2. INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS FACTORIAIS
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- Derek Chagas Barreiro
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1 . NRODUÇÃO AOS MÉODOS FACORAS CONCEOS GEOMÉRCOS. NÉRCA. Os métodos factoras de Aálse de Dados permtem descreer matrzes (segdo o modelo do Qadro Q da Fg..) de dmesão (, p) qe represetam os alores tomados por p propredades em dídos; x j é o alor tomado pela propredade (aráel) j o dído (amostra). A matrz pode ser tomada segdo as lhas o segdo as colas: - Cada lha de é m ector qe represeta a posção de m dído o espaço das propredades R p. - Cada cola de é m ector qe represeta a posção de ma propredade o espaço dos dídos R Assm a matrz pode ser assmlada a das es de potos dsttas, coforme o espaço escolhdo, como se pode salzar o exemplo esqemátco da Fg... P P P R p R P P P Fg.. - Represetação das es em R p e R. Qado o úmero de dídos e propredades é eleado, ão é possíel detectar a estrtra da em em estdo sem procrar dmr a dmesão do espaço, objecto comm dos áros métodos de Aálse Factoral de Dados. 7
2 Esta redção de dmesão dee assegrar ma perda de formação míma, sto é, o sb-espaço a pesqsar tem de garatr a meor deformação possíel da em cal. Seja ma em costtída por potos x com coordeadas x j e massa m. O cetro de gradade da em é dado por g m x A méda poderada pelas massas dos dídos da aráel j, dada por g j m x j costt a j-ésma compoete do cetro de gradade da em dos dídos. Em partclar, se m em g j x j x j A érca da em em relação a m poto a é dada por: a m ( x a) Note-se a eqalêca etre a arâca da aráel j e a érca em relação ao se cetro de gradade g j ( xj g j ) A matrz de érca, dada por: V m ( x g) ( x g) é o eqalete geométrco da matrz arâca-coarâca (fazedo qe a érca em relação ao cetro de gradade se pode escreer: m ). Note-se g tr(v ) jj 8
3 Seja W m sb-espaço ectoral de R p e W o se splemetar ortogoal. Etão qalqer ector x de R p pode decompor-se, de forma úca, a soma de ectores: x y + z, p x R ; y W ; z W com y e z ortogoas ( y z ). Se o cetro de gradade da em cocdr com a orgem temos w m z w m y Como os dos espaços são ortogoas em (eorema de Ptágoras): + g w w ANÁLSE GERAL Aálse em R p Pretede-se ajstar a em de potos por m sb-espaço ectoral mdo da dstâca ecldeaa sal. Comecemos por procrar a recta F, passado pela orgem, qe melhor ajsta a em, segdo o crtéro dos mímos qadrados. Seja, m ector táro sobre a recta, sto é, tal qe o j Cada lha de represeta m poto em R p. A matrz represeta as projecções dos potos em F (d. Fg..). p j 9
4 Fg.. - Projecção de m poto m ector. O qadrado da dstâca de m poto x à orgem decompõe-se a soma do qadrado da projecção em F (x ) com o qadrado da dstâca a F (d ). Mmzar a perda de érca é eqalete a mmzar a soma dos qadrados das dstâcas a F, o maxmzar a soma dos qadrados das projecções em F, dada por ( ) Ecotrar a recta qe melhor se ajsta a em tradz-se em maxmzar a forma qadrátca sjeta ao costragmeto. Para ecotrar o máxmo daqela forma qadrátca formemos a lagrajeaa L e deremo-la em ordem a L - λ ( - ) dl d - λ - λ (.) Cocl-se pos qe é m ector própro de e λ, qe lhe está assocado, é o maor alor própro. Este alor própro é o máxmo procrado como se pode er prémltplcado (.) por - λ λ (.) 0
5 Procremos agora o espaço a das dmesões qe melhor ajsta a em. rata-se de ecotrar ma recta F defda pelo ector táro ( ) perpedclar a ( ). Neste caso a lagrajeaa toma a forma L - λ ( - ) - θ (.) dl d Pré-mltplcado (.4) por em: Pós-mltplcado (.) por em: Sbsttdo em (.5) em: - λ θ (.4) - λ θ θ (.5) λ λ λ θ Como, da eqação ateror reslta qe o segdo parâmetro de Lagrage θ é lo. Em coseqêca (.4) trasforma-se em - λ - λ Assm é o ector própro assocado ao segdo maor alor própro de. Geeralzado mostra-se qe De otar qe tr( ) λ. - λ Assm o sb-espaço ectoral de dmesão p r < p qe melhor ajsta a em, segdo m crtéro de mímos qadrados, é egedrado por ma base costtída pelos p r ectores própros assocados aos p r maores alores própros de.
6 Aálse em R. Fórmlas de trasção. Cada cola da matrz represeta agora m poto em R, o qe codz a ma em de p potos. Procremos o ector táro qe maxmza a soma dos qadrados das projecções dos potos sobre a recta G a ele assocado. Pretede-se agora maxmzar a forma qadrátca segte ( ) ( ) De ma forma semelhate à tlzada para a aálse em R p erfca-se qe é o ector própro correspodete ao máxmo alor própro de. No caso geral rá: - µ Procremos as relações etre os alores e ectores própros de e. Da aálse em R p e R, reslto respectamete: - λ (.6) - µ (.7) Pré-mltplcado a eqação (.6) por em λ (.8) A relação (.8) mostra qe são ectores própros de, sedo λ os respectos alores própros. Comparado (.6) e (.7), erfca-se qe λ cocde com µ, porqe são os alores própros da mesma matrz. Comparado (.7) e (.8) erfca-se qe e são proporcoas, pos são ectores própros da mesma matrz: k (.9) Pré-mltplcado (.7) por e comparado os resltados com (.6) erfca-se aalogamete a proporcoaldade etre e : k (.0) Pré-mltplcado (.9) e (.0) respectamete por e temos k ka (.) k k a
7 com a ( ) Dode reslta qe k k k. Pré-mltplcado (.0) por, em k qe, atededo a (.), é eqalete a Sbsttdo em (.) em k λ k λ k k λ k λ Dode, sbsttdo em (.9) e (.0), em: λ λ (.) Estas fórmlas de trasção de m espaço a otro são de grade mportâca pos smplfcam o estdo das das es. É sfcete a dagoalzação de apeas ma das matrzes o, ormalmete a de meor dmesão.
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