Luis Felipe Dias Lopes, Dr. D E - UFSM

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1 APOSTILA ESTATÍSTICA Lus Felpe Das Lopes, Dr. D E - UFSM 0 0 3

2 Sumáro Cocetos báscos. População x Amostra. Ceso x Amostragem.3 Dado x Varável.4 Parâmetros x estatístcas.5 Arredodameto de dados.6 Fases do método estatístco Represetação tabular. Represetação esquemátca. Elemetos de uma tabela.3 Séres estatístcas.4 Dstrbução de freqüêca 3 Represetação gráfca 3. Gráfcos de Lhas 3. Gráfcos de coluas ou barras 3.3 Gráfcos crculares ou de Setores (Pe Charts) 3.4 Gráfco Pctoral - Pctograma 3.5 Gráfco Polar 3.6 Cartograma 3.7 Gráfcos utlzados para a aálse de uma dstrbução de freqüêca 4 Meddas descrtvas 4. Meddas de posção 4. Meddas de varabldade ou dspersão 4.3 Meddas de dspersão relatvas 4.4 Mometos, assmetra e curtose 4.5 Exercícos 5 Probabldade e varáves aleatóras 5. Modelos matemátcos 5. Cocetos em probabldade 5.3 Cocetos de probabldade 5.4 Exercícos 5.5 Teorema de Bayes 5.6 Varáves aleatóras 5.7 Fução de probabldade

3 5.8 Exemplos 5.9 Exercícos 6 Dstrbuções de Probabldade 6. Dstrbuções dscretas de probabldade 6. Exercícos 6. Dstrbuções cotíuas de probabldade 6.4 Exercícos 7 Amostragem 7. Cocetos em amostragem 7. Plaos de amostragem 6.3 Tpos de amostragem 7.4 Amostragem com e sem reposção 7.5 Represetação de uma dstrbução amostral 7.6 Dstrbuções amostras de probabldade 7.7 Exercícos 7.8 Estatístcas amostras 7.9 Tamaho da amostra 8 Estmação de parâmetros 8. Estmação potual 8. Estmação tervalar 8.3 Exercícos 9 Testes de hpóteses 9. Prcpas cocetos 8. Teste de sgfcâca 9.3 Exercícos 9.4 Testes do Qu-quadrado 9.5 Exercícos 0 Regressão e Correlação 0. Itrodução 0. Defção 0.3 Modelo de Regressão 0.4 Método para estmação dos parâmetros α e β 0.5 Decomposção da varâca Total 0.6 Aálse de Varâca da Regressão 0.7 Coefcete de Determação (r²) 0.8 Coefcete de Correlação (r) 0.9 Exercícos Referêcas bblográfcas

4 Cocetos Báscos. População x Amostra População (N): Cojuto de todos os elemetos relatvos a um determado feômeo que possuem pelo meos uma característca em comum, a população é o cojuto Uverso, podedo ser fta ou fta. Fta - apreseta um úmero lmtado de observações, que é passível de cotagem. Ifta - apreseta um úmero lmtado de observações que é mpossível de cotar e geralmete esta assocada a processos. Amostra (): É um subcojuto da população e deverá ser cosderada fta, a amostra deve ser selecoada segudo certas regras e deve ser represetatva, de modo que ela represete todas as característcas da população como se fosse uma fotografa desta. Uma população pode, medate processos operacoas, ser cosderada fta, pos a mesma rá depeder do tamaho da amostra. Se a freqüêca relatva etre amostra e população for meor do que 5% ela é cosderada fta, se a freqüêca relatva for maor do 5% ela é cosderada fta.. Ceso x Amostragem Pesqusa Estatístca: É qualquer formação retrada de uma população ou amostra, podedo ser através de Ceso ou Amostragem. Ceso: É a coleta exaustva de formações das "N" udades populacoas. Amostragem: É o processo de retrada de formações dos "" elemetos amostras, o qual deve segur um método crteroso e adequado (tpos de amostragem)..3 Dado x Varável Dados estatístcos: é qualquer característca que possa ser observada ou medda de alguma maera. As matéras-prmas da estatístca são os dados observáves. Varável: É aqulo que se deseja observar para se trar algum tpo de coclusão, geralmete as varáves para estudo são selecoadas por processos de amostragem. Os símbolos utlzados para represetar as varáves são as letras maúsculas do alfabeto, tas como, Y, Z,... que pode assumr qualquer valor de um cojuto de dados. As varáves podem ser classfcadas dos segutes modos:

5 - Qualtatvas (ou atrbutos): São característcas de uma população que ão pode ser meddas. Nomal : são utlzados símbolos, ou úmeros, para represetar determado tpo de dados, mostrado, assm, a qual grupo ou categora eles pertecem. Ordal ou por postos: quado uma classfcação for dvdda em categoras ordeadas em graus covecoados, havedo uma relação etre as categoras do tpo maor do que, meor do que, gual a, os dados por postos cosstem de valores relatvos atrbuídos para deotar a ordem de prmero, segudo, tercero e, assm, sucessvamete. - Quattatvas: São característcas populacoas que podem ser quatfcadas, sedo classfcadas em dscretas e cotíuas. Dscretas: são aquelas varáves que pode assumr somete valores teros um cojuto de valores. É gerada pelo processo de cotagem, como o úmero de veículos que passa em um posto de gasola, o úmero de estudates esta sala de aula. Cotíuas: são aquelas varáves que podem assumr um valor detro de um tervalo de valores. É gerada pelo processo de medção. Neste caso serve como exemplo o volume de água em um reservatóro ou o peso de um pacote de cereal..4 Parâmetros x Estatístcas Parâmetros: são meddas populacoas quado se vestga a população em sua totaldade, este caso é mpossível fazer ferêcas, pos toda a população fo vestgada. Estatístcas ou Estmadores: são meddas obtdas da amostra, tora-se possível este caso utlzarmos as teoras ferêcas para que possamos fazer coclusões sobre a população.

6 .5 Arredodameto de Dados Regras: Portara 36 de 06/07/965 - INPM Isttuto Nacoal de Pesos e Meddas. a ) Se o prmero algarsmo após aquele que formos arredodar for de 0 a 4, coservamos o algarsmo a ser arredodado e desprezamos os segutes. Ex.: 7,34856 (para décmos) 7,3 a ) Se o prmero algarsmo após aquele que formos arredodar for de 6 a 9, acresceta-se uma udade o algarsmo a ser arredodado e desprezamos os segutes. Ex.:,734 (para décmos),3 3 a ) Se o prmero algarsmo após aquele que formos arredodar for 5, segudo apeas de zeros, coservamos o algarsmo se ele for par ou aumetamos uma udade se ele for ímpar, desprezado os segutes. Ex.: 6,500 (para décmos) 6,,350 (para décmos),4 Se o 5 for segudo de outros algarsmos dos quas, pelo meos um é dferete de zero, aumetamos uma udade o algarsmo e desprezamos os segutes. Ex.: 8,50 (para décmos) 8,3 8,4503 (para décmos) 8,5 4 a ) Quado, arredodarmos uma sére de parcelas, e a soma fcar alterada, devemos fazer um ovo arredodameto (por falta ou por excesso), a maor parcela do cojuto, de modo que a soma fque alterada. Ex.: 7,4% + 8,4% +,3% + 9,7% +,% 00% arredodado para tero: 7% + 8% + % + 30% + % 99% 7% + 8% + % + 3% + % 00% 3

7 .6 Fases do método estatístco O método estatístco abrage as segutes fases: a) Defção do Problema Cosste a: - formulação correta do problema; - examar outros levatametos realzados o mesmo campo (revsão da lteratura); - saber exatamete o que se pretede pesqusar defdo o problema corretamete (varáves, população, hpóteses, etc.) b) Plaejameto Determar o procedmeto ecessáro para resolver o problema: - Como levatar formações; - Tpos de levatametos: Por Ceso (completo); Por Amostragem (parcal). - Croograma, Custos, etc. c) Coleta ou levatameto dos dados Cosste a obteção dos dados referetes ao trabalho que desejamos fazer. A coleta pode ser: Dreta - dretamete da fote; Idreta - feta através de outras fotes. Os dados podem ser obtdos pela própra pessoa (prmáros) ou se basea o regstro de terceros (secudáros). d) Apuração dos Dados ou sumarzação Cosste em resumr os dados, através de uma cotagem e agrupameto. É um trabalho de coordeação e de tabulação. Apuração: maual, mecâca, eletrôca e eletromecâca. e) Apresetação dos dados É a fase em que vamos mostrar os resultados obtdos a coleta e a orgazação. Esta apresetação pode ser: Tabular (apresetação umérca) Gráfca (apresetação geométrca) f) Aálse e terpretação dos dados É a fase mas mportate e também a mas delcada. Tra coclusões que auxlam o pesqusador a resolver seu problema. 4

