Introdução à Estatística

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1 Itrodução à Estatístca Júlo Cesar de C. Balero Estatístca É a cêca que se preocupa com: () Orgazação; () Descrção; () Aálses; (v) Iterpretações. Estatístca Descrtva Estatístca Idutva ou Estatístca Ierecal Itrodução à Estatístca

2 Algus Cocetos População É o cojuto de elemetos com pelo meos uma característca em comum. Esta característca comum deve delmtar claramete quas os elemetos que pertecem à população e quas os elemetos que ão pertecem. Amostra É um subcojuto de uma população, ode todos os seus elemetos serão examados para eeto da realzação do estudo estatístco desejado. Algus Cocetos OBJETIVO DA ESTATÍSTICA: trar coclusões sobre populações com base os resultados observados em amostras extraídas dessas populações. Varável É a característca dos elemetos da amostra que os teressa averguar estatstcamete. Ex.: varável Idade - se houver elemetos scamete cosderados o estudo, esses elemetos orecerão valores da varável dade, os quas serão tratados coveetemete pela Estatístca Descrtva e/ou pela Estatístca Ierecal. Itrodução à Estatístca

3 Tpos de Varáves As varáves de teresse podem ser classcadas em: () Qualtatvas > quado resultar de uma classcação por tpos ou atrbutos. () Quattatvas > quado seus valores orem expressos em úmeros. Podem ser subdvddas: (a) Dscretas; (b) Cotíuas. 5 Tpos de Varáves (a) Varáves Quattatvas Dscretas Assumem apeas valores pertecetes a um cojuto eumerável. São obtdos medate alguma orma de cotagem. Exemplos de Dscretas: População: Ovos da raça Sata Iês da ASCCO; Varável: úmero de corderos ao parto (, ou ). População: Bovos Nelore da Agro-pecuára CFM Ltda. Varável: Escores de Musculosdade (,,, ou 5). População: Bovos Nelore da Agro-pecuára CFM Ltda. Varável: Prehez aos meses de dade (0 ou ). 6 Itrodução à Estatístca

4 Tpos de Varáves (b) Varáves Quattatvas Cotíuas São aquelas, teorcamete, que podem assumr qualquer valor em um certo tervalo de varação. Resultam, em geral, de uma medção, sedo reqüetemete expressos em alguma udade. Exemplos de Cotíuas: População: Bovos Nelore da Agro-pecuára CFM Ltda. Varável: PN (8,0; 8,5; 0,;,58) População: Bovos Nelore da Agro-pecuára CFM Ltda. Varável: Peso aos 8 meses, em g (50,0 até 5,0 g) 7 Característcas Numércas de uma Dstrbução de Dados Júlo Cesar de C. Balero 8 Itrodução à Estatístca

5 Itrodução As vezes é ecessáro resumr certas característcas das dstrbuções de dados (ou mesmo de reqüêcas dados) por meo de certas quatdades. Tas quatdades são usualmete deomadas de MEDIDAS, por quatcarem algus aspectos de osso teresse. Nosso objetvo é apresetar algumas das chamadas MEDIDAS DE POSIÇÃO, bem como, algumas MEDIDAS DE DISPERSÃO, cosderadas mas mportates o campo da aplcabldade prátca do osso da a da. Tas meddas servem para: (a) Localzar uma dstrbução; (b) Caracterzar sua varabldade. 9 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Servem para localzar a dstrbução dos dados brutos (ou das reqüêcas) sobre o exo de varação da varável em questão. Veremos os três tpos prcpas de meddas de posção: (a) Méda Artmétca; (b) Medaa; (c) Moda. 0 Itrodução à Estatístca 5

6 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) > Méda (Artmétca) A otação teracoal recomeda símbolos especícos para a Méda: (a) AMOSTRA: Cojuto de Dados > x ˆ mˆ µ Tabelas de Freqüêca > x ˆ µ mˆ p ' Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Méda (Artmétca) (b) POPULAÇÃO: Cojuto de Dados > µ m Tabela de Freqüêca > µ m p ' Itrodução à Estatístca 6

7 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Exemplo : 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro x ˆ µ mˆ 5,5 50 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Propredades da Méda (a) Multplcado todos os valores de uma varável por uma costate, a méda do cojuto ca multplcada por essa costate. (b) Somado-se ou subtrado-se uma costate a todos os valores da varável, a méda do cojuto ca acrescda ou subtraída dessa costate. Itrodução à Estatístca 7

8 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Medaa > A medaa é uma quatdade que, como a méda, também caracterza o cetro de uma dstrbução pertecete a um cojuto de dados. (a) AMOSTRA: (b) POPULAÇÃO: mˆ d md 5 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Cojuto de Dados: Para obteção da estmatva de medaa de um cojuto de dados são ecessáros os segutes passos: º Passo: Ordear de orma crescete os valores da varável em questão; º Passo: () Sedo ímpar, a medaa será gual ao valor de ordem ( +) ; () Sedo par, a medaa será o valor médo etre os valores de ordem e. + 6 Itrodução à Estatístca 8

9 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Medaa Tabelas de Freqüêca > ( /) Fa md ˆ L + h md md L lmte eror da classe que cotém a medaa; úmeros de elemetos do cojuto da dados; F a soma das reqüêcas das classes aterores que cotém a medaa; md reqüêca da classe que cotém a medaa; h md ampltude da classe que cotém a medaa. 7 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Medaa Exemplo : 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro 68 ( / ) F md ˆ L + md a h md L 9,5; 50; F a ; md 6; h md 5. 8 Itrodução à Estatístca 9

10 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Medaa Exemplo : 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro L 9,5; 50; F a ; md 6; h md 5. md ˆ L + ( / ) F md a h md (50 / ) md ˆ 9, , Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Moda > A moda (ou modas) de um cojuto de valores é deda como o valor (ou valores) de máxma reqüêca. > É uma quatdade que, como a méda, também caracterza o cetro de uma dstrbução, dcado a regão das máxmas reqüêcas. (a) AMOSTRA: mˆ (b) POPULAÇÃO: O mo 0 Itrodução à Estatístca 0

11 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Moda Tabelas de Freqüêca > mˆ o L d + d + d h L lmte eror da classe modal; d dereça etre a classe modal e a da classe medatamete ateror; d dereça etre a classe modal e a da classe medatamete segute; h ampltude das classes. Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Moda Exemplo : 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro 68 mˆ o d L + d + d h L 9,5; d 6 8 8; d 6 ; h 5. Itrodução à Estatístca

12 Meddas de Posção (ou de Tedêca Cetral) Moda Exemplo : 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro L 9,5; d 6 8 8; d 6 ; h 5. mˆ o L d + d + d h 8 ˆ 9, ,8 8 + m o Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) A ormação orecda pelas Meddas de Posção em geral ecesstam de ser complemetas pelas Meddas de Dspersão. As Meddas de Dspersão servem para dcar o quato os dados se apresetam dspersos em toro da regão cetral. Portato caracterzam o grau de varação exstete em um cojuto de valores. As Meddas de Dspersão que mas os teressam são: (a) Ampltude; (b) Varâca; (c) Desvo Padrão; (d) Coecete de Varação. Itrodução à Estatístca

13 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) > Ampltude A ampltude, já mecoada, é deda como a dereça etre o maor e o meor valores do cojuto de dados. (a) AMOSTRA: Rˆ MA MIN (b) POPULAÇÃO: R MA MIN > > Vatagem e Desvatagem. Salvo aplcações de Cotrole de Qualdade, a ampltude ão é muto utlzada como Medda de Dspersão. 5 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca > A varâca é deda como a méda dos quadrados das dereças etre os valores em relação a sua própra méda. (a) AMOSTRA: (b) POPULAÇÃO: > Em se tratado de Amostra: Cojuto de Dados > Tabela de Freqüêca > S S S ( ) σ σ ( ) σ σ σ ( ) σ S ( ) S ( ) ˆ ( S S ˆ ) N ( ) N ˆ 6 Itrodução à Estatístca

14 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca > OBS: Em se tratado de População: ( ) Cojuto de Dados > σ σ ( ) σ N ( ) Tabela de Freqüêca > σ σ ( ) σ N () A varâca calculada para dados agrupados deverá ser superestmada em relação à varâca exata dos N dados orgas. 7 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca Exemplo: Executar o cálculo da varâca de um cojuto pequeo de dados, ormado pelos valores segute: {5,, 0, 7, 6} É ácl ver que: x ˆ µ mˆ N ( ) Logo: S ( ) S N Poderemos motar a segute Tabela Auxlar os cálculos: 8 Itrodução à Estatístca

15 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca Exemplo: Cálculo da varâca de um cojuto pequeo de dados: {5,, 0, 7, 6} S ( ) S ( ) N S ( ) S 8,5 Nota-se que as expressões apresetadas ão são as mas apropradas para o cálculo da varâca, pos a méda é quase sempre um valor racoáro, o que vra a dcultar o cálculo dos desvos ( ). 9 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca Note que o umerador pode ser trabalhado: S ( ) ( ) ( + ) + N + N N N ( ) ( ) + N N ( ) ( ) N S ( ) 0 Itrodução à Estatístca 5

16 Itrodução à Estatístca 6 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca Assm, para um cojuto com N dados: ) ( ) ( N N N S S Da mesma orma, para dados agrupados em Tabela de reqüêca, teremos: ) ( ) ( N N N S S Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Varâca ( ) 6, ) ( N N S S Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro 68

17 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Propredades da Varâca (a) Multplcado-se todos os valores de uma varável por uma costate, a varâca do cojuto ca multplcada pelo quadrado dessa costate. (b) Somado-se ou subtrado-se uma costate a todos os valores de uma varável, a varâca ão se altera. OBS: () A varâca é uma medda de dspersão mportate a teora estatístca; () Do poto de vsta prátco, ela tem o coveete de se expressar em udade quadrátca em relação a varável em questão. Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) > Desvo Padrão Demos desvo padrão como a raz quadrada postva da varâca. > O cálculo do desvo padrão é eto por meo da varâca. (a) AMOSTRA: S S S ( ) ˆ σ ˆ σ ( ) ˆ σ (b) POPULAÇÃO: σ σ ( ) σ > Em se tratado de Amostra: S + ( ) S S Itrodução à Estatístca 7

18 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) OBS: Desvo Padrão () O desvo padrão se expressa a mesma udade da varável, sedo por sso, de maor teresse que a varâca as aplcações prátcas; () É mas realístco para eeto de comparação de dspersões. Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro S ( ) S N N S( ) S 6,7 6, (.75) 50 6,7 5 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) > Coecete de Varação O coecete de varação é dedo como o quocete etre o desvo padrão e a méda, sedo requetemete expresso em porcetagem. (a) AMOSTRA: CV ^ ( ) CV ^ (b) POPULAÇÃO: CV ( ) CV > Em se tratado de Amostra: CV ^ ( ) CV ^ S 6 Itrodução à Estatístca 8

19 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) Coecete de Varação Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro CV ^ ( ) CV ^ S ^ ^ S 6,79 CV ( ) CV 0,5,6% 5,5 7 Meddas de Dspersão (ou de Varabldade) OBS: Coecete de Varação () A vatagem é caracterzar a dspersão dos dados em termos relatvos ao seu valor médo; () Pequea dspersão absoluta pode ser, a verdade cosderável, quado comparada com a ordem de gradeza dos valores da varável. Quado cosderamos o CV, egaos de terpretações desse tpo ão ocorrem; () Além dsso, por ser admesoal, o CV orece uma maera de se compararem as dspersões de varáves cujas meddas são rredutíves. 8 Itrodução à Estatístca 9

20 Mometos de uma Dstrbução de Dados Júlo Cesar de C. Balero 9 Mometos de uma Dstrbução Algus cocetos Demos o mometo de ordem t de um cojuto de dados como: M t t Demos o mometo de ordem t cetrado em relação a uma costate a como: M a t ( a) t 0 Itrodução à Estatístca 0

21 Mometos de uma Dstrbução de Freqüêcas Algus cocetos Já vmos que temos teresse o caso de mometo cetrado em relação a méda, o qual desgaremos smplesmete por mometo cetrado, dado por: m t ( ) t Também sabemos que, os casos da méda e da varâca, as expressões podem ser reescrtas levado-se em cosderação Tabelas de reqüêcas dos deretes valores exstetes. Mometos de uma Dstrbução de Freqüêcas Algus cocetos Assm, para dados agrupados em Tabela de Freqüêca, teremos: M M m t a t ( t ) t t > Para mometo de ordem t t > Para mometo de ordem ( a) t cetrado em relação a uma costate a > Para mometo de ordem t cetrado em relação a uma costate méda Itrodução à Estatístca

22 Itrodução à Estatístca Mometos de uma Dstrbução de Freqüêcas Nos teressa partcularmete saber calcular os mometos cetrados de tercera e quarta ordem. Algus cocetos m t t ) ( m ) ( m ) ( Mometos de uma Dstrbução de Freqüêcas Havedo Tabelas de Freqüêcas com classes a cosderar, as expressões equvaletes são: Algus cocetos m t t ) ( m + 6 m +

23 Meddas de Assmetra Essas meddas procuram caracterzar como e quato a dstrbução dos Dados(ou reqüêcas) se aasta da codção de smetra. Dstrbuções alogadas a dreta são dtas Postvamete Assmétrcas. Dstrbuções alogadas a esquerda são dtas Negatvamete Assmétrcas. 5 Meddas de Assmetra O mometo cetrado de tercera ordem pode ser usado como medda de assmetra. Etretato é mas coveete a utlzação de uma medda admesoal, deda como Coecete de Assmetra, dado por: a m ( S ) 68 Assm basta cramos uma ova colua com. E utlzarmos mometo cetrado de ª ordem: m + 6 Itrodução à Estatístca

24 Meddas de Assmetra Desta orma, poderemos classcar o Coecete de Assmetra (a ) da segute orma: () Se a 0 a dstrbução é Smétrca; () Se a > 0 a dstrbução é Assmétrca à dreta (Assmetra Postva); () Se a < 0 a dstrbução é Assmétrca à Esquerda (Assmetra Negatva). Fote: Ferrera, D. F. Estatístca Básca. Ed. UFLA, p. 7 Meddas de Assmetra Outra medda de assmetra mas smples pode ser obtdo pelo Ídce de Assmetra de Pearso: mˆ 0 A S O Ídce de Assmetra de Pearso também pode ser aclmete classcado: A < 0,5 > Dstrbução pratcamete Smétrca; 0,5 < A <,0 > Dstrbução moderadamete Assmétrca; A >,0 > Dstrbução ortemete Assmétrca. 8 Itrodução à Estatístca

25 Meddas de Assmetra Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro.75 x ˆ µ mˆ 5,5 50 d mˆ o L + h d + d S 8 ˆ 9, ,8 8 + m o S N N 6,7 6,79 6,7 m ˆ 5,5 5,8 A 0 0,6 6,79 S 68 9 Meddas de Assmetra Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro m ˆ 5,5 5,8 A 0 0,6 6,79 S Pelo Ídce de Assmetra de Pearso essa dstrbução sera classcada como Moderadamete Assmétrca, pos 0,5 < A <,0. De ato sso ocorre, pos quado utlzados uma Técca de Descrção Gráca para Varáves Quattatvas Cotíuas, detectamos a Assmetra Moderada. 50 Itrodução à Estatístca 5

26 Meddas de Achatameto ou Essas meddas procuram caracterzar a orma da dstrbução quato ao seu achatameto. O termo médo de comparação é dado pela Dstrbução Normal, que é um modelo teórco de dstrbução a ser estudado o capítulo relacoado à Probabldades. Quato ao achatameto, podemos ter as segutes stuações: Platcúrtcas, Mesocúrtcas e Leptocúrtcas. 5 Meddas de Achatameto ou A caracterzação do achatameto de uma dstrbução só tem setdo, em termos prátcos, se a dstrbução or aproxmadamete Smétrca. Etre as possíves meddas de achatameto, destacamos o Coecete de. O Coecete de é obtdo pelo quocete do mometo cetrado de ª ordem pelo quadrado da varâca, ou seja: m a m ( S ) S 5 Itrodução à Estatístca 6

27 Meddas de Achatameto ou Trata-se de coecete admesoal, permtdo a sua classcação: a < a a >,0,0,0 > Dstrbução Platcúrtca; > Dstrbução Mesocúrtca; > Dstrbução Leptocúrtca. 5 Meddas de Achatameto ou Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro Assm, basta cramos duas ovas coluas com: e. 68 E utlzarmos mometo cetrado de ª ordem: m Itrodução à Estatístca 7

28 Meddas de Achatameto ou Exemplo: 50 determações do tempo (em segudos) gasto por um ucoáro a m ( S ) m S, > Dstrbução lgeramete Platcúrtca. 55 Meddas de Achatameto ou Outra medda de achatameto mas smples pode ser obtdo pelo Grau de, dado pelo coecete: Q é o º Quartl; Q é o º Quartl; P P em que, K é o 90º Percetl; é o 0º Percetl. Q Q ( P90 P0 ) 56 Itrodução à Estatístca 8

29 Meddas de Achatameto ou Quarts > dvdem um cojuto de dados em quatro partes guas. 0% 5% 50% 75% 00% em que, Q Q Q Q o º Quartl dexa 5% dos elemetos; Q Q o º Quartl dexa 50% dos elemetos e cocde com a Medaa; o º Quartl dexa 75% dos elemetos. 57 Meddas de Achatameto ou Fórmulas para cálculo de Q e Q para o caso de varáves quattatvas cotíuas (a) Determação de Q : () Calcula-se: N ; () Idetca-se a classe de Q pela F (req. acumulada); () Aplca-se a órmula: Q L Q ( / ) F + Q a h 58 Itrodução à Estatístca 9

30 Meddas de Achatameto ou Fórmulas para cálculo de Q e Q para o caso de varáves quattatvas cotíuas (cotuação) (b) Determação de Q : () Calcula-se: N () Idetca-se a classe de Q pela F (req. acumulada); () Aplca-se a órmula: Q L Q ( / ) F + Q a h 59 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar os Quarts (Q e Q ) e a medaa. Classes F Classe Q mˆ d Q Classe Classe ( / ) Fa ( / ) F ( / ) F a a Q LQ + h md ˆ L Q L h Q + + hmd Q md Q 60 Itrodução à Estatístca 0

31 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar os Quarts (Q e Q ) e a medaa. Classes F ; 56 Q.56 Q o o elemeto elemeto mˆ d 8o e 9o elemetos 6 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar os Quarts (Q e Q ) e a medaa. Classes F Q L Q Q L Q ( / ) F + Q ( / ) F md ˆ L + md a h ( / ) Fa + h Q a h md Para Q temos: L Q 7; 56 ; F a 6; h 0 Q 5 ; Paramˆ d temos: L 7 ; 56 ; F a ; h 0 ; md ˆ 0 Para Q temos: L Q 7; 56 ; F a ; h 0 0 ; Q 6 Itrodução à Estatístca

32 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar os Quarts (Q e Q ) e a medaa ( / ) Fa Q L + h 7 + Q.0, 5 Q 56 ( / ) Fa md ˆ L hmd.0 0,50 5 md.56 ( / ) Fa Q L + h 7+ Q.0 0 Q 8,00 6 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar os Quarts (Q e Q ) e a medaa. Q Q Q 5% 5% 5% 5% 7,00, 0,50 8, 00 57, 00 6 Itrodução à Estatístca

33 Meddas de Achatameto ou Decs > são os valores que dvdem um cojuto de dados em 0 partes guas. 0% 0% 0% 0% 0% 50% 60% 70% 80% 90% 00% D D D D D5 D6 D D 7 8 D9 D D em que, o º Decl dexa 0% dos elemetos; o º Decl dexa 0% dos elemetos; D 9 o 9º Decl dexa 90% dos elemetos. 65 Meddas de Achatameto ou Determação de um Decl D :.N () Calcula-se: em que,,..., 9; 0 () Idetca-se a classe de D pela F (req. acumulada); () Aplca-se a órmula: em que, (. N /0) Fa D L + h D L lmte eror da classe D ; tamaho da amostra; F a soma das reqüêcas das classes aterores a que D ; D reqüêca da classe D ; h ampltude da classe D. 66 Itrodução à Estatístca

34 Meddas de Achatameto ou Percets > são os valores que dvdem um cojuto de dados em 00 partes guas. 0% % % %... 50%... 97% 98% 99% 00% P P P... em que, P P P P99 P o º Percetl dexa % dos elemetos; P o º Percetl dexa % dos elemetos; P 99 o 99º Percetl dexa 99% dos elemetos. 67 Meddas de Achatameto ou Determação de um Percetl P :.N () Calcula-se: em que,,..., 98, 99; 00 () Idetca-se a classe de P pela F (req. acumulada); () Aplca-se a órmula: em que, (. N /00) F P L + P a h L lmte eror da classe P ; tamaho da amostra; F a soma das reqüêcas das classes aterores a que P ; P reqüêca da classe P ; h ampltude da classe D. 68 Itrodução à Estatístca

35 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar o Grau de (K). Q Q K Classes F ( P90 P0) Já tíhamos obtdos: Q, e Q 8, (. N /00) Fa P L + h Para P 0 temos: L 7 P 0 ; 56 ; F a 0; h 0 ; P0 6 Para P 90 temos: L 7 P 90 ; 56 ; F a ; h 0 ; P90 0 P 6, P 6, P 69 Meddas de Achatameto ou Exemplo: Dada a dstrbução, determar o Grau de (K). Classes F Q Q K ( P90 P0) Agora temos tudo: Q, e Q 8, 00 P0 6, e P 90 6, 0 K Q Q 8,00, ( P90 P0) (6,0 6,) 0, Itrodução à Estatístca 5

36 Meddas de Achatameto ou Assm o Grau de, de ser classcado da segute orma: Q Q K ( P90 P0 ) K 0,6 > Dstrbução de reqüêca Mesocúrtca; K > 0,6 > Dstrbução de reqüêca Platcúrtca; K < 0,6 > Dstrbução de reqüêca Leptocúrtca. 7 Itrodução à Estatístca 6