ESTATÍSTICA 2º. SEMESTRE DE 2016

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1 ESTATÍSTICA O presete materal fo elaborado com o objetvo de facltar as atvdades em sala de aula, segudo a bblografa apresetada o fal do texto. Esclarece-se que o materal, ão substtu a bblografa apresetada, portato, é ecessáro cosultar os lvros recomedados.. Profa. Sachko Arak Lra º. SEMESTRE DE 06

2 SUMÁRIO ESTATÍSTICA DESCRITIVA.... Varável Aleatóra.... Tpos de Escalas e Varáves Tabelas Elemetos essecas de uma tabela Tabelas de dstrbução de frequêcas Varável Dscreta Varável Cotíua Gráfcos Represetação Gráfca Hstograma de Frequêcas Dagrama de Ramo e Folhas (Stem ad Leaf Plot) Gráfco de Boxplot ou da Caxa Gráfco de Lhas....5 Meddas de Localzação, Varabldade e Forma da Dstrbução Tedêca Cetral Esperaça matemátca ou méda artmétca Medaa Moda Meddas de Posção (ou Separatrzes) Quartl Meddas de Dspersão Ampltude Total Ampltude Iterquartl Desvo Médo Varâca e Desvo Padrão Coefcete de Varação Forma da Dstrbução Coefcete do mometo de assmetra Coefcete do mometo de curtose... 8 Lsta de Exercícos o. Estatístca Descrtva... 3 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES Expermeto Aleatóro (E) Espaço Amostral (S) Eveto Eveto Complemetar Evetos Idepedetes Evetos Mutuamete Exclusvos Defção Clássca de Probabldade Defção Axomátca de Probabldade Probabldade Codcoal Teorema da Probabldade Total Teorema de Bayes Lsta de Exercícos o. - Probabldades VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Defções Dstrbuções de Probabldades Dscretas Dstrbução bomal Dstrbução de Posso Dstrbução Hpergeométrca SUMÁRIO

3 Lsta de Exercícos o. 3 Dstrbuções de Probabldades Dscretas... 5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES Defções Dstrbuções de Probabldades Cotuas Dstrbução Expoecal Dstrbução ormal ou Gaussaa Dstrbução ormal padrozada ou reduzda Dstrbução ( qu-quadrado) Dstrbução t de Studet Dstrbução F de Sedecor Lsta de Exercícos o. 4 Dstrbuções de Probabldades Cotíuas NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Itrodução Amostragem Probablístca Amostragem Aleatóra Smples (AAS) Amostragem Sstemátca Amostragem Estratfcada Dstrbuções Amostras Dstrbução Amostral de Médas Dstrbução Amostral de Proporções Dstrbução Amostral da Varâca... 7 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Itrodução Estmador e Estmatva Qualdades de um Estmador Estmação por Potos Estmador da Méda Populacoal Estmador da Varâca Populacoal Estmador do Desvo Padrão Populacoal Estmador da Proporção Populacoal Estmação por Itervalo Itervalo de Cofaça para Méda populacoal Itervalo de Cofaça para Dfereça etre Duas Médas Populacoas e Itervalo de Cofaça para a Varâca Populacoal Itervalo de Cofaça para o Desvo Padrão Populacoal Itervalo de Cofaça para Proporção Populacoal Dmesoameto da Amostra Estmação da Méda Populacoal Estmação da Proporção Populacoal Lsta de Exercícos o. 5 - Itervalos de Cofaça TESTES DE HIPÓTESES Etapas para Testes de Hpóteses Nível de Sgfcâca Erro Estatístco Testes Estatístcos Paramétrcos Teste para a Méda Populacoal Quado a varâca populacoal é Cohecda Quado a varâca populacoal é descohecda Teste para a Proporção Populacoal Teste para a Varâca Populacoal Teste para a Dfereça etre Duas Médas Populacoas Quado as varâcas populacoas e são Cohecdas SACHIKO ARAKI LIRA Quado as varâcas populacoas e são Descohecdas Duas Amostras Emparelhadas Teste para Igualdade de Duas Varâcas... 07

4 Lsta de Exercícos o. 6 Testes de Hpóteses... 0 TESTES DE ADERÊNCIA Teste Qu-quadrado de Aderêca Teste de Lllefors... 7 Lsta de Exercícos o. 7 Testes de Aderêca... 9 ANÁLISE DA VARIÂNCIA Fudametos da ANOVA Aálse da Varâca a um Crtéro de Classfcação Comparações Múltplas etre Médas Teste de Scheffé... 8 Lsta de Exercícos o. 8 Aálse da Varâca... 3 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO SIMPLES Itrodução Dagrama de Dspersão Aálse de Correlação Coefcete de Correlação Lear de Pearso Teste de Hpóteses para Coefcete de Correlação Aálse de Regressão Lear Smples Estmação dos Parâmetros Testes de Hpóteses a Regressão Lear Teste t Aálse da Varâca Coefcete de Determação ou Explcação Ajuste de Curva Geométrca (ou Fução Potêca) Estmatva dos Coefcetes Testes de Hpóteses Aálse da Varâca Coefcete de Determação ou Explcação Ajuste de Fução Expoecal Estmatva dos Coefcetes Testes de Hpóteses Aálse da Varâca Coefcete de Determação ou Explcação Lsta de Exercícos o. 9 Aálse de Correlação e Regressão ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Regressão Lear com Varáves Idepedetes Estmatvas dos Coefcetes de Regressão Teste para Verfcar a Exstêca de Regressão Cálculo do Coefcete de Determação ou Explcação... 6 Lsta de Exercícos o. 0 Aálse de regressão Lear Múltpla BIBLIOGRAFIA TABELA A. ÁREAS SOB A CURVA NORMAL TABELA A. ÁREAS SOB A CURVA NORMAL TABELA A - DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT... 7 TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE... 7 TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR (Nível de Sgfcâca %) TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR (Nível de Sgfcâca de 5%) TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR (Nível de Sgfcâca de 0%) TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS ( d c ) PARA TESTE DE LILLIERFORS v SUMÁRIO

5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA INTRODUÇÃO Estatístca é a cêca que trata da coleta, orgazação, descrção, aálse e terpretação dos dados expermetas. A FIGURA, a segur, mostra o cotexto em que se stua o estudo completo da Estatístca, aqu subdvddo em Estatístca Descrtva e Estatístca Idutva (ou Iferêca Estatístca). FIGURA - ESQUEMA GERAL DA ESTATÍSTICA Estatístca Descrtva Amostragem Cálculo das Probabldade s Estatístca Idutva FONTE: COSTA NETO (994, p.4). A Estatístca Descrtva é a parte que trata da orgazação e descrção de dados, através dos cálculos de médas, varâcas, estudo de gráfcos, tabelas etc. A Teora das Probabldades permte-os modelar os feômeos aleatóros, ou seja, aqueles em que está presete a certeza. É uma ferrameta fudametal para a ferêca estatístca. A Estatístca Idutva compreede um cojuto de téccas baseadas em probabldades, que a partr de dados amostras, permte-os trar coclusões sobre a população de teresse. A Amostragem é o poto de partda para um estudo estatístco. O estudo de qualquer feômeo, seja ele atural, socal, ecoômco ou bológco, exge a coleta e a aálse de dados estatístcos. A coleta de dados é, pos, a fase cal de qualquer pesqusa. A População é o cojuto de todas as observações potecas sobre determado feômeo. O cojuto de dados efetvamete observados, ou extraídos, costtu uma amostra da população. É a partr do dado amostral, que se desevolvem os estudos, com o objetvo de se fazer ferêcas sobre a população. SACHIKO ARAKI LIRA

6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA O objetvo da estatístca descrtva é orgazar os dados e apresetá-los de forma a possbltar a vsualzação das formações subjacetes (que ão são observáves). As téccas estatístcas e gráfcas, dspoíves para a aálse exploratóra de dados, podem ser aplcadas a qualquer cojuto de dados, sejam para dados populacoas ou amostras. O parâmetro é uma medda umérca que descreve de forma reduzda alguma característca de uma população ou uverso. É habtualmete represetado por letras gregas. Por exemplo: μ (méda), σ (desvo padrão), ρ (coefcete de correlação). O parâmetro ormalmete é descohecdo e, deseja-se estmar através de dados amostras. Estatístca ou medda amostral é uma medda umérca que descreve alguma característca de uma amostra. É habtualmete represetada por letras latas. Por exemplo: X (méda), S (desvo padrão), r (coefcete de correlação). Em resumo, a aálse exploratóra de dados permte orgazar os dados através de tabelas, gráfcos e meddas de localzação e dspersão, procurado mostrar um padrão ou comportameto de um cojuto de dados.. VARIÁVEL ALEATÓRIA Varável aleatóra é aquela cujo valor umérco ão é cohecdo ates da sua observação. Esta tem uma dstrbução de probabldades assocada, o que permte calcular a probabldade de ocorrêca de certos valores. Geralmete, utlzam-se letras maúsculas (X, Y, Z...) para desgar as varáves aleatóras, e músculas (x, y, z...) para dcar partculares valores dessas varáves. O comportameto de uma varável aleatóra é descrto por sua dstrbução de probabldade. Exemplo: Supoha que em um lote de 0 parafusos, são defetuosos. A varável aleatóra X=úmero de parafusos defetuosos, a escolha de 3 parafusos com reposção, pode assumr os segutes valores: X (s) 0,se s PPP, se s DPP ou s PDP ou s PPD, se s DDP ous DPD ous PDD 3, se s DDD sedo P=perfeto e D=defetuoso. A dstrbução de probabldades é apresetada o QUADRO. QUADRO - DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X X x P (X x) 0 (8 0) 3 0, 5 3 (8 0) ( 0) 0, (8 0) ( 0) 0, ( /0) 3 0, 008 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