8 Represetação tabular Cosste em dspor os dados em lhas e coluas dstrbuídas de modo ordeado. A elaboração de tabelas obedece à Resolução o 886, de 6 de outubro de 966, do Coselho Nacoal de Estatístca. As ormas de apresetação são edtadas pela Fudação Braslera de Geografa e Estatístca (IBGE).. Represetação esquemátca Título Cabeçalho Corpo Rodapé. Elemetos de uma tabela Título: O título deve respoder as segutes questões: - O que? (Assuto a ser represetado (Fato)); - Ode? (O lugar ode ocorreu o feômeo (local)); - Quado? (A época em que se verfcou o feômeo (tempo)). Cabeçalho: parte da tabela a qual é desgada a atureza do coteúdo de cada colua. Corpo: parte da tabela composta por lhas e coluas. Lhas: parte do corpo que cotém uma seqüêca horzotal de formações. Coluas: parte do corpo que cotém uma seqüêca vertcal de formações. Colua Idcadora: colua que cotém as dscrmações correspodetes aos valores dstrbuídos pelas coluas umércas. Casa ou célula: parte da tabela formada pelo cruzameto de uma lha com uma colua. Rodapé: É o espaço aprovetado em seguda ao fecho da tabela, ode são colocadas as otas de atureza formatva (fote, otas e chamadas). Fote: refere-se à etdade que orgazou ou foreceu os dados expostos. Notas e Chamadas: são esclarecmetos cotdos a tabela (ota - cocetuação geral; chamada - esclarecer múcas em relação a uma célula). 5

9 .3 Séres Estatístcas Uma sére estatístca é um cojuto de dados ordeados segudo uma característca comum, as quas servrão posterormete para se fazer aálses e ferêcas. Sére Temporal ou Croológca: É a sére cujos dados estão dspostos em correspodêca com o tempo, ou seja, vara o tempo e permaece costate o fato e o local. Produção de Petróleo Bruto o Brasl de 976 a 980 (x 000 m³) Aos Produção Fote: Cojutura Ecoômca (fev. 983) Sére Geográfca ou Terrtoral: É a sére cujos dados estão dspostos em correspodêca com o local, ou seja, vara o local e permaece costate a época e o fato. População Urbaa do Brasl em 980 (x 000) Regão População Norte Nordeste Sudeste 4 80 Sul 878 Cetro-Oeste 5 5 Total Fote: Auáro Estatístco (984) Sére Específca ou Qualtatva: É a sére cujos dados estão dspostos em correspodêca com a espéce ou qualdade, ou seja, vara o fato e permaece costate a época e o local. População Urbaa e Rural do Brasl em 980 (x 000) Localzação População Urbaa Rural Total Fote: Auáro Estatístco (984) 6

10 Sére Msta ou Composta: A combação etre duas ou mas séres costtuem ovas séres deomadas compostas e apresetadas em tabelas de dupla etrada. O ome da sére msta surge de acordo com a combação de pelo meos dos elemetos. Local + Época Sére Geográfca Temporal População Urbaa do Brasl por Regão de 940 a 980 (x 000) R E G I Õ E S Aos N NE SE S CO Fote: Auáro Estatístco (984).4 Dstrbução de Freqüêca É o tpo de sére estatístca a qual permaece costate o fato, o local e a época. Os dados são colocados em classes preestabelecdas, regstrado a freqüêca de ocorrêca. Uma dstrbução de freqüêca pode ser classfcada em dscreta e tervalar. a) Dstrbução de Freqüêca Dscreta ou Potual: É uma sére de dados agrupados a qual o úmero de observações está relacoado com um poto real. Notas do Aluo "" a Dscpla de Estatístca segudo crtéros de avalação do DE da UFSM 990 f Σ 5 Fote: Departameto de Estatístca (990) 7

11 b) Dstrbução de Freqüêcas Itervalar: Na dstrbução de freