Nas próximas secções iremos abordar a análise estatística de uma amostra em que os dados numéricos estão agrupados em classes, ou seja, em intervalos.

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1 Estatístca Descrtva ESTATÍSTICA DESCRITIVA Amostras com dados agrupados em classes as prómas secções remos abordar a aálse estatístca de uma amostra em que os dados umércos estão agrupados em classes, ou seja, em tervalos. Este agrupameto em classes pode dever-se a dversos motvos: fote de formação: os dados podem ter sdo obtdos em fotes em que os dados já estão o formato de classes, e ão se dspõe dos dados dvdualzados para todos os elemetos da amostra. É o que acotece frequetemete em dados recolhdos de publcações de dversas Isttuções (por eemplo, Auáros do Isttuto acoal de Estatístca); o processo de recolha de formação, os dados foram recolhdos em classes, e ão dvdualzados. Imagemos, por eemplo, a recolha de dâmetros de árvores um povoameto florestal, em que se regstaram o úmero de árvores cujos dâmetros se ecotram os tervalos ]5, 20], ]20, 25], ]25, 30], etc, em vez de se regstarem os dâmetros dvdualmete; a dmesão da amostra é demasado grade, agrupado-se os dados em classes, a fm de facltar a aálse (esta vatagem actualmete é sgfcate, face aos meos de cálculo dspoíves). Mutas das varáves umércas são de atureza cotíua, em que o processo de quatfcação do valor dessa varável pressupõe de algum modo a dscretzação da varável. Imagemos, por eemplo, a recolha de pesos de uma amostra de borregos; a característca peso é tpcamete de atureza cotíua; porém, ao pesar cada um dos borregos, o operador faz um regsto que correspode a um valor apromado do peso desse borrego, e ão do seu peso eacto; os erros de arredodameto, ou apromação, que se fazem estas stuações, depedem fudametalmete dos objectvos do estudo, do materal usado, etc. esta perspectva, ao falar-se de um valor de peso de borrego de 4.5 kg, rgorosamete o que se está a fazer é arredodar para este valor toda a gama de pesos que com maor precsão de pesagem poderão estar o tervalo ]4.45, 4.55]. Isto é, mutas das amostras tratadas como amostras de valores dscretos correspodem a realdade a varáves cotíuas mas que são dscretzadas (ou arredodadas) para o valor da marca ou cetro do tervalo, o acto de obteção do valor da varável. Quado o estatístco tem possbldade de defr o úmero de classes (relatvamete aos três casos aterormete referdos, o estatístco só ão tem essa possbldade o prmero dos casos; em ambos os outros, cabe ao estatístco defr as classes ou tervalos os quas va agrupar os dados), um aspecto mportate tem a ver com o úmero de classes a formar. Em mutas stuações, esta defção é efectuada ates de se realzar a recolha de dados, de modo que ao efectuar as medções ou o processo de recolha de formação, ao ESA 2005/2006

2 Estatístca Descrtva estatístco apeas resta a lberdade de colocar o tervalo ou classe respectva cada uma das observações. uma stuação deste géero, as classes são de um modo geral estabelecdas de modo a facltar a obteção e o regsto das observações. Se o estatístco dspõe do rol (ou lstagem) de todas as observações dvdualzadas, e pretede classfcar ou agrupar os dados em tervalos (seja smplesmete para elaborar o hstograma, seja para cálculo dos parâmetros estatístcos), a prmera operação é defr o úmero de classes. Estem dversas propostas empírcas para a defção do úmero de classes k a defr; uma regra cosste em defr um úmero de classes prómo à raz quadrada do úmero de observações: k Esta regra parece fucoar bastate bem, se o úmero de dados ão é demasado grade (vejamos que, se a amostra estem 400 dados, esta regra sugere a realzação de 20 classes de dados). Outra regra, também muto usual, cosste em usar um úmero de classes defdo por (em que log(.) represeta o logartmo decmal): k = log( ), arredodado ao tero superor Em qualquer dos casos, devem defr-se classes com a mesma ampltude. Estas regras têm um carácter meramete dcatvo, devedo ser tomadas em cota as vatages de ordem prátca que advêm da defção das classes cujos lmtes feror e superor cocdam com valores fáces de mausear. Eemplo: Cosdere-se uma amostra de 00 dados de pesos, epressos em gramas, que tomam valores desde m = g e ma = g. As regras aterores sugerem a formação de 0 classes e 8 classes, respectvamete. Combado estas dcações com o aspecto prátco, se farmos os lmtes do tervalo de varação em ] , ], a ampltude deste tervalo é de 9.00 g, sugerdo a realzação de 9 classes, de ampltude.00 g, defdas como: ] , ],] , ],] , ],...,] , ] Repare-se que, de um modo geral se estão a respetar as dcações teórcas do úmero de classes a formar, em cojugação com o aspecto prátco dos lmtes das classes fcarem bem defdos. ota acerca dos lmtes das classes: subsste sempre alguma cofusão acerca dos lmtes das classes, se deverão ser abertos o lmte feror e fechados o lmte superor, sto ESA 2005/2006 2