7 A fução de repartção ou fução de dstrbução acumulada da v. a X é defda por F (x) P ( X x),x R, ou seja, é defda como sedo a probabldade de X assumr um valor X X meor ou gual a x. Como exemplo tem-se o QUADRO. QUADRO - FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X P(X x (x) X x ) 0 (8 0) 3 0, 5 0,5 3 (8 0) ( 0) 0, 384 0,896 3 (8 0) ( 0) 0, 096 0,99 3 ( /0) 3 0, 008,000 F X.. ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS. Quado o prmero algarsmo a ser abadoado for 0,,, 3 ou 4, fca alterado o últmo úmero que permaecer. Exemplo: seja o úmero 48,3, ao arredodar para casas decmas fcará 48,3.. Quado o prmero algarsmo a ser abadoado for 6, 7, 8 ou 9, aumeta-se de uma udade o últmo algarsmo a permaecer. Exemplo: o úmero 3,077, ao arredodar para casas decmas fcará 3, Quado o prmero algarsmo a ser abadoado for 5, haverá duas formas: a) como regra geral, aumeta-se de uma udade o últmo algarsmo a permaecer. Exemplo:,553 fcará,53. b) se ao 5 só segurem zeros, o últmo algarsmo a ser coservado só será aumetado se for ímpar. Exemplo: 4,7750 passa a ser 4,78 4,7650 passa a ser 4,76. Exemplos: arredodar os úmeros dados para casa decmas. 7,4445 fcará 7,44; 79,5673 fcará 79,57; 87,493 fcará 87,49; 4,565 fcará 4,57; 4,5650 fcará 4,56; 4,575 fcará 4,58. SACHIKO ARAKI LIRA 3

8 4. Quado houver parcelas e total, e ocorrer dfereça o arredodameto, deve-se fazer correção a parcela (ou parcelas) ode o erro relatvo for meor. Exemplo:,4 para 3,4 4 6, ,9 3. TIPOS DE ESCALAS E VARIÁVEIS Uma varável pode se apresetar das segutes formas, quato aos valores assumdos:. o Escala omal: é aquela que permte o agrupameto da udade de observação (udade da pesqusa) de acordo com uma classfcação qualtatva em categoras defdas, ou seja, cosste smplesmete em omear ou rotular, ão sedo possível estabelecer graduação ou ordeameto. Ao se trabalhar com essa escala, cada udade de observação deve ser classfcada em uma e somete uma categora, sto é, deve ser mutuamete excludete. Por exemplo, seja X, a varável, estado de uma peça de automóvel. Neste caso, a varável X assume as categoras perfeta e defetuosa, sedo deomada dcotômca. Quado assume mas de duas categoras é deomada poltômca. Não tem sgfcado artmétco ou de quatfcação, ão se faz cálculos, apeas a cotagem.. o Escala ordal: permte o agrupameto da udade de observação de acordo com uma ordem de classfcação. A escala ordal forece formações sobre a ordeação das categoras, mas ão dca a gradeza das dfereças etre os valores. Exemplo: Seja X a varável que dca a qualdade de um determado produto. Tem-se etão: A (dcado melhor qualdade), B (qualdade termedára) e C (por qualdade). 3.º Escala tervalar: é uma escala ordal em que a dstâca etre as categoras é sempre a mesma. As escalas para medr temperaturas como a Fahrehet e a Cetígrada são exemplos de escalas de tervalo. Não se pode afrmar que 40 graus é duas vezes mas quete que uma temperatura de 0 graus, embora se possa dzer que a dfereça etre 0 graus e 40 graus é a mesma que etre 75 graus e 95 graus. 4.º Escala de razão: quado uma escala tem todas as característcas de uma escala tervalar e o zero absoluto represeta o poto de orgem, é chamada escala de razão. Sempre que possível, é preferível utlzar a medda de escala de razão, pos a partr desta pode-se trasformar em escala tervalar, ordal ou omal, ão ocorredo o verso. De acordo com o ível de mesuração, a varável pode ser classfcada em qualtatva ou quattatva. Varável qualtatva é aquela cujo ível de mesuração é omal ou ordal, equato a quattatva é aquela em que o ível de mesuração é tervalar ou de razão. A varável quattatva pode ser ada dscreta ou cotíua, sedo a prmera resultate de cotagem, assumdo somete valores teros, e a últma de medções, assumdo qualquer 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

9 valor o campo dos úmeros reas. Apresetam-se, a segur, os cocetos de varáves quattatvas dscretas e cotíuas. Varável aleatóra dscreta: uma varável aleatóra X é dscreta se o cojuto de valores possíves de X for fto ou fto umerável. Varável aleatóra cotíua: a varável aleatóra X é chamada de cotíua quado o seu cotradomío é um cojuto fto. A FIGURA apreseta os tpos de varáves de forma resumda. FIGURA - TIPOS DE VARIÁVEIS Nomal Qualtatva Ordal Varável Dscreta Quattatva Cotíua FONTE: A autora Exemplo de aplcação: Seja uma população de peças produzdas em um determado processo. É possível ter as segutes stuações coforme QUADRO 3: QUADRO 3 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS SEGUNDO TIPO VARIÁVEIS Estado: Coforme ou Não-coforme Qualdade: ª., ª. ou 3ª. categora Número de peças coformes Comprmeto das peças TIPO Qualtatva Nomal Qualtatva Ordal Quattatva Dscreta Quattatva Cotíua FONTE: A autora.3 TABELAS.3. ELEMENTOS ESSENCIAIS DE UMA TABELA Uma tabela deve apresetar os dados de forma resumda, oferecedo uma vsão geral do comportameto do feômeo aalsado. Uma tabela é costtuída dos segutes elemetos: SACHIKO ARAKI LIRA 5

10 - Título: é a dcação que precede a tabela e cotém a detfcação de três fatores do feômeo. a) A data a qual se refere; b) o local ode ocorreu o eveto; c) o feômeo que é descrto. - Cabeçalho: é a parte superor da tabela que especfca o coteúdo das coluas. 3 - Corpo da tabela: é o espaço que cotém as formações sobre o feômeo observado. 4 - Fote: é a dcação da etdade resposável pelo levatameto dos dados. Para obter mas formações cosultar o maual de ormalzação de documetos cetífcos de acordo com as ormas da ABNT (AMADEU, et al. 05).3. TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Serão apresetados algus cocetos mportates para a costrução de tabelas de frequêcas. Dados brutos: É o cojuto de dados umércos obtdos e que ada ão foram orgazados. Rol: É o arrajo dos dados brutos em ordem crescete (ou decrescete). Ampltude (At): É a dfereça etre o maor e o meor dos valores observados. Frequêca absoluta ( f ): É o úmero de vezes que um elemeto aparece o cojuto de dados: k f ode é o úmero total de observações e k é o úmero de valores dferetes observados. Frequêca Relatva ( f r ): f k fr e fr Frequêca Absoluta Acumulada ( f ac ): É a soma da frequêca absoluta do valor assumda pela varável com todas as frequêcas absolutas aterores..3.. VARIÁVEL DISCRETA Quado uma varável quattatva dscreta assume poucos valores, pode-se cosderar que cada valor seja uma classe e que exste uma ordem atural essas classes. Exemplo: Os dados que seguem apresetam os resultados da speção dára de todas as udades de computadores produzdos durate os últmos 0 das. O úmero de udades ãocoformes são: ESTATÍSTICA DESCRITIVA

11 TABELA - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO NÚMERO DE UNIDADES NÃO CONFORMES DE COMPUTADORES PRODUZIDOS DURANTE 0 DIAS NÚMERO DE DEFEITOS NÚMERO DE DIAS (Freq.) FONTE: MONTEGOMERY, D. C. NOTA: A produção dára é de 00 computadores. Número de Classes (k) Quado se tratar de uma varável quattatva dscreta que pode assumr um grade úmero de valores dsttos, a costrução da tabela de frequêcas e de gráfcos cosderado cada valor como uma categora fca vável. A solução é agrupar os valores em classes ao elaborar a tabela. Segudo Bussab e Morett, a escolha dos tervalos depederá do cohecmeto que o pesqusador tem sobre os dados. Assm, a defção do úmero de tervalos ou classes é arbtrára. Mas, vale lembrar que, quado se utlza um pequeo úmero de tervalos pode-se perder formações, e ao cotráro, com um grade úmero de tervalos pode-se prejudcar o resumo dos dados. Exstem duas soluções para a defção do úmero de tervalos bastate utlzadas que são: ) Se o úmero de elemetos () for meor ou gual a 5 etão o úmero de classes (k) é gual a 5; se for maor que 5, etão o úmero de classes é aproxmadamete a raz quadrada postva de. Ou seja: Para 5, k = 5 Para > 5, k = ) Fórmula de Sturges para úmero de classes: k 3,3 log ( ). Ampltude total ou rage (At): É a dfereça etre o maor e o meor valor observados o cojuto de dados. A t X máx X m Ampltude dos tervalos ou das classes (h): É a dvsão da ampltude total (At) pelo úmero de tervalos (k). Ou seja: h k At SACHIKO ARAKI LIRA 7

12 .3.. VARIÁVEL CONTÍNUA Quado a varável quattatva em estudo é cotíua, que assume mutos valores dsttos, o agrupameto dos dados em classes será sempre ecessáro, a costrução das tabelas de frequêcas. Exemplo : A tabela abaxo apreseta as meddas de uma dmesão de uma peça produzda por um processo de usagem. Costrur a tabela de dstrbução de frequêcas em classes. 0,8-36,4-0, - 5,9-8,5-49,3-5,3-44,8-9,7-3,7 35,0 08, - 38, - 38,6-39,6-44,4-5,9-45, - 45,7 0,4 ROL: 0,8-08, - 0, - 5,9-8,5-0,4-5,3-5,9-9,7-3,7 35,0-36,4-38, - 38,6-39,6-44,4-44,8-45, - 45,7-49,3 A t Xmáx Xm 49,3 0,8 46,50 k 5 A h k t 46,50 9,3 0 5 TABELA - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR UM PROCESSO DE USINAGEM INTERVALO DE CLASSES f 0,8 ---,8 3 0,5 3,8 ---,8 3 0,5 6 f r fac, ,8 4 0,0 0 3, ,8 5 0,5 5 4, ,8 5 0,5 0 TOTAL 0,00 FONTE: Elaborada pela autora. Exemplo : O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 30 determações: ESTATÍSTICA DESCRITIVA

13 ROL: A t X máx X m ,0 k 3,3log( 30) 5,87 6 (fórmula de Sturges) h A k t 8 4,7 5 6 TABELA 3 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO NECESSÁRIO PARA REALIZAÇAO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f f r fac , , , , , ,0 30 TOTAL 30,00 FONTE: Elaborada pela autora..4 GRÁFICOS.4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA O objetvo do gráfco é passar para o letor uma vsão clara do comportameto do feômeo em estudo, uma vez que os gráfcos trasmtem formação mas medata do que uma tabela. A represetação gráfca de um feômeo deve obedecer a certos requstos fudametas: a) Smplcdade: O gráfco deve ser desttuído de detalhes de mportâca secudára. b) Clareza: o gráfco deve possbltar uma correta terpretação dos valores represetatvos do feômeo em estudo. c) Veracdade: o gráfco deve ser a verdadera expressão do feômeo em estudo..4. HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS Este é um gráfco usado para apresetar dados orgazados em tervalos de classes, utlzado prcpalmete para represetar a dstrbução de varáves cotíuas. SACHIKO ARAKI LIRA 9

