Probabilidade II Aula 10

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1 Probabldade II Aula 0 Mao de 009 Môca Barros, D.Sc. Coteúdo Esperaça Matemá (Valores esperados) Mometos e Mometos Cetras Valores esperados de uma fução de Covarâca e Correlação Matrz de covarâca, matrz de correlação Médas e varâcas de combações leares de v.a. Portfolos (Carteras) e rsco A dstrbução Normal bvarada Esperaça a matemá Mometos Servem para caracterzar uma dstrbução de probabldade ou uma amostra. Aqu estaremos teressados apeas os mometos da dstrbução (e ão os mometos amostras). Esperaça a matemá Defção (k-ésmo mometo) O k-ésmo mometo de, ou k-ésmo mometo da dstrbução de, deotado por E( k ) é defdo por: E k ( ) k x. f ( x) k x. f dx se é v.a. cotíua k ( x) x.pr( x) se é v.a. dscreta Acma k é um tero maor ou gual a zero. Em partcular, se k 0, E( 0 ) E(). 3 4

2 Esperaça a matemá Defção (méda ou valor esperado) A méda (ou valor esperado ou prmero mometo) de uma varável aleatóra é defda como: µ E ( ) x. f ( x) x. f dx se é v.a. cotíua ( x) x.pr( x) se é v.a. dscreta Esperaça a matemá Podemos combar a defção do k-ésmo mometo e a defção da méda para produzr o k-ésmo mometo cetral, como a segur: E k ( µ ) ) k ( x µ ). f ( x) dx se é v.a. cotíua k k ( x µ ). f ( x) ( x µ ).Pr( x) se é v.a. dscreta A méda de uma varável aleatóra é uma medda de tedêca cetral da dstrbução de probabldade desta varável aleatóra. Em partcular, se k : E( µ) 0, ou seja, o prmero mometo cetral é sempre ulo. 5 6 Esperaça a matemá Se k etão: ( µ ) ( µ ) ( ). ( ) µ. ( ) E x f x dx x f x dx f x dx x. f ( x) dx µ f ( x) dx x. f ( x) dx µ ( ) µ µ 0 (Idem para o caso dscreto) Esperaça a matemá Defção (Varâca) A varâca de uma varável aleatóra mede a dspersão da dstrbução de probabldade, e é defda como o o. mometo cetral: VAR( ) E (( ) ) σ µ ( x µ ). f ( x) dx se cotíua ( x µ ). f ( x) ( x µ ).Pr ( x) se dscreta 7 8

3 Esperaça a matemá Valor esperado de uma fução de uma v.a. Seja uma v.a. com desdade (ou fução de probabldade f(x)). Seja g() uma fução qualquer de. Etão, o valor esperado de g() (se exstr) é dado por: E ( g( )) g( x) f ( x) dx g( x) f ( x) g( x) Pr( x) 9 Esperaça a matemá Note que, para calcularmos E{g()} ão é ecessáro cohecer a dstrbução da v.a. g(). Também, se g() k, a expressão ateror os dá o k-ésmo mometo, e se g() (-µ) k obtemos o k-ésmo mometo cetral. 0 Esperaça a Matemá A defção de valor esperado pode ser faclmete estedda a dstrbuções cojutas de varáves aleatóras. Aqu os cocetraremos o caso bvarado. Esperaça a Matemá E g( x, y) f ( x, y) dxdy { g(, Y )} g( x, y) f ( x, y) Por exemplo: + + todo y todo y g( x, y) Pr( x, Y y) Em geral, se f(x,y) é a desdade (ou fução de probabldade cojuta) de e Y etão: E x. y. f ( x, y) dxdy { Y} x. y. f ( x, y) + + todo y todo y x. y.pr( x, Y y)