3 Estatístca Descrtva é, do tpo Lf, L sup, ou se os lmtes devem ser ao cotráro, sto é, Lf, L sup. Vamos adoptar a defção Lf, L sup, já que desta maera estamos a ser coeretes com a defção da fução cumulatva de probabldades. Pressupõe-se que em cada uma das classes, todas as observações dessa classe estão cocetradas o cetro ou marca da classe. as secções segutes vamos usar, para além de outros eemplos esporádcos usados para lustrar as eplcações de algus cocetos, a segute amostra de pesos (em g) de 00 embalages de matega (os pesos varam etre m = g e ma = g, coforme aterormete referdo; ão se regstaram as observações dvdualzadas, mas apeas se cotaram o úmero de ocorrêcas em cada uma das classes); o úmero de classes é k = 9, e ampltude de cada classe é de udade: Lmtes das classes (peso, em g) º de garrafas ]297.00, ] 8 ]298.00, ] 2 ]299.00, ] 28 ]300.00, 30.00] 5 ]30.00, ] ]302.00, ] 0 ]303.00, ] 5 ]304.00, ] ]305.00, ] TOTAL = 00 Tabela de frequêcas e hstograma A tabela de frequêcas e o hstograma têm o segute aspecto, ode f = é a frequêca relatva da observação, e Fac, fra são as frequêcas absolutas acumuladas e as frequêcas relatvas acumuladas: Classes de peso (g) Fac f fra ]297.00, ] ]298.00, ] ]299.00, ] ]300.00, 30.00] ]30.00, ] ]302.00, ] ]303.00, ] ]304.00, ] ]305.00, ] TOTAL 9 9 = = 00 f = = = ESA 2005/2006 3

4 Estatístca Descrtva O hstograma das frequêcas absolutas que é uma estmatva da fução de dstrbução de probabldades da população de ode a amostra fo recolhda - tem o segute aspecto (o hstograma das frequêcas relatvas tem eactamete o mesmo aspecto, dferdo apeas a escala do eo das ordeadas, que em vez de escala absoluta, vem em escala relatva): 30,0 Hstograma de frequêcas absolutas 20,0 Cout 0,0 0,0 297,0 298,0 299,0 300,0 30,0 302,0 303,0 304,0 305,0 306,0 Peso (g) A escala do eo das abcssas pode defr os lmtes das classe, como o eemplo, ou etão a marca da classe (sto é, o cetro de cada uma das classes). O hstograma dá dversas formações acerca da dstrbução das frequêcas, omeadamete em termos de valores mas frequetes (classe modal, que o caso é a classe ]299.00, ], smetra (o eemplo, ota-se que a dstrbução é assmétrca à esquerda ou assmétrca postva), regões do tervalo de varação ode ão estem observações, bem como da represetatvdade de cada uma das classes. O hstograma das frequêcas relatvas acumuladas (que costtu uma estmatva da fução cumulatva de probabldades) apreseta-se em seguda. Quato maor for um degrau de um valor (ateror) para o valor (actual), maor é a frequêca de observações do valor, e vce-versa. ote-se que os prmeros valores de os degraus etre os dversos patamares são bastate elevados, correspodedo a maores frequêcas para os respectvos valores de, equato que para os últmos valores de, os degraus são bastate pequeos, sgfcado que as respectvas frequêcas são baas. ESA 2005/2006 4

5 Estatístca Descrtva Hstograma de frequêcas acumuladas 00,0 75,0 Percet 50,0 25,0 0,0 297,0 298,0 299,0 300,0 30,0 302,0 303,0 304,0 305,0 306,0 Peso (g) Repare-se por eemplo o segute hstograma de frequêcas acumuladas, correspodete a uma dstrbução uforme das frequêcas pelos dversos valores de. um caso destes, os degraus etre os sucessvos valores de têm todos a mesma altura: 00,0 Hstograma de frequêcas acumuladas 75,0 Percet 50,0 25,0 0,0 297,0 298,0 299,0 300,0 30,0 302,0 303,0 304,0 305,0 306,0 Dagrama de potos e dagrama de caule-e-folhas ESA 2005/2006 5

6 Estatístca Descrtva Para grades amostras, estes dagramas fcam muto pesados, e são de terpretação mas dfícl. Alás, se estes tpos de gráfcos gaham vatagem sobre o hstograma, o caso de pequeas amostras, para grades amostras perdem essa vatagem, e deve usarse preferecalmete o hstograma. Quer o dagrama de potos, quer o dagrama de caule-e-folhas, só podem ser elaborados se dspusermos dos regstos de todas as observações; se se dspuser apeas da tabela de frequêcas, ão se podem elaborar estes gráfcos. Admtdo que, afal, sempre se dspuha de toda a amostra dos pesos das 00 embalages de matega (aeo), e ão apeas a tabela de frequêcas, estes dagramas apresetam-se de seguda. Dagrama de potos: Veja-se que este dagrama é agora, ao cotráro do que acoteca para pequeas amostras, pouco formatvo, já que mostra a localzação de uma uvem eorme de potos sobre a escala da varável. Pode, clusvamete, duzr a dversas aálses meos correctas, por eemplo, detectar dversas modas a amostra, cosderar o valor mámo como outler, quado a realdade ão o é, etc. Dagrama de caule-e-folhas Repare-se que, elaborado o dagrama com cremeto de uma udade a parte do caule (dagrama o lado esquerdo), obtém-se o hstograma detado, ão se gahado ESA 2005/2006 6

7 Estatístca Descrtva mas formação do que a obtda pelo hstograma. Fazedo o cremeto de 0.5 udades (dagrama do lado dreto), dá uma dea mas precsa da dstrbução, agora em classes de 0.5 g de ampltude. Mas esta mesma formação se podera também obter o hstograma, aumetado o úmero e dmudo a ampltude das classes. Para lá da formação que o hstograma também forece, obtém-se a dcação mas medata da classe medaa. Parâmetros estatístcos Parâmetros de localzação Moda É o valor mas frequete (com maor frequêca absoluta ou relatva) a amostra. Da tabela de frequêcas apresetada aterormete, do hstograma, ou do dagrama de caule-e-folhas, deduz-se a moda ocorre a classe ]299.00, 300] (classe modal). Pretededo um valor úco, e ão uma classe de valores, para a moda, este valor será um poto o teror da classe modal, desvado mas para o lmte feror lme superor, de acordo com as frequêcas as classes adjacetes. O valor da moda é calculado pela segute epressão: Mod d = L + f. d+ d 2 ode: L f Lmte feror da classe modal; d = classemodal classeateror ou d = fclassemodal fclasseateror d2 = classemodal classesegute ou d = fclassemodal fclassesegute Ampltude da classe modal. o eemplo, temos: L f = d = classemodal classeateror = 28 2 = 7 d2 = classemodal classesegute = 28 5 = 3 = Mod L d = + f d+ d = = Repare-se que o valor da moda ão está rgorosamete o cetro da classe modal, mas está mas deslocado para o lado do lmte feror da classe modal, pos a frequêca da ESA 2005/2006 7

8 Estatístca Descrtva classe ateror ( classeateror = 28) é superor à frequêca da classe segute à classe modal ( classesegute = 5). Medaa A medaa é o valor tal que metade da amostra se localza abao e a outra metade de amostra se localza acma desse valor. Para amostras classfcadas, a classe medaa deduz-se a partr da tabela de frequêcas ou do hstograma das frequêcas acumuladas (valor para o qual a frequêca absoluta acumulada é gual ou superor a metade da amostra), ou a partr do dagrama de caule-e-folhas. O valor da medaa é um valor cotdo esta classe, e é estmado pela segute epressão, coforme se utlzem frequêcas absolutas acumuladas ou frequêcas relatvas acumuladas: Fac classeateror fraclasseateror Med = Lf +. = Lf +. f classemedaa classemedaa em que Fac classeateror, fra classeateror são, respectvamete, a frequêca absoluta acumulada ou a frequêca relatva acumulada até à classe ateror à classe medaa, classemedaa, f classemedaa são a frequêca absoluta ou a frequêca relatva da classe medaa, L f é o lmte feror da classe medaa e é a ampltude da classe medaa. ESA 2005/2006 8

9 Estatístca Descrtva Para a amostra em estudo, a classe medaa é a classe ]299.00, ], L f = , Fac = 29, = 28 e =.00 ; assm, a medaa é: classeateror classe medaa Fac classeateror Med = Lf +. = = classemedaa Quarts, decs, percets Tal como para o caso das amostras dscretas ou de pequea dmesão, os quarts dvdem a amostra em quatro sub-amostras ou quatro tervalos quartílcos, defdos, Q ; Q, Q ; Q, Q ; Q,. respectvamete por [ ] [ ] [ ] [ ] m ma Para defr cada um dos quarts, localza-se a classe quartílca respectva (sto é, a classe ode ocorrem 25%, 50% e 75% das observações), e de seguda determa-se qual dos valores de cada uma dessas classes é teorcamete o respectvo quartl, usado a segute epressão: j. j Fac fra Q = L +. = L +. j =,2,3 classeateror, j classeateror, j 4 4 j f, j f, j classeq f j classeq j º quartl (j=): ª classe quartílca: ]298.00, ] Fac = 8 classeq classeateror = 2 00 Fac classeateror, 8 Q 4 4 = Lf,+. = = º quartl (j=3): classeq 3ª classe quartílca: ]30.00, ] Fac = 72 classeq3 classeateror = Q Fac classeateror,3 72 = L + 4. = = f,3 classeq3 aturalmete, o 2º quartl cocde com a medaa: Q2 Med = ESA 2005/2006 9

10 Estatístca Descrtva A epressão ateror geeralza-se de uma maera lógca para qualquer percetl: j. j Facclasseateror, j fraclasseateror, j P = L = L j =,2,3,...,00 f j f, j f, j classe Pj classe Pj em que Fac classeateror, fra classeateror são, respectvamete, a frequêca absoluta acumulada ou a frequêca relatva acumulada até à classe ateror à classe do percetl preteddo, classe P j, f classe P j são a frequêca absoluta ou a frequêca relatva da classe do percetl preteddo, L f é o lmte feror da classe do percetl e é a ampltude da classe do percetl em cosderação. Para os decs, basta fazer j = 0,20,30,...,90 a epressão ateror. Vejamos, por eemplo, os percets P5, P0, P90, P 95: Percetl 5% (j=5): Classe do percetl 5%: ]297.00, ] Fac classeateror = 0 classe P = Fac classeateror,5 0 P = Lf,5 +. = = Percetl 0% (j=0): classe P5 Classe do percetl 0%: ]298.00, ] Fac classeateror = 8 classe P = Fac classeateror,0 8 P = Lf,0 +. = = Percetl 90% (j=90): classe P0 Classe do percetl 90%: ]302.00, ] Fac classeateror = 83 classe P = Fac classeateror,90 83 P = Lf,90 +. = = classe P90 ESA 2005/2006 0

11 Estatístca Descrtva Percetl 95% (j=95): Classe do percetl 95%: ]303.00, ] Fac = 93 classe P95 classeateror = 5 P Fac classeateror,95 93 = L = = f,95 classe P95 ota: de um modo geral há sempre teresse em calcular, para além da medaa e dos quarts, os percets P 0 e P 90, pos etram o cálculo de coefcetes de assmetra e de achatameto. Méda Tal como o caso de amostras de pequea dmesão, mas ode estem dados repetdos, sedo a frequêca absoluta da.ésma classe =, 2,3,..., k, tal que méda de uma amostra agrupada em classes é calculada por: k = =, a = k =. esta stuação, o valor é a marca (ou valor cetral) da.ésma classe =, 2,3,..., k. Para calcular a méda, elabora-se a segute tabela como ferrameta de cálculo: Classe. ]297.00, ] 297, ,0 ]298.00, ] 298, ,5 ]299.00, ] 299, ,0 ]300.00, 30.00] 300, ,5 ]30.00, ] 30,5 336,5 ]302.00, ] 302, ,0 ]303.00, ] 303,5 5 57,5 ]304.00, ] 304,5 304,5 ]305.00, ] 305,5 305,5 9. = = ESA 2005/2006

12 Estatístca Descrtva k. = 300 Logo, a méda é = = = k. k k k =. ota: = = =. = f. = = = da observação. Isto é:, em que f = é a frequêca relatva Classe f f. ]297.00, ] 297,5 0,08 23,800 ]298.00, ] 298,5 0,2 62,685 ]299.00, ] 299,5 0,28 83,860 ]300.00, 30.00] 300,5 0,5 45,075 ]30.00, ] 30,5 0, 33,65 ]302.00, ] 302,5 0, 30,250 ]303.00, ] 303,5 0,05 5,75 ]304.00, ] 304,5 0,0 3,045 ]305.00, ] 305,5 0,0 3,055 9 = f. = 300. = o eemplo ota-se que Mod = < Med = < = 300., o que é um stoma de que a amostra tem uma cauda superor mas prologada, sto é, a amostra deota uma tedêca de assmetra à dreta, ou assmetra postva. Parâmetros de dspersão Para além de caracterzar a dstrbução de uma amostra pela sua tedêca de localzação ou tedêca cetral, temos de descrever gualmete a sua tedêca de dspersão ou varabldade, que é um dcador da varabldade das observações em toro dos valores cetras. Itervalo e ampltude de varação O tervalo de varação da amostra é o tervalo defdo por: [, ] sto é, o tervalo defdo pelos valores mímo e mámo da amostra. A Ampltude d varação ( Rage ) é a ampltude deste tervalo: R = ESA 2005/2006 2

13 Estatístca Descrtva O tervalo de varação da amostra em aálse é [297.47, 305.3] e a ampltude de varação é R = =. Ampltude ter-quartílca A ampltude ter-quartílca é defda como: Q Q 3 Embora esta estmatva da varabldade ão seja tato fluecada pelos valores etremos e traduza melhor que a ampltude da amostra a maor ou meor tedêca de cocetração dos valores em toro da méda, ada ão leva em cota todas as observações presetes a amostra. Estas meddas de dspersão, ampltude e ampltude ter-quartílca, são mas útes a comparação da varabldade de dversas amostras retradas da mesma população do que a descrção da dspersão de uma úca amostra. Para a amostra dos pesos das embalages de matega, a ampltude ter-quartílca é de Q3 Q = = Dagrama de etremos-e-quarts Este dagrama, também desgado por caa-com-bgodes (da tradução lteral da sua desgação em Iglês, boa-ad-whskers ) permte efectuar uma aálse gráfca da varabldade de uma amostra, bem como aalsar a dstrbução da cocetração as quatro sub-amostras defdas pelos quarts (tervalos quartílcos). Esta represetação gráfca cosste em desehar um rectâgulo, com a base a escala das observações, e em que os dos lados lateras são respectvamete o º e 3º quarts; lgam-se estes lados com um segmeto de recta à escala, respectvamete ao valor mímo e ao valor mámo da amostra. O rectâgulo, que represeta a ampltude terquartílca, é dvddo pela medaa. Pela ampltude de cada uma destas quatro sub-amostras, é possível fcar-se com uma dea bastate rgorosa de como é o comportameto da amostra, em termos de dspersão ou cocetração de valores, bem como deduzr acerca da sua smetra. a amostra em estudo, este dagrama tem o segute aspecto: ESA 2005/2006 3

14 Estatístca Descrtva Repare-se que a amostra é mas cocetrada o 2º tervalo quartílco. A zoa de maor dspersão de valores ocorre o 4º tervalo quartílco. ota-se a ocorrêca de um valor (valor mámo) que deve ser cosderado como outler moderado, já que: ( ) = > Q +.5 Q Q = = ma 3 3 Cotudo, ão é outler etremo porque: ( ) = < Q + 3 Q Q = = ma 3 3 Desvo médo Uma medda da dspersão em toro da méda resulta da soma dos desvos de cada observação para a méda: dm = = Para dados agrupados em classes, o desvo médo calcula-se pela epressão segute, em que é a marca de cada uma das k classes: k. k k = dm = =. = f. = = ESA 2005/2006 4

15 Estatístca Descrtva Este parâmetro mede o afastameto médo de cada observação para a méda: quato maor for (comparatvamete com a méda ou com os dados orgas), mas dspersa será a amostra, e cosequetemete meos represetatva é a méda. a tabela de cálculo segute apresetam-se os cálculos do desvo médo da amostra em aálse: Classe. ]297.00, ] 297,5 8-2,6 20,88 ]298.00, ] 298,5 2 -,6 33,8 ]299.00, ] 299,5 28-0,6 7,08 ]300.00, 30.00] 300,5 5 0,39 5,85 ]30.00, ] 30,5,39 5,29 ]302.00, ] 302,5 0 2,39 23,9 ]303.00, ] 303,5 5 3,39 6,95 ]304.00, ] 304,5 4,39 4,39 ]305.00, ] 305,5 5,39 5,39 9. = k. = O desvo médo é dm = = = O desvo médo também poda ser calculado usado as frequêcas relatvas: = f f. ]297.00, ] 297,5 8 0,2088 ]298.00, ] 298,5 2 0,338 ]299.00, ] 299,5 28 0,708 ]300.00, 30.00] 300,5 5 0,0585 ]30.00, ] 30,5 0,529 ]302.00, ] 302,5 0 0,2390 ]303.00, ] 303,5 5 0,695 ]304.00, ] 304,5 0,0439 ]305.00, ] 305,5 0, dm = f. =.4354 = O desvo médo, quado comparado com os valores orgas ou com o valor da méda, revela-se bastate pequeo o que traduz uma pequea tedêca de dspersão, ou equvaletemete, uma forte tedêca de cocetração em toro da méda; uma dm.4354 comparação mas objectva poderá ser obtda pela proporção = 300. =, sto é, o desvo médo é da ordem de 0.48% do valor da méda. ESA 2005/2006 5

16 Estatístca Descrtva Varâca A varâca é o parâmetro de dspersão mas usual, e aquele que apreseta melhores propredades estatístcas. A varâca, tal como o desvo médo, é uma medda do afastameto médo de cada uma das observações em toro da méda. o caso do desvo médo, o módulo da dfereça para a méda é, por defção, o afastameto de cada observação para a méda. o caso da varâca, usa-se o quadrado da dstâca das observações para a méda. Para a população, a varâca é, por defção: = 2 = σ ( µ ) 2 Cotudo, a Estatístca ão se tem a população, mas sm uma amostra de observações, geralmete de muto meor dmesão que a população. Demostra-se que a epressão ateror, quado aplcada a amostras relatvamete dmutas em comparação com a população (e usado a méda amostral como estmatva da méda da população µ ) sub-valorza o valor da varâca (sto é, o valor da varâca amostral sera meor que o valor da varâca da população de ode a amostra fo retrada). Para evtar este evesameto, utlza-se a segute epressão de cálculo da varâca amostral, deotada 2 com o símbolo s : s = 2 = ( ) 2 Isto é, para evtar a sub-valorzação, o dvsor é. Esta epressão, para cálculo maual, é de dfícl mauseameto. Desevolvedo artmetcamete a epressão ateror, e cosderado estem k classe, cujas marcas são geercamete, e as frequêcas absolutas são, obtém-se a segute epressão, mas fácl de mplemetar uma tabela de cálculo: 2 k. k 2 k 2 = 2 2 s =. =.. = = Repare-se que o valor da varâca vem epresso uma escala quadrátca, ão podedo portato comparar-se com os valores orgas. Para podermos comparar duas quatdades, estas têm de estar as mesmas udades. Assm, calcula-se a varâca, e de seguda reduz-se para a escala em que estão as observações: ESA 2005/2006 6

17 Estatístca Descrtva s = s s Este dcador estatístco (s) desga-se por desvo padrão. Para comparar o desvo padrão com os valores orgas, calcula-se o segute dcador, desgado por coefcete de varação: cv = s Como regra de geral, algus autores cosderam a dstrbução cocetrada se cv 0., e dspersa caso cv > 0.. Para a amostra das embalages de matega em aálse, elabore-se a segute tabela de cálculo: Classe 2. ]297.00, ] 297, ,00 ]298.00, ] 298, ,25 ]299.00, ] 299, ,00 ]300.00, 30.00] 300, ,75 ]30.00, ] 30, ,75 ]302.00, ] 302, ,50 ]303.00, ] 303, ,25 ]304.00, ] 304, ,25 ]305.00, ] 305, , = = Para calcular a varâca, basta fazer: k s =.. ( ) = = = 99 2 O desvo padrão é s = s = = O coefcete de varação é s.7575 cv = = = , sto é, o desvo padrão é da ordem de 0.59% do valor da 300. méda, o que traduz, tal como o desvo médo, uma varabldade bastate pequea das observações em toro da méda. Parâmetros de assmetra A assmetra (em glês, skewess) é o grau de desvo ou afastameto da smetra de uma dstrbução. Se a curva de frequêcas de uma dstrbução tem uma cauda mas ESA 2005/2006 7

18 Estatístca Descrtva loga à dreta, relatvamete à ordeada máma (moda), dz-se que a dstrbução é assmétrca para a dreta, ou que tem assmetra postva. Se a cauda mas loga é a esquerda, a dstrbução é assmétrca para a esquerda, ou assmétrca egatva. Assmetra postva Smétrca Assmetra egatva Para dstrbuções assmétrcas, a méda tede a stuar-se do mesmo lado da moda que a cauda mas loga: Assmetra postva Assmetra egatva Moda Moda Assm, uma medda da assmetra é proporcoada pela dfereça etre a méda e a moda, poderada por uma medda de dspersão (desvo padrão): moda Assmetra = (prmero coefcete se assmetra de Pearso) s Para evtar o uso da moda, pode adoptar-se uma relação empírca etre a méda, a moda = 3 medaa e a assmetra é dada por: medaa e a moda: ( ) ( ) 3 medaa Assmetra = (segudo coefcete se assmetra de Pearso) s Outros coefcetes de assmetra são defdos em termos dos quarts e decs; o coefcete quartílco de assmetra é defdo como: ( ) ( ) ( ) e o coefcete percetílco de assmetra é: ( 2 ) ( ) Q Q Q Q Q Q + Q = Q Q Q Q ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) P P P P P P + P = P P P P ESA 2005/2006 8

19 Estatístca Descrtva Um outro coefcete de assmetra é o coefcete se assmetra de Fsher, que utlza o tercero mometo cetrado a méda ( m ( ) 3 3 = ): g = ( ) ( m ) 3 = = = s 2 s ( ) 3 Este coefcete é calculado em dversos programas estatístcos (SPSS, MIITAB, STATGRAPHICS, etc), muto embora o seu cálculo maual seja algo moroso. Está provado que para >50 o coefcete g é asstótcamete ormal com méda zero e varâca 6 ; o coefcete de assmetra estadardzado é: g s = g 6 Todos estes coefcetes são ulos quado a amostra é perfetamete smétrca; são postvos se a amostra é assmétrca postva ou assmétrca à dreta, e são egatvos para amostras assmétrcas egatvas. Para a amostra de pesos das embalages de matega, estes coefcetes são: º coefcete de assmetra de Pearso: moda Assmetra = = = s º coefcete de assmetra de Pearso: ( medaa) ( ) Assmetra = = = s.7575 Coefcete quartílco de assmetra: ( Q3 Q2 Q) ( Q Q ) = = Coefcete percetílco de assmetra: ( P90 P50 P0 ) ( P P ) = = O coefcete de assmetra de Fsher é: ESA 2005/2006 9

20 Estatístca Descrtva g ( ) ( ) ( ) 3 m 3 = = = = 00 = s 2 s Todos estes coefcetes dcam que a dstrbução da amostra é lgeramete evezada à dreta, ou assmétrca postva. Parâmetros de forma Além da smetra, as dstrbuções também se costumam caracterzar quato à altura do poto mámo da curva de dstrbução. Esta característca é desgada por achatameto ou curtose (em glês, kurtoss). Leptocúrtca Platcúrtca Mesocúrtca A dstrbução chamada mesocúrtca tem o cetro uma altura correspodete à curva da fução de desdade da dstrbução ormal. A dstrbução dz-se platcúrtca se tem altura feror à da curva ormal. Repare-se que o facto de a dstrbução ter altura meor o cetro, sgfca maor proporção de observações as caudas, sto é, é stoma de uma forte dspersão. A dstrbução dz-se leptocúrtca se tem altura superor à da curva ormal. O facto de a dstrbução ter altura maor o cetro, sgfca maor proporção de observações as promdades dos valores cetras, sto é, é stoma de uma forte cocetração em toro da méda. Um coefcete umérco para caracterzar o achatameto é o coefcete percetílco de achatameto: k = ( Q Q ) P 3 2 P 90 0 Para uma curva ormal, o valor deste coefcete é k = Um valor feror é stoma de uma curva muto achatada, e um valor superor é stoma de uma curva demasado alta. ESA 2005/

21 Estatístca Descrtva Os programas estatístcos usam outro coefcete de achatameto, desgado por coefcete de achatameto de Fsher, que é baseado o 4º mometo cetrado a méda ( m ( ) 4 4 = ): = g ( )( ) ( )( ) ( ) + m 3 = 2 3 s + Para uma curva ormal, o valor deste coefcete é k = 0. Um valor egatvo é stoma de uma curva muto achatada, e um valor postvo é stoma de uma curva demasado alta. Para a amostra de borregos, o coefcete percetílco de achatameto é: ( Q Q ) k = 2 = 2 = P P dcado que a dstrbução tem uma altura a classe modal muto semelhate à altura de uma dstrbução ormal. O coefcete baseado o 4º mometo é g 2 = que, tal como o coefcete percetílco de achatameto, dá a formação de que a altura da curva da dstrbução é pratcamete ormal. Cosderações fas. O facto de se agruparem os dados em classes, e estmar os parâmetros com base as marcas das classes, e ão com todos os dados dvdualzados, coduz ecessaramete a umas estmatvas dos parâmetros lgeramete dferetes das que se obteram trabalhado com os dados dvdualzados. Estas dfereças serão tato mas graves quato mas dsttos, em cada uma das classes, os valores elas cluídos forem dferetes da marca da classe. Assm, de modo a mmzar o efeto de evezameto as estmatvas dos parâmetros estatístcos, as classes devem ser defdas de tal modo que as respectvas marcas fquem sesvelmete o cetro das observações cluídas em cada uma das classes. Por eemplo, se o processo de obteção das observações coduz sstematcamete a valores do tpo.8,.9,.,.2, as classes devem ser defdas de modo a que a marca seja do tpo.0. Repare-se que a defção de classes de modo que as marcas fossem do tpo.5, os valores teram tedêca a estar mas afastados da marca, sed maor o evezameto provocado pela orgazação da amostra em classes. 2. Com os meos computacoas actualmete dspoíves, ão há grade vatagem a realzação de classes. Um dos prcpas motvos para a orgazação da amostra em classes, era a vatagem de cálculo resultate dessa orgazação, quado os cálculos tham de ser efectuados maualmete. ESA 2005/2006 2

22 Estatístca Descrtva Com o cremeto e dvulgação dos programas estatístcos formátcos, essa vatagem é desprezível, de modo que as estmatvas são mas rgorosas se forem efectuadas com todos os dados, e ão com as marcas das classes. A justfcação para as metodologas de cálculo com os dados orgazados em classes prede-se com o facto de muta da formação dspoível para tratameto e aálse estatístca está por atureza agrupado em classes. Como eemplo, refram-se as formações soco-ecoómcas que a cada da se obtêm de auáros do Isttuto acoal de Estatístca, ou outras publcações do géero, em que a quatdade de formação a dvulgar é de tal modo etesa que se tem de apresetar resumda em classes. 3. Para melhor os apercebermos do evezameto resultate da orgazação da amostra em classes, cosderemos a stuação em que se tem acesso aos 00 valores dvdualzados dos pesos da amostra de embalages de matega (eemplo usado este teto). Esses valores são apresetados em aeo. Estes valores foram troduzdos em dos programas estatístcos (MIITAB e STATGRAPHICS). Os resultados obtdos apresetam-se de seguda. - MIITAB: - STATGRAPHICS ESA 2005/

23 Estatístca Descrtva Como se pode costatar, algus parâmetros dferem lgeramete etre as estmatvas levadas a cabo com a amostra orgazada em classes (cálculos o teto) e as estmatvas efectuadas pelos programas (sobre todos os valores). Por eemplo, a méda calculada com classes é = 300. e a calculada sobre os valores dvdualzados é = e a varâca é s 2 = e s 2 = , cosoate fo estmada com classes ou com os valores dvdualzados. ESA 2005/