14 GRÁFICO HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS DA VARIÁVEL HISTOGRAMA ALEATÓRIA DE X FREQUÊNCIAS Freq Classes FONTE: Elaborado pela autora..4.3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS (STEM AND LEAF PLOT) Este dagrama é muto útl para uma prmera aálse dos dados. Passos para costrur um dagrama de ramo e folhas:. ordear os valores para ecotrar o valor mímo e máxmo dos dados;. dvdr cada úmero x em duas partes: um ramo, cosstdo em um ou mas dígtos cas, e uma folha, cosstdo os dígtos restates ; 3. lstar os valores do ramo em uma colua vertcal; 4. a partr da colocam-se os valores a folha. O valor zero, sgfca que há formação e que é um úmero tero. Já, quado aquele valor tero ão exste observações, ão colocar ada, dexar em braco; 5. escrever as udades para o ramo e folhas o gráfco. Cosderado os dados do exemplo : Os dados referem-se às meddas de uma dmesão de uma peça produzda por um processo de usagem. 0,8-08, - 0, - 5,9-8,5-0,4-5,3-5,9-9,7-3,7 35,0-36,4-38, - 38,6-39,6-44,4-44,8-45, - 45,7-49,3 GRÁFICO DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS DE MEDI- DAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS RAMO FOLHA FREQ FONTE: Elaborado pela autora. 0 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

15 Cosderado os dados do exemplo, tem-se: O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos): GRÁFICO 3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS DO TEMPO PARA REALIZAÇÃO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL RAMO FOLHA FREQ FONTE: Elaborado pela autora..4.4 GRÁFICO DE BOXPLOT OU DA CAIXA Comprmeto da caxa = ampltude terquartílca = Q3 - Q A lha cetral do retâgulo ( caxa ) represeta a medaa da dstrbução. As bordas superor e feror do retâgulo represetam os quarts e 3, respectvamete. Logo, a altura deste retâgulo é chamada de ampltude terquartílca (IQ). Os traços horzotas ao fal das lhas vertcas são traçados sobre o últmo poto (de um lado ou de outro) que ão é cosderado um outler. SACHIKO ARAKI LIRA

16 Não há um coseso sobre a defção de um outler. Porém, o caso do boxplot em geral, a maor parte das defções cosdera que potos acma do valor do 3º quartl somado a,5 vezes a IQ ou os potos abaxo do valor do º quartl dmuído de,5 vezes a IQ, são cosderados outlers..4.5 GRÁFICO DE LINHAS O gráfco de lhas é dcado para represetar séres temporas ou sequêca temporal, que é um cojuto de dados em que as observações são regstradas a ordem em que elas ocorrem. Este tpo de gráfco é mportate para a aálse do cotrole de processo de produção e de séres temporas. A segur, um exemplo de gráfco de méda (Gráfco de X ) das meddas dos dâmetros teros (mm) de aés de pstão de motores de automóves, de 5 amostras de tamaho =5 (GRÁFICO 4). GRÁFICO 4 GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIAS Médas amostras 74,05 GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIA LSC=74,0 74,00 74,005 74,000 _ X=LC=74,00 73,995 73,990 LIC=73, Amostras.5 MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO, VARIABILIDADE E FORMA DA DISTRIBUIÇÃO Estmador ou estatístca é uma fução dos valores da amostra, ou seja, é uma varável aleatóra, pos depede dos elemetos selecoados para compor a amostra. Ao aalsarmos a dstrbução de frequêcas de uma varável quattatva, proveete de uma amostra, deve-se, verfcar bascamete três característcas: Localzação; Varabldade ou Dspersão; Forma. ESTATÍSTICA DESCRITIVA

17 .5. TENDÊNCIA CENTRAL As meddas de tedêca cetral fazem parte, jutamete com as de posção, das chamadas meddas de localzação, e dcam ode se cocetra a maora dos dados..5.. ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA A esperaça matemátca ou méda artmétca de uma varável aleatóra X é o cetro de gravdade do cojuto de dados, e é defda como a soma de todos os valores da varável dvdda pelo úmero de observações. a) Para dados smples A esperaça matemátca ou méda artmétca populacoal é dada pela expressão: E ( X) N N x A méda artmétca amostral é obtda através da segute expressão: X x b) Para dados agrupados em classes E( X ) k x f (população) N ode: k é o úmero de classes; x é o poto médo das classes. k x f X (amostra) ode: k é o úmero de classes; x é o poto médo das classes. Propredades da Esperaça Matemátca. E( X K) E(X) K, sedo k=costate e X v.a.. E( X.K) k E(X) 3. Sejam X e Y varáves aleatóras. Etão: E( X Y) E(X) E(Y) 4. Sejam X e Y varáves aleatóras depedetes. Etão: E( X.Y) E(X).E(Y) SACHIKO ARAKI LIRA 3

18 5. E( X X) 0 v.a. cetrada A méda e os valores extremos: a méda apreseta um grave problema, ela é fortemete fluecada pelos valores extremos. Por esta razão, deve-se fazer uma aálse cudadosa dos dados. Exemplos de aplcação: ) Supoha que um egehero esteja projetado um coector de álo para ser usado em uma aplcação automotva. O egehero estabelece como especfcação do projeto uma espessura de 3/3 polegadas, mas está seguro acerca do efeto dessa decsão a força da remoção do coector. Oto udades do protótpo são produzdas e suas forças de remoção são meddas (em lbrasforça):,6 -,9-3,4 -,3-3,6-3,5 -,6-3,. A méda da força de remoção será: X x X ,6,9 3,4,3 3,6 3,5,6 3, 3, 0 lbras-força ) Cosdere a segute dstrbução: TABELA 4 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO NECESSÁRIO PARA REALIZAÇÃO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f f r fac , , , , , ,0 30 TOTAL 30,00 FONTE: Elaborada pela autora. Calcular o tempo médo ecessáro para realzar a operação dustral. Solução: INTERVALO DE CLASSES f x x f ,5 34, ,5 3, ,5 348, ,5 94, ,5 07, ,5 35,0 TOTAL ,0 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

19 X k x f , ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a méda das meddas da dmesão das peças. TABELA 5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DE MEDI DAS DE UMA DIMENSÃO DE PEÇAS INTERVALO DE CLASSES f 0,8 ---,8 3 0,5 3,8 ---,8 3 0,5 6 f r fac, ,8 4 0,0 0 3, ,8 5 0,5 5 4, ,8 5 0,5 0 TOTAL 0,00 FONTE: Elaborada pela autora. INTERVALO DE CLASSES f x x f k x f X 66 30,8 0 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 07,8 33,4 7,8 353,4 7,8 5, 37,8 689,0 4, ,8 5 47,8 739,0 TOTAL 0 66,0.5.. MEDIANA A medaa é o valor que ocupa a posção cetral do cojuto de observações de uma varável, dvddo o cojuto em duas partes guas, sedo que 50% dos dados tomam valores meores ou guas ao valor da medaa e os 50% restates, acma do seu valor. SACHIKO ARAKI LIRA 5

20 a) Para dados smples Etapas para a obteção da medaa:. ordear os dados em ordem crescete (pode ser também a ordem decrescete, mas ão é comum e pode atrapalhar a hora de calcular as meddas de posção). o lugar ou posção que a medaa ocupa é: PosM e ( ) 4 3. o valor da medaa é o valor da varável que ocupa o lugar PosM e. A medaa é depedete dos valores extremos, porque ela só leva em cosderação os valores de posção cetral. Exemplo de aplcação: ) Cosderado-se as forças de remoção, meddas em uma amostra de oto udades do protótpo (em lbras-força):,6 -,9-3,4 -,3-3,6-3,5 -,6-3,. Rol:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6 PosM e (8 ) 4,5 4 A medaa é a méda artmétca dos valores que ocupam a posção 4 e 5. Logo, M e,9 3, 3,0 ) Os dados que seguem são os resultados da speção dára de todas as udades de computadores produzdos durate os últmos 0 das. O úmero de udades ão-coformes são: Calcular a medaa. Rol: PosM e (0 ) 5,5 4 M e b) Dados agrupados em classes M e ( ) fac L h f 6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

21 ode: L é o lmte feror da classe que cotém a medaa; é o úmero de elemetos do cojuto de dados; ' fac é a frequêca acumulada da classe ateror a que cotém a medaa; f é a frequêca smples da classe que cotém a medaa; h é o tervalo ou ampltude da classe que cotém a medaa. ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a medaa das meddas da dmesão das peças. TABELA 6 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS INTERVALO DE CLASSES 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 4, ,8 5 f TOTAL 0 Solução: 0 ) O passo cal é calcular 0 ; ) Calcular as frequêcas acumuladas ( f ac ). INTERVALO DE CLASSES f f ac 0,8 ---,8 3 3,8 ---,8 3 6, , , , , ,8 5 0 TOTAL 0 M e ( ) fac L h f SACHIKO ARAKI LIRA 7

22 M e ( 0 ) 6,8 0 3,8 4 ) Cosderado a dstrbução a segur, calcular a medaa. TABELA 7 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO GASTO PARA REALIZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 Solução: INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 f ac M e 30 5 ( ) fac L h f M e (5 ) , MODA a) Para dados smples A moda, represetada por M o, é o valor que apreseta maor frequêca. Ela pode ão exstr (dstrbução amodal), ter somete um valor (umodal) ou pode ter dos ou mas (bmodal ou multmodal), prcpalmete quado a varável assume mutos valores. Exemplo: 8 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

23 ) Cosderado-se as forças de remoção, meddas em uma amostra de oto udades do protótpo (em lbras-força):,6 -,9-3,4 -,3-3,6-3,5 -,6-3,. Para o exemplo tem-se que a moda é gual a,6 lbras-força. b) Dados agrupados em classes M o ode: 3M X ( moda de Pearso) e Me é a medaa da dstrbução de dados; X é a méda da dstrbução de dados. ) Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular a moda. Solução: TABELA 8 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO GASTO PARA REALIZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUSTRIAL INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 Tem-se que a méda e a medaa da dstrbução são, respectvamete: X 45,50 M e 44,5 Logo, a moda será: M 3M X 3 44,5 45,50 4,375 o e ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a moda das meddas da dmesão das peças. TABELA 9 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS INTERVALO DE CLASSES 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 4, ,8 5 f TOTAL 0 SACHIKO ARAKI LIRA 9

24 Solução: Tem-se que a méda e a medaa da dstrbução são, respectvamete: X 30,8 M e Mo ( 0 ) 6,8 0 3,8 4 3Me X 3 3,8 30,8 36,8.5. MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU SEPARATRIZES) As separatrzes mas cohecdas são os quarts e os percets. Os quarts dvdem o cojuto de dados em quatro partes guas e os percets, em cem partes guas. A cada quartl correspodem 5% do cojuto de dados e a percetl, %. Da mesma forma que para a medaa, as posções das separatrzes, para dados ordeados em ordem crescete..5.. QUARTIL São três meddas ( Q, Q e Q3 ) que dvdem o cojuto de dados em 4 partes guas, sedo que a cada quartl correspodem 5% dos dados. a) Para dados smples PosQ ( ),,, 3 4 Exemplo : Os dados a segur são dâmetros (em cm) de peças de automóves:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6-5,0 Calcular os quarts. (9 ) PosQ 3,0 (3 º elemeto), logo Q, 6 4 (9 ) PosQ 5,0 (5 º elemeto), logo Q 3, 4 (9 ) PosQ 3 3 7,0 (7 º elemeto), logo Q 3 3, 5 4 Exemplo : Os dados abaxo são as meddas de uma dmesão de uma peça produzda por um processo de usagem. 0,8-08, - 0, - 5,9-8,5-0,4-5,3-5,9-9,7-3,7 0 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

25 35,0-36,4-38, - 38,6-39,6-44,4-44,8-45, - 45,7-49,3 Calcular os quarts (, e 3). (0 ) PosQ 5,75 (5,75 º elemeto), 4 Logo, Q 8,5 (0,4 8,5) * 0,75 9,95 (0 ) PosQ 0,5 (0,5 º elemeto), 4 Logo, Q 3,7 (35,0 3,7) * 0,5 33,85 (0 ) PosQ 3 3 5,5 (5,5 º elemeto), 4 Logo, Q 3 39,6 (44,4 39,6) * 0,5 40,80 b) Para dados agrupados em classes PosQ,,, 3 4 (PosQ ) fac Q L h f ode: é o úmero de elemetos do cojuto de dados; L é o lmte feror da classe que cotém o quartl; ' fac é a freqüêca acumulada da classe ateror a que cotém o quartl; f é a freqüêca smples da classe que cotém o quartl; h é o tervalo ou ampltude da classe que cotém a medaa. Exemplos: ) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular os quarts, e 3, das meddas da dmesão das peças. TABELA 0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS INTERVALO DE CLASSES 0,8 ---,8 3 3 f f ac,8 ---,8 3 6, , , , , ,8 5 0 TOTAL 0 SACHIKO ARAKI LIRA

26 Solução: 0 a) PosQ Q,8 0 9, PosQ 0 4 Q 0 6,8 0 3, PosQ Q ,8 0 4,80 5 ) Dada a dstrbução de freqüêcas a segur, calcular os quarts, e 3. TABELA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊN- CIAS DO TEMPO PARA REALI- ZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUS- TRIAL INTERVALO DE CLASSES f TOTAL MEDIDAS DE DISPERSÃO Para descrever adequadamete a dstrbução de frequêcas de uma varável quattatva, além da formação do valor represetatvo da varável (tedêca cetral), é ecessáro dzer também o quato estes valores varam, ou seja, o quato eles são dspersos. Somete a formação sobre a tedêca cetral de um cojuto de dados ão cosegue represetá-lo adequadamete. As meddas de dspersão medem o grau de varabldade ou dspersão dos dados AMPLITUDE TOTAL A ampltude total mede a dstâca etre o valor máxmo e mímo. Ela é uma estatístca rudmetar, pos embora foreça uma oção de dspersão, ão dz qual é sua atureza. A t X máx X m Exemplo de aplcação: ESTATÍSTICA DESCRITIVA

27 Exemplo : Os dados a segur são dâmetros (em cm) de peças de automóves:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6-5,0 Tem-se que: A t Xmáx Xm 5,0,3, AMPLITUDE INTERQUARTIL A ampltude terquartl, ou comprmeto da caxa, é a dstâca etre o prmero e tercero quartl. É muto útl para detectar valores extremos, e é usado o dagrama de boxplot. IQ Q 3 Q Exemplo: cosderado os dados referetes aos dâmetros (em cm) de peças de automóves e os quarts correspodetes, já calculados aterormete, calcular a ampltude terquartl. (9 ) PosQ 3,0 (3 º elemeto), logo Q, 6 4 (9 ) PosQ 3 3 7,0 (7 º elemeto), logo Q 3 3, 5 4 IQ 3,5,6 0,9 Para a costrução do gráfco boxplot, tem-se: lm te f eror Q,5 IQ lm te sup eror Q3,5 IQ Para o exemplo em questão: lm te f eror,6,5 0,9,5 lm te sup eror 3,5,5 0,9 4,85 Exste um valor outler superor, que é 5, DESVIO MÉDIO a) Para dados smples expressão: O desvo médo é a méda dos valores absolutos dos desvos. É calculada através da DM x X Exemplo de aplcação: Os dados a segur são dâmetros (em cm) de peças de automóves:,3 -,6 -,6 -,9-3, - 3,4-3,5-3,6-5,0. Tem-se que: X 3, SACHIKO ARAKI LIRA 3

28 QUADRO 4 - VALORES DA VARIÁVEL X E DES- VIOS ABSOLUTOS EM RELAÇÃO À MÉDIA x x X,3 0,9,6 0,6,6 0,6,9 0,3 3, 0, 3,4 0,8 3,5 0,8 3,6 0,38 5,0,78 5, DM x X 5, 0,58 9 b) Para dados agrupados em classes DM k x X f Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular o desvo médo. Sabe-se que X 45,50. INTERVALO DE CLASSES f x x X x X f ,5, ,5 7, ,5, ,5 3, ,5 8, ,5 3,0 78 TOTAL 30 DM k x X f 7,0667 7, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO A varâca da varável aleatóra, represetada por V (X) ou, é obtda elevado-se os desvos em relação à méda ao quadrado. Quado se extra a raz quadrada da varâca, tem-se o desvo padrão. Propredades da Varâca 4 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

29 . V (k) 0, ode k=costate. V (kx) k V (X), ode k=costate e X v.a. 3. Sejam X e Y v.a. depedetes. Etão: V (X Y) V(X) V(Y) 4. Sejam X e Y v.a. ão depedetes (ou depedetes). Etão: V (X V (X Y) V(X) V(Y) COV(X, Y) Y) V(X) V(Y) COV(X, Y) ode: COV (X,Y) E(XY ) E(X)E(Y ) (covarâca) a) Para dados smples A varâca e o desvo padrão populacoal são obtdas pelas expressões: N N x (varâca) (desvo padrão) A varâca e o desvo padrão amostral são obtdas pelas expressões: S (varâca) x X S S (desvo padrão) Exemplo de aplcação: Cosderado o exemplo tem-se: QUADRO 5 - VALORES DA VARIÁVEL X E DESVIOS SIMPLES E QUADRÁTICOS EM RELA- ÇÃO À MÉDIA X x X x X,3-0,9 0,8464,6-0,6 0,3844,6-0,6 0,3844,9-0,3 0,04 3, -0, 0,044 3,4 0,8 0,034 3,5 0,8 0,0784 3,6 0,38 0,444 5,0,78 3,684 5,556 S 5,556 x X 0, S 0,80 b) Para dados agrupados em classes SACHIKO ARAKI LIRA 5

30 A varâca e o desvo padrão populacoal são obtdas pelas expressões: k k x f x f (varâca) k f N (desvo padrão) A varâca e o desvo padrão amostral são obtdas pelas expressões: Exemplo: S k k x X f x X f (varâca) k f S S (desvo padrão) Seja a dstrbução de frequêcas a segur. Calcular a varâca e o desvo padrão. INTERVALO DE CLASSES f x ( x X ) f 0,8 ---,8 3 07,8 587,0,8 ---,8 3 7,8 507,0, ,8 4 7,8 36,0 3, ,8 5 37,8 45,0 4, ,8 5 47,8 445,0 TOTAL 0 380,0 Dados: X 30,8 S k x X S 4,8 f 380 0,056 0 Exercíco: Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular a varâca e o desvo padrão. INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 6 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

31 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO É uma medda de dspersão relatva. É defdo como o quocete etre o desvo padrão e a méda, multplcado por 00, para expressar porcetagem. Em algumas stuações é desejável comparar o grau de dspersão de dos cojutos de dados com udades de meddas dferetes. Neste caso, deve-se usar o coefcete de varação (CV), que é uma medda de dspersão relatva, e ela ão é afetada pelas udades de medda da varável. Ou ada, quado as médas dos dos cojutos de dados são muto dsttas, este caso faz-se ecessáro utlzar uma medda de dspersão relatva. CV 00 coefcete de varação populacoal S CV 00 coefcete de varação amostral X Exemplo de aplcação: Para o exemplo tem-se: Dados: X 30,8 ; S 4, 8 4,8 Logo, CV 00 0,84% 30,8.5.4 FORMA DA DISTRIBUIÇÃO A dstrbução de frequêcas de uma varável pode ter váras formas, mas exstem três formas báscas, apresetadas através de hstogramas e suas respectvas ogvas, que são gráfcos específcos para dstrbuções de frequêcas. A dstrbução é smétrca, quado as observações estão gualmete dstrbuídas em toro de um valor mas frequete (metade acma e metade abaxo). Já, a assmetra de uma dstrbução pode ocorrer de duas formas: assmetra postva; assmetra egatva. Em algus casos, apeas o cohecmeto da forma da dstrbução de frequêcas de uma varável já os forece uma boa formação sobre o comportameto dessa varável COEFICIENTE DO MOMENTO DE ASSIMETRIA a3 k 3 ( x X ) f k ( x X ) f 3 Uma dstrbução é classfcada como: SACHIKO ARAKI LIRA 7

32 Smétrca: a 3 0 e tem-se que méda=medaa=moda Assmétrca egatva: a 3 0 e tem-se que méda medaa moda Assmétrca postva: a 3 0 e tem-se que moda medaa méda Grafcamete: Assmetra postva Smétrca Assmetra egatva FIGURA 3: CLASSIFICAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES QUANTO A ASSIMETRIA.5.4. COEFICIENTE DO MOMENTO DE CURTOSE A medda de curtose é o grau de achatameto da dstrbução, é um dcador da forma desta dstrbução. O coefcete mometo de curtose é defdo como sedo: a4 k ( x k ( x 4 X ) f X ) f Se a 4 3, a dstrbução é platcúrtca e esta apreseta uma curva de frequêca mas aberta, com os dados fracamete cocetrados em toro de seu cetro. Se a 4 3, a dstrbução é mesocúrtca e os dados estão razoavelmete cocetrados em toro de seu cetro. Se a 4 3, a dstrbução é leptocúrtca e esta apreseta uma curva de frequêca bastate fechada, com os dados fortemete cocetrados em toro de seu cetro. A curtose ou achatameto é mas uma medda com a faldade de complemetar a caracterzação da dspersão em uma dstrbução. Esta medda quatfca a cocetração ou dspersão dos valores de um cojuto de dados em relação às meddas de tedêca cetral em uma dstrbução de frequêcas. Uma dstrbução é classfcada quato ao grau de achatameto como: 8 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

33 FONTE: COSTA NETO (994) Exemplo : Para a dstrbução de frequêcas das meddas da dmesão das peças apresetadas a segur e as estatístcas já calculadas aterormete, calcular os coefcetes de assmetra e curtose. INTERVALO DE CLASSES f 0,8 ---,8 3,8 ---,8 3, ,8 4 3, ,8 5 4, ,8 5 TOTAL 0 Solução: INTERVALO DE CLASSES f 3 4 x ( x X ) ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f 0,8 ---,8 3 07, ,8 ---,8 3 7, , ,8 4 7, , ,8 5 37, , ,8 5 47, TOTAL k 3 ( x X ) f ( 6.90) 0 3-0, k ( x X ) f a A dstrbução apreseta assmetra levemete egatva. SACHIKO ARAKI LIRA 9

34 k 4 ( x X ) f ,8573 k ( x X ) f a A dstrbução é platcúrtca. Exemplo : Dada a dstrbução de frequêcas a segur, calcular a assmetra e curtose. INTERVALO DE CLASSES f Solução: INTERVALO DE CLASSES f TOTAL 30 x 3 4 ( x X ) ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f ( x X ) f , , , , , , TOTAL k 3 ( x X ) f (5.80) a , k ( x X ) f A dstrbução apreseta assmetra levemete postva. k 4 ( x X ) f a 30 4,930 k ( x X ) f A dstrbução é platcúrtca. 30 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

35 LISTA DE EXERCÍCIOS NO. ESTATÍSTICA DESCRITIVA. Cocetue: a) População ou Uverso; b) Amostra; c) Parâmetro; d) Estatístca ou medda amostral; e) Varável aleatóra dscreta e exemplfque; f) Varável aleatóra cotíua e exemplfque.. Uma mportate característca de qualdade da água é a cocetração de materal sóldo suspeso. Em seguda são apresetadas 30 meddas de sóldos suspesos de um certo lago. 4,4-65,7-9,8-58,7-5, - 55,8-57,0-68,7-67,3-67,3-54,3-54,0-73, - 8,3-59,9 56,9-6, - 69,9-66,9-59,0-56,3-43,3-57,4-45,3-80, - 49,7-4,8-4,4-59,6-65,8 a) costrur a dstrbução de frequêcas em classes; b) calcular as frequêcas relatva e acumulada; c) costrur o hstograma de frequêcas. 3. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 40 determações: a) costrur a dstrbução de frequêcas em classes; b) calcular as frequêcas relatva e acumulada; c) costrur o hstograma de frequêcas. 4. Foram obtdas oto meddas do dâmetro tero de aés de pstão forjados de um motor de um automóvel. Os dados (em mm) são: 74,00-74,003-74,05-74,000-74,005-74,00-74,005-74,004 Calcule a méda, a medaa, a moda, o desvo médo, o desvo padrão e o coefcete de varação da amostra. 5. Os tempos de esgotameto de um fluído solate etre eletrodos a 34 kv, em mutos são: 0,9-0,78-0,96 -,3 -,78-3,6-4,5-4,67-4,85-6,50-7,35-8,0-8,7 -,06-3,75-3,5-33,9-36,7-7,89. Calcule a méda, medaa, quartl, quartl 3, desvo padrão e coefcete de varação e comete os resultados obtdos. 6. O ph de uma solução é meddo oto vezes por uma operadora que usa o mesmo strumeto. Ela obteve os segutes dados: 7,5-7,0-7,8-7,9-7, - 7,0-7,6-7,8 Faça uma aálse estatístca dos dados e comete. SACHIKO ARAKI LIRA 3

36 7. Prever a propagação de trca de fadga em estruturas de avões é um mportate elemeto de seguraça em aeroaves. Um estudo de egehara para vestgar a trca de fadga em =9 asas reportou os segutes comprmetos (em mm) de trca:,3 -,96-3,0 -,8 -,5 -,37 -,04 -,47 -,60 Calcule a méda, os quarts (, e 3), o desvo padrão e o coefcete de varação da amostra. Comete os resultados obtdos. 8. Uma amostra de 7 corpos de prova de cocreto foreceu as segutes resstêcas à ruptura ( kg / cm ): Calcular a méda, medaa, moda, varâca, desvo padrão e coefcete de varação. Comete os resultados obtdos. 9. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta 0 determações: Faça uma aálse estatístca dos dados costrudo a dstrbução de frequêcas em classes (calcule também as meddas de assmetra e curtose). 0. As taxas de octaagem de combustível para motor, de váras msturas de gasola foram obtdas: 88,5-94,7-84,3-90, - 89,0-89,8-9,6-90,3-90,0-9,5-89,9 98,8-88,3-90,4-9, - 90,6-9, - 87,7-9, - 86,7-93,4-96, Faça uma aálse estatístca dos dados (calcule também as meddas de assmetra e curtose).. A propagação de trcas por fadga em dversas peças de aeroaves tem sdo objeto de mutos estudos. Os dados a segur cosstem dos tempos de propagação (horas de vôo) para atgr um determado tamaho de trca em furos de fxadores propostos para uso em aeroaves mltares. 0,736-0,863-0,865-0,93-0,95-0,937-0,983 -,007,0 -,064 -,09 -,3 -,40 -,53 -,53 -,394 a) calcule e compare os valores da méda e medaa amostras; b) calcule o desvo médo, desvo padrão e o coefcete de varação; c) qual é a coclusão sobre a forma da dstrbução (assmetra e curtose)?. O tempo ecessáro para se realzar certa operação dustral fo croometrado (em segudos), sedo feta medções: a) calcular Q (quartl ), Q (quartl ) e Q3 (quartl 3); b) costrur o gráfco boxplot. 3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

37 3. As taxas de octaagem de combustível para motor, de váras msturas de gasola foram obtdas: 88,5-94,7 80,0-90, - 89,0-89,8-9,6-90,3-90,0-9,5-89,9 a) calcular Q (quartl ), Q (quartl ) e Q3 (quartl 3); b) costrur o gráfco boxplot. SACHIKO ARAKI LIRA 33

38 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES DEFINIÇÕES. EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E) Defção : É o feômeo que, mesmo repetdos váras vezes sob codções semelhates, apresetam resultados mprevsíves. O resultado fal depede do acaso.. ESPAÇO AMOSTRAL (S) Defção : É o cojuto formado por todos os resultados possíves em qualquer expermeto aleatóro. Exemplos: Sejam os expermetos aleatóros e os respectvos espaços amostras: a) Ispecoar uma peça de automóvel. S coforme, ão coforme ; b) Tomar uma válvula eletrôca e verfcar o tempo de vda útl. S x R, x 0 c) Ispecoar uma lâmpada. S defetuosa,ão defetuosa ; d) Medr o coteúdo de cobre o latão. S xr,50% x 90% ;.3 EVENTO Defção 3: É um subcojuto do espaço amostral S de um expermeto aleatóro. S A Exemplo: Seja o espaço amostral S (c,c),(c,),(,c),(,) duas peças, sedo c=peça coforme e =peça ão coforme., resultado do expermeto de seleção de Supoha que A seja o subcojuto de resultados para os quas, o mímo uma peça seja A (c,c),(c,),(,c). coforme. Etão o eveto A será: 34 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

39 Por serem subcojutos, é possível realzar a operação de uão (U) etre cojutos. A Uão de Evetos represeta a ocorrêca de um eveto OU de outro. Outra operação que pode ser feta sobre Evetos é a tersecção ( ). A tersecção de evetos represeta a ocorrêca de um E de outro. Uão de evetos => A B A B A B Iterseção de evetos => A B A B.3. EVENTO COMPLEMENTAR O eveto complemetar do eveto A, represetado por A, é aquele que ocorre somete se A dexar de ocorrer. E tem-se que: A A A A S => P(A A ) A A A A Ø => P(A A ) 0 Seja o eveto A, obter úmero 4 a face superor o laçameto de um dado A 4 eveto complemetar A será: A,,3,5,6. O.3. EVENTOS INDEPENDENTES Quado a realzação ou ão realzação de um dos evetos ão afeta a probabldade da realzação do outro e vce-versa. Exemplos: ) No laçameto de dos dados qual é a probabldade de obter o º 4 o prmero dado e o º 3 o segudo dado? P() P( ) P(o. 4 o dado ) 6 P(o.3 o dado ) 6 P( ) P( E) P() P( ) SACHIKO ARAKI LIRA 35

40 ) Supoha que uma produção dára de 850 peças fabrcadas coteha 50 peças que ão satsfaçam as exgêcas dos cosumdores. Duas peças são selecoadas, sedo que a prmera peça é reposta ates da seguda ser selecoada. Qual é a probabldade das duas peças serem defetuosas? P(De D) ,0035 0,35%.3.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dos ou mas evetos são mutuamete exclusvos quado a realzação de um exclu a possbldade de realzação do(s) outro(s). Assm, o laçameto de uma moeda, o eveto "trar cara" e o eveto "trar coroa" são mutuamete exclusvos, já que, ao se realzar um deles, o outro ão se realza. A B S Se dos evetos são mutuamete exclusvos, a probabldade de que um ou outro se realze é gual à soma das probabldades de que cada um deles se realze: P( A B ) P(A OU B) P(A ) P(B ) Exemplos: ) No laçameto de um dado qual a probabldade de se trar o º 3 ou o º 4? Os dos evetos são mutuamete exclusvos etão: P( A B ) P(A OU B) P(o.3 ) P(o.4 ) ) Um parafuso é selecoado aleatoramete de um lote de 00 parafusos, sedo que 5 apresetam pequeos defetos e 0 são ão-coformes (ão acetáves). Qual é a probabldade do parafuso selecoado ser: a) Perfeto ou apresetar pequeo defeto? b) Apresetar pequeo defeto ou ão-coforme? Solução: P(pequeo defeto) P(ão coforme) ,5 0,0 36 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

41 P(perfeto) , a) P(perfeto ou pequeo defeto) 0, b) P( pequeo defeto ou ão coforme) 0, DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE Seja A um subcojuto do espaço amostral S. Etão, se todos os resultados elemetares de S são equprováves, a medda da probabldade de ocorrêca do eveto A é dada por: P(A) úmero de elemetos em úmero de elemetos em A S ( A ) ( S).5 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE Seja o espaço amostral S assocado a um certo expermeto. A cada eveto A S assoca-se um úmero real represetado por P (A), chamado de probabldade de A, satsfazedo as propredades: ) 0 P(A) ) P(S) (ou seja, a probabldade do eveto certo é gual a ) 3) sejam A e B dos evetos mutuamete exclusvos. A probabldade de ocorrêca de A ou B é gual à soma das probabldades dvduas. P(A ou B ) P(A ) P(B).6 PROBABILIDADE CONDICIONAL Defção 4: Sejam A e B evetos de um expermeto E, com P(B) 0. Etão a probabldade codcoal do eveto A dado que B teha ocorrdo é: P( A B) P(A B ), A E P(B ) Exemplo: O quadro a segur forece um exemplo de 400 tes classfcados por falhas a superfíce e como defetuosos (fucoalmete). DEFEITUOSO FALHAS NA SUPERFÍCIE Sm Não TOTAL Sm Não TOTAL SACHIKO ARAKI LIRA 37

42 a) Qual é a probabldade do tem ser defetuoso, dado que apreseta falhas a superfíce? b) Qual é a probabldade de ter falhas a superfíce dado que é defetuoso? Solução: A Probabldade Codcoal pode assumr a forma abaxo, chamada algumas vezes de teorema da multplcação de probabldades: P(A B ) P( A B) P(B ), ou de forma equvalete, P(A B ) P(B A) P( A ) Exemplo: A probabldade de que o prmero estágo de uma operação, umercamete cotrolada, de usagem para pstões com alta rpm ateda às especfcações é gual a 0,90. Falhas são devdo a varações o metal, alhameto de acessóros, codções da lâma de corte, vbração e codções ambetas. Dado que o prmero estágo atede às especfcações, a probabldade de que o segudo estágo de usagem ateda à especfcações é de 0,95. Qual a probabldade de ambos os estágos atederem as especfcações? P(A B ) P(B A) P( A ) 0,95 0,90 0,855.7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Supoha que evetos aleatóros A,A,, Ak sejam k cojutos mutuamete exclusvos e exaustvos ( A A Ak,... S). Etão: P (B ) P( A ).P( B A Exemplos: ) ) A probabldade de que um coector elétrco que seja matdo seco falhe durate o período de garata de um computador portátl é %. Se o coector for molhado, a probabldade de falha durate o período de garata será de 5%. Se 90% dos coectores forem matdos secos e 0% forem matdos molhados, qual é a probabldade dos coectores falharem durate o período da garata? Solução: 38 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

43 ) Supoha que a fabrcação de semcodutores, a probabldade seja de 0,0 de que um chp que esteja sujeto a altos íves de cotamação durate a fabrcação cause uma falha o produto. A probabldade é de 0,005 de que um chp que ão esteja sujeto a altos íves de cotamação durate a fabrcação cause uma falha o produto. Em um dado state da produção, 0% dos chps estão sujetos a altos íves de cotamação. Qual a probabldade de um produto usado um desses chps vr a falhar? Solução:.8 TEOREMA DE BAYES Uma das relações mas mportates evolvedo probabldades codcoas é dada pelo teorema de Bayes, que expressa uma probabldade codcoal em termos de outras probabldades codcoas. P ( A B) k P( A ).P(B A ) j P( A j ).P(B A j ) Exemplo: Uma determada peça é produzda por três fábrcas,, e 3. Sabe-se que a fábrca produz o dobro de peças que, e e 3 produzram o mesmo úmero de peças durate um período de produção especfcado. Sabe-se também que % das peças produzdas por e por são defetuosas, equato 4% daquelas produzdas por 3 são defetuosas. Todas as peças são colocadas um depósto. Uma peça é retrada ao acaso do depósto e se verfca que é defetuosa. Qual a probabldade de que teha sdo produzda a fábrca? Defção dos evetos: B={ a peça é defetuosa} A={ a peça é da fábrca } A{ a peça é da fábrca } A3={ a peça é da fábrca 3} P(B A) 0,0 P(A ) SACHIKO ARAKI LIRA 39

44 P(B A ) 0,0 P(A ) 4 P(B A3 ) 0,04 P(A 3 ) P ( A P( A B) 4 k B) P( A ).P(B A ) j P( A P( A j ).P(B A ).P(B A ) P( A j ) P( A ).P(B A ).P(B A ) ) P( A 0,0 P( A B) 0,40 0,0 4 0,0 4 0,04 3 ).P(B A 3 ) ) Cada objeto maufaturado é submetdo para exame com a probabldade 0,55 a um cotrolador e com a probabldade 0,45 a um outro. A probabldade de passar o exame é, segudo o cotrolador, respectvamete gual a 0,90 e 0,98. Achar a probabldade de que um objeto aceto teha sdo examado pelo segudo cotrolador. LISTA DE EXERCÍCIOS NO. - PROBABILIDADES. De uma caxa cotedo 00 peças etre as quas 0 são defetuosas se extraem quatro peças ao acaso, sem reposção. Ecotrar a probabldade de que etre estas ão ocorra: a) ehuma peça defetuosa; b) ehuma peça boa.. De um lote de 5 válvulas 0 são boas. Ecotrar a probabldade de que de 3 válvulas extraídas ao acaso, sem reposção, sejam boas. 3. Uma caxa cotém 0 peças das quas 5 são defetuosas. Extraem-se duas ao acaso, sem reposção. Qual a probabldade de: a) ambas serem boas? b) ambas serem defetuosas? c) uma boa e outra defetuosa? 4. Dos aparelhos de alarme depedetes fucoam, o caso de avara, com a probabldade 0,95 e 0,90, respectvamete. Achar a probabldade de que uma avara fucoe apeas um dos aparelhos. 5. A probabldade de que uma medção o erro ultrapasse o admtdo é 0,4. Achar a probabldade de que em apeas uma medção de uma sére de três o erro ultrapasse o admtdo. 40 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

45 6. A probabldade de que uma peça do tpo exgdo se ache em cada uma de quatro caxas é gual, respectvamete, a 0,60; 0,70; 0,80 e 0,90. Calcular a probabldade de que tal peça se ecotre: a) o máxmo em três caxas; b) pelo meos em duas caxas. 7. Um crcuto elétrco é costtuído de três elemetos lgados em sére que dexam de fucoar com probabldade p 0, 0 ; p 0, 5 ; p 3 0, 0, respectvamete. Achar a probabldade de que ão haja correte o crcuto. 8. Um dspostvo de freo de automóvel cosste de três subsstemas, que devem fucoar smultaeamete para que o freo fucoe. Os subsstemas são um sstema eletrôco, um sstema hdráulco e um atvador mecâco. Ao frear, a probabldade de sucesso dessas udades é de 0,96, 0,95 e 0,95, respectvamete. Estme a cofabldade do sstema, admtdo que os subsstemas fucoem depedetemete. Cometáro: Sstemas deste tpo podem ser represetados grafcamete, coforme lustração abaxo, ode os subsstemas A (eletrôco), B (hdráulco) e C (atvador mecâco), dspõem-se em sére. Cosdera-se a trajetóra a-b como a trajetóra do sucesso. A B C a 0,96 0,95 0,95 b 9. Os automóves são equpados com crcutos redudates de freagem; os freos falham somete quado todos os crcutos falham. Cosderemos o caso de dos crcutos redudates, ou paralelos, cada um com 0,95 de cofabldade (probabldade de sucesso). Determe a cofabldade do sstema, supodo que os crcutos atuem depedetemete. 0. Respectvamete, 60 e 84 por ceto das peças forecdas por duas máquas automátcas, a produtvdade da prmera sedo o dobro da seguda, são de alta qualdade. Tedo-se costatado que uma peça escolhda ao acaso é de alta qualdade, achar a probabldade de que proveha da prmera máqua (teorema de Bayes).. Um relatóro de cotrole de qualdade de trasstores acusa os segutes resultados por fabrcate e por qualdade: FABRI- CANTE QUALIDADE Acetável Margal Iacetável TOTAL A B C Escolhdo um trasstor ao acaso, qual a probabldade: a) de provr do fabrcate A, dado que é de qualdade acetável? b) de ser acetável, dado que provém do fabrcate C? c) de provr do fabrcate B, dado que apreseta qualdade margal? SACHIKO ARAKI LIRA 4

46 ) Supoha que a fabrcação de semcodutores, as probabldades de que um chp, sujeto a alto, médo ou baxo ível de cotamação durate a fabrcação, cause uma falha o produto sejam respectvamete guas a 0,0, 0,0 e 0,00. Em um expermeto partcular da produção, 0% dos chps estão sujetos a altos íves de cotamação, 30% a íves médos de cotamação e 50% a baxos íves de cotamação. Qual a probabldade de um produto falhar ao usar um desses chps? 4 ELEMENTOS DE PROBABILIDADES

47 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 3. DEFINIÇÕES Defção : Seja E um expermeto e S o espaço amostral assocado ao expermeto. Varável aleatóra udmesoal é uma fução X, que assoca a cada elemeto s S, um úmero real X (s). S R X s X X ( s ) Exemplo: Uma caxa cotém 4 válvulas, sedo duas perfetas e duas defetuosas. Duas válvulas são retradas aleatoramete da caxa e testadas (sedo represetadas por D se a peça é defetuosa e P se a peça é perfeta). O espaço amostral assocado a este eveto é: S={PP,PD,DP,DD} Seja a varável aleatóra X=úmero de válvulas defetuosas. Os valores possíves da varável aleatóra X, serão: R X {0,,} Defção : Seja X uma varável aleatóra dscreta. A fução de probabldade, assoca um úmero real P(X x ), chamado de probabldade de x, a cada possível resultado x. Tem-se que: 0 P(X x ) P(X x xs ) Uma dstrbução de probabldade é uma descrção, que forece a probabldade para cada valor da varável aleatóra. Ela é frequetemete expressa a forma de um gráfco, de uma tabela ou uma fórmula. Exemplo: No laçameto de duas moedas ao ar, tem-se que os possíves resultados são: CC, Ck, KC, KK (C=cara e K=coroa). Seja X, a varável aleatóra úmero de caras. Etão, X poderá assumr os valores: SACHIKO ARAKI LIRA 43

48 X (s) 0, se s KK, se s CK ou s KC, se s CC A dstrbução de probabldade da varável aleatóra X é: X x P (X x) 0 /4 / /4 Exemplo : Em um processo de fabrcação de semcodutores, 3 pastlhas de um lote são testadas. Cada pastlha é classfcada como passa ou falha. Supoha que a probabldade de uma pastlha passar o teste seja de 0,8 e que as pastlhas sejam depedetes. Seja X a varável úmero de pastlhas de um lote que passam o teste. A dstrbução de probabldade de X será: 3 3 P(x 0) P(f,f,f) ( 0,8) 0, 0,008 P(x ) P(p,f,f) ou P(f,p,f) ou P(f, f,p) 3 (0,80 0,0 0,0) 3 0,03 P(x 0,096 ) P(p,p,f) ou P(p, f,p) ou P(f,p,p) 3 (0,80 0,80 0,0) 3 0,8 0,384 P(x 3) P(p,p,p) 0,8 3 0,5 X x P(X x) 0 0,008 0,096 0, ,5 Defção 3: Seja X uma varável aleatóra. A fução de dstrbução acumulada ou de repartção de X é defda como F(x) P(X x) Se X for varável dscreta, tem-se F(x) P(x ) x x Esperaça O valor esperado, expectâca ou a esperaça matemátca E(X), de uma varável aleatóra dscreta X, que é a méda da dstrbução, é defda por: 44 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

49 E(X) x P(x ) Varâca A varâca da varável aleatóra dscreta X, represetada por V (X), é defda por: V(X) E X E(X) x E(X) P(x ) Exemplo : Seja X uma varável aleatóra dscreta que represeta o úmero de peças defetuosas em cada 5 peças specoadas. Sabedo-se que a probabldade de uma peça ser defetuosa é de 0%, obtém-se a segute dstrbução de probabldade: x p(x ) 0,377 0,4096 0,048 0,05 0,0064 0,0003 E(X) E(X) V(X) Qual o valor esperado de X ( E (X) ) e a varâca ( V (X))? xp(x ) 0 0,377 0,4096 0, ,05 4 0, ,0003 E Portato, em cada 5 peças specoadas, o úmero esperado de peça defetuosa é. X E(X) x E(X) P(x ) V(X) (0 ) 0,377 ( ) 0,4096 ( ) 0,048 (3 ) 0, 05 V(X) (4 ) 0,7997 0,0064 (5 ) 0,0003 Exemplo : O tempo T, em mutos, ecessáro para um operáro processar certa peça é uma varável aleatóra com a segute dstrbução de probabldade: t P(t) 0, 0, 0,3 0, 0, 0, Calcular: E ( X ) e V ( X ) a) E(X) x P(x ) E(X) 0, 3 0, 4 0,3 5 0, 6 0, 7 0, 4,6 b) V(X) x E(X) P(x ) V(X) ( 4,6) V(X),04 0, (3 4,6) 0, (4 4,6) 0,3 (5 4,6) 0, (6 4,6) 0, (7 4,6) 0, SACHIKO ARAKI LIRA 45

50 Defção 4: Seja E um expermeto com espaço amostral S. Sejam X X(s) e Y Y(s) duas fuções, cada uma assocado um úmero real a cada resultado é uma Varável Aleatóra Bdmesoal. s S. Tem-se etão que (X,Y) S s s R XY X(s) Y(s) Seja o expermeto: retrar uma barra de ferro de um lote e observar a dmesão (largura e o comprmeto); tem-se este caso duas varáves aleatóras X e Y. 3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS 3.. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Uma varável aleatóra dscreta X, que cota o úmero de sucessos em provas depedetes, que apresetam os resultados sucesso ( p ) ou fracasso ( q p ), tem dstrbução bomal. Sua fução de probabldade é dada por: x x P(X x) p q x, x 0,,,, e 0 p A fução de dstrbução acumulada é dada por: 0,se x 0 x k F(x) P(X x) p q k0 k, se x k, se 0 x Os parâmetros da dstrbução são: Méda E(X) p Varâca V(X) pq Exemplo : Seja X uma v.a. que dca o úmero de peças ão coformes (ão segue a especfcação defda o projeto de qualdade) produzdas pela máqua Z. Se a probabldade desta maqua produzr uma peça ão coforme é de 5%, ao selecoar aleatoramete 5 peças, pede-se: a) a probabldade de ehuma peça ser ão coforme; b) a probabldade de todas as peças serem de acordo com especfcação do projeto de qualdade; c) obter a dstrbução de probabldade e o gráfco. Solução: a) 5 46 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

51 p 0,5 q 0,85 x 0 (peça ser coforme) 5 P(X 0) (0,5) 0 0 (0,85) 5 0 0,4437 b) P(todas de acordo com as especfcação) P(X 0) 0,4437 c) Dstrbução de Probabldade DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X x P(X x) 0 0,4437 0,395 0,38 3 0, ,00 5 0,000 Gráfcamete: A segur, o gráfco da fução de dstrbução acumulada. SACHIKO ARAKI LIRA 47

52 Exemplo : Seja X uma v.a. que dca o úmero de parafusos defetuosos produzdos pela máqua A. Se a probabldade desta maqua produzr um parafuso defetuoso é de 5%, ao selecoar aleatoramete dos parafusos, qual a probabldade de ambos serem defetuosos? p =probabldade de ser defetuoso=0,05 p = probabldade de ser perfeto=-0,05=0,95 P(X ) (0,05) (0,95) 0,005 0,5% Ao selecoar 50 parafusos produzdos por esta máqua, espera-se uma méda de,5 parafusos defetuosos, e uma varâca de,4 (parafusos defetuosos). 3.. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A dstrbução de Posso pode ser aplcada a mutos casos prátcos os quas teressa o úmero de vezes que um determado eveto pode ocorrer durate um tervalo de tempo ou dstâca, área ou outra udade de medda aáloga. por: Uma v.a. dscreta X tem dstrbução de Posso se sua fução de probabldade é dada e x P(X x), x 0,,, e 0 (probabldade de sucesso) x! A fução de dstrbução acumulada é dada por: 0, se x 0 F(x) P(X x) x k e, se x 0 k 0 k! Os parâmetros da dstrbução são: Méda: Varâca: E (X) V (X) Exemplo : São cotados os úmeros de partículas radoatvas emtdas em cada tervalo de 5 segudos. Supoha que o úmero de partículas emtdas, durate cada tervalo de 5 segudos, teha uma dstrbução de Posso com parâmetro,0. Pede-se: a) qual é a probabldade de que meos de 3 partículas sejam emtdas? b) supodo que 0 cotages são realzadas, costrur a dstrbução de probabldade. Solução: a) e P(X 3) P(X 0) P(X ) P(X ) 0! 0 e e!! P(X 3) 0,353 0,707 0,707 0, VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

53 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X X P(X x) 0 0,353 0,707 0, , , , ,00 7 0, , , ,0000 Gráfcamete: A fução de dstrbução acumulada: Exemplo : Seja X o úmero de acdetes mesas ocorrdos uma determada dústra. Se o úmero médo de acdetes por mês é 3, qual a probabldade de ão ocorrer ehum acdete o próxmo mês? 3 e 3 0 P(X 0) e 0! 3 0,050 5% SACHIKO ARAKI LIRA 49

54 3..3 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Supoha que em um lote de N peças, k são defetuosas e (N-k) são perfetas e escolhem-se ao acaso, peças desse lote ( N). Pode-se estar teressado a probabldade de selecoar x peças dos k rotulados como defetuosos e (-x) perfetas dos (N-k) rotulados como perfetas. Esse expermeto é chamado hpergeométrco. Uma v.a. dscreta X tem dstrbução hpergeométrca se sua f.p. é dada por: P (X x) k N k x x N A fução de dstrbução acumulada é dada por: 0, se x j k N k k j j F(x) P(X x), se 0 x j j0 N, se x j Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E(X) p Varâca: N V(X) pq, ode N k k p ; q. N N Exemplo : Pequeos motores elétrcos são expeddos em lotes de 30 udades. Ates que uma remessa seja aprovada, um spetor selecoa ao acaso 3 destes motores para speção. Se ehum dos motores specoados for defetuoso, o lote é aprovado. Se um ou mas dos motores verfcados forem defetuosos, o lote todo é specoado. Supoha que exstam, de fato, motores defetuosos o lote. Qual é a probabldade de que a speção de todo o lote seja ecessára? N=30 (úmero de casos total a população) k= (úmero de casos favoráves a população) =3 (tamaho da amostra) x=,,3 (úmero de casos desfavoráves a amostra) P(X A probabldade de que a speção seja ecessára é gual a ) P(X ) P(X 3) ou P(X ) P(X 0) 50 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

55 P(X ) P(X 0) , ,93 9,3% DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X x p(x) 0 0,8069 0,86 0, ,0000 Gráfcamete: A fução de dstrbução acumulada: Exemplo : Uma empresa adquru dversas caxas, cada uma cotedo 5 lâmpadas. Ela decdu fazer uma speção por amostragem sem reposção, aalsado 5 lâmpadas de uma caxa. A caxa será aceta caso ecotre o máxmo duas defetuosas. Qual a probabldade de acetar uma caxa sabedo que a qualdade do produto é defda por 0% de defetuosos? N=5 =5 SACHIKO ARAKI LIRA 5

56 x k 0,0 *5 3 P(X P(X ) P(X 0) P(X ) P(X ) ) 0, ,80% LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS. O úmero de mesages evadas por hora, através de uma rede de computadores, tem a segute dstrbução: x = úmero de mesages p(x) 0,08 0,5 0,30 0,0 0,0 0,07 Calcular: E(X); V(X).. Seja X=o úmero de cldros do motor do próxmo carro a ser regulado em certa ofca. A fução de probabldade é dada por: a) calcular E (X) b) calcular V (X) c) calcular x p(x) 0,5 0,3 0, 3. Um propretáro acaba de stalar 0 lâmpadas em uma ova casa. Supodo que cada lâmpada teha 0,0 de probabldade de fucoar por mas de três meses, pede-se: a) qual a probabldade de ao meos cco delas durarem mas de três meses? b) qual o úmero médo de lâmpadas que deverão ser substtuídas em três meses? 4. Repete-se um expermeto 5 vezes. Supodo que a probabldade de sucesso em uma prova seja 0,75, e admtdo a depedêca dos resultados das provas: a) qual a probabldade de todas as cco provas resultarem em sucesso? b) qual o úmero esperado de sucesso? 5. Um produto eletrôco cotém 40 crcutos tegrados. A probabldade de que qualquer crcuto tegrado seja defetuoso é de 0,0. Os crcutos tegrados são depedetes. O produto opera somete se ão houver crcutos tegrados defetuosos. Qual é a probabldade de que o produto opere? 5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

57 6. Um departameto de coserto de máquas recebe uma méda de 5 chamadas por hora. Qual a probabldade de que em uma hora selecoada aleatoramete sejam recebdas: a) Exatamete três chamadas? b) Meos que três chamadas? 7. Bateladas que cosstem em 50 molas helcodas, proveetes de um processo de produção são verfcadas com respeto à coformdade em relação aos requermetos dos cosumdores. O úmero médo de molas ão-coformes em uma batelada é gual 5. Cosdere que o úmero de molas ão-coformes em uma batelada, deotado por X, seja uma varável aleatóra bomal. Pede-se: a) qual é a probabldade do úmero de molas ão-coformes em uma batelada seja meor ou gual a? b) qual é a probabldade do úmero de molas ão-coformes em uma batelada seja maor ou gual a 49? 8. Supoha que 90% de todas as plhas do tpo D, de certo fabrcate, teham voltages acetáves. Um determado tpo de latera ecessta de plhas tpo D, e ela só fucoa se as duas plhas tverem voltagem acetável. Etre 0 lateras selecoadas aleatoramete, qual é a probabldade de: a) pelo meos 9 fucoarem? b) o máxmo fucoarem? 9. Seja X o úmero de falhas a superfíce de uma caldera de um determado tpo selecoado aleatoramete, com dstrbução de Posso de parâmetro 5. Calcular: a) P(x ) b) P(x 8) c) P(5 x 8) 0. Cartões de crcuto tegrado são verfcados em um teste fucoal depos de serem preechdos com chps semcodutores. Um lote cotém 40 cartões e 0 são selecoados sem reposção para o teste fucoal. a) se 0 cartões forem defetuosos, qual será a probabldade de o mímo cartão defetuoso estar a amostra? b) se 5 cartões forem defetuosos, qual será a probabldade de cartão defetuoso aparecer a amostra?. Num lote de 0 peus evadas a um forecedor sabe-se que há 5 defetuosos. Um clete va a esse forecedor comprar 4 peus. Qual a probabldade de levar defetuoso? SACHIKO ARAKI LIRA 53

58 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 4. DEFINIÇÕES Defção : Seja X uma varável aleatóra cotua. A fução desdade de probabldade f (x), é uma fução que satsfaz as segutes codções: f (x) 0 para todo x R X f(x)d(x). Exemplo: Seja X uma varável cotíua com fução desdade de probabldade dada por: x f(x), x 6 6 f(x) 0, para qualquer outros valores. Para x Para x 4 Para x 6 A fução desdade de probabldade é: f() f(4) f(6) A codção f(x)d(x), dca que a área total lmtada pela curva que represeta f (x) e o exo das abcssas é gual a. Seja o tervalo [a,b] de R será dada por: P (a X b) X b f(x)dx a. A probabldade de um valor de X pertecer a esse tervalo, que represeta a área sob a curva da fução desdade de probabldade. Para varáves aleatóras cotíuas, as probabldades são terpretadas como áreas. Sedo X uma varável aleatóra cotua, a probabldade em um poto é ula, etão: P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) Defção : Seja X uma varável aleatóra. A fução de dstrbução acumulada ou de repartção de X é defda como F(x) P(X x) 54 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

59 por: Se X for varável aleatóra cotua, tem-se: F (x) P(X x) x f(x)dx Exemplo: Seja X uma varável cotíua com fução desdade de probabldade dada x f(x), x 6 6 f(x) 0, para outros valores. A fução de dstrbução acumulada é dada por: 6 6 F(x) f(x)dx f(x)dx 0 x 6 dx 6 x Esperaça A esperaça matemátca E(X), de uma varável aleatóra cotua X, com fução desdade de probabldade f ( x ), é defda por: E (X) x f(x) dx Varâca por: Se X é uma varável aleatóra cotíua, a varâca, represetada por V (X) é defda V(X) x E(X) f(x) dx As propredades da varâca para varável aleatóra cotíua são as mesmas das já apresetadas para varável aleatóra dscreta. Exemplo: Seja X uma varável cotíua com fução desdade de probabldade dada por: x f(x), x 6 6 f(x) 0, para qualquer outros valores. Qual é o valor esperado e a varâca de X? E(X) V(X) 6 x x 6 dx x E(X) 6 6 x f(x) dx dx 6 3 x , 33 SACHIKO ARAKI LIRA 55

60 V ( 6 X) ( x 4,33) x dx 6 6 ( x 4,33 x 4,33 x ) 6 dx 3 6 x V ( X ) ( 6 8,66 x 6 8,7489x ) dx x ,66 x ,7489 x 6 6 V(X) V (X) 6 V(X), , , , , Exemplo : Supoha que f(x) 0, 5, para 0 x 4. Determe a méda e a varâca. Solução: a) E (X) x f(x) dx E(X) x x 0,5dx 0,5 x dx 0, ,5 4 0 b) V(X) x E(X) V (X) 4 0 V(X),33 f(x) dx 4 3 x 3 x x 0,5dx 0,5 (x 4x 4)dx 0,5 4 4x DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTINUAS 4.. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Uma v.a. cotua X, tem dstrbução expoecal se sua fução desdade de probabldade é dada por: f(x) x, x 0 e A fução de dstrbução acumulada é dada por: x F(x) P(X x) e x dx e x, x 0 0 Portato: P(X x) e x 56 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

61 Os parâmetros da dstrbução são: Méda: Varâca E (X) V(X) Essa dstrbução tem papel mportate a descrção de uma grade classe de feômeos, partcularmete os assutos relacoados a teora da cofabldade. Exemplo : O tempo de vda X (em horas) das lâmpadas elétrcas fabrcadas por uma empresa é uma varável aleatóra, tedo sua fução desdade de probabldade dada por: f(x) 0,00 0, 0 se x 0 e 00 x, se x0 a) qual a probabldade do tempo de vda de uma lâmpada ser superor a 600 horas? b) qual é o tempo de vda esperado? Solução: a) 0, 00 P(X 600) 0,00x 0,00600 e 0 e 0, 30 0,00x 0,00e b) E(X) 500 horas 0,00 Exemplo : A vda méda de um satélte é 4 aos, segudo o modelo expoecal. Seja X a varável defdo o tempo de vda do satélte. Calcule a P(X 4). Solução: E(X) 4, portato, 4 4 Etão, P(X 4) e x 4 e e 0, ,79% 4.. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA É uma das mas mportates dstrbuções de probabldades, sedo aplcada em úmeros feômeos e frequetemete utlzada para o desevolvmeto teórco da ferêca estatístca. Uma v.a. cotua X, tem dstrbução ormal ou Gaussaa se sua fução desdade de probabldade é dada por: SACHIKO ARAKI LIRA 57

62 x f(x) e, x R, R, R, A fução de dstrbução acumulada é dada por: x x x e F(x) P(X x) f(x)d(x) dx Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E (X ) Varâca: V ( X ) Quado se deseja especfcar que a varável aleatóra X, segue dstrbução ormal com méda e varâca, usa-se a otação: X ~ N( ; ). A dstrbução ormal é defda a partr de dos parâmetros, a méda e a varâca. Por exemplo, a curva da dstrbução ormal f (x) para 40 e 0, e valores da varável aleatóra o tervalo (0, 70), é mostrada o gráfco abaxo. Uma das característcas mportates é que a partr desses dos parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percetagem de valores que deverão estar acma ou abaxo de um determado valor da varável aleatóra, ou etre esses dos valores defdos etc. A probabldade P( a X b ) de a varável aleatóra cotíua X ser gual ou maor que a e, ao mesmo tempo, meor ou gual a b, é obtda da área defda pela fução f (x) etre os lmtes a e b, sedo b a. O cálculo é feto tegrado-se a fução f (x) o tervalo ( a,b ), que é bastate trabalhoso. P( a X b ) b a e x dx 58 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES

63 Represetação Gráfca: É um gráfco em forma de so. O seu poscoameto em relação ao exo das ordeadas e seu achatameto são determados pelos parâmetros e, respectvamete. A área compreedda etre é gual a 68,7% ; etre é gual a 95,45% e etre 3 é gual a 99,73%. Propredades da dstrbução ormal:. f (x) possu um poto de máxmo para X ;. f (x) tem dos potos de flexão cujas abcssas valem e ; 3. f (x) é smétrca em relação a X. E, ada Mo Md ; 4. f (x) tede a zero quado x tede para (asstótca em relação ao exo x); DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU REDUZIDA A varável ormal padrozada Z é obtda através de uma trasformação lear da varável ormal X, obtedo-se assm uma escala relatva de valores a qual, a méda é o poto de referêca e o desvo padrão, uma medda de afastameto da méda. Cosdere a trasformação: Z X, etão dz dx. Tem-se: F(x) x e x dx Utlzado a trasformação será: reduzda. F(z) z e z dz, que é a fução de dstrbução acumulada para a varável ormal Os parâmetros da dstrbução são: Méda: E(Z ) 0 Varâca: V ( Z ) SACHIKO ARAKI LIRA 59