4 Esperaça a Matemá E também: E { + Y} + + ( x + y) f ( x, y) dxdy ( x + y). f ( x, y) todo y todo y ( x + y).pr( x, Y y) A extesão para fuções de varáves é medata basta computar a tegral (ou somatóro) em dmesões da cojuta vezes a fução para a qual desejamos calcular o valor esperado. Esperaça a Matemá Covarâca e Correlação Já vmos a aula a defção de covarâca e correlação. (, Y ) E[ ( µ )(. Y µ Y )] E[. Y µ. Y µ Y. + µ. µ Y ] [ E(. Y ) µ. E( Y ) µ. E( ) + µ. µ ] COV E(. Y ) µ. µ Y Y Ode µ E(), µ Y E(Y) são as médas de e Y, computadas a partr das desdades margas. Y 3 4 Esperaça a Matemá Covarâca e Correlação O coefcete de correlação etre e Y, deotado por ρ, é defdo como: ρ COV (, Y ) VAR( ). VAR( Y ) Já provamos que - ρ + e ρ se, e somete se, Y é fução lear de (e vce-versa). Note que COV(, Y) COV(Y, ) ρ.dp().dp(y) ode dp(.) dca o desvo padrão da varável. Esperaça a Matemá Matrzes de Covarâca e de Correlação Estas déas podem ser esteddas para um cojuto de varáves aleatóras,,...,. Seja o vetor de dmesão x cuja -ésma lha é. Etão, a matrz de covarâca de é a matrz x cujo j-ésmo elemeto é COV(, j ). 5 6

5 Esperaça a Matemá Matrzes de Covarâca e de Correlação Das propredades da covarâca, segue que os elemetos da dagoal prcpal da matrz de covarâca são guas às varâcas dos s. Também, como COV(, j ) COV( j, ), a matrz de covarâca é smétrca. Esperaça a Matemá Matrzes de Covarâca e de Correlação Etão, a matrz de covarâca é a matrz x com a forma: var( ) Cov(, )... Cov(, ) Cov( var( Cov(, )..., ) )... Cov( Cov(... var(,, ) ) ) 7 8 Esperaça a Matemá Matrzes de Covarâca e de Correlação A matrz de correlação é a matrz x cujo jésmo elemeto é o coefcete de correlação etre e j. Note que o coefcete de correlação etre e j é gual ao coefcete de correlação etre j e e etão a matrz de correlação também é smétrca. Esperaça a Matemá Matrzes de Covarâca e de Correlação Logo, a matrz de correlação tem a forma: Corr(, )... Corr(, ) Corr( Corr(,......, ) ) Corr( Corr(...,, ) ) E os elemetos da dagoal prcpal? São todos guas a um. (Por que?) 9 0

6 Combações Leares de v.a. Idepedetes Objetvos Dados,,..., depedetes (mas ão ecessaramete demete dstrbuídos) tas que: E( ) µ e VAR( ) σ, ecotrar a méda e a varâca de: Y a 0 + a em fução dos mometos dos s. Note que, a defção de Y, os a 's são costates. Também, a depedêca dos s assegura que todas as covarâcas (e correlações) são ulas. Combações Leares de v.a. Idepedetes A méda de Y é: E( Y ) Ea0 + a + 0 a. µ A varâca de Y é: VAR( Y ) ode a. a0 + ode µ E( ) a. E( ) Note que a costate a 0 ão afeta a varâca, e os outros a s aparecem ao quadrado (por que?). a. VAR( ) VAR( ) σ a. σ A soma de v.a. depedetes Sejam,,..., v.a. depedetes mas ão ecessaramete demete dstrbuídas. Seja: Y A soma de v.a. depedetes Etão a méda de Y é: E ( Y ) E E( ) µ ode µ E( A varâca de Y é: VAR( Y ) VAR( ) σ ode VAR( ) σ ) 3 4

7 A Méda M Amostral Sejam,,..., v.a. depedetes e demete dstrbuídas (d). Em partcular, o fato dos s serem d mplca em E( ) µ, VAR( ) σ e COV(, j ) 0 para todo par,j. Cosdere a méda amostral calculada a partr destes s, sto é: 5 A Méda M Amostral Para que serve a méda amostral? Supoha que exste esta coleção de s, todos eles d, ou seja, todos eles provêm da mesma desdade ou fução de probabldade. Supoha que a méda desta desdade é µ, um úmero descohecdo. A méda amostral é um estmador sesato para a méda da dstrbução (µ), quado esta últma for descohecda. 6 A Méda M Amostral Podemos ecotrar a méda, varâca e fgm da méda amostral como casos partculares dos resultados para combações leares de varáves depedetes. É fácl mostrar que: E µ µ µ ( ) E( ) (A mesma que a méda de qualquer ) A Méda M Amostral Mas, a varâca da méda amostral é: VAR ( ) VAR ( ) σ (A varâ ca de é meor que a de, desde que usemos mas de uma observação!) Moral da hstóra: é vatajoso usar a méda amostral para chutar a méda da desdade dos s, pos ela mplca uma redução da varâca se comparada ao uso de um sozho. σ 7 8

