (C. = C.I.3 >>>>>>> J 3 =C No fal do eésmo Período: J = (C. + (C. + (C (C. >>>>> J =C FÓRMULAS (Juros x Captal): J = C J = C J C = J = C LEMBRETE Para que as fórmulas possam ser usadas a taxa de juros e o período devem ser expressas a mesma gradeza, por exemplo se o período utlzado é o mesal a taxa deverá ser expressa ao mês (a.m.), se o período for aual a taxa deverá ser expressa ao ao (a.a.).

13 Exemplo 2.: Quato rederá um captal de $.000,00 a ser aplcado o regme de juros smples a uma taxa de 5% a.m. pelo período de 5 meses? Exemplo 2.2: Por quato tempo, pelo regme de juros smples, deverá fcar aplcado um captal de $45.000,00, para que este reda $.800,00 de juros, sabedo-se que a taxa de juros utlzada pela sttução facera é de 2% ao mês? Exemplo 2.3: Qual é a taxa de juros smples que deve ser aplcada a um captal de $3.500,00 para que este produza $20,00 o período de 4 meses? Exemplo 2.4: Uma sttução facera opera a juros smples, a uma taxa de 0,2% a.d., qual o captal que uma pessoa deverá aplcar pelo período de 8 das para obter um redmeto de $388,80? 2

14 2.4 DEDUÇÃO DA FÓRMULA(Valor Futuro x Valor Presete): (Motate x Captal) Sabe-se que: - o sstema de juros smples juros ão redem juros; - que M = C + J, etão temos os fas de cada período: No íco da operação: M 0 =C No fal do o. Período: M =C+C. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> M =C.(+ No fal do 2 o. Período: M 2 =C+C.+C. = C.(++ >>>>>>>>> No fal do 3 o. Período: M 3 =C.+C.+C.+C. = C.(+++ >>>> M 2 =C.(+2 M 3 =C.(+3 No fal do eésmo Período: >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> M =C.(+.) 2.5 FÓRMULAS (Motate x Captal): M = C + J M = C ) = M C M C = ) M = C Exemplo 2.5: Um vestdor aplcou $20.000,00 em Letras de Câmbo, a sttução facera ao emtr esta sére de Letras de Câmbo determou que estas teram como atratvdade um redmeto de 2,8% ao mês, a juros smples, por um prazo de 4 meses. Qual será o valor resgatado o fal do período? Exemplo 2.6: Um captal, aplcado a juros smples de 36 % a.a. redeu juros de R$ ,00 e acumulou o motate de R$ 2.000,00. Durate quatos meses esse captal fcou aplcado? 3

15 2.6 PERÍODOS NÃO INTEIROS E PERÍODOS PROPORCIONAIS É ecessáro que a taxa de juros esteja sempre a mesma udade do úmero de períodos e vce-versa. No regme de juros smples é dferete a trasformação da taxa de juros ou do úmero de períodos. Quado se está usado tabelas faceras deve-se preferecalmete trasformar prazo em períodos teros, ajustado-se etão a taxa de juros. Quado se está trabalhado com calculadora facera, pode-se usar o prazo fracoáro, desde que este esteja expresso a mesma gradeza da taxa de juros. Dca: A proporcoaldade exstete etre as taxas de juro, o regme de Juros Smples é a mesma exstete etre os prazos a que elas se referem, podedo ser ecotradas através de uma regra de três smples TAXAS PROPORCIONAIS No regme de Juros Smples duas ou mas taxas de juros são dtas proporcoas quato ao serem aplcada ao mesmo PV, durate um período de tempo, gerarem o mesmo FV o fal do período. Relação exstete etre dferetes taxas proporcoas:. a = 2. s = 4. t = 2. m = 360. d. s = 2. t = 6. m = 80. d. t = 3. m = 90. d m = 30. d NOTAS 4

16 Exemplo 2.7: Calcular a taxa de juros smples mesal proporcoal a: A) 24,00% a.a. B) 3,20% a.s. C) 0,09% a.d. Exemplo 2.8: Calcular a taxa de juros smples dára proporcoal a: A) 8,00% a.a. B) 2,60% a.s. C) 3,60% a.m. Exemplo 2.9: Calcular a taxa de juros smples aual proporcoal a: A) 0,070% a.d. B) 3,20% a.s. C) 2,67% a.m. Exemplo 2.0: Uma aplcação de $40.000,00 à uma taxa de 2,4% a.m., a juros smples, fo feta pelo prazo 8 das. A) Qual o valor retrado o fal do período? ( calcule cosderado o prazo ão tero = período mesal) B) Qual o valor retrado o fal do período? (calcule cosderado o prazo tero (das) e ajustado a taxa) Exemplo 2.: Quatos das levou um captal de $20.000,00 que fcou aplcado a juros smples em uma sttução facera que trabalha com uma taxa de 2,4% ao mês, cosderado-se que o fal do período foram resgatados $20.256,00. 5

17 2.7 JURO EXATO E COMERCIAL 2.7. Juro Comercal É aquele que leva em cota o seu cálculo o Período Comercal, ode sempre: mês = 30 das, bmestre = 60 das, trmestre = 90 das, semestre = 80 das e ao = 360 das Juro Exato É aquele que leva em cota o seu cálculo o Período Cvl, ode são cosderados os meses cvs. O juro exato usado prcpalmete em operações faceras de curto prazo ode o prazo é cotado em das. -Jaero, março, mao, julho, agosto, outubro e dezembro = 3 das. -Abrl, Juho, Setembro e Novembro = 30 das. -Feverero = 28 ou 29 das. -O Ao = 365 ou 366 das. Exemplo 2.2: Calcule a taxa dára exata e a taxa dára comercal a juros smples de uma aplcação de $00.000,00 a juros smples que fo aplcada o da 5 dezembro de 999, retrado-se $07.440,00 o da 5 de jaero de 2000.( 3d -0,24% / 30d=0,248%ad) USO DA CALCULADORA HP2-C NO CÁLCULO DATAS E PRAZOS: Calcule o úmero de das etre 5/2/999 e 5/0/2000 DADOS TECLAS VISOR g D.MY ENTER 5.2 Calcule qual é a data 20 das após o da 5/2/ g DYS 3.00 DADOS TECLAS VISOR g D.MY ENTER g DATE

18 7 2.8 PRAZO MÉDIO É o prazo úco que servrá como vecmeto comum para os títulos, para efeto de cálculo dos ecargos. É bastate usado o sstema de descoto de títulos. C C C C C C C C PM = >>> = = = j j j j j C C PM ) ( ) ( 2.9 SALDO MÉDIO É o saldo capaz de substtur város outros, com relação a captas empregados. É bastate utlzado o sstema bacáro, para determação juros a serem pagos em cotas especas devedoras, IOF, saldos para reovação de lmtes de crédto, etc... C C C C SM = >>> = = = j j j j j C SM ) ( ) ( DICAS: Quado se desejar saber o prazo médo de um determado espaço de tempo cohecdo (por exemplo: um mês = 30 das): >>> Nos cálculos mauas basta substtur-se a fórmula o dvsor pelo prazo que se quer cohecer o saldo médo. 30 ) ( = = j C j j SM >>> Nos cálculos com calculadoras (HP2C) quado se deseja saber a saldo médo mesal deve-se acrescetar um elemeto o somatóro ode FV=0 e =úmero de das que faltam para completar o mês TAXA MÉDIA É a taxa capaz de substtur váras outras, com relação a captas dversos, empregados a taxas e prazos dversos. C C C C C C C C TM = >>> = = = j j j j j j j C C TM ) ( ) ( NOTAS

19 Exemplos 2.4 Cosderado-se que os valores apresetados por um comercate foram descotados a juros smples em um baco comercal que trabalha com descotos pelo sstema comercal e que foram descotados a uma taxa de 6% a.m., calcular o valor do descoto e o valor recebdo pelo comercate e qual a taxa de juros que ele efetvamete pagou. Valor dos títulos (R$) prazos 44,00 8d 90,00 5d 08,00 34d 20,00 5d 80,00 2d Exemplos 2.5: Um cotrato de cheque especal prevê taxa de utlzação de 7,5% a. m., sabedo-se que o Baco deduz mposto sobre operações faceras (IOF) de 0,23% sobre o saldo médo mesal egatvo. Com base saldos dáros apresetados a tabela ao lado, calcule o total das despesas debtadas o fal do mês. SALDO NA CONTA (R$) PRAZO COM MESMO SALDO postvo $.050,00 3 das egatvo $450,00 2 das egatvo $.300,00 5 das postvo $350,00 2 das postvo $700,00 5 das egatvo $3.200,00 4 das postvo $.000,00 3 das egatvo $2.500,00 3 das postvo $ das Exemplo 2.6: Um borderô de títulos descotados em um baco apresetaram os valores relacoados a tabela ao lado. Calcular taxa méda mesal. $ Título $25.000, % a.m. Título 2 $30.000, % a.m. Título 3 $45.000, % a.m. Título 4 $40.000, % a.m. Título 5 $00.000, % a.m. 5 d. 30 d. 25 d. 8 d. 35 d. 8

20 2. EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES. Determe quato será precso depostar hoje em um Baco, que paga uma taxa de 38% ao ao, para que se obteha um motate de R$7.560,00, o fal de 5 meses. 2. Quatos das serão ecessáros para um captal de R$ 3.500,00 gerar um motate de R$ 5.572,00, se for aplcado a uma taxa de 9,6% ao mês. 3. Determar o úmero de meses ecessáros para que um valor dobre, com uma taxa de juros de 2% ao mês, o regme de juros smples. 4. Um captal fcou depostado à taxa de 60% ao ao. Ao fal de 0 meses fo resgatado o motate gerado e aplcado ovamete, por mas 6 meses, à taxa de 72% ao ao. Fdo este prazo, fo resgatado o motate de $ Qual o captal calmete aplcado? 5. Dos captas, um de $ e outro de $ , foram aplcados uma mesma data, a juros smples. O prmero à taxa de 60% a.a. e o segudo à taxa de 0% a.a. Em quatos meses os motates se gualarão? 6. Um produto que à vsta custa R$280,00 pode ser comprado com uma etrada de R$60,00 mas um pagameto de R$27,80 para 25 das. Determe a taxa mesal de juros smples cobrada a operação. 7. Um cotrato de cheque especal prevê taxa de utlzação de 9% a. m., sabedo-se que o Baco deduz mposto sobre operações faceras (IOF) de 0,23% sobre o saldo médo mesal egatvo. Com base saldos dáros em que a cota fcou egatva, abaxo apresetados, calcule o total de juros a ser cobrado e o IOF. Movmeto egatvo: R$.890,00 por da, R$ 2.00,00 por dos das; R$3.500 por 4 das; R$4.500,00 por da; R$.300,00 por da; R$.900,00 por da e R$5.000,00 por 5 das. 9

21 3. DESCONTO 3. CONCEITOS: CÁLCULOS DE FINANÇAS. Descotos são operações de crédto em que são egocados (descotados) títulos de emssão ou edosso, medate abatmeto de um percetual o ato da trasação 2. Valor Nomal de um título é o valor scrto o mesmo ( valor de face), os cálculos é represetado por FV (valor futuro). 3. Valor Atual do título é o valor pelo qual o título é egocado o da da operação, os cálculos é represetado por PV (valor presete). 4. Descoto Bacáro é operado por meo de uma taxa da descoto que cde sobre o motate (valor omal) de determado título. Na prátca este tpo de descoto é utlzado as egocações com duplcatas e promssóras. 5. Descoto Racoal, é opera por meo de uma taxa que cde sobre o valor presete (valor atual) do título. 6. Ao fazer dhero descotado duplcatas, as empresas repõem seu captal de gro. As otas promssóras são descotadas para empréstmos a pessoas físcas e jurídcas. NOTAS 20

22 3.2 DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO : DESCONTO D = VL VALOR LÍQUIDO (ATUAL) VL = VN D ou VN VL= ) VALOR NOMINAL TAXA DE DESCONTO PERÍODO DESCONTO VN VN = VL ) = VL = VL VN No Descoto Racoal ou por detro o juro é calculado a partr do valor presete (valor atual) do Título, ou seja sobre o valor lberado a operação facera. A taxa de juros (descoto) cobrada represeta, desta maera, o custo efetvo de todo o período de descoto. Exemplo 3.: Um título de $2.000,00 fo descotado pelo sstema racoal, 20 das ates de seu vecmeto. A empresa recebeu $.956,00. Qual é a taxa de juros mesal que a sttução de crédto trabalha NOTAS 2

23 3.3 DESCONTO BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR FORA : DESCONTO D = VN VALOR LÍQUIDO (ATUAL) VL = VN D ou VL = VN ( ) VALOR NOMINAL TAXA DE DESCONTO PERÍODO DESCONTO VL VL VL VN = ( ) = VN = VN No Descoto Comercal ou por fora o juro é calculado a partr do valor o omal (valor de face) do Título, ou seja que está mpresso o título, gerado assm um ecargo facero maor do que o Descoto por detro. A taxa de juros efetva este este sstema é maor do que a taxa usada o cálculo. Exemplo 3.2: Um título com valor de face gual a $2.000,00 a 20 das de seu vecmeto, fo descotado em um baco (descoto comercal - ^por fora^ - a juros smples ). O baco trabalha a uma taxa descoto de 3,3% a.m.qual o valor depostado a cota da empresa que descotou o título. NOTAS 22

24 3.4 A TAXA EFETIVA DE DESCONTO Como o descoto comercal ou por fora o juro é calculado a partr do valor o omal (valor de face) do Título, ou seja que está mpresso o título, gerado assm um ecargo facero maor do que o descoto por detro, a taxa de juros efetva este sstema, que represeta o efetvo custo do dhero para o tomador, pode ser determada a partr da expressão abaxo: ed = d d ed d Taxa de descoto comercal prazo Taxa de efetva de descoto Exemplo 3.3: Um título fo descotado 20 das ates de seu vecmeto, fo utlzada uma taxa de descoto (por fora) de 3,3% a.m. a juros smples. Qual é a taxa efetva de descoto (por detro). 3.5 OBSERVAÇÕES: CONCLUSÃO: A taxa de descoto por fora ou comercal é aplcada sobre o valor futuro, ou seja o Valor Nomal (valor de face) do título para produzr o Valor Líqudo (valor atual). A taxa efetva de descoto é a taxa que resulta o mesmo valor de ecargos faceros se aplcada sobre o valor Valor Líqudo, que é o valor efetvamete credtado ao tomador do empréstmo. 2 CUIDADO COM AS TAXAS BANCÁRIAS: As operações de descotos com bacos comercas apresetam taxas adcoas de descoto a pretexto de cobrr determadas despesas admstratvas e operacoas corrdas pelas sttuções faceras. 23

25 3.6 EXERCÍCIOS - DESCONTO SIMPLES. Qual o valor do descoto comercal referete a um título de com valor omal de R$ 0.000,00, que vecerá em 60 das, se a taxa de descoto for de 3% a.m.? 2. Um título com valor de resgate de R$.000,00, com 20 d.d. a decorrer até seu vecmeto, está sedo egocado a juros smples, com uma taxa de descoto "por fora" de 8% aa. Determar: a) o valor recebdo; b) o valor descotado pela sttução operadora de crédto. 3. Qual o valor omal de um título descotado pelo sstema comercal, a 3% a.m. em 2 meses, sedo que fo recebdo o valor líqudo de R$ 3.60,00? 4. Determar o valor da taxa mesal de descoto usada uma operação de descoto de 60 das de um título cujo valor de resgate é R$ 0.000,00, se o valor recebdo fo de R$ 9.750,00 uma sttução que trabalha o sstema de descoto comercal a juros smples. 5. Determar o valor do descoto comercal smples de um título de R$.000,00 com vecmeto para 60 d.d., sabedo-se que a taxa de descoto "por fora" é de,2% ao mês. 6. Uma empresa apresetou para descoto a um baco comercal uma duplcata com vecmeto de 60 d.d., cosderado que o valor do título é de R$ 6.500,00 e que o baco está operado com uma taxa de descoto comercal de 5,5% a.m., qual o valor que será descotado da empresa esta operação? 7. Qual o valor do descoto smples de um título de R$.000,00 descotado 5 meses ates do vecmeto, com uma taxa de 3% a.m. 8. Uma empresa deseja descotar títulos um baco comercal que opera com sstema de juros smples a uma taxa de descoto comercal de % ao mês. O prmero título tem valor de R$ 0.000,00 e com vecmeto de 90 d.d.. O segudo título tem um valor de R$ 0.000,00 e com vecmeto de 80 d.d. Determar o valor a ser credtado a cota pelo baco a cota desta empresa, pelo descoto destes títulos. 24

26 HP-2C - MÉDIAS ARITMÉTICA E PONDERADA MÉDIA ARITIMÉTICA... x x = ode: x = elemetos a serem somados, = úmero de elemetos MÉDIA PONDERADA... ode: x = elemeto a poderar, y = elemeto poderador CÁLCULOS DE FINANÇAS x y x = y g x w 923,33 Resposta Após a etrada dos dados dgtar g x w para obter a méda poderada de x. forece a méda artmétca de x e g x forece a méda artmétca de y g y CÁLCULO DA MÉDIA ARITIMÉTICA: EXEMPLO : Um aluo trou as segutes otas: 5,0; 7,0; 8,0; 0,0 e 8,0. Qual a méda de suas otas. DADOS TECLAS ENTER f CLEAR + Lmpar os regstros do 5 + Etrada X Etrada X Etrada X Etrada X Etrada X5... g x 7,6 Resposta Após a etrada dos dados dgtar g x para obter a méda artmétca de x. CÁLCULO DA MÉDIA PONDERADA: EXEMPLO 2: Calcular o saldo médo mesal egatvo de uma cota sabedo que ela fcou egatva os segutes períodos: ) $450,00 por 2 das; 2) $.300,00 por 5 das; 3) $3.200,00 por 4 das 4) $2.500,00 por 3 das; 5) $ 0,00 por 6 das. OBs: Para que a resposta seja apresetada dretamete a base mesal, deve-se acrescetar mas um termo com valor zero e com prazo de das equvalete ao úmero de das que estão faltado para completar o mês.(o exercíco = 30-4 = 6 das) DADOS TECLAS VISOR OBS. f CLEAR + Lmpar os regstros do ENTER 450 Etrada X 2 + Etrada Y.300 ENTER.300,00 Etrada X Etrada Y ENTER 3.200,00 Etrada X Etrada Y ENTER 2.500,00 Etrada X Etrada X4 0 ENTER 0,00 Etrada X5 - ajustameto.de das Etrada Y5 -. p/ completar 30 Desvo Padrão g s forece o desvo padrão de x e REGISTROS ARMAZENADORES R = ---> úmero de termos (R = RCL ) R 2 = Σ x R 3 = Σ x 2 R 4 = Σ y R 5 = Σ y 2 R 6 = Σ x.y x > <y forece o desvo padrão de y EXEMPLO 3: Calcular a taxa méda dos títulos abaxo apresetados: T $25.000,00-5,00%am - 5 das; T2 $30.000,00-5,50%am - 30 das; T3 $45.000, %am - 25 das; T4 $40.000, %am - 8 das; T5 $00.000,00-7,50%am - 35 das OBs: Deve-se solar a taxa, fazedo-se : x = (taxa) e o elemeto y = valor X prazo (valor do título x prazo) DADOS TECLAS VISOR OBS. f CLEAR + Lmpar os regstros do 5 ENTER 5 Etrada X ENTER ,00 5 x + Etrada Y 5,5 ENTER 5 Etrada X ENTER ,00 30 x + 2 Etrada Y2 6 ENTER 6 Etrada X ENTER ,00 25 x + 3 Etrada Y3 5,7 ENTER 5,7 Etrada X ENTER ,00 8 x + 4 Etrada X4 7,5 ENTER 7,5 Etrada X ,00 ENTER ,00 35 x + 5 Etrada Y5 g x w 6,635 Resposta 25

27 kujml. HP-2C - TRABALHANDO COM DATAS FUNÇÕES CALENDÁRIO g DATE a partr de uma data, calcula outra, adcoado ou retrado das g DYS calcula o úmero de das etre duas datas. FORMATOS DE DATA DIA-MÊS-ANO (SISTEMA BRASILEIRO) TECLAS:... g D.MY 20 de setembro de > dgta-se : MÊS-DIA-ANO (SISTEMA AMERICANO) TECLAS:... g M.DY Setembro 20, > dgta-se : DATAS FUTURAS Pode-se determar datas futuras a partr de uma determada data através das teclas g DATE da segute forma: acrescetado-se a data o úmero de das. HP-2C - JUROS SIMPLES A HP-2C permte o cálculo de juros smples de duas maeras:. Tomado como base o ao de 360 das (ao comercal) 2. Tomado como base o ao de 365 das (ao exato) HP-2C -----> prazo sempre em das, e taxa de juros sempre aual (% aual). EXEMPLO (usado o ao comercal = 360 das) Um captal de R$.000,00 fo emprestado pelo período de 75 das, a uma taxa de 60% ao ao, a juros smples, levado em cota o ao comercal (360 das), qual o valor resgatado o fal da operação? Istrução teclas vsor. Lmpar as memóras f CLEAR FIN 2. Dgta-se o º de das EXEMPLO: determar a data correspodete a 20 das após 20 de setembro de Dgta-se a taxa de juros I Istrução teclas vsor 4. Dgta-se a prcpal PV 000 CHS PV -.000,00. Dgta-se o formato de data. g D.MY 5. Calcula-se o JURO (ao comercal=360das) F INT Dgta-se a data ENTER Calcula-se o FV (PV + JURO) +.25,00 3. Dgta-se o º de das que se quer acrescetar 20 g DATE EXEMPLO 2 (usado o ao exato = 365 das) A data correspodete é 8 de jaero de 2000 (2- terça-fera) -Seguda-Fera, 2-Terça-Fera, 3-Quarta-Fera, 4-Quta-Fera,5-Sexta-Fera, 6-Sábado, 7-Domgo DATAS PASSADAS Pode-se determar data passada a partr de uma determada data através das teclas g DATE da segute forma: - dmudo-se da data o úmero de das (sal egatvo CHS ) EXEMPLO:determar a data correspodete a 20 das ates de 20 de setembro de 999 Istrução Teclas vsor. Dgta-se o formato de data. g D.MY 2. Dgta-se a data ENTER Dgta-se o º de das que se quer dmur 20 CHS g DATE A data correspodete é 23 de mao de 999 (7- domgo) NÚMERO DE DIAS ENTRE DATAS: Pode-se determar o úmero de das trascorrdos etre duas datas determadas através da teclas.. g DYS EXEMPLO: determar o úmero de das trascorrdos etre 20/ setembro/999 e 8/jaero/2000 Istrução Teclas vsor. Dgta-se o formato de data. g D.MY 2. Dgta-se a a. Data ENTER Dgta-se a 2a. Data g DYS Nºde das equvalete mês de 30d x > <y 8 O período trascorrdo etre as duas datas é de 20 das. O período equvalete a meses de 30 das é de 8 das. Um captal de R$.000,00 fo emprestado pelo período de 75 das, a uma taxa de 5% ao mês, a juros smples, levado em cota o ao exato (365 das), qual o valor resgatado o fal da operação? Istrução Teclas vsor. Lmpar as memóras f CLEAR FIN 2. Dgta-se o º de das Dgta-se a taxa de juros I 5 ENTER 2 x Dgta-se a prcpal PV 000 CHS PV -.000,00 5. Calcula-se o JURO (ao comercal=360das) F INT Calcula-se o JURO (ao exato=365das) R x > < y 23,29 7. Calcula-se o FV (PV + JURO) +.23,29 26

