CURSO SOBRE MEDIDAS DESCRITIVA Adriano Mendonça Souza Departamento de Estatística - UFSM -

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1 CURSO SOBRE MEDIDAS DESCRITIVA Adrao Medoça Souza Departameto de Estatístca - UFSM - O telecto faz pouco a estrada que leva à descoberta. Acotece um salto a coscêca, chame-o você de tução ou do que quser; e a solução lhe ocorre, e você ão sabe como, em por quê. Albert Este

2 Meddas descrtvas Descrever um cojuto de dados de forma orgazada e compacta por meo de suas estatístcas, o que ão sgfca que estes cálculos e coclusões possam ser levados para a população. As meddas descrtvas báscas mas mportates são as de posção e as de varabldade.

3 Classfcação das meddas descrtvas Tedeca ˆ cetral Posção Separatrzes Absoluta Dspersão Relatva Mometos, Assmetra e Curtose Meddas de tedêca cetral Médas: Artmétca - Geométrca - Harmôca Separatrzes: Medaa - Quarts - Decs - Cets Modas: Bruta - Czuber - Kg - Pearso

4 Meddas de tedêca Cetral Quado se trabalha com dados umércos observa-se uma tedêca destes de se agruparem em toro de um valor cetral. Isto dca que algum valor cetral é a característca dos dados e que o mesmo pode ser usado para represetá-los. Méda - Medaa - Moda

5 Méda Artmétca tca população amostra 1 1 f Dados ão tabelados Dados tabelados ode: é o poto médo da classe ; f é a freqüêca absoluta da classe. É uma das mas utlzadas para descrever resumdamete um cojuto de dados, e sempre cosdera os seus valores extremos.

6 Propredades da médam artmétca tca A soma dos desvos em relação a méda é ula; A méda de uma costate é gual à costate; A méda do produto de uma costate por uma varável é gual ao produto da costate pela méda da varável; A soma dos quadrados dos desvos em relação a méda é um mímo.

7 Medaa ~ (Md ou ) A Md dvde em duas partes guas os dados. A Md é o elemeto que ocupa o valor cetral. Dados ão agrupados Colocam-se os dados em ordem (rol) e se o úmero de elemetos ; for ímpar, a Md será o elemeto cetral do rol; for par, a Md será a méda etre os dos elemetos cetras do rol. 50% Md 50% rol crescete mí máx

8 Dados tabelados Dstrbução por poto Calcula-se a posção Md: P Md = P Md = 1 ( par) ou ( ímpar); Dvde um cojuto de dados em partes guas, 50% ates da Md e 50% após ela. ode: = f = úmero total de observações; P Md = posção da medaa. A Md será o valor de correspodete à prmera Fac P Md

9 Dados tabelados Dstrbução por classe Calcula-se a posção Md: P Md = A Md estará localzada a classe ode, pela prmera vez, Fac P Md ; Para ecotrar o valor da medaa aplca-se a fórmula: Md Fac f ateror ( Md ). h

10 Moda (Mo ou ˆ ) Moda Mo é o valor mas freqüete de uma sére de dados Podedo ser classfcado de: amodal umodal bmodal multmodal

11 Moda de Czuber (Moc) Dados ão agrupados: A Mo será o valor mas mas freqüete do cojuto de dados; Dados agrupados: Dstrbução por poto: É o valor de freqüêca máxma; Dstrbução por classe: Idetfcar a classe modal e aplcar: Moc 1 ( Mo) h 1. 1 fmo f at f Mo f post

12 Notas mportates A méda é a mas utlzada, prcpalmete quado ão há valores aberrates, sedo a medda mas coveete para cálculos posterores; A Md deve ser usada, sempre que possível, como medda represetatva de dstrbuções fortemete assmétrcas, pos o seu valor ão é afetado por valores extremos;

13 A Mo é usada quado há teresse em saber o poto de cocetração do cojuto ou o tpo de dstrbução que se está aalsado, sedo que o seu valor, em se tratado de dados agrupados, é fortemete afetado pela maera como as classes são costtuídas.

14 Meddas Separatrzes São valores de posção, que dvdem o rol em partes guas Medaa - Quarts - Decs - Cets ou Percets Quarts (Q ): dvdem um cojuto de dados em quatro partes guas; Decs (D ): dvdem os dados em 10 (dez) partes guas; Percets (P ): dvdem os dados em 100 partes guas.

15 Quarts (Q ) Dvdem um cojuto de dados em quatro partes guas 0% 5% 50% 75% 100% Q 1 Q =Md Q 3 Para dados ão-tabelados Colocam-se os dados em ordem (rol); Calcula-se a posção do quartl através da fórmula: P Q =. ; 4 O quartl será o valor que ocupa, o rol, a posção calculada aterormete.

16 Para dados tabelados Dstrbução por poto Calcula-se a posção do quartl através da fórmula: P Q =. ; 4 O quartl será o valor de correspodete à prmera Fac P Q. Dstrbução por classe Calcula-se a posção do quartl P Q =. ; 4 O quartl estará localzado a classe ode, pela prmera vez, Fac P Q ; e para ecotrar o seu valor, aplca-se: Q L f. h P Q f Fac Q at.

17 Decs (D ) Dvdem um cojuto de dados em dez partes guas Ecotra-se o valor do decl desejado, procededo-se como o caso dos quarts, sedo a posção do decl, ecotrada por: P D =. f = O valor do decl para os dados agrupados em classe: h D at. D Lf. f D P Fac

18 Percetl (P ) Dvdem um cojuto de dados em cem partes guas Procede-se como o caso dos quarts, sedo que para o cálculo da posção do percetl, a fórmula será: f Pp =. = O valor do percetl para os dados agrupados em classe: h P at. P Lf. f P P Fac

19 Meddas de dspersão As meddas de dspersão vsam descrever os dados o setdo de formar o grau de afastameto dos valores observados em toro de um valor cetral. Elas dcam se um cojuto é homogêeo ou heterogêeo.

20 Um cojuto de dados, fca mas explcado quado se utlza uma medda de tedêca cetral e uma medda de dspersão, pos é comum ecotrar-se séres que, apesar de apresetarem a mesma méda, são compostas de maeras dferetes. Só as meddas de tedêca cetral são sufcetes para descrever adequadamete um cojuto de dados.

21 Classfcação das meddas de dspersão Meddas de dspersão Absoluta Relatva Ampltude Desvo médo Desvo padrão Varâca Coefcete de varação

22 Ampltude de varação (H) É a dfereça etre o maor e o meor valor do cojuto, sedo a mas smples das meddas de dspersão e de grade stabldade, porque cosdera somete os valores extremos do cojuto. Também é chamada de desvo extremo. H = máx. - mí.

23 Desvo médo (D m ) É a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos tomados em relação à méda ou à medaa. d d 0 Dm d O desvo médo é preferdo em relação ao desvo padrão, quado esse for devdamete fluecado pelos desvos extremos.

24 Soma de quadrados (SQ) A soma de quadrados refere-se a soma dos quadrados dos desvos em relação a méda SQ SQ

25 Varâca populacoal s população amostra A varâca populacoal ( ) é a SQ dvdda pelo úmero de observações N. SQ N N N N Quado a varâca é calculada a partr de uma amostra para fs de estmação, o deomador passa a ser ( - 1), o que forece uma estmatva mparcal da varâca populacoal.

26 Varâca amostral s população amostra S S f Dados ão tabelados Dados tabelados O deomador ( - 1) é deomado de "graus de lberdade" dessa estmatva. A varâca mostra o grau de dspersão ou o afastameto dos valores observados em toro de um valor cetral.

27 Propredades da varâca A varâca de uma costate é zero; s (k) = 0; A varâca da soma ou dfereça de uma costate k com uma varável é gual a varâca da varável; s (k + ) = s (); A varâca da soma de varáves depedetes é gual a soma das varâcas das varáves; s ( + Y) = s () + s (Y); A varâca do produto de uma costate por uma varável é gual ao produto do quadrado da costate pela varâca da varável; s (k.) = k. s ();

28 Desvo padrão s população amostra S é uma das meddas mas útes da varação, pos como ela é expressa a mesma udade dos dados, sua terpretação é dreta. s s Especalmete para ( 30): 68% das observações estarão etre 95% das observações estão etre 100% pratcamete estão etre s s 3s

29 Coefcete de Varação de Pearso (CV) O CV é uma medda relatva que determa o grau de cocetração dos dados em relação a méda. s s CV CV % 100 Meor o CV mas represetatva será a méda do processo. Útl para se comparar cojutos de dados com dferetes udades de medção e/ou tamahos dferetes, depededo da udade de medda dos dados.

30 Mometos, assmetra e curtose Complemetam as meddas de posção e de dspersão, proporcoado uma descrção e compreesão mas completa das dstrbuções de freqüêcas. Estas meddas os formam quato a forma da dstrbução dos dados.

31 Mometos São meddas de caráter mas geral e dão orgem às demas meddas descrtvas, como as de tedêca cetral, dspersão, assmetra e curtose. Coforme a potêca cosderada temse a ordem ou o grau do mometo calculado.

32 Mometos smples ou cetrados a orgem (m r ) m m r r r f r f dados ão tabelados dados tabelados m 0 = 1 m 1 = méda artmétca r é um úmero tero postvo e defe a ordem do mometo.

33 Mometos cetrados a méda (M r ) dados ão tabelados dados tabelados M 0 = 1 M 1 = 0 M = varâca (s ) d M r r r f d f f M r r r Mometos abstratos ( r ) r r r s M s = desvo padrão

34 Assmetra Assmetra é o grau de desvo, afastameto da smetra ou grau de deformação de uma dstrbução de freqüêcas Esta medda os mostra como os dados se comportam em relação a ordeada máxma. Tpos de curvas Smétrcas Assmétrca postva Assmétrca egatva.

35 Tpos de curvas (assmetra) Curva Normal Smétrca Mo Md A maora dos dados estão a dreta da moda Assmétrca postva A maora dos dados estão a esquerda da moda Assmétrca egatva < Md < Mo Mo < Md <

36 Como medr a assmetra? Coefcete de assmetra de Pearso As Mo s Se As < 0 a curva será assmétrca egatva Se As > 0 a curva será assmétrca postva Se As = 0 a curva será smétrca Coefcete mometo de assmetra ( 3 ) 3 M s 3 3 Se 3 < 0, a curva será smétrca Se 0, < 3 < 1,0 a curva será assmétrca fraca Se 3 > 1,0 a curva será assmetra forte. - 1 Coefcete de assmetra +1

37 Curtose Meddas de Curtose ou de Achatameto, mostram até que poto uma dstrbução é a mas aguda ou a mas achatada do que uma curva ormal, de altura méda. Tpos de curvas Platcúrtca Mesocúrtca Leptocúrtca

38 Tpos de curvas (Curtose) A curtose está relacoada com a altura da curva de dstrbução em relação a ordeada.

39 Como medr a curtose? Pelo coefcete cetílco de curtose K Q 3 Q 1 ( D9 D1 ) Se K = 0,63 a curva será mesocúrtca Se K < 0,63 a curva será leptocúrtca Se K > 0,63 a curva será platcúrtca Pelo coefcete mometo de curtose ( 4 ) 4 M s 4 4 Se 4 = 3 curva mesocúrtca Se 4 < 3 curva platcúrtca; Se 4 > 3 curva leptocúrtca.

40 Desafo!!! Colete um cojuto de dados; Costrua a dstrbução de freqüêca; Faça o seu hstograma; Calcule a sua méda, desvo padrão e coefcete de varação de Pearso; Iterprete os resultados.

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