8 A Méda M Amostral Estes resultados justfcam o uso da méda amostral como um estmador sesato de µ. Note que, à medda que tomamos uma amostra cada vez maor ( cresce), a varâca da méda amostral decresce, ou seja, a dspersão do estmador decresce. Além dsso, a méda de é µ, que é a quatdade que ele pretede estmar. 9 Combações Leares de v.a. Depedetes Este é um caso mas geral (e mas complcado que o ateror). Supoha que E( ) µ, VAR( ) σ, e COV(, j ) ρ j.σ.σ j 0 para algum par,j. Queremos ecotrar a méda e a varâca de Y defdo como: Y a + a 0 30 Combações Leares de v.a. Depedetes A expressão da méda é a mesma que o caso ateror (varáves depedetes), sto é: E( Y ) Ea0 + a + 0 a. µ a. a0 + ode µ E( ) a. E( ) A expressão para a varâca tora-se mas complcada, pos deverá levar em cota as terdepedêcas etre as varáves. Pode-se mostrar que: Combações Leares de v.a. Depedetes ( ) ( ). ( ) + j, j j VAR Y a VAR a a COV a σ aa jρjσ σ j j. + ode o o. termo j ode ρ j é o coefcete de correlação etre e Ou seja, a depedêca etre os s leva à preseça de um termo adcoal o cálculo da varâca, devdo às covarâcas etre os dversos s. j 3 3

9 Combações Leares de v.a. Depedetes A expressão ateror, que os dá a varâca de uma combação lear de varáves depedetes, é essecal para medr o rsco de um portfolo ou cartera, como veremos mas tarde. Na verdade, a depedêca etre atvos faceros (que são varáves aleatóras) pode ser usada de maera provetosa para reduzr o rsco de um portfolo, um processo que chamamos de dversfcação. Portfolos (Carteras) Cosdere uma coleção de atvos faceros. Um portfolo (ou cartera) é apeas uma combação lear destes atvos a qual a soma dos pesos é (ou 00%). Algumas vezes requer-se também que todos os pesos sejam postvos, mas sso ão é estrtamete ecessáro Retoro Artmétco tco Supoha que P t seja o preço de um atvo o state t. O retoro (artmétco) deste atvo etre os states t- e t é: Pt P RAt P t t Em Faças quattatvas, o retoro artmétco é pouco empregado, pos possu um grave coveete: como o preço de um atvo ão pode ser meor que zero, o retoro artmétco tem um valor mímo (quado P t 0), gual a. 35 Retoro Geométrco Em Faças, os retoros serão tratados como varáves aleatóras, e um dos modelos mas smples supõe que os retoros são Normas (que remos estudar o capítulo 7 do meu lvro de Probabldade). Mas, uma v.a. Normal é lmtada. Etão, o que fazer? Trabalhar com o retoro Geométrco, defdo como: P t R l t l( Pt )- l( Pt- ) Pt 36

10 Retoro Geométrco O retoro geométrco é defdo em toda a reta, etão pode-se modelá-lo pela dstrbução Normal. Retoros Geométrcos são adtvos. Por exemplo, se queremos ecotrar o retoro etre os das e 4: P 4 P4 P3 P P4 P3 + + P R,4 log l l l l P P3 P P P3 P P Ou seja, o retoro Geométrco etre os das e 4 é apeas a soma dos retoros geométrcos dáros o período. Se a varação do período é pequea, os retoros geométrco e artmétco são aproxmadamete guas. 37 Rsco e Retoro de um Portfolo Sejam,,..., os retoros de atvos, tas que E( ) µ, VAR( ) σ, e COV(, j ) ρ j.σ.σ j 0. Seja P uma cartera, sto é: P w ode w Qual o retoro esperado da cartera, e qual o seu rsco (meddo pela sua varâca ou desvo padrão)? Tudo sso pode ser ecotrado a partr dos resultados mostrados esta aula. 38 Rsco e Retoro de um Portfolo O retoro esperado (ou retoro médo) do portfolo é: E ( P) w E( ) O rsco do portfolo é dado pela sua varâca (ou, preferecalmete, pelo seu desvo padrão, que está as mesmas udades que o retoro). w µ Rsco e Retoro de um Portfolo VAR( P) ode ρ j é w σ +. j w w ρ σ σ o coefcete de correlação etre e j Qual o efeto do segudo termo a equação acma? Iage que coseguíssemos ecotrar atvos com correlações egatvas. O efeto destes termos sera a redução da varâca do portfolo! Isto é o que está por trás da déa de dversfcação. A gete pode reduzr o rsco sem, ecessaramete, dmur o retoro. j j j 39 40

11 Rsco e Retoro de um Portfolo A otmzação de um portfolo é feta escolhedo-se os pesos w 's tal que alguma restrção é satsfeta. Um caso típco é: ecotre os pesos tal que, para um retoro especfcado, o rsco é mímo. Pode-se reescrever este problema como: Dado E(P) costate, ecotre os pesos w (,,...) sujetos à restrção w e que mmzem VAR(P). 4 Exemplo A segur trabalhamos com retoros dáros e costruímos portfolos compostos pelas segutes ações: TNLP4 (Telemar PN) ARCZ6 (Aracruz Celulose PN) Os retoros dáros (geométrcos) foram calculados etre //00 e 9/0/003. O gráfco a segur apreseta a evolução dos preços das duas ações o período. 4 Exemplo Exemplo 9.00 ARACRUZ E TELEMAR PN DESDE NOV/ O hstograma dos retoros dáros de ARCZ6 é: Hstograma - retoros dáros ARCZ ARCZ TNLP4 Freqüêca //00 30//00 0//00 5/0/00 05/0/00 7/0/00 9/03/00 09/04/00 9/04/00 0/05/00 0/06/00 8/06/00 9/07/00 08/08/00 8/08/00 7/09/00 07/0/00 5/0/00 4//00 05//00 7//00 0/0/003 07/0/003 7/0/003 /03/003 0/04/003 05/05/003 3/05/003 /06/003 03/07/003 4/07/003 3/08/003 0/09/003 /09/003 0/0/003 ARCZ6 (ARACRUZ PNB) TNLP4 (TELEMAR PN) % -8.5% -7.68% -6.84% -6.0% -5.7% -4.33% -3.50% 44 Bloco -.66% -.8% -0.99% -0.5% 0.69%.53%.36% 3.0% 4.04% 4.87% 5.7% 6.55% 7.39% 8.% Mas

12 Exemplo A correlação etre os retoros de TNLP4 e ARCZ6 é 0.53, e a méda e o desvo padrão dos retoros de cada uma das séres é: Retoros ARCZ6 TNLP4 méda 0.% 0.05% d,p..48%.5% Seja P α.arcz6 + (-α)tnlp4 o portfolo formado por α% de Aracruz e (-α)% de Telemar. Como varam o retoro esperado e o rsco do portfolo à medda que alteramos α? 45 Exemplo α (% de ARCZ6 o portfolo) rsco do portfolo(desvo padrão) retoro esperado %.5% %.4% %.3% %.% %.3% %.06% %.99% %.94% %.90% %.88% %.87% %.87% %.89% %.9% %.97% %.03% %.0% %.8% %.7% %.37% %.48% Estes são o retoro e o rsco do portfolo computados ao logo de todo o período (sto é, usado todos os retoros dáros dspoíves) Na próxma pága exbmos este gráfco em termos de α. Qual o α que leva ao portfolo de meor rsco? Você cosegue exergar que, o caso de um portfolo com atvos, a solução para este problema pode ser obtda aalmete, e de maera bem smples? 46 Exemplo retoro do portfolo 0.0% 0.0% 0.00% 0.090% 0.080% 0.070% 0.060% 0.050% 0.040% 0.030% Retoro e Rsco do portfolo Este é o portfolo de meor rsco detre todos os portfolos possíves. Para um rsco especfcado (por exemplo,.3% como mostrado esta reta verl), exstem portfolos costruídos a partr destas ações. Qual deles você escolhera? O de maor retoro. Exemplo Você quer motar um portfolo com dos atvos que têm as segutes caracteríss: Atvo A: retoro médo 3.6%, d.p. retoro 8% Atvo B: retoro médo.%, d.p. retoro 3% Supoha o caso mas geral, ode os dos atvos têm uma correlação r qualquer. Seja w a proporção do atvo A o portfolo. 0.00%.80%.90%.00%.0%.0%.30%.40%.50%.60% rsco do portfolo (desvo padrão) 47 48