28 4. JUROS COMPOSTOS Juros também geram juros. 4. CONVENÇÕES: J = Juros = úmero de períodos = Taxa de juros PV = Valor Presete (Preset Value) = Captal = Atual FV = Valor Futuro (Future Value) = Motate = Futuro 4.2 DEDUÇÃO DA FÓRMULA: Sabedo-se que: FV= PV + J e que J=PV. (com equvalete ao período que se esta calculado) temos o captal os fas dos períodos de Captalzação: No íco da operação: FV 0 =PV No fal do o. Período: FV =PV+PV. >>>> FV =PV.(+ No fal do 2 o. Período: FV 2 =PV.(+ +PV.(+. = PV.(+.(+ >>>> FV 2 =PV.(+ 2 No fal do 3 o. Período: FV 3 =PV.(+ 2 +PV.(+ 2. = PV.(+ 2.(+ >>>> FV 3 =PV.(+ 3 No fal do eésmo Período: FV=PV.(+ 4.3 FÓRMULAS (Valor Futuro x Valor Presete): FV ) FV = PV + = PV ( + = FV PV J PV = FV = ( + L L FV PV ( + ) 27

29 Exemplo 4.: a- Um captal de R$30.000,00 fcou depostado durate 9 meses a taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual o valor resgatado o fal do período? ($35.852,78) b - Daqu a 3 meses precsaremos de $33.00,00, cosderado uma taxa de juros de 0% ao mês, quato teríamos que aplcar hoje? Exemplo 4.2: Um captal de ,00 aplcado por 6 meses, captalzado mesalmete o fal do período redeu R$7.763,09. Qual a taxa mesal e a taxa aual? (3% a.m. - 42,576% a.a.) Exemplo 4.3: Qual o prazo ecessáro para que um captal de R$20.000,00 permta uma retrada de R$2.72,35 em uma sttução que trabalha com uma taxa captalzada mesalmete de 3,5%. (2,4meses = 2 meses e 2 das). PV FV 0 5% 3.000,00 8 6% 9.563, , ,4 0% , ,30 28

30 HP-2C JUROS COMPOSTOS A HP-2C permte o cálculo de juros compostos dretamete, a partr das teclas programadas. As teclas faceras para os cálculos dretos de juros compostos são as Segutes: - úmero de períodos taxa de juros PV valor presete e FV valor futuro Itroduzdo-se 3 dos valores e apertado a tecla do 4o-, obtém-se o resultado deste. Observações de uso:. A taxa e o úmero de períodos (prazo) devem sempre estar expressos a mesma udade de tempo. 2. A taxa de juros deverá ser troduzda a forma percetual; 3. Cálculo dos períodos ão teros: 3. CONVENÇÃO EXPONENCIAL -como juros compostos - para que todo o cálculo seja efetuado como juro composto o aúco C, o vsor da calculadora deverá estar lgado; 3.2- CONVENÇÃO LINEAR - como juros smples: se o aúco C estver deslgado, a máqua calculará os períodos teros como juros compostos e a parte fracoára do período como juros smples; 3.3- para lgar ou deslgar o aúco C do vsor deve-se dgtar STO EXX ; 4. A ordem de etrada dos dados ão mporta, mporta apeas que a últma tecla a ser acoada seja a tecla do valor que se quer ecotrar; 5 FV e PV devem ter sas cotráros (coveção do fluxo de caxa), caso cotráro o cálculo apresetará erro. DICAS: Quado a taxa de juros for dada a forma omal aual, com captalzação mesal, e o prazo de cálculo for mesal pode-se troduzr a taxa de juros omal aual dretamete que a calculadora efetuará dretamete a trasformação para taxa efetva (de cálculo), bastado dgtar...(taxa omal aual %) g 2 (o vsor aparecerá a taxa dvdda por 2 e já estará gravada a memóra 2. Quado o período for dado a forma aual, mas o cálculo deverá ser executado em períodos mesas, a trasformação poderá ser feta automatcamete, dgtado-se... (período aual) g 2x (o vsor aparecerá o prazo multplcado por 2 - o prazo mesal já estará gravado a memóra ) MATEMÁTICA FINANCEIRA INSTRUÇÕES DE USO: CÁLCULO DO VAOR FUTURO - FV Istrução teclas Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Dgta-se o período valor 3. Dgta-se a taxa de juros I a forma percetual valor%. 4. Dgta-se o valor presete PV e seu respectvo sal valor CHS PV 5. Pressoa-se FV, para obter-se o cálculo CÁLCULO DO PRESENTE - PV Istrução teclas Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Dgta-se o período valor 3. Dgta-se a taxa de juros I a forma percetual valor. 4. Dgta-se o valor presete FV e seu respectvo sal valor CHS FV 5. Pressoa-se PV, para obter-se o cálculo CÁLCULO DA TAXA DE JUROS - Istrução teclas Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Dgta-se o período valor 3. Dgta-se o valor presete PV e seu respectvo sal valor CHS PV 4. Dgta-se o valor presete FV e seu respectvo sal valor FV 5. Pressoa-se, para obter-se taxa de juros a forma percetual Observação:. A taxa de juros será expressa a mesma udade de tempo de. CÁLCULO DO PRAZO - Istrução teclas Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Dgta-se a taxa de juros a forma percetual valor. 3. Dgta-se o valor presete PV e seu respectvo sal valor CHS PV 4. Dgta-se o valor presete FV e seu respectvo sal valor FV 5. Pressoa-se, para obter-se prazo (úmero de períodos) Observações:. O prazo (úmero de períodos) será expresso a mesma udade de tempo da taxa de juros. 2. Se a resposta exata for um úmero ão tero, a HP2-C dará como resposta um úmero tero medatamete superor ao úmero fracoáro. 29

31 UTILIZANDO O EXCEL Exemplo 4.: a- Um captal de R$30.000,00 fcou depostado durate 9 meses a taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual o valor resgatado o fal do período? ($35.852,78) 30

32 b - Daqu a 3 meses precsaremos de $33.00,00, cosderado uma taxa de juros de 0% ao mês, quato teríamos 3

33 Exemplo 4.2: Um captal de ,00 aplcado por 6 meses, captalzado mesalmete o fal do período redeu R$7.763,09. Qual a taxa mesal e a taxa aual? (3% a.m. - 42,576% a.a.) 32

34 Exemplo 4.3: Qual o prazo ecessáro para que um captal de R$20.000,00 permta uma retrada de R$2.72,35 em uma sttução que trabalha com uma taxa captalzada mesalmete de 3,5%. (2,4meses = 2 meses e 2 das). 33

35 4.4 PERÍODOS NÃO INTEIROS 4.4. CONVENÇÃO EXPONENCIAL Na coveção expoecal usa-se o mesmo regme de captalzação para todo o período (clusve para a parte ão tera do período). Usa-se a fórmula períodos fracoáros. Esse procedmeto torou-se bastate smples com o uso de calculadoras que possuem a fução expoecal. A expressão geral para o cálculo expoecal pode ser dada por: FV = PV m (+ ) k ode = parte tera do prazo m/k = parte fracoára do prazo por exemplo se o período tero é mesal e o fracoáro é dáro temos: ºdas/30das Exemplo 4.4: Um vestdor aplcou $00.000,00 em Letras de Câmbo, a sttução facera ao emtr esta sére de Letras de Câmbo determou que estas teram como de atratvdade um redmeto de 4% ao mês, a juros compostos, por um prazo de 4 meses e 24 das. Qual será o valor resgatado o fal do período? (=,8; FV=$20.74,66) 4.4. CONVENÇÃO LINEAR Na coveção lear, adota-se para a parte tera do prazo o cálculo de juros compostos e para a parte fracoára juros smples. Este sstema fo muto usado como smplfcador o tempo em que as calculadoras ão eram de uso geeralzado, e calculavase através de tabelas (as tabelas são calculadas para períodos teros). A expressão geral para o cálculo expoecal pode ser dada por: FV= PV () + m k ode = parte tera do prazo m/k = parte fracoára do prazo por exemplo se o período tero é mesal e o fracoáro é dáro temos: ºdas/30das Exemplo 4.5: Calcule o exemplo ateror levado em cosderação a coveção lear. ($20.729,40) UTILIZANDO A HP2C: os cálculos em regme de juros compostos, a HP2C deverá apresetar o aúco c o vsor. O aúco c aceso dca que a calculadora estará utlzado o regme de juros compostos para os períodos sgulares. Se o aúco estver apagado cálculos dos períodos sgulares serão efetuados em regme de juros smples. Os períodos sgulares são expressos a HP2C como parte fracoára de (prazo). Para lgar / deslgar o aúco c devemos pressoar as teclas STO EEX. 34

36 4.4 TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE 4.4. TAXA EFETIVA A taxa efetva é aquela que é usada a operação facera, cocdete com o período de captalzação e represeta o verdadero custo da operação facera A taxa efetva represeta o processo de formação dos juros pelo regme de juros compostos ao logo dos períodos de captalzação CAPITALIZAÇÃO = ( + ) cap Exemplo 4.6: Uma taxa de 3% a.m. deve ser captalzada por 6 meses. cap= ode = a forma utára = º períodos de ecessáros para captalzar cap Ex.: se cap = a.a. e = a.m. >>>> = DESCAPITALIZAÇÃO desc = ) ode = a forma utára = º períodos de ecessáros para descaptalzar desc Ex.: se descap = a.m. e = a.a. >>>> =2 Exemplo 4.7: Qual é a taxa mesal efetva (equvalete) a uma taxa de 8% a.a.. descap= FÓRMULA GERAL (BÁSICA) E p ) = C ode E = taxa equvalete (efetva/expoecal) utára = taxa forecda da operação - utára C = prazo CONHECIDO - referete a taxa forecda ( ) P = prazo PROCURADO - referete a taxa equvalete ( E ) Ex.: se cap = a.a. e = a.m. >>>> =2 Para facltar o uso desta fórmula ormalmete usa-se os prazos em das. Quado P é MAIOR que C temos CAPITALIZAÇÃO. Quado P é MENOR que C temos DESCAPITALIZAÇÃO Exemplo 4.8: Qual é a taxa semestral equvalete a taxa de 20% a.a.? (descaptalzação) E = ( + C / P = ( +,20)^80/360 - = 0,4832 -> 48,32% a.s. Qual é a taxa aual equvalete a taxa de 2,3% a.m. (captalzação) E = ( + C / P = ( + 0,023)^360/30 - = 0,337 -> 3,37% a.a. 35

37 CÁLCULO DA TAXA EFETIVA PELA HP2C - (CAPITALIZAÇÃO E DESCAPITALIZAÇÃO) CAPITALIZAÇÃO DESCAPITALIZAÇÃO DADOS TECLAS VISOR DADOS TECLAS VISOR [ f ] [ FIN] [ f ] [ FIN] 00 [CHS] [ PV] 00 [CHS] [ PV] [ ] 00 + [ FV] [ ] [ ] [ FV] [ ] DESCAP 00 [ - ] CAP EXEMPLO EXEMPLO [ f ] [ FIN] 0 [ f ] [ FIN] 0 00 [CHS] [ PV] [CHS] [ PV] -00,00 3 [ ] 3, [ FV] 8,00 6 [ ] 6,00 2 [ ] 2 [ FV] 9,4 [ ], , TAXA EQUIVALENTE São taxas de juros equvaletes, aquelas taxas que mesmo sedo forecdas em udades de tempo dferetes, ao serem aplcadas a um mesmo valor prcpal por um prazo de tempo gual, produzem um mesmo valor futuro em um regme de juros compostos TAXA NOMINAL A taxa omal o regme de juros compostos ão cocde com o período de captalzação (período de captalzação é aquele em que realzamos o cálculo facero), ela tem uma relação lear com este e ão pode ser usada dretamete os cálculos. A taxa omal apreseta um prazo de captalzação dos juros dferete daquele em que ela é apresetada (ão é a real taxa de juros da operação). A taxa omal é ormalmete apresetada em períodos teros (ex.:a.a.) e é trasformada para o período de captalzação admtdo-se juros proporcoas smples Taxa efetva = Taxa omal úmero de períodos de captalzação cluídos a taxa omal Exemplo 4.9: Quas são as taxas efetvas mesal e aual referete a taxa omal de 36% a.a. captalzada mesalmete. Exemplo 4.0: Calcule as taxas efetvas auas de: a) Taxa omal de 42% a.a. captalzada mesalmete; b) Taxa omal de 60% a.a. captalzada trmestralmete; c) Taxa omal de 8% a.t. captalzada mesalmete. Exemplo 4.: Calcule as taxas efetvas mesas e as taxas omas auas captalzadas mesalmete: a) Taxa efetva de 60% a.a.; b) Taxa efetva de 25% a.t; c) Taxa efetva de 40% a.s.. 36

38 Exemplo 4.2: Calcule as taxas efetvas abaxo, coforme solctado a prmera colua: aa 69,5882% as 9,4053% at 6,208% ab 3,0225% am 5,0000% ad 0,2000% Exemplo 4.3: Calcule as taxas efetvas abaxo, coforme solctado a prmera colua: aa ca at ct am cm ad cd 36% aa cm 48% aa ct 54% aa cd 69,5882% aa ca 38,805% aa cs 37

39 4.5 EXERCÍCIOS - JUROS COMPOSTOS. Um captal de R$00.000,00 fcou depostado durate 5 meses a taxa de juros compostos de 35% ao ao. Qual o valor resgatado o fal do período? 2. Um captal de ,00 aplcado por 6 meses, captalzado mesalmete o fal do período redeu R$ 2.997,69. Qual a taxa mesal e a taxa aual? 3. Qual o prazo ecessáro para que um captal de R$0.000,00 reda de juros R$5.53,28 em uma sttução que trabalha com uma taxa omal de 60% ao ao e captalzação mesal. Ecotre também a taxa aual efetva. 4. Qual é a taxa efetva mesal, calculada a juros compostos para que um captal dobre em um ao? E a Taxas auas efetva e omal? 5. Qual é o prazo ecessáro para que um captal que aplcado a 5% a.m., a juros compostos trplque? 6. Uma pessoa aplcou em uma sttução que captalza mesalmete os juros, R$ 5.000,00 pelo período de 0 meses a uma taxa omal de 36% a. a., após este período ele depostou mas R$ 3.000,00 a uma taxa mesal de 4,2% pelo período de 5 meses. Etão retrou R$ 2.000,00. O saldo reaplcou a uma taxa aual efetva de 69,59% a.a. pelo período de 6 meses. Qual o valor retrado o fal deste prazo? 7. Uma sttução facera oferece a seus cletes uma taxa de retabldade de,2% ao mês, a juros compostos. Determar o valor da reda de uma aplcação de R$0.000,00 efetuada essa sttução, por um prazo de 8 meses. Determe ada as taxas auas efetva e omal. 38

40 8. Uma empresa aplcou, a juros efetvos, R$ ,00 durate 7 meses segudos em duas operações, tedo resgatado o valor de R$ 20.66,6. Durate os prmeros 4 meses obteve uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Pede-se calcular o valor da taxa de juros aual da seguda operação. 9. Um vestdor tem um título aplcado em um Baco para vecmeto em 5 meses, com valor de resgate de ,00. A sttução lhe propõe a troca por um título com vecmeto para daqu a meses, o valor de ,00. Sedo a taxa correte de juros o mercado de 2% a.m. O Ivestdor deve fazer a troca? Qual a taxa de retabldade da operação proposta? 0. Um vestdor tem 3 títulos aplcados em uma sttução, com valores de resgate o vecmeto de R$ 0.000,00 em dos meses, 5.000,00 em dos meses e meo e o tercero de ,00 em 4 meses. A sttução propôs lqudar os títulos a data de hoje por R$45.000,00. É vatagem para o aplcador efetuar a troca, cosderado que ele cosegue o mercado aplcações a taxas de 3% a.m.? 39

41 5. SÉRIES UNIFORMES - (DE PAGAMENTOS OU DE RENDAS) 5. INTRODUÇÃO Séres uformes de valores moetáros, caracterzam-se por pagametos ou redas costates e peródcos por determado tempo. Como todas as prestações tem o mesmo valor é possível através de fórmulas smplfcadas proceder a captalzação ou os descotos destas através da soma de termos de uma progressão geométrca. Usualmete são cohecdas como Modelo Prce, porém este modelo é uma partculardade do modelo geral. O Modelo Prce ou "Tabela Prce" como é mas cohecdo é ormalmete expresso através da taxa omal aual, dcado-se o período de captalzação dos juros (mesal, trmestral, aual, etc...) 5.2 TIPOS DE SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO OU RENDA Séres uformes de valores moetáros, quer de pagametos ou de redas (recebmetos), podem, quato a forma de pagameto ou reda, ser classfcadas em temporáras ou perpétuas, o prmero caso é o mas comum. Elas ada podem ser classfcadas depededo de seu cálculo (coforme quadro abaxo), como medatas ou dferdas (quado exste um prazo de carêca) e postecpadas (pagametos ou recebmetos efetuados o fal dos períodos) ou atecpadas (pagametos ou recebmetos efetuados o íco dos períodos). CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS/ PAGAMENTOS T T T T T T POSTECIPADA IMEDIATA T T T T T T ANTECIPADA RENDAS OU PAGAMENTOS CONSTANTES - TEMPORÁRIOS prazo de carêca T T T T T T POSTECIPADA DIFERIDA prazo de carêca T T T T T T ANTECIPADA NOTAS 40

42 5.3 SÉRIES UNIFORMES POSTECIPADAS - FÓRMULAS PV SÉRIE POSTECIPADA PMT FV O Valor Presete (FV) de uma sére uforme de pagametos PMT e dado pelo somatóros dos valores presetes de cada parcela. O valor presete de cada parcela é obtdo através da aplcação da fórmula geral dos juros compostos fazedo-se FV=PMT: FV PV = PMT etão temos: PV = a. Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate período... -> PMT PV = 2 a. Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate 2 períodos... -> PMT PV = 2 Peúltma Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate - períodos -> PMT PV = ( + Últma Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate períodos > PMT PV = Temos assm que o PV total da sére uforme é o somatóro dos FV das parcelas: PMT PMT PMT PMT PMT PV = , solado-se o PMT, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PV = PMT Estes termos correspodem a soma de termos (S ) de uma PG, cujo prmero termo (a ) é gual a razão (q): Portato: PV = PMT [ ] S a = q = Sabe-se, do estudo das progressões geométrcas que a soma de seus termos pode ser obtda através da fórmula: S S S a ( q ) ( q ) =, procededo-se a substtução de a e q, temos ( + ( + =, multplcado-se por = ( + ( +. ( + ( + ( + ( + = ( + ( + ( + ( + multplcado-se por (-), S ( +. PV = PMT ( ) +. (2).. ( + = (+ (+ temos: ( + ( + ( + = ( + =, substtudo-se em PV= PMT [ ], temos: S, 4

43 5.3. RELAÇÃO PV x PMT FVA PV = PMT ( ) +. FATOR DE VALOR ATUAL. FRC ( j.) = = (,) PMT = PV. FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL FRC. FVA j = = Para se determar o FV, substtu-se o PV ecotrado a fórmula (2), a fórmula geral dos juros compostos: FV = PV ( +, como PV = PMT ou seja, FV = PMT RELAÇÃO FV x PMT FV = PMT FATOR DE ACUMULAÇÃODE CAPITAL FAC FCC ( ) +., temos: FV = PMT +.. = FV ( j.) = = FCC(,) DETERMINAÇÃO DO PRAZO (No. DE PARCELAS) ( PMT FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL j = =. FAC A partr destas equações podemos determar o prazo (ou º de pagametos/recebmetos) CONHECIDOS FV, PMT, FV L. + PMT = L ( + CONHECIDO PV, PMT, L = L PV PMT ( +. Quado se estver usado a calculadora HP2C deve-se ter o cudado, pos ela forece o úmero de períodos teros, ormalmete havedo sobras que deverão ser compesadas. Estas compesações ormalmete são fetas a prmera ou a últma prestação. 42

44 5.3.4 DETERMINAÇÃO DA TAXA CÁLCULOS DE FINANÇAS A taxa é determada pelo método comparatvo, ou seja por processo teratvo de "tetatva e erro" (pela complexdade de solar-se a taxa a fórmula, pos ela aparece tato o umerador quato o deomador elevadas potêcas). FV PMT = FV PMT =. Segue-se os segutes passos ) Calcula-se o prmero membro da equação, o valor FV/PMT 2) Escolhe-se uma taxa ( ) e calcula-se o segudo membro da equação. 3) Compara-se os dos resultados. 4) Se o segudo membro é maor que o prmero escolhe-se uma taxa meor e recalcula-se 5) Se o segudo membro é meor que o prmero escolhe-se uma taxa maor e recalcula-se 6) Recalcula-se tatas vezes quatas ecessáro, escolhedo-se taxas maores ou meores (passos 4 ou 5, coforme o caso), até que as parcelas se gualem. Segue-se os segutes passos. Calcula-se o prmero membro da equação, o valor FV/PMT 2. Escolhe-se uma taxa ( ) e calcula-se o segudo membro da equação. 3. Compara-se os dos resultados. 4. Se o segudo membro é maor que o prmero escolhe-se uma taxa meor e recalcula-se 5. Se o segudo membro é meor que o prmero escolhe-se uma taxa maor e recalcula-se 6. Recalcula-se tatas vezes quatas ecessáro, escolhedo-se taxas maores ou meores (passos 4 ou 5, coforme o caso), até que as parcelas se gualem. 43

45 5.4 SÉRIES UNIFORMES ANTECIPADAS - FÓRMULAS SÉRIE ANTECIPADA FV PV PMT O Valor Presete (FV) de uma sére uforme de pagametos PMT e dado pelo somatóros dos valores presetes de cada parcela, o valor presete de cada parcela é obtdo através da aplcação da fórmula geral dos juros compostos fazedo-se FV=PMT: FV PMT PV = PV = etão temos: + + ( ) ( ) a. Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate 0 período... -> PMT PMT PV = 0 = 2 a. Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate períodos... -> PMT PV = 3 a. Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate 2 períodos... -> PMT PV = + ( ) 2 Peúltma Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate -2 períodos -> PV = Últma Parcela, à valor presete, descaptalza a uma taxa durate - períodos... -> PV = Temos assm que o PV total da sére uforme é o somatóro dos FV das parcelas: PMT PMT PMT PMT PMT PV = , solado-se o PMT, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PV = PMT ( + ( + ( + ( + Estes termos correspodem a soma de termos(s )de uma PG, cujo prmero termo (a ) e a razão (q) são: a = e Portato: PV = PMT [ ] S PMT ( ) + PMT ( ) + q= Sabe-se, do estudo das progressões geométrcas que a soma de seus termos pode ser obtda através da a ( q ) fórmula: S =, procededo-se a substtução de a ( q ) e q, temos ( S + =, q (+ multplcado-se por (+ temos: S = ( + ( +. ( + ( + = por (-) ( ) ( ) + S +. ( +. PV = PMT. ( +. ( ) +.( +.( + ( + = ( +. ( + ( + = ( +. =, substtudo-se em PV = PMT [ ], temos: ( +. ( + ( ) +. (2) S ( +,multplcado-se ( + 44

46 5.4. RELAÇÃO PV x PMT PV = PMT FVA ( ) ( ) + +. FATOR DE VALOR ATUAL.. FRC CÁLCULOS DE FINANÇAS PV PMT= ( j.) = = FRC(,).. FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL. FVA j = = Para se determar o FV, substtu-se o PV ecotrado a fórmula (2), a fórmula geral dos juros compostos: = PV (, como ( ) ( ) + PV = PMT +. FV + ou seja, ( ) ( ) + FV = PMT RELAÇÃO FV x PMT FV = PMT ( ) ( ) + +. FATOR DE ACUMULAÇÃODE CAPITAL FAC FCC., temos: ( ) ( ) + = PMT +. FV. +. FV =. ( j.) = = FCC(,) DETERMINAÇÃO DO PRAZO (No. DE PARCELAS) PMT FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL j = =. FAC ( A partr destas equações podemos determar o prazo (ou º de pagametos/recebmetos) CONHECIDOS FV, PMT, L = FV PMT. L ( + ( + + CONHECIDO PV, PMT, L PV. PMT ( + = L( + Quado se estver usado a calculadora HP2C deve-se ter o cudado, pos ela forece o úmero de períodos teros, ormalmete havedo sobras que deverão ser compesadas. Estas compesações ormalmete são fetas a prmera ou a últma prestação. 45

47 5.3.4 DETERMINAÇÃO DA TAXA CÁLCULOS DE FINANÇAS A taxa é determada pelo método comparatvo, ou seja por processo teratvo de "tetatva e erro" (pela complexdade de solar-se a taxa a fórmula, pos ela aparece tato o umerador quato o deomador elevadas potêcas). FV PMT = ( ) ( ) + +. ( FV PMT = ) +.. Segue-se os segutes passos. Calcula-se o prmero membro da equação, o valor FV/PMT 2. Escolhe-se uma taxa ( ) e calcula-se o segudo membro da equação. 3. Compara-se os dos resultados. 4. Se o segudo membro é maor que o prmero escolhe-se uma taxa meor e recalcula-se 5. Se o segudo membro é meor que o prmero escolhe-se uma taxa maor e recalcula-se 6. Recalcula-se tatas vezes quatas ecessáro, escolhedo-se taxas maores ou meores (passos 4 ou 5, coforme o caso), até que as parcelas se gualem. Segue-se os segutes passos. Calcula-se o prmero membro da equação, o valor FV/PMT 2. Escolhe-se uma taxa ( ) e calcula-se o segudo membro da equação. 3. Compara-se os dos resultados. 4. Se o segudo membro é maor que o prmero escolhe-se uma taxa meor e recalcula-se 5. Se o segudo membro é meor que o prmero escolhe-se uma taxa maor e recalcula-se 6. Recalcula-se tatas vezes quatas ecessáro, escolhedo-se taxas maores ou meores (passos 4 ou 5, coforme o caso), até que as parcelas se gualem. Exercíco: Preecha a tabela abaxo, calculado os dados faltates: PV 3 5,0% 6.000,00 PMT Postecpado PMT Atecpado 4 3,0% R$.29, ,00 R$ 548,33 2,5% 0.000,00 R$.42, ,00 R$ 3.798,02 46

48 HP-2C - SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS A HP-2C permte o cálculo de séres de pagametos ou recetas à juros compostos dretamete, a partr das teclas programadas. As teclas faceras para os cálculos dretos são as segutes: o. períodos taxa de juros PV valor presete PMT prestação uforme FV valor futuro Itroduzdo-se valores cohecdos e apertado a tecla do que se quer cohecer, obtémse o resultado desta. SÉRIES POSTECIPADAS: deverá estar aparecedo o vsor da calculadora a palavra END, se ão estver aparecedo, poderá ser lgada dgtado-se g END SÉRIES ANTECIPADAS: deverá estar aparecedo o vsor da calculadora a palavra BEG (beg, se ão estver aparecedo, poderá ser lgada dgtado-se g BEG Observações de uso:. A taxa e o úmero de períodos (prazo devem sempre estar expressos a mesma udade de tempo. 2. A taxa de juros deverá ser troduzda a forma percetual; 3. Cálculo dos períodos ão teros: 3. - como juros compostos - para que todo o cálculo seja efetuado como juro composto o aúco C, o vsor da calculadora deverá estar lgado; 3.2- como juros smples: se o aúco C estver deslgado, a máqua calculará os períodos teros como juros compostos e a parte fracoára do período como juros smples; 3.3- para lgar ou deslgar o aúco C do vsor deve-se dgtar STO EXX ; 4. A ordem de etrada dos dados ão mporta, mporta apeas que a últma tecla a ser acoada seja a tecla do valor que se quer ecotrar; 5 PMT, FV e PV devem ter sas cotráros (coveção do fluxo de caxa), caso cotráro o cálculo apresetará erro. DICAS:. Quado a taxa de juros for dada a forma omal aual, com captalzação mesal, e o prazo de cálculo for mesal pode-se troduzr a taxa de juros omal aual dretamete que a calculadora efetuará dretamete a trasformação para taxa efetva (de cálculo), bastado dgtar... (taxa omal aual %) g 2 (o vsor aparecerá a taxa dvdda por 2 e já estará gravada a memóra 2. Quado o período for dado a forma aual, mas o cálculo deverá ser executado em períodos mesas, a trasformação poderá ser feta automatcamete, dgtado-se... (período aual) g 2 x (o vsor aparecerá o prazo multplcado por 2 - o prazo mesal já estará gravado a memóra ) MATEMÁTICA FINANCEIRA INSTRUÇÕES DE USO: CÁLCULO DO VALOR FUTURO - FV - A PARTIR DO PMT Istrução teclas.. Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Seleção do modo de calculo g END ou g BEG 3. Dgta-se o período valor 4. Dgta-se a taxa de juros I a forma percetual valor% 5. Dgta-se o valor da prestação PMT e seu respectvo sal valor CHS PMT 6. Pressoa-se FV, para obter-se o cálculo FV. CÁLCULO DO PRESENTE - PV - A PARTIR DO PMT Istrução teclas. Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Seleção do modo de calculo g END ou g BEG 3. Dgta-se o período valor 4. Dgta-se a taxa de juros I a forma percetual valor% 5. Dgta-se o valor da prestação PMT e seu respectvo sal valor CHS PMT 6. Pressoa-se PV, para obter-se o cálculo PV. CÁLCULO DA PRESTAÇÃO - PMT Istrução teclas.. Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Seleção do modo de calculo g END ou g BEG 3. Dgta-se o período valor 4. Dgta-se a taxa de juros I a forma percetual valor% 5. Dgta-se o valor da prestação e seu respectvo sal valor CHS PV e/ou valor CHS FV 6. Pressoa-se PMT, para obter-se o cálculo PMT. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS - Istrução teclas.. Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Seleção do modo de calculo g END ou g BEG 3. Dgta-se a o período valor% 4. Dgta-se o valor da prestação PMT e seu respectvo sal valor CHS PMT 5. Dgta-se o valor da prestação e seu respectvo sal valor CHS PV e/ou valor CHS FV 6. Pressoa-se, para obter-se o cálculo I. Observação:. A taxa de juros será expressa a mesma udade de tempo de. CÁLCULO DO PRAZO - Istrução teclas.. Lmpar as memóras faceras f CLEAR FIN 2. Seleção do modo de calculo g END ou g BEG 3. Dgta-se a taxa de juros I a forma percetual valor% 4. Dgta-se o valor da prestação PMT e seu respectvo sal valor CHS PMT 5. Dgta-se o valor da prestação e seu respectvo sal valor CHS PV e/ou valor CHS FV 6. Pressoa-se, para obter-se o cálculo. Obs:. O prazo (úmero de períodos) será expresso a mesma udade de tempo da taxa de juros. 2. Se a resposta exata for um úmero ão tero, a HP2-C dará como resposta um úmero tero medatamete superor ao úmero fracoáro. 47

49 UTILIZANDO O EXCEL: CÁLCULO DO VALOR FUTURO - FV - A PARTIR DO PMT Depostado-se mesalmete o valor de R$ 0.000,00, uma sttução facera que paga juros de 5% a.m., que valor teremos após 9 meses? 48

50 CÁLCULO DA PRESTAÇÃO - PMT A PARTIR DO VALOR FUTURO - FV Quato deve ser depostado mesalmete para, em 2 meses, formar uma poupaça o valor de R$ ,00, uma sttução facera que paga juros de 5% a.m. 49

51 CÁLCULO DO PRESENTE - PV - A PARTIR DO PMT CÁLCULOS DE FINANÇAS Um facameto deverá ser pago em 0 prestações mesas, guas e sucessvas o valor de R$ 8.000,00. Sabedo-se que a sttução facera cobra juros de 4% a.m., calcule o valor facado. 50

52 CÁLCULO DA PRESTAÇÃO - PMT Um empréstmo de R$ ,00, facado com uma taxa de juros de 3% ao mês, é pago em dez parcelas mesas e guas. Qual o valor de cada uma das parcelas? 5

53 CÁLCULO DA TAXA DE JUROS - Um empréstmo de R$ ,00, é facado em dez parcelas mesas e guas, o valor de R$.425,88. Qual a taxa de juros cobrada? 52

54 CÁLCULO DO PRAZO - Um empréstmo, o valor de R$ ,00 fo cotratado a uma taxa de 3% a.m., para ser pago em prestações mesas, guas e sucessvas de R$ 4.245,64. Calcule o prazo do facameto? 53

55 5.5 EXERCÍCIOS - SÉRIES UNIFORMES. Um empréstmo de $50.000,00 é realzado com uma taxa de 8% ao ao, o regme de juros compostos, devedo ser amortzado o prazo de ses aos, com os dos prmeros aos de carêca. Determar o valor das quatro prestações auas, guas e sucessvas, que deverão ser pagas a partr do fal do 3º ao, as segutes hpóteses: (I) os juros devdos os dos prmeros aos de carêca são pagos o fal de cada ao; (II) os juros devdos os dos prmeros aos de carêca ão são pagos, mas sm captalzados aualmete. 2. Uma compra deve ser facada em ses prestações mesas de $0.000,00, que cluem juros calculados com a taxa de,25% ao mês. (I) Determar o valor do prcpal desse facameto, o regme de juros compostos, sabedo-se que a ª prestação ocorre o ato da realzação da compra, a título de etrada. (II) Qual sera o valor da prestação caso a compra fosse feta em 5 prestações mesas sem etrada. 3. Um facameto de $0.000,00 deve ser lqudado medate o pagameto de ses prestações mesas de $.730,00. Determar a taxa efetva mesal desse facameto, o regme de juros compostos, as segutes hpóteses: (I) ª prestação ocorre 30 das após a lberação do prcpal ; (II) ª prestação ocorre a mesma data da lberação do prcpal; 54

56 4. Um blusão de couro, é veddo por $5.000,00 à vsta, ou por $.000,00 de etrada mas prestações mesas de $480,97. Sabedo-se que a taxa de juros é de 3,5% a.m., qual o úmero de prestações? 5. Uma moblára especalzada em veda de apartametos usados, põe a veda um apartameto de 200m2 por $20.000,00 à vsta ou em 60 meses a prazo, com uma etrada de $ ,00. Sabe-se que a moblára opera com taxa de 2% a.a., captalzados mesalmete. A) Qual o valor da prestação mesal? B) Qual o valor da prestação mesal, cosderado-se que o pagameto das prestações cará 4 meses após ter sdo dada a etrada. 6. Um síto fo veddo com etrada de $ ,00 mas 24 prestações trmestras de $ 3.500,00. Qual é o preço à vsta do síto, cosderado-se que fo usada a taxa de 24% a.a. captalzados trmestralmete? 7. Uma compra fo efetuada, o clete teve o saldo devedor facado em 3 prestações quadrmestras de $ 5.000,00. Cotudo, para evtar esta cocetração os desembolsos, o clete solctou a trasformação do facameto em 2 prestações mesas. Se a taxa de juros da loja for de 2% a.m., qual deverá ser o valor das prestações mesas? 8. Uma pessoa depostou em uma poupaça, mesalmete durate 5 aos, a quata de R$ 550,00, Sabedose a poupaça remuera o captal a uma taxa efetva de 0,5% ao mês. Qual o valor que ele pode retrar 30 das após o últmo depósto, se ela ão efetuou saques o período? 55

57 9. Uma pessoa quer dspor, o futuro de uma aposetadora complemetar mesal de $ 500,00 pelo período de 30 aos. Para tato pretede formar uma poupaça. Ela rá depostar uma certa quata mesalmete durate 20 aos. Após 60 das do últmo depósto a pessoa retrará a prmera parcela. Qual o valor mesal dos depóstos que ela deverá efetuar? 0. Uma dústra quer adqurr uma máqua cujo preço à vsta é de R$ ,00. Tedo dspoível apeas R$20.000,00, procurou um facameto sem etrada para o saldo, em uma sttução facera. A Isttução facera propôs um facameto em 24 parcelas mesas calculadas pela taxa de 78% ao ao, captalzados mesalmete. Perguta-se: a) Qual o valor da prestação mesal? b) A empresa setdo a ecessdade de um prazo de carêca para stalação da máqua propôs à sttução facera, que prorrogasse em 6 meses a data do prmero pagameto, captalzado os juros e etão parcelado o saldo em 8 meses, matedo assm a data do últmo pagameto. Qual etão sera o valor da Parcela mesal a se paga? 56

58 5.6 VALOR PRESENTE DE PERPETUIDADES Uma perpetudade equvale a um pagameto ou recebmeto para sempre, em um período de tempo regular, de uma certa quata em dhero. Como exemplos podemos ctar: - dvdedos de ações preferecas; - dezações judcas; - uma heraça (em que o prcpal fca dspoível ao beefcáro; O Valor Presete de uma perpetudade é a soma dos valores presetes de um fto úmero de pagametos, por aaloga para um lmtado úmero de termos PMT podemos calcular pela fórmula: PV = PMT. multplcado-se os termos por smplfcado, temos: PV. Quado N, temos que ( PV.. = PMT.[ ] PV.. = [PMT. ] PMT PV.. PMT. PMT >>> = PMT = PMT ode, PV. = PMT.[ ] ) + 0, etão que o PV p = lm PMT PV = PMT.[ = Exemplo 5.3: Uma pessoa possu $ ,00 e quer dexar como heraça este valor a seus herderos. Cosderado-se que ele cosegue aplcar o seu dhero a uma taxa de,65% a.m., qual o valor que ele poderá dspor para s mesalmete? ] Exemplo 5.2: As ações preferecas de uma compaha redem aualmete dvdedos de $5,00 por ação, cosderado-se que hoje posso vedê-las por $32,49 a udade, qual a taxa mesal de aplcação que eu devo obter para que a operação seja vatajosa? Exemplo 5.: Uma pessoa recebeu em testameto, heraça de um to. O testameto determava que sobrho devera receber um valor de $.000,00, mesalmete, até a sua morte. O to era mloáro e dexou toda a sua fortua para uma Fudação. A Fudação beefcára fcou com a obrgação de efetuar os pagametos. Qual o valor que o admstrador da Fudação deverá dexar aplcado em uma cota de redmetos a fm de garatr que o testameto seja cumprdo, cosderado-se que o mercado facero opera a uma taxa omal de 22,80% ao ao, captalzado mesalmete. 57

59 5.7 EXERCÍCIOS - PERPETUIDADES. O Sr. Souza deseja formar uma aposetadora complemetar, equvalete a $800,00 mesas. Ele pretede efetuar depóstos mesas durate dez aos, para etão usufrur. Cosderado que a taxa méda mesal de juros é de % a.m., qual é o valor do depósto mesal que ele deverá fazer os próxmos dez aos. (VP P=$80.000,00 - PMT=$344,32) 2. (Prova - 99/2) Em um acdete de trâsto o motorsta de uma empresa de trasportes atropelou e matou um homem. Sua vúva, de afazeres doméstcos e sem profssão, obteve em seteça judcal de últma stâca, uma pesão a ser paga mesalmete pela empresa, equvalete a dos terços do saláro que seu mardo receba. Ele receba R$ 600,00 por mês. A Empresa está dsposta a trasformar estes pagametos mesas em uma só parcela dezatóra. Qual sera o valor justo para esta dezação, sabedo-se que a taxa de mercado para pequeos aplcadores é a da poupaça? (0,5% ao mês) ($80.000,00) 3. Uma Loja está alugada por $2.400,00 mesas. Hoje o mercado facero pode-se obter redmetos faceros a taxas omas de 9,6% a.a., com captalzações mesas (além da flação). Qual sera etão o valor mímo estmado para o móvel em uma estmatva prelmar? (=0,8% a.m. - PV=$ ,00) 58

60 6. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 6. INTRODUÇÃO Os prcpas sstemas de amortzação utlzados são: Sstema Fracês de Amortzação Prestações costates. Sstema de Amortzação Costate Sstema de Amortzação Msto Por sua maor facldade de aplcação, prcpalmete após o surgmeto das calculadoras faceras, o sstema Fracês de Amortzação, que gera prestações costates é largamete utlzado os setores faceros e de captas. Os outros dos são mas utlzados o Sstema Facero de Habtação (facametos aqusção habtacoal). 6.2 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO - SAF (PRESTAÇÕES CONSTANTES): Este sstema leva este ome pelo fato de ter-se efetvamete desevolvdo a Fraça o século XIX, com a corporação de juros compostos às amortzações. Este sstema cosste a amortzação de uma determada dívda em prestações sucessvas, guas e peródcas. Não há uma ecessdade de que as prestações sejam mesas mas sm, peródcas, podedo ser, também trmestras, semestras, auas, etc., podedo ter qualquer taxa da juros.) Este sstema também é cohecdo o Brasl como Sstema da Tabela Prce ou tabela Prce. No SAF a taxa de juros é a taxa usada a operação (taxa efetva), o Sstema Prce a taxa é expressa a forma omal, dcado o período de captalzação (para uso da taxa a operação deverá ser feta a coversão da taxa omal em taxa efetva). Este sstema é equvalete a sére de pagametos uformes postecpada ou seja com termos vecdos, portato o valor da prestação é determado pela fórmula: PV = PMT ( ) +. FATOR DE VALOR ATUAL FRC. FVA ( j,) = = () PMT= PV FRC ( ) A parcela de juros (J) é obtda multplcado-se o saldo devedor pela taxa de juros do período. Assm, determa-se a parcela de amortzação (A) pela dfereça etre o valor da prestação e o valor dos juros. (o valor da parcela de juros referete a prmera prestação, este caso é gual a taxa de juros do período multplcada pelo valor do captal emprestado (PV), que é o valor saldo devedor cal). A = PMT J ( t) ( t) ( T) 59

61 Exemplo 6.2: Calcular os valores de juros e amortzações referetes às prestações de um empréstmo para ser lqudado em 8 prestações mesas guas, a uma taxa de 5% a.m., o valor de $20.000,00 Calcula-se prmeramete o valor das prestações, que é costate: PMT = PV x FRC(,) = $20.000,00 x 0,54728 = $ Calcula-se etão Valor dos Juros e da Amortzação da prmera parcela: J = PV x = $20.000,00 x 0,05 = $6.000,00 A = PMT J = $8.566,62 - $6.000,00 = $ 2.566,62 Descota-se etão o valor da Amortzação do Saldo Devedor Ical (SD 0 =PV 0 ) e tem-se o ovo Saldo Devedor (SD ), calcula-se etão os Juros e a Amortzação da seguda parcela: SD = SD 0 - A = $ ,00 $2.566,62 = $ J 2 = PV x = $07.433,38 x 0,05 = $5.37,67 A 2 = PMT J 2 = $8.566,62 - $5.37,67 = $ 3.94,95 E assm por date, calcula-se, para todos os t períodos (t =, 2, 3,..., ). Temos etão: Tabela de Parcelameto PRESTAÇÕES CONSTANTES FRANCÊS t Juros (J t) Amortzação (A t) Prestação (PMT t ) Saldo Devedor após pagto.prest. (SD t ) , , , , TOTAL 60

62 Mas faclmete, sem motarmos a tabela, podemos calcular os valores ecessáros, além do cálculo da prestação já mecoado () temos: Calculo da Prestação PV = PMT ( ) +. Cálculo do Saldo Devedor (SD t ), após o pagameto da prestação t, que é gual ao valor) presete (PV das -t prestações restates SD A partr do saldo cal (PV o ) T = PV 0 T ( ) + Cálculo da Amortzação, da prestação t" Amortzação da a. parcela ( PV. A PMT 0 A ( ) ( ) A partr do valor da prestação (PMT) SD T = PMT T ( ) +. Amortzação da parcela t = ( ) ( ) ( ) t = PV ou ( ) ( 0). Cálculo do Juro, da prestação t J =. t SD t J t = PV0. Cálculo do Motate pago, após o pagameto da prestação t M ( ) ( 0) t J t A = PMT t = A.+ PV0.. Cálculo do total dos Juros pagos, após o pagameto da prestação t t t = PV. J t ( PMT.t ) = Mt t 6

63 6.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) É um sstema extremamete smples, ode amortza-se a dívda em parcelas guas, acrescdas dos juros. O valor das parcelas pode ser faclmete calculado, o valor do captal é obtdo dvddo-se o valor do empréstmo pelo úmero de parcelas (prestações). Já o valor dos juros é obtdo multplcado-se o saldo devedor obtdo o mometo medatamete ateror pela taxa de juros do período. Exemplo 6.3: Calcular os valores de juros e amortzações referetes às prestações de um empréstmo para ser lqudado pelo sstema SAC, em 8 prestações mesas guas, a uma taxa de 5% a.m., o valor de $ ,00. Prmera prestação: Amortzação... A= PV 0 = ,00 8 = $ 5.000,00 Juros (SD 0 =PV 0 )... J = SD 0. = ,00. 0,05 = $ 6.000,00 Prestação... Pr = A + J = 5.000, ,00 = $ 2.000,00 Saldo Devedor... SD = SD 0 A = , ,00 = $ ,00 (após o pagameto da prestação) Seguda prestação: Amortzação... A= $ 5.000,00 Juros... J 2 = SD. = ,00. 0,05 = $ 5.250,00 Prestação... Pr 2 = A 2 + J 2 = 5.000, ,00 = $ ,00 Saldo Devedor... SD 2 = SD A = , ,00 = $ ,00 (após o pagameto da prestação) Tercera prestação: Amortzação... A= $ 5.000,00 Juros... J 3 = SD 2. = ,00. 0,05 = $ 4.500,00 Prestação... Pr 2 = A 2 + J 2 = 5.000, ,00 = $ 9.500,00 Saldo Devedor... SD 3 = SD 2 A = , ,00 = $ ,00 (após o pagameto da prestação) E assm por date até a últma prestação. Temos etão o plao de pagametos coforme a tabela abaxo: Tabela de Parcelameto AMORTIZAÇÃO CONSTANTE SAC t 0 Juros (J t ) Amortzação (A t ) Prestação (PMT t ) Saldo Devedor após pagto.prest. (SD t ) 6.000, , , , , , , , TOTAL Mas faclmete, sem ecessdade da motagem da tabela podemos calcular os valores com o uso de fórmulas: 62

64 Cálculo da Prmera Prestação Razão Decrescete das Prestações (P.A.) PV0 PV0 P =.(. + ) RD =. << ou >> RD = A. Cálculo da Prestação: (do período t ) P t = A t + Jt PV0 Pt =.[+. ( + t) Cálculo da Amortzação (costate os períodos) PV0 A = Cálculo do Juro: (cluído o período t ) t Jt = SDt. Jt = PV0.. Cálculo do Saldo Devedor, após o pagameto da prestação t t SD t = PV0. SD t = A. ( t) Cálculo do Saldo Devedor, ates do pagameto da prestação t t SDt = PV0. SD t = A. ( t + ) Cálculo do Motate pago, após o pagameto da prestação t Cálculo do total dos Juros Pagos até o período t PV( 0) 2 t + M( t ) =.t J t =.A.t 2 63

65 6.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Por este sstema, o devedor paga o empréstmo em prestações, que são formadas pela méda artmétca etre os valores ecotrados para as prestações o sstema de prestações costates e o sstema de amortzação costate. Assm também os juros, amortzações e saldo devedores são a méda artmétca etre os dos sstemas. Normalmete somete as prestações são calculadas por este método. Cosderado-se como PMT o valor da prestação pelo sstema de prestações costates (também chamado de PRICE), e Pr, Pr 2, Pr 3, Pr 4,...Pr o valor das prestações pelo sstema de amortzação costate (SAC). Temos etão que o valor da Prestação pelo ' PMT + Prt SAM é: Pt = 2 Exemplo 6.4: Calcular os valores de juros e amortzações referetes às prestações de um empréstmo para ser lqudado pelo sstema SAM, em 8 prestações mesas guas, a uma taxa de 5% a.m., o valor de $ ,00. Prmera prestação: Prestação... P = (PMT + Pr ) 2 = (8.566, ,00) 2 = $ 9.783,3 Juros (SD 0 =PV 0 )... J = SD 0. = ,00. 0,05 = $ 6.000,00 Amortzação... A = P - J = 9.783, ,00 = $ 3.783,3 Saldo Devedor... SD = SD 0 A = , ,3 = $ 06.26,69 (após o pagameto da prestação) Seguda prestação: PMT + Pr 8.566,62 + Prestação... P = (PMT + Pr ) 2 = (8.566, ,00) 2 = $ 9.408,3 Juros (SD 0 =PV 0 )... J = SD 0. = 06.2,69. 0,05 = $ 5.30,83 Amortzação... A = P - J = 9.408,3 5.30,83 = $ 4.097,48 Saldo Devedor... SD 2 = SD A = 06.2, ,48 = $ 92.9,2 (após o pagameto da prestação) Tabela de Parcelameto SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA - SAM t 0 Juros (J t ) Amortzação (A t ) Prestação (PMT t ) Saldo Devedor após pagto.prest. (SD t ) 6.000, , , , , , ,3 92.9, TOTAL 64

66 6.5 EXERCÍCIOS - AMORTIZAÇÃO. Um equpameto fo comprado por $50.000,00 para serem pagos sem etrada em 6 parcelas mesas a uma taxa de juros de 3% a.m. Elabore uma plalha de pagametos para cada um dos sstemas, SAF, SAC e SAM. 2. Cosderado-se o exercíco acma, qual é o mometo que as prestações toram-se guas? 3. Elabore as plalhas SAF, SAC e SAM, cosderado-se que além das codções acma foram dados 3 meses de carêca para o prmero pagameto. 4. Um facameto o valor de $ ,00 fo lberado para compra de máqua de tecelagem, para ser amortzado em 24 meses pela Tabela Prce, a uma taxa aual de 8% captalzados mesalmete, determe: A) o Valor Devedor ao fal o 5 o mês; B) o Valor dos juros e da Amortzação referetes ao 0 o pagameto; 5. Uma empresa cosegue um facameto de $ ,00 para serem pagos em 6 aos em pagametos trmestras pelo sstema SAC de amortzação a uma taxa de juros aual efetva (captalzada) de 9,252%. A) calcular o valor da prmera prestação e a razão decrescete dos pagametos; B) calcular o valor da 0 a e da 20 a prestação; C) calcular a amortzação e os juros referetes a 5 a prestação; D) calcular o motate pago e total dos juros após o pagameto da 7 a prestação. 7. Um móvel fo facado adqurdo por $00.000,00 em 80 meses à taxa de % ao mês, determar o valor das segutes prestações 60 a, 90 a, e 20 a, para os sstemas SAF, SAC e SAM. 8. Tedo como base o exercíco ateror determar pelos sstemas SAF e SAC calcular: A) o valor do Amortzação e do Juro após o pagameto das prestações 60 a, 90 a, e 20 a. B) o valor dos Juros e da Amortzação acumuladas após o Pagameto das prestações 60 a, 90 a, e 20 a. 65

67 HP-2C - AMORTIZAÇÃO A HP-2C permte o cálculo de amortzações, pelo SAF (Sstema Fracês de Amortzação e pelo Sstema Prce, ambos trabalham com prestações costates. A calculadora possu fuções que permtem o cálculo dos pagametos referetes ao prcpal, juros, bem como o saldo devedor do empréstmo, após um ou város pagametos. INSTRUÇÕES DE USO: Istrução teclas Lmpar as memóras f CLEAR FIN 2. Dgta-se a taxa de juros I- se for a taxa efetva pressoe valor% Ou se for a taxa omal aual (com captalzação mesal) valor% g 2 3. Dgta-se o prcpal PV valor PV 4. Dgta-se o prcpal PMT valor CHS PMT 5. Dgta-se o tpo de operação - se postecpada (mas comum) g END - se postecpada g BEG 6. Dgta-se o úmero de pagametos a serem amortzados valor 7. Para car os cálculos e obter a parte do pagameto ref. aos juros f AMORT 8. Para obter a parte dos pagametos ref. ao prcpal, pressoe x >< y 9. Para obter o úmero de pagametos amortzados (trod.o tem 6) R R 0. Para obter o saldo devedor restate RCL PV. Para obter o úmero total de pagametos amortzados RCL Exemplo : Uma pessoa quer comprar uma casa tomado um empréstmo de R$50.000,00, a juros omas de 3,20% ao ao com captalzação mesal. Os pagametos ecessáros deverão ser de R$57,46 (ao fal de cada mês). Calcule as partes referetes aos juros e ao prcpal do prmero ao de pagametos Istrução teclas vsor Lmpar as memóras f CLEAR FIN 0,00 2. Dgta-se a taxa de juros omal 3,20 g 2,0 3. Dgta-se o prcpal PV PV ,00 4. Dgta-se o prcpal PMT 573,35 CHS PMT -57,46 5. Dgta-se o tpo de operação - (postecpada) g END -57,46 6. Dgta-se o. e obtêm-se juros o período 2 f AMORT ,83 7. Para obter a parte do prcpal pago o período x >< y -273,69 8. Para obter o saldo devedor restate CRL PV ,3 9. Para obter o úmero total de pagametos amortzados RCL 2, Observação: ao troduzr um úmero e em seguda pressoar f AMORT este úmero será terpretado pela calculadora como sedo o úmero de pagametos realzados após quasquer úmeros de pagametos que já teham sdo amortzados. CÁLCULOS DE FINANÇAS Exemplo 2: (cotuação do ex.) Calcule os valores relatvos ao juro e prcpal pago o segudo ao, bem como o saldo restate e úmero total de pagametos efetuados.. Istrução teclas vsor 6. Dgta-se o. e obtêm-se juros o período 2 f AMORT ,43 7. Para obter a parte do prcpal pago o período x >< y Para obter o saldo devedor restate RCL PV 49.44,22 9. Para obter o úmero total de pagametos amortzados RCL 24, Exemplo 3: Retomado o plao de amortzação agora se pretede calcular para os mesmos dados a amortzação referete aos 2 prmeros meses.. Istrução teclas vsor. Recompor o valor orgal de PV PV ,00 2. Faz-se úmero de meses gual a zero 0 0,00 3. Dgta-se o. e obtêm-se juros do o. mês f AMORT -550,00 4. Para obter a parte do prcpal pago o o. mês x >< y -2,46 5. Dgta-se o. e obtêm-se juros do 2o. mês f AMORT -549,76 6. Para obter a parte do prcpal pago o 2o. mês x >< y -2,70 7. Para obter o saldo devedor restate RCL PV ,84 8. Para obter o úmero total de pagametos amortzados RCL 2, Exemplo 3: Para um facameto do mesmo valor, com a mesma taxa (do exemplo ) mas para ser pago em 5 aos (80 meses), calcular o valor do juro e do prcpal pago os dos prmeros meses, bem como o saldo devedor.observações: como a taxa de juros é a mesma ão se zera os regstros, recompõe-se o PV, troduz-se o úmero de parcelas e calcula-se o ovo PMT.. Istrução teclas vsor. Recompor o valor orgal de PV PV ,00 2. Dgta-se o úmero de parcelas 80 80,00 3. Calcula-se o ovo PMT PMT -639,22 2. Faz-se úmero de meses gual a zero 0 0,00 3. Dgta-se o. e obtêm-se juros do o. mês f AMORT -550,00 4. Para obter a parte do prcpal pago o o. mês x >< y -89,22 5. Dgta-se o. e obtêm-se juros do 2o. mês f AMORT -549,02 6. Para obter a parte do prcpal pago o 2o. mês x >< y Para obter o saldo devedor restate RCL PV ,58 8. Para obter o úmero total de pagametos amortzados RCL 2, Observações:. Os cálculos de amortzação serão arredodados coforme o úmero de casas decmas que estver vgete o vsor, o mometo em que for apertada a fução f AMORT ; 2. Para obter o arredodameto com um úmero dferete, ates de executar a fução de cálculo específca f AMORT, deverá ser dgtado f segudo do úmero de casas decmas que se quer trabalhar. 66

68 7. ANÁLISE DE INVESTIMENTOS MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA 7. INTRODUÇÃO Va de regra, os recursos de captal são escassos frete a grades possbldades de vestmetos, assm sedo estes devem ser racoalzados. A aálse préva de vestmetos através de métodos de avalação de fluxos de caxa especas forecem dados aos tomadores de decsão para que estes possam escolher o projeto mas adequado. Abordaremos téccas que detfcam as melhores opções, levado em cosderação o valor moetáro dos projetos ao logo do tempo. Eles estão lgados a comparações de valores. Os fluxos futuros são trasportados para o presete e comparados. Detre os métodos mas cohecdos e dfuddos para avalação de fluxo de caxa, e por cosegute para a aálse de vestmetos temos: a) VPL (NPV) = VALOR PRESENTE LÍQUIDO (Net Preset Value) b) TIR (IRR) = TAXA INTERNA DE RETORNO (Iter Rate of Retur) Para etedermos os cocetos acma devemos recordar que um fluxo de caxa represeta as etradas e saídas de captas ao logo do tempo. Etradas de captas são represetadas por setas apotada para cma (+) e saídas de captas são represetadas por setas apotadas para baxo (-). CFO CF CF2 CF3 CF4 CF FLUXO DE CAIXA CF=CASH FLOW (FLUXO DE CAIXA) Estes métodos cosstem em proceder-se uma comparação dos fluxos futuros (redas/recetas ou despesas/pagametos) com um fluxo cal (mometo 0 zero). Para esta comparação traz-se os valores futuros para valores presetes pelo sstema de captalzação composta. NOTAS 67

69 7.2 VALOR PRESENTE CÁLCULOS DE FINANÇAS FV O valor presete de um valor futuro é obtdo pela fórmula geral: PV = ( +. Geeralzado, temos que o valor presete de uma sére de pagametos (uformes ou ão) é dada soma dos valores trazdos ao presete, a uma taxa cohecda, dos valores futuros que compõem a sére de pagametos ou recebmetos. Ode: CF (valor do fluxo de caxa) = FV (valor futuro do pagameto), etão, CF CF2 CF3 CF4 CF PV = (+ ( + ( + (+ (+ temos portato: PV = CF j j j= Exemplo 7.: Uma empresa egocou uma certa quata com um baco, para seu captal de gro, esta quata deverá ser paga parceladamete da segute forma: $25.000,00 em 45 das; ,00 em 70 das e $50.000,00 em 95 das. Calcular o Valor Presete desta operação, cosderado-se que a operação fo realzada cosderado-se uma taxa de 3%a.m. FLUXO DE CAIXA: PV Exemplo 7.2: Qual o valor presete de um fluxo de caxa que prevê os segutes retoros para os quatro próxmos aos: $50.000,00, $ ,00, ,00 e $ ,00, cosderado-se que a empresa teha defdo como taxa de descoto (taxa de vabldade de egóco, taxa de retabldade esperada) para os valores esperados em 0% a.a. FLUXO DE CAIXA: 0 PV

70 7.3 VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL (NET PRESENT VALUE - NPV) O Valor Presete Líqudo é uma técca de aálse de fluxos de caxa. Cosste em, a uma taxa cohecda, trazer-se a valor presete os valores do fluxo de caxa e deduzr-se deste somatóro o valor do fluxo cal (valor do vestmeto, facameto ou empréstmo). Temos portato: VPL ( NPV ) CF j = j j= CF ode: CF j = represeta os dversos valores do fluxo de caxa ao logo do tempo (j=,2,3,4,...) CF o = represeta o fluxo cal = taxa de juros da operação facera, taxa de retoro do projeto de vestmeto, taxa de atratvdade, etc... Através do valor ecotrado para o VPL, podemos coclur que: VPL (NPV) > 0 (postvo), a taxa de retoro é maor que a desejado (projeto vável) VPL (NPV) = 0, a taxa de retoro é gual a taxa desejada. VPL (NPV) < 0 (egatvo) a taxa de retoro é meor que a desejada ( para esta taxa o projeto é vável) 0 Exemplo 7.3: Cosderado-se que o Exemplo o captal de gro que a empresa retrou fo de $00.000,00, qual é o Valor Presete Líqudo (VPL = NPV) da operação. Exemplo 7.4: Cosderado-se que o Exemplo 7.2, o captal a ser vestdo calmete pela empresa para o fluxo prevsto se realze é de $ ,00,qual é o Valor Presete Líqudo (VPL = NPV) da operação. 69

71 7.4 TAXA INTERNA DE RETORNO -TIR (INTERN RATE OF RETURN -IRR) A Taxa Itera de Retoro, é aquela que em um determado mometo (ormalmete o valor presete) guala os fluxos de etrada e de saída do caxa. Para aálse de projetos ( facametos, vestmetos ou empréstmos) a TIR é ormalmete calculada o mometo zero, ou seja os fluxos são trazdos a valor presete. Portato, a TIR é dada pela equação que guala o fluxo de caxa cal( FC 0 ), o mometo zero com o somatóro dos demas valores do fluxo de caxa trazdos ao presete. Portato temos: CF CF2 CF3 CF4 CF CF0 = (+ (+ ( + (+ (+ etão: CF j CFj CF 0 = j CF0 = 0 j j= + j= + ( ) ( ) TIR (IRR) É A TAXA QUE FAZ VPL (NPV) = 0 Se saldo da equação (VPL (NPV) ) > 0, a taxa utlzada ( é meor que a TIR (IRR) Se saldo da equação (VPL (NPV) ) = 0, a taxa utlzada ( é a TIR (IRR) Se saldo da equação (VPL (NPV) ) < 0, a taxa utlzada ( é maor que a TIR (IRR) Para calcular-se a TIR, calcula-se, por aproxmação, estabelece-se uma taxa e calcula-se o VPL,, calcula-se tatas vezes quatas ecessáras, até que tehamos duas taxas com VPL próxmo a zero, uma maor que zero e a outra meor que zero, etão terpola-se para ecotrar a TIR. Esta terpolação pode ser feta através da segute fórmula: VPL (DA TAXA INF). ( SUP - INF ) TIR (IRR) = INF VPL (DA TAXA INF) - VPL (DA TAXA SUP) ode: SUP = taxa superor e VPL (DA TAXA SUP) = VPL calculado com a taxa superor ( SUP ) INF = taxa feror e VPL (DA TAXA INF) = VPL calculado com a taxa feror ( INF ) NOTAS 70

72 Exemplo 7.5: Cosderado-se os dados dos Exemplos 7. e 7.3. Qual a taxa tera de retoro (TIR(IRR))? Exemplo 7.4: Cosderado-se dados dos Exemplos 7.2 e 7.4, qual é a taxa tera de retoro(tir(irr) )? Calculado pela HP: CÁLCULO DA TIR (IRR) DADOS TECLAS VISOR [ f ] [ FIN] [CHS] [ g ] [ CF 0] , [ g ] [ CF J] , [ g ] [ CF J] , [ g ] [ CF J] , [ g ] [ CF J] ,00 [ f ] [ IRR] 2,73 [ f ] [ 4] 2,7259 7

73 UTILIZANDO O EXCEL: Qual o Valor Presete Líqudo (VPL = NPV) de um fluxo de caxa que prevê os segutes retoros para os quatro próxmos aos: $50.000,00, $ ,00, ,00 e $ ,00, cosderado-se que a empresa teha defdo como taxa de descoto (taxa de vabldade de egóco, taxa de retabldade esperada) para os valores esperados em 0% a.a. e que o captal a ser vestdo calmete pela empresa para o fluxo prevsto se realze é de $ ,00? 72

74 Com os dados do fluxo do exemplo ateror, calcular a Taxa Itera de Retoro do projeto.- (TIR = IRR) 73