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1 Qwertyuopasdghjklzcvbmqwerty uopasdghjklzcvbmqwertyuopasd ghjklzcvbmqwertyuopasdghjklz cvbmqwertyuopasdghjklzcvbmq wertyuopasdghjklzcv bmqwertyuopasdghjklzcvbmqw ertyuopasdghjklzcvbmqwertyuo pasdghjklzcvbmqwertyuopasdgh jklzcvbmqwertyuopasdghjklzcv bmqwertyuopasdghjklzcvbmqw ertyuopasdghjklzcvbmqwertyuo pasdghjklzcvbmqwertyuopasdgh jklzcvbmqwertyuopasdghjklzcv bmqwertyuopasdghjklzcvbmqw ertyuopasdghjklzcvbmrtyuopasd ghjklzcvbmqwertyuopasdghjklz cvbmqwertyuopasdghjklzcvbmq

2 Cocetos O que é Estatístca? A Estatístca é um cojuto de métodos destados à coleta, orgazação, resumo, apresetação e aálse de dados de observação, bem como da tomada de decsões razoáves baseadas em tas aálses. A Estatístca é um cojuto de processos ou téccas empregadas a vestgação e aálse de eômeos coletvos ou de massa. A Estatístca é a matemátca aplcada aos dados de observação. Dvsão da Estatístca A Estatístca dvde-se em duas partes Geral e Aplcada: Vsa elaborar métodos geras aplcáves a todas as ases do estudo dos eômeos de massa. A estatístca matemátca é a parte da estatístca geral que tem por aldade o estudo das propredades matemátcas dos eômeos de massa e a dedução e demostração rgorosa dos procedmetos e órmulas usadas. A estatístca geral ada pode ser dvdda em dos grades campos: estatístca descrtva e estatístca erecal. A estatístca descrtva trata da coleta, orgazação, classcação, apresetação e descrção dos dados observados. Reere-se à maera de apresetar um cojuto de dados em tabelas e grácos e à maera de resumr, através de certas meddas meddas descrtvas, as ormações cotdas estes dados. A estatístca erecal ou dutva vsa trar coclusões sobre a população a partr de amostras. Reere-se à maera de estabelecer coclusões para toda uma população quado se observar apeas parte desta população. Evolve o cálculo de probabldades para quatcar a certeza estete em determada stuação. Estatístca aplcada É todo o ramo do cohecmeto cetíco que proceda, úca ou prcpalmete, por termédo da metodologa estatístca. Eemplos: Bometra: cêca que trata da mesuração da vda e dos processos vtas, estatístca aplcada o estudo das característcas íscas ou comportametas dos seres vvos; Demograa: cêca que estuda a dâmca populacoal humaa, estatístca aplcada o estudo dos deretes aspectos de uma população; Ecoometra: estatístca aplcada o estudo da relação etre varáves ecoômca; Mecâca Estatístca ou ísca estatístca: estatístca aplcada á ísca, que estuda o comportameto de sstemas com elevado úmero de etdades costtutes a partr do comportameto destas etdades; Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

3 Socometra: estatístca aplcada o estudo de terações etre grupos, ou seja, é uma cêca que estuda a maera como as pessoas vvem, sua cultura, opões e attudes, assm como o relacoameto de us com os outros; Qualmetra: estatístca aplcada à qualdade, geralmete relacoada à área dustral. Geoestatístca ou estatístca espacal: estatístca aplcada à área da geograa, ou seja, estuda a dstrbução estatístca dos dados o espaço. Cocetos Báscos Ates de começarmos a trabalhar com estatístca propramete dta, é ecessáro cohecer algus cocetos báscos, a m de evtar a utlzação de termos errados e de aálses equvocadas. Serão dedos cocetos de população e amostra, ceso e amostragem, varáves e séres estatístcas. População e Amostra População N é o cojuto de todos os elemetos relatvos a um determado eômeo que possuem pelo meos uma característca em comum. A população é o Uverso totaldade das observações e pode ser ta ou ta. Uma população ta é aquela que apreseta um úmero lmtado de observações, possível de ser cotado. Eemplos: os habtates de Fracsco Beltrão, os estudates da Uoeste, as resdêcas o barro vla ova, pacetes terados em um hosptal, quatdade de gado em uma propredade. Uma população ta é aquela que apreseta um úmero lmtado de observações que é mpossível de se cotar e geralmete está assocada a processos. Eemplos: quatdade de rergerates produzdos a ábrca da Coca-Cola, úmero de parausos produzdos em uma ábrca. Amostra : É um subcojuto ou uma parte da população. Sempre será cosderada ta. Pode ser ou ão represetatva da população. Para que os métodos da estatístca erecal sejam váldos, a amostra deverá ser represetatva da população, ou seja, deve ser selecoada segudo certos crtéros téccas de amostragem, cálculo do tamaho da amostra, de modo que ela represete adequadamete todas as característcas da população. Ceso e Amostragem Quado a pesqusa estatístca é baseada os dados de todos os elemetos da população, dzemos que o realzado um ceso. Portato, ceso é a coleta eaustva de ormações das N udades populacoas. Nessas Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

4 stuações, ão se utlzam téccas de amostragem em estatístca erecal, pos se sabe eatamete o valor populacoal da característca estudada, ão sedo ecessáro estmá-la. Esse valor populacoal é chamado de parâmetro, e só é cohecdo se or realzado um ceso. Quado a pesqusa estatístca é baseada os dados de uma parte da população, dzemos que o realzada uma amostragem. Portato, amostragem é o processo de retrada de ormações dos elemetos amostras, o qual deve segur um método crteroso e adequado téccas de amostragem e cálculo do tamaho da amostra. Nessas stuações, a estatístca erecal é utlzada, pos ão se sabe eatamete o valor populacoal da característca estudada, mas se tem uma estmatva para esse valor obtdo pela amostra. Esse valor amostral é chamado de estmatva, a qual depede da amostra que ez parte da pesqusa. Em geral, a maora das pesqusas é eta por meo de amostragem, pos o custo e o tempo de eecução são meores do que o ceso e é possível cosegur boas estmatvas para o parâmetro. Cesos são utlzados geralmete quado a população é pequea ou quado se requer que a precsão seja a maor possível. Varáves São as característcas observadas, geralmete represetadas por um símbolo, sujetas à varação quattatva ou qualtatva, ou seja, que podem assumr um valor ou um atrbuto detro de um cojuto valores ou atrbutos ou de um tervalo de valores. Se a varável assume somete um valor, etão ela é uma costate. As varáves podem ser classcadas em: quattatvas umércas dscretas ou cotíuas qualtatvas ou categorzadas omas ou ordas. As varáves quattatvas são resultados de uma cotagem ou de uma medção, equato que as varáves qualtatvas são resultados de uma classcação ou de uma atrbução. Varáves quattatvas dscretas: são aquelas que podem assumr qualquer valor detro de um cojuto de valores. Em geral, são resultados de uma cotagem. Eemplo: dade, úmero de craças uma escola, úmero de láps Varáves quattatvas cotíuas: aquelas que podem assumr qualquer valor detro de um tervalo de valores. Em geral, são resultados de uma medção. Eemplo: dosages, comprmeto, área, volume, altura, peso, temperatura Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

5 Varáves qualtatvas ordas: Reerem-se a uma varável que classca os dvíduos de acordo com as categoras de uma característcas, as quas podem ser ordeadas. Os dados podem ser represetados por qualquer cosa que deote uma ordeação úmeros, letras ou omes. Eemplo: baa, méda, alta. Varáves qualtatvas omas: são aquelas que evolvem requêca e ão meddas. Nesse tpo de varável, os dvíduos são agrupados em categoras e cota-se a requêca com que ocorrem. Quado a varável omal possu apeas duas categoras que ão possuem ehuma relação herárquca etre s, chama-se dcotômca ou bára Eemplo: emo/masculo, curado e ão curado, grávda/ou ão grávda, vvo/morto, abao de 60 aos de dade/acma de 60 aos de dade. Quado a varável omal possu três ou mas categoras são chamadas poltômcas ou polomas Eemplo: Sstema do grupo saguíeos A B O em quatro categoras A,B, AB e O, Represetação Tabular e Gráca Os dados podem ser represetados em ormas de tabelas ou grácos. Nessa seção, serão apresetados algus tpos de tabelas e grácos. Tabelas A represetação tabular cosste em dspor os dados em lhas e coluas dstrbuídas de modo ordeado. A elaboração de tabelas obedece à Resolução 886, de 6 de outubro de 1966, do Coselho Nacoal de Estatístca. As ormas de apresetação são edtadas pelo Isttuto Braslero de Geograa e Estatístca IBGE. Essas ormas estabelecem, por eemplo, que uma tabela ão pode ser echada as etremdades, coorme mostra a tabela b da Fgura 1. Segudo as ormas, a tabela b, ão é uma tabela. Produto Quatdade Produto Quatdade A 10 B 18 C 1 a Tabela correta A 10 B 18 C 1 b Tabela correta Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

6 Fgura 1. Eemplos de tabela correta e correta Título: O quê; Ode; Quado Cabeçalho Total Colua Idcadora Corpo da tabela Total Fote : * Nota : Rodapé Fgura - Esquema de uma tabela com os seus elemetos Uma tabela deve possur os segutes elemetos: Título: Acma da tabela, deve respoder as segutes questões: o O que? Assuto a ser represetado Fato; o -Ode? O lugar ode ocorreu o eômeo local; o Quado? A época em que se vercou o eômeo tempo. Cabeçalho: parte da tabela a qual é desgada a atureza do coteúdo de cada colua. Geralmete é a prmera lha. Corpo: parte da tabela composta por lhas e coluas. o Lhas: parte do corpo que cotém uma seqüêca horzotal de ormações. o Coluas: parte do corpo que cotém uma seqüêca vertcal de ormações. o Colua Idcadora: colua que cotém as dscrmações correspodetes aos valores dstrbuídos pelas coluas umércas. Geralmete é a prmera colua. o Casa ou célula: parte da tabela ormada pelo cruzameto de uma lha com uma colua Faz parte do corpo da tabela. Rodapé: É o espaço aprovetado em seguda ao echo da tabela, ode são colocadas as otas de atureza ormatva: o Fote: reere-se à etdade que orgazou ou oreceu os dados epostos. o Nota: é um esclarecmeto geral; Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

7 o Chamada: é um esclarecmeto especíco em relação a uma célula especíca. Um eemplo de tabela smples para uma varável qualtatva é apresetado tabela abao. Quatdade e percetual de ucoáros da Empresa ABC, segudo o grau de strução Grau de Istrução Quatdade Percetual Fudametal ,3% Médo ,5% Superor * 00,% TOTAL % Fote: Empresa ABC * Iclu pós graduação Eemplo de tabela cruzada dupla etrada com duas varáves qualtatvas é apresetado a tabela. Opão dos ucoáros da Empresa ABC em relação a um projeto de le salaral, segudo o grau de strução em quatdade Grau de Istrução Opão Fudametal Médo Superor * Total A avor Cotra TOTAL Fote: Empresa ABC * Iclu pós graduação Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

8 TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS Sére estatístca é uma sucessão de dados estatístcos que medem a tesdade do eômeo, segudo suas característcas qualtatvas ou quattatvas. As séres estatístcas serão classcadas de acordo com a varação de três elemetos: tempo, local e o ato. São elas: Sére Hstórca - É aquela em que o elemeto que serve como base de classcação é a ração do tempo, como o da, o mês, o ao, o século, etc.. E: : Taa de mortaldade atl os últmos 10 aos a cdade do Salvador-Ba. Sére Geográca - É aquela que apreseta como elemeto varável somete o local ator geográco. E: A produção de cereas o Brasl, em 1996, segudo os Estados produtores. Sére Especíca - É aquela sére que apreseta como elemeto ou caráter varável o atoou espéce, permaecedo os a época e o local. E: Os aluos de uma Faculdade, em determado ao, classcados segudo o tpo saguíeo. Sére Msta - reere-se às séres que são combações de outros tpos de séres já estudadas. Classcação da população braslera segudo as Udades da Federação e o seo. Grácos Os grácos são uma orma de apresetação vsual dos dados. Normalmete, cotém meos ormações que as tabelas, mas são de mas ácl letura. O tpo de gráco depede da varável aalsada. As ormas da ABNT tratam os grácos como Fguras, cujo título assm como a ote é descrto abao dela. Classcação dos Grácos Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

9 Classcação dos Grácos Os grácos podem ser classcados segudo sua orma e sua utldade. Podemos cosderar segudo sua ução os grácos podem ser: Gráco de Iormação: por poto, lha, coluas e barras, setores, cartograma e pctograma. Gráco de Aálse: hstograma, polígoo de requêca e ogvas Gráco Especas: dspersão, ramo e olhas. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

10 1.Gráco por Poto. Dot plot O gráco de potos é a orma mas smples de apresetar um cojuto de dados tal que: as varáves sejam umércas, e a amostra seja pequea. Eemplo: Grácos de lha, como o da Fgura e o da Fgura 3 são dcados para séres temporas uma ou mas varáves observadas ao logo do tempo. Fgura. Produção de Petróleo Bruto o Brasl de 1976 a m³ Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

11 Fote: Cojutura Ecoômca Fev Aos Fgura 3. População Urbaa do Brasl por Regão de 1940 a Fote: Auáro Estatístco 1984 Grácos de coluas Fgura 4 e de barras Fgura 5 são equvaletes e adequados para varáves omas e ordas, ode todas as barras devem ter a mesma largura e devem estr espaços etre as barras. Em geral, são utlzados para lustrar qualquer tpo de sére e podem ser epressos em quatdades ou percetuas. Fgura 4. População Urbaa do Brasl em Fote: Auáro Estatístco 1984 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

12 Grácos de Barras Fgura 5. População Urbaa do Brasl em Fote: Auáro Estatístco 1984 Hstograma - é uma represetação gráca um gráco de barras vertcas da dstrbução de requêcas de um cojuto de dados quattatvos cotíuos. A partr do hstograma pode-se costrur o polígoo de requêca, que cosste em ur através de segmeto de reta as ordeadas correspodetes aos potos médos das bases superores dos retâgulos correspodetes a cada uma das classes. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

13 Polígoo de requêca. O polígoo de requêca é um gráco em lha, sedo que as reqüêcas absolutas são marcadas sobre perpedculares ao eo horzotal, levatadas a partr do poto médo de cada classe, o caso de reqüêcas smples e à partr do lmte superor do tervalo de classe, o caso de reqüêcas acumuladas crescetes. Eemplo: Gráco Ogva de Galto É um gráco de lha que represeta as requêcas acumuladas. O gráco se ca com a rotera teror da prmera classe e terma com a rotera superor da ultma classe. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

14 O gráco de coluas justapostas, como o da Fgura 6, apreseta vsualmete os dados proveetes de tabelas cruzadas com duas varáves qualtatvas. Fgura 6. População Urbaa do Brasl por Regão de 1940 a Fote: Auáro Estatístco 1984 O gráco de coluas sobrepostas, como o da Fgura 7 é outra alteratva para a apresetação vsual de dados de de tabelas cruzadas com duas varáves qualtatvas, porém apreseta os valores acumulados sobrepostos de requêca. Fgura 7. População Urbaa do Brasl por Regão de 1940 a Fote: Auáro Estatístco 1984 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

15 O gráco crculares ou de setores gráco de pzza, como apresetado a Fgura 8 é adequado para represetar gracamete a requêca relatva percetagem de cada categora da varável. Este gráco é utlzado para varáves omas e ordas. A área do gráco equvale à totaldade de casos 100% e cada ata represeta a percetagem de cada categora. Não é adequada para varáves que podem receber mas de uma resposta mesmo tempo, já que o percetual, esses casos, ultrapassa os 100%. Fgura 8. População Urbaa do Brasl em Fote: Auáro Estatístco 1984 O gráco Pctoral, também cohecdo como Pctograma Fgura 9 e Fgura 10, tem por objetvo chamar a ateção do públco em geral e geralmete utlza a arte a apresetação dos dados. Fgura 9. Evolução da rota acoal de carros à álcool de 1979 à 1987 Fote: Lopes et al 008 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

16 Fgura 10. Os métodos mas ecetes para dear de umar segudo umates etrevstados o Caadá Fote: Lopes et al 008 O gráco polar Fgura 11 é adequado para represetar séres temporas cíclcas. Es um rotero para costrur um gráco polar: 1 Traça-se uma crcuerêca de rao arbtráro preerecalmete, a um rao de comprmeto proporcoal a méda dos valores da sére; Costró-se uma sem-reta de preerêca horzotal partdo do poto 0 pólo e com uma escala eo polar; 3 Dvde-se a crcuerêca em tatos arcos orem as udades temporas; 4 Traça -se sem-retas a partr do poto 0 pólo passado pelos potos de dvsão; 5 Marca-se os valores correspodetes da varável, cado pela sem-reta horzotal eo polar; 6 Lgam-se os potos ecotrados com segmetos de reta; 7 Para echar o polígoo obtdo, emprega-se uma lha terrompda. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

17 Fgura 11. Precptação pluvométrca do mucípo de Sata Mara RS Fote: Base Aérea de Sata Mara Cartograma Fgura 1 é a represetação de uma carta geográca. Este tpo de gráco é empregado quado o objetvo é o de vgular os dados estatístcos dretamete relacoados com as áreas geográcas ou polítcas. Quado os dados são a requêca absoluta, usa-se potos proporcoas, e quado os dados são a requêca relatva, usa-se hachaduras. a requêca absoluta b requêca relatva Fgura 1. População e desdade populacoal da Regão Sul do Brasl 1990 Fote: Lopes et al 008 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

18 Bo- Plot é um tpo de gráco que objetva apresetar dversas ormações sobre o comportameto dos dados e ada mater uma orma compacta. O boplot é ormado pelo prmero e tercero quartl e pela medaa. As hastes erores e superores se estedem, respectvamete, do quartl eror até o meor valor ão eror ao lmte eror e do quartl superor até o maor valor ão superor ao lmte superor. Os lmtes são calculados da orma abao Lmte eror:. Lmte superor:. Para este caso, os potos ora destes lmtes são cosderados valores dscrepates outlers e são deotados por astersco *. A Fgura a segur apreseta um eemplo do ormato de um boplot. O boplot pode ada ser utlzado para uma comparação vsual etre dos ou mas grupos. Por eemplo, duas ou mas caas são colocadas lado a lado e se compara a varabldade etre elas, a medaa e assm por date. Outro poto mportate é a dereça etre os quarts que é uma medda da varabldade dos dados. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

19 Eemplo: Os grácos correspode as temperaturas médas mesas das cdades de Itu e Campas a últma década Gráco de ramo e olhas- Técca de aálse eploratóra de dados quattatvos respetado uma ordem. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

20 Dstrbuções de Frequêcas Uma dstrbução de requêca é uma tabela que reúe o cojuto de dados, coorme as requêcas ou as repetções de seus valores. No capítulo ateror, vmos como são etas essas tabelas quado a varável é qualtatva. Nesse capítulo, veremos como motar essas tabelas quado a varável é quattatva. Podemos agrupar os dados segudo cada valor observado dstrbução de requêcas por tervalo quado a varável é dscreta e possu poucos valores dsttos, ou em classes de valores dstrbução de requêcas por tervalo quado a varável é cotíua ou dscreta e possu mutos valores dsttos. Etapas para a costrução de uma dstrbução de requêcas por poto Estabelecer o rol crescete opcoal Rol é uma lsta, ode as observações são dspostas de orma ordeada crescete ou decrescete. O objetvo da ordeação é torar possível a vsualzação das varações ocorrdas, uma vez que os valores etremos são percebdos de medato, e também acltar a costrução da dstrbução de requêcas, etretato essa etapa é opcoal, ou seja, a dstrbução de requêcas pode ser eta depedete do rol Cotar a ocorrêca de cada valor Deve-se cotar a ocorrêca de cada valor derete dos dados brutos valores Orgas. Essa cotagem é chamada de requêca absoluta. Os deretes valores observados são colocados a prmera colua, equato que as requêcas absolutas são colocadas a seguda colua Calcular as requêcas acumuladas, relatvas e relatvas acumuladas Frequêca absoluta acumulada F é a soma de todas as requêcas aterores até o valor observado atual. Essas requêcas são colocadas a tercera colua. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

21 A requêca relatva r é calculada pela razão etre a requêca absoluta e o úmero total de observações e pode ser epressa em termos percetuas. Essas requêcas são colocadas a quarta colua. Frequêca relatva acumulada F é a soma de todas as requêcas relatvas aterores até o valor r observado atual e pode ser epressa em termos percetuas. Também pode ser calculada pela razão etre a requêca absoluta acumulada e o úmero total de observações. Essas requêcas são colocadas a quta colua. 1.. Etapas para a costrução de uma dstrbução de requêcas por tervalo Estabelecer o rol crescete opcoal É realzado da mesma orma descrta aterormete para o caso da dstrbução de requêcas por poto Calcular a Ampltude Total A Ampltude Total H é a dereça etre etre o maor e o meor valor observado da varável em estudo, ou seja, H MAX. MIN Calcular o úmero de classes Classe é cada um dos grupos ou tervalos de valores em que se subdvdrá a ampltude total do cojuto de tamaho. A classe, ode = 1,,..., k Para a determação do úmero de classes k, ão há uma órmula eata e estem dversos métodos, detre os quas, destaca-se a regra de Sturges, que estabelece que o úmero de classes k é calculado por: Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

22 k 1 3,3 log. Outro método, chamado de Método da Raz, estabelece que, se 5, k 5, e se 5, k. Esses métodos ão ecessaramete dão os mesmos resultados. ão são obrgatóras, ou seja, são apeas uma sugestão para se obter uma quatdade adequada de classes. O pesqusador deverá ter em mete que a escolha do úmero de classes depederá da atureza dos dados e da udade de medda em que eles orem epressos, e poderá arredodar o valor calculado de k para cma ou para bao, coorme lhe covr. Em geral, recomeda-se cosderar 4 k Calcular a ampltude das classes A ampltude h de cada classe é calculada por: h H / k. Quado a dstrbução de reqüêcas já este, a ampltude h de cada classe é obtda pela dereça etre o lmte superor e o lmte eror da classe, ou seja: h L l Estabelecer as classes Os dos valores etremos de cada classe são: o lmte eror L., que é o meor valor da classe cosderada, e o lmte superor Lsup., que é o maor valor da classe cosderada. Normalmete, a prmera classe ca com o prmero valor bruto observado, mas o pesqusador pode car com um valor ateror mesmo que ão este, se lhe or coveete. Cada classe deverá ter a mesma ampltude h, etretato, por causa dos arredodametos os cálculos, a últma classe poderá ser mas ampla que as demas, a m de cotemplar todos os dados brutos. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

23 Etre os lmtes eror e superor, utlza-se o símbolo, que sgca que a classe cotém o valor do lmte eror, mas ão cotém o valor do lmte superor, o qual etrará a últma classe. A úca eceção poderá ser a últma classe, que poderá utlzar o símbolo, ode o valor do lmte superor também estará cluído a classe Cotar as ocorrêcas em cada classe Deve-se cotar a ocorrêca de todos os valores que estão cotdos detro de cada classe. Essa cotagem é chamada de requêca absoluta. Os deretes valores observados são colocados a prmera colua, equato que as requêcas absolutas são colocadas a seguda colua Calcular as requêcas acumuladas, relatvas e relatvas acumuladas É realzado da mesma orma descrta aterormete para o caso da dstrbução de requêcas por poto Grácos para dstrbuções de requêcas Estem grácos adequados para apresetar as requêcas de varáves quattatvas. São eles: o hstograma, o polígoo de requêcas e a ogva. Hstograma Fgura 13 é um gráco de coluas justapostas, cujas alturas são proporcoas às reqüêcas absolutas e cujas bases correspodem ao tervalo de classe da dstrbução. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

24 Fgura 13. Eemplo de Hstograma Fote: Lopes et al 008 Polígoo de reqüêcas Fgura 14 é um gráco de lha, cujos vértces são proporcoas às reqüêcas absolutas e correspodem aos potos médos das classes da dstrbução. Fgura 14. Eemplo de Polígoo de Frequêca Fote: Lopes et al 008 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

25 Gráco Ogva Fgura 15 é um gráco de lha, cujos vértces são proporcoas às reqüêcas acumuladas e correspodem aos lmtes erores das classes da dstrbução. Fgura 15. Eemplo de Ogva crescete e decrescete Fote: Lopes et al 008 Estatístca Descrtva A estatístca descrtva tem o objetvo descrever os dados dspoíves da orma mas completa. As meddas descrtvas báscas mas mportates são as de posção, as de dspersão ou varabldade e as de orma. A êase aqu está sedo dada para o cálculo das meddas para os dados brutos. Às vezes, ão cosegumos obter os dados brutos, mas os dados já tabelados. Quado sso acotece, ão é possível calcular algumas as meddas descrtvas da mesma orma que azemos com os dados brutos. Nesses casos, algumas órmulas derem da orma de calcular dos dados brutos. Quado sso acotecer, haverá um destaque o teto um quadro para as órmulas utlzadas o caso de dados já tabelados. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

26 1.4. Meddas de Posção Quado se trabalha com dados umércos, podemos calcular meddas relacoadas com a posção dos dados. Podemos calcular meddas de posção cetral por eemplo, méda, medaa, moda ou de outras posções por eemplo, quarts, decs, percets observa-se uma tedêca destes de se agruparem em toro de um valor cetral. Isto dca que algum valor cetral é característca dos dados e que o mesmo pode ser usado para descrevêlos e represetá-los Méda A méda artmétca ou smplesmete méda á a mas utlzada das meddas de tedêca cetral. Cosste a soma de todas as observações dvdda pelo total de observações do grupo. Se esse grupo or uma amostra, o total de observações é dado por, porém se esse grupo or uma população, o total de observações é dado por N. A méda de uma amostra é dada por: , ou smplesmete:. A méda de uma população é dada por: 1... N N N 1 N ou smplesmete:. N Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

27 Propredades da méda 1 amostral ou populacoal: A soma dos desvos em relação à méda é ula: 0. A méda de uma costate é gual à costate: k k. A méda do produto de uma costate por uma varável é gual ao produto da costate pela méda da varável: k k.. A soma dos quadrados dos desvos em relação à méda é um mímo: a, a. No caso de dados tabelados por poto, de dados tabelados por tervalo é dada por: ou smplesmete: é o própro valor da classe; porém o caso é o poto médo da classe, e a méda de uma amostra k. k k 1.. A méda de uma população é dada por: k. k N k 1. N ou smplesmete:.. N 1 Represetaremos aqu a méda amostral, embora essas propredades matemátcas sejam váldas também para a méda populacoal. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

28 1.4.. Medaa A medaa Md ou ~ dvde em duas partes ao meo o cojuto das observações ordeadas rol. Colocado-se os valores em ordem crescete ou decrescete, a medaa é o elemeto que ocupa o valor cetral. É utlzada quado o cojuto de dados possu observações que se comportam de orma derete dos demas dados do cojuto ou quado os dados ão seguem uma Dstrbução Normal. Também pode ser utlzada o caso de varáves qualtatvas ordas com escalas do tpo lkert. Para ecotrar a posção da medaa P Md, azemos o segute cálculo: Se o úmero de elemetos 3 ou N or ímpar, a medaa será o elemeto cetral que ocupa a posção P 1 Md do rol; Se o úmero de elemetos ou N or par, a medaa será a méda artmétca etre os dos elemetos cetras que ocupam as posções P1 Md e P Md 1 do rol. Após ecotrar a posção da medaa P, basta localzar essa posção e ecotrar o valor correspodete M d o rol, se or mpar. Se or par, basta ecotrar os valores correspodetes o rol das duas posções calculadas P 1 M d e P M d e calcular a méda etre eles. No caso de dados tabelados por poto, a posção da medaa é calculada da mesma orma que os dados brutos e o rol é a própra tabela de requêcas. No caso de dados tabelados por tervalo, a posção da medaa é dada por: P Md. A Medaa é calculada por: Em mutas stuações prátcas, os dados seguem uma Dstrbução Normal, ou seja, eles podem ser ajustados por essa dstrbução. Essa dstrbução será vsta o capítulo de Probabldades. 3 Utlzaremos as órmulas a smbologa, que represeta a quatdade total de observações de uma amostra. As órmulas são as mesmas para o caso em que a quatdade total de observações se reere à população, N. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

29 Md P F Md Md1 lmd h. Md Moda A moda Mo de um grupo de observações é deda como a medda de reqüêca máma, ou seja, o valor que se repete com maor requêca. Pode ser utlzada para varáves qualtatvas. Há stuações em que o cojuto de dados pode possur mas de uma moda bmodal, trmodal, plurmodal ou multmodal, ou, ada, ão apresetar moda amodal. No caso de dados tabelados por poto, a moda é o valor da classe de maor requêca classe modal. No caso de dados tabelados por tervalo, podemos estmar a moda de váras ormas deretes. No Método Rudmetar, a moda é o poto médo da classe de maor requêca classe modal, ou seja: Mo L Mo l Mo Mo No Método de Czuber, que leva em cosderação as requêcas aterores e posterores à classe modal, a moda é dada por: Mo Mo1 Mo l Mo. Mo Mo1 Mo1 O método da Fórmula de Pearso é uma boa apromação para a Moda quado a dstrbução apreseta razoável smetra em relação à méda, e é dada por: Mo 3 ~. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

30 Separatrzes São valores de posção, que dvdem o rol. As prcpas meddas separatrzes são: medaa, quarts, decs e percets ou cets. Os quarts dvdem um cojuto de dados em quatro partes guas. Assm: 0% 5% 50% 75% 100% Q 1 Q =Md Q 3 ode: Q 1 é o prmero quartl, que separa os prmeros 5% dos 75% restates; Q é o segudo quartl, que é a medaa Md vsta aterormete, e separa o cojuto de dados em partes guas; Q 3 é o tercero quartl, que separa os prmeros 75% dos 5% restates. De orma aáloga, Os decs dvdem um cojuto de dados em dez partes guas. Assm: 0% 10% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% ode: D 1 D D 3 D 4 D 5 =Md D 6 D 7 D 8 D 9 D1 é o prmero decl, que separa os prmeros 10% dos 90% restates; D é o segudo decl, que separa os prmeros 0% dos 80% restates; Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

31 D9 é o oo decl, que separa os prmeros 90% dos 10% restates. Nota-se que o quto decl é gual ao segudo quartl, que é gual à medaa. De orma aáloga, os percets ou cets dvdem um cojuto de dados em cem partes guas. Assm: 0% 1% % 99% 100% P 1 P P 99 P 1 é o prmero percetl, que separa os prmeros 1% dos 99% restates; P é o segudo percetl, que separa os prmeros % dos 98% restates; P99é o oagésmo oo percetl, que separa os prmeros 99% dos 1% restates. Nota-se que o qüquagésmo percetl é gual ao quto decl, que é gual ao segudo quartl, e que é gual à medaa. Há dvergêcas etre os autores a orma de calcular as separatrzes. Algus cosderam que a Separatrz. será o elemeto que ocupa a posção PS do rol, ode: S S 4, e a separatrz or um quartl, e dca a ordem do quartl; S 10, e a separatrz or um decl, e dca a ordem do decl; S 100, e a separatrz or um percetl, e dca a ordem do percetl do rol 1 Outros cosderam que a Separatrz será o elemeto que ocupa a posção PS do rol. Essas duas S ormas de calcular etram em colto com o cálculo da medaa. A orma mas garatda é estabelecer o rol e procurar a Separatrz dretamete ou utlzar sotwares. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

32 No caso de dados tabelados, a posção de uma separatrz é dada por: PS., S ode: S 4, e a separatrz or um quartl, e dca a ordem do quartl; S 10, e a separatrz or um decl, e dca a ordem do decl; S 100, e a separatrz or um percetl, e dca a ordem do percetl. A separatrz é calculada por: S PS F S1 ls h. S 1.5. Meddas de dspersão O objetvo das meddas de dspersão é descrever os dados o setdo de ormar o grau de dspersão ou aastameto dos valores observados em toro de um valor cetral. Elas dcam se um cojuto é homogêeo pouca ou ehuma varabldade ou heterogêeo muta varabldade. Há mutas aplcações dessas meddas a estatístca erecal Ampltude A ampltude H ou desvo etremo é a dereça etre o maor e o meor valor do cojuto, é de grade stabldade porque cosdera somete os valores etremos do cojuto. Utlza-se muto em grácos de cotrole para motorar a varabldade através da ampltude e para costrur dstrbuções de requêcas por tervalo. Obtém-se por: H X MAX X MIN. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

33 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca Varâca A varâca é uma medda de varabldade quadrátca. A varâca populacoal é dada por: N N N N e também pode ser calculada por: N N N. A varâca populacoal s é dada por: s mas também pode ser calculada por: 1 1 s. Propredades da varâca 4 amostral ou populacoal: A varâca de uma costate é zero: 0 k s. 4 Represetaremos aqu a varâca amostral, embora essas propredades matemátcas sejam váldas também para a méda populacoal.

34 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca A varâca da soma ou dereça de uma costate k com uma varável é gual a varâca da varável: s k s. A varâca da soma de varáves depedetes é gual a soma das varâcas das varáves: y s s y s. A varâca do produto de uma costate por uma varável é gual ao produto do quadrado da costate pela varâca da varável:.. s k k s. No caso de dados tabelados, a varâca populacoal é dada por: N N k k k e também pode ser calculada por: N N N. A varâca populacoal s é dada por: s k k k mas também pode ser calculada por: 1 1 s Desvo Padrão O desvo padrão é a raz quadrada da varâca. O objetvo do desvo padrão é remover o eeto quadrátco da varâca. O desvo padrão populacoal é dada por:

35 O desvo padrão populacoal s é dada por: Coecete de Varação. s s. O coecete de varação CV é uma medda de dspersão relatva. É útl quado se deseja comparar a varação de cojutos de dados que apresetem deretes udades de medção e ou tamahos deretes, pos o coecete de varação depede da udade de medda dos dados. O coecete de varação pode também ser epresso como percetagem, para a amostra é dado por e para a população 1.6. Meddas de Forma s s CV ou CV %. 100 CV ou CV % As meddas de assmetra e curtose complemetam as meddas de posção e de dspersão o setdo de proporcoar uma descrção e compreesão mas completa das dstrbuções de reqüêcas. Estas dstrbuções ão derem apeas quato ao valor médo e à varabldade, mas também quato a sua orma assmetra e curtose. Estem váras ormas de se calcular a assmetra e a curtose de um cojuto de dados Assmetra Assmetra é o grau de desvo, aastameto da smetra ou grau de deormação de um cojuto de dados. Se a curva de reqüêcas de uma dstrbução tem uma "cauda" mas loga à dreta da ordeada máma do que à esquerda, dz-se que a dstrbução é desvada para a dreta ou que ela tem assmetra postva. Se ocorrer o verso, dz-se que ela é desvada para a esquerda ou tem assmetra egatva. Se ão ocorrer ehuma dessas stuações, ou Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

36 seja, se a dstrbução tver o mesmo comportameto para ambos os lados, dzemos que a dstrbução é smétrca. Eemplos de dstrbuções smétrcas e assmétrcas são apresetadas a Fgura 16 e a Fgura 17, respectvamete. a Md Mo 5 b Md Mo 6 Fgura 16. Eemplos de dstrbuções smétrcas Fote: Lopes et al 008 a Mo Md 7 b Md Mo Fgura 17. Eemplos de dstrbuções assmétrcas: a assmetra postva ou à dreta e b assmetra egatva ou à esquerda Fote: Lopes et al 008 O 1 coecete de assmetra de Pearso, para dados amostras, é dado por: 5 Espera-se que sso ocorra quado a dstrbução tver essa orma. No etato, a prátca, os valores podem sorer uma pequea varação. 6 Nesse caso, tem-se duas modas dstrbução bmodal, e ehuma delas será gual à méda ou à medaa. 7 Em geral, essa relação ocorre. Na prátca, porém, em sempre ocorre assm. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

37 Mo As, s e para dados populacoas, é dado por: Mo As. O coecete de assmetra de Pearso, para dados amostras, é dado por: As Q Q 1 3. Q Tato para o prmero quato para o segudo coecetes de assmetra, a terpretação, segudo Foseca e Marts 1996, é: 3 Q ~ 1 As < 0: dstrbução Assmétrca Negatva; As > 0: dstrbução Assmétrca Postva; As = 0: dstrbução Smétrca. por: Coecete mometo de assmetra 3 é o tercero mometo abstrato. O mometo abstrato r é dado ode M r r, r s M r é o mometo de ordem r cetrado a méda, e é dado por: No caso de dados tabelados, M r é dado por: M r r. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

38 M r r. Assm, o coecete mometo de assmetra 3 é dado por: A terpretação para 3 é: 3 0, dstrbução Assmétrca Negatva; 0, 3 dstrbução Assmétrca Postva; 0, 3 0, dstrbução Smétrca. M s Curtose As meddas de Curtose, ou de Achatameto, têm por aldade os mostrar até que poto a curva represetatva de uma dstrbução é mas aguda ou mas achatada, do que uma curva ormal. Curtose mede o grau de achatameto alameto de uma curva em relação à curva ormal. Quato à curtose, uma dstrbução pode ser classcada, coorme a Fgura 18, como: Platcúrtca: a curva é mas achatada do que a ormal varabldade alta; Mesocúrtca: a curva é ormal varabldade méda; Leptocúrtca: a curva é mas alta do que a ormal varabldade pequea. Fgura 18. Comparação etre três dstrbuções com mesma méda, porém derete varabldade. Fote: Lopes et al 008 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

39 O Coecete cetílco de curtose é dado por: A terpretação para K é: Q3 Q1 K. D D 9 1 K 0,63, curva leptocúrtca; K 0,63, curva mesocúrtca; K 0,63, curva platcúrtca. Coecete mometo de curtose 4 é o quarto mometo abstrato. Assm, o coecete mometo de curtose 4 é dado por: 4 M s 4 4 A terpretação para 4 é: 4 3 curva platcúrtca; 4 3 curva mesocúrtca; 4 3 curva leptocúrtca. Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca

40 BIBLIOGRAFIA FONSECA, J.S. da.; MARTINS, G.A. Curso de Estatístca. 6ª Ed. São Paulo: Atlas, 1996 TRIOLA, M. F. Itrodução à Estatístca. 7a Ed. Ro de Jaero: LTC, W. de O.; MORETIN, P.A. Estatístca Básca. 5ª Ed. São Paulo: Sarava, 004. COSTA NETTO, P. L.O. Estatístca. a. Ed. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 00. MORETTIN, L.G. Estatístca Básca: Ierêca. São Paulo: Pearso Makro Books, 000 Módulo I : Itrodução-Estatístca Descrta Curso: Admstração Dscpla: Estatístca