13 Exemplo Qual o retoro médo do portfolo (em percetual)? Qual a varâca do portfolo em termos de w e ρ? Qual o peso (w) do atvo A que forece o portfolo de varâca míma como fução de ρ? Exemplo O retoro médo do portfolo é, em qualquer codção: E(P) w.e(a) + (-w).e(b) 3.6w/00 + (-w)(./00) {3.6w + (.-.w)}/00(.4w+.)/00 A varâca do portfolo é, como fução de w e ρ: Exemplo Exemplo VAR( P) w. VAR( A) + ( w). VAR( B) + w( w) ρ VAR( A) w ( w) 3 00 { 64w + 9( w + w ) + 48ρ( w w )} { 64w + 9 8w + 9w + 48ρw 48ρw } { 73w 48ρw w( 8 48ρ) + 9} + w( w) ρ VAR( B) O portfolo de varâca míma é ecotrado através de: dvar( P) 8 48ρ 9 4ρ 0 (73) w 96ρw (8 48ρ) 0 w dw 46 96ρ 73 48ρ O desvo padrão do portfolo é, em qualquer caso (como fução de w e ρ): dp( P) 73w 48ρw w(8 48ρ)

14 Exemplo Calcule, esta stuação, quem é o peso ótmo e o dp do portfolo quado r 0, 0., 0., 0.3, -0., -0., A dstrbução Normal Bvarada É uma dstrbução cojuta para duas varáves e, ambas Normas e, a prcípo depedetes. A desdade cojuta é dada por: Ode R é: f ( x, x ).exp. R π ( ρ ) σ ( ρ ) σ x µ x µ x µ x µ R +. ρ.. σ σ σ σ A dstrbução Normal Bvarada Esta desdade cojuta é chamada de desdade Normal Bvarada com parâmetros µ, µ, ρ, σ, σ, ode µ e µ são úmeros reas quasquer, ρ está restrto ao tervalo (-,) e σ, σ são postvos. Se (, ) ~ N( µ, µ, ρ, σ, σ ) etão: 55 A dstrbução Normal Bvarada A desdade margal de é N(µ,σ ) A desdade margal de é N(µ,σ ) As desdades codcoas também são Normas. A desdade codcoal de dado σ x é: ( x) ~ N µ + ρ.. ( x µ ), σ.( ρ ) A desdade codcoal de dado σ x é: ( x ) ~ N µ + ρ.. ( x µ ), σ.( ρ ) σ σ 56

15 A dstrbução Normal Bvarada Dada uma desdade Normal bvarada, quas são as suas caracteríss mas mportates? Pr( a < < b, c < < d) é ecotrada pela tegral dupla da desdade Normal bvarada sobre os tervalos (a, b) e (c, d). A tegral dupla sobre todos os valores de e da desdade Normal bvarada é um. 57 A dstrbução Normal Bvarada O parâmetro ρ a desdade Normal Bvarada é o coefcete de correlação etre e. Se ρ 0, e são descorrelatados, mas da expressão da desdade Normal bvarada podemos perceber que a desdade cojuta reduz-se ao produto das desdades margas. Logo, o caso da dstrbução Normal bvarada (e apeas ele!!!!), correlação zero é equvalete à depedêca etre as duas varáves aleatóras. 58 A dstrbução Normal Bvarada Os valores esperados das desdades codcoas são fuções leares. Por exemplo: E( x ). σ µ + ρ. x µ σ ( ) Note que este valor esperado é chamado de regressão de em e este caso percebemos que a fução de regressão é uma fução lear de. A dstrbução Normal Bvarada As varâcas das desdades codcoas são costates, e ão depedem do valor da varável em que se está codcoado. Por exemplo: ( ) VAR( x ) σ. ρ que ão depede de. Na verdade, quato maor (em módulo) a correlação etre e, meor é a varâca codcoal (maor a formação que trouxe para )

16 A dstrbução Normal Bvarada Isto é, se a correlação etre as duas varáves é grade (em módulo), o cohecmeto de uma das varáves (desdade codcoal) mplca uma redução substacal da certeza (varâca) da outra. Por outro lado, se a correlação etre as varáves é pequea, o efeto de cohecer uma varável sobre a certeza a desdade codcoal é pequeo também, e a varâca codcoal está próxma da varâca da varável "sozha" ( varâca da desdade margal). No lmte, se ρ 0, as varáves são depedetes, e cohecer uma delas ão traz qualquer formação sobre a outra varável. A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo Sejam ~ N(0, ) e ~ N(0, 4). Escreva a desdade Normal bvarada este caso em fução de ρ e calcule as desdades codcoas quado ρ 0.5, -0.5, 0, 0.8, Solução x x x x f ( x, x).exp.. ρ.. + π ()() ρ ( ρ ) 6 6 A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo Lembramos ovamete que o caso ρ 0 correspode à depedêca etre e, pos este caso a desdade cojuta ateror é apeas o produto das margas, que são N(0,) e N(0,4). A desdade codcoal de dado x é Normal, com méda e varâca dadas por: 63 A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo E( x ) 0 + ρ.. ( x 0). ρ. x ( ) VAR( x ).( ρ ) 4.( ρ ) A desdade codcoal de dado x é Normal com méda e varâca dadas por: E( x ) 0 + ρ.. ( x 0 ). ρ. x ( ) VAR( x ).( ρ ) ρ 64

17 A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo A próxma tabela exbe os valores das médas e varâcas codcoas para os valores de ρ especfcados. ρ E( x) VAR( x) E( x) VAR( x) -0.8 (-.6)x 4(0.36).44 (-0.4)x (-.0)x 4(0.75) 3.00 (-0.5)x (+.0)x 4(0.75) 3.00 (+0.5)x (+.6)x 4(0.36).44 (+0.4)x A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo Da tabela otamos que, a varâca codcoal de (quado ão é levado em cosderação, ou quado as duas varáves são depedetes) é 4. Esta varâca se reduz quado o coefcete de correlação aumeta em módulo. A méda codcoal de dado x ão depede de x quado as varáves são depedetes, e é uma reta quado ρ 0. O coefcete agular desta reta vara de acordo com o valor de ρ, podedo ser egatvo ou postvo. Cometáros semelhates se aplcam à dstrbução codcoal de dado x. 66 A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo A segur mostramos desdades Normas bvaradas com µ e µ 0, σ σ (4) 6 e ρ com dversos valores. A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ -0.8 (Desdade Bvarada) Verfque e compare as curvas de ível destas desdades

18 A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ -0.8 (Curvas de Nível são ELIPSES!) A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ -0.8 (Desdade Codcoal de dado ) A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ -0.8 (Desdade Codcoal de dado ) A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ 0 (Desdade Bvarada) 7 7

19 A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ 0 (Curvas de Nível são CÍRCULOS) A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ +0.8 (Desdade Bvarada) A dstrbução Normal Bvarada - Exemplo ρ +0.8 (Curvas de Nível são ELIPSES!) Dstrbução Normal bvarada (para casa) Num certo state de tempo, as taxas de juros de 30 e 60 das têm, cojutamete, uma dstrbução Normal bvarada com médas 6% e 6.8% ao ao, e desvos padrões 4% e 5% ao ao respectvamete. A correlação etre as taxas é 90%. Calcule: 75 76

20 Dstrbução Normal bvarada (para casa) a) A probabldade da taxa de 30 das estar etre 4% e 8%. b) A probabldade da taxa de 60 das estar etre 4% e 8%. c) A probabldade da taxa de 30 das estar etre 4% e 8% sabedo que a taxa de 60 das está hoje em %. d) A probabldade da taxa de 30 das estar etre 4% e 8% sabedo que a taxa de 60 das está hoje em 5%. e) A probabldade da taxa de 60 das estar etre 4% e 8% sabedo que a taxa de 30 das está hoje em 8%. 77 Dstrbução Normal bvarada (para casa) Fez-se uma pesqusa de preços de roupas masculas um shoppg ceter. Uma amostra dos produtos exstetes revela que o preço das calças é uma varável Normal com méda R$ 80 e desvo padrão R$ 30. O preço das camsas é, por sua vez, uma varável Normal com méda R$ 60 e desvo padrão R$ 5. A correlação etre os preços de calças e camsas é 0.6. Calcule as segutes probabldades: a) De um par de calças custar etre R$ 60 e R$ Dstrbução Normal bvarada (para casa) b) De um par de calças custar etre R$ 60 e R$ 95 sabedo que uma camsa custa R$ 75 esta loja. c) De um par de calças custar etre R$ 60 e R$ 95 sabedo que uma camsa custa R$ 50 esta loja. d) Qual é a dstrbução codcoal dos preços das camsas sabedo que o preço das calças é R$ 00? e) Qual é a dstrbução codcoal dos preços das camsas sabedo que o preço das calças é R$ 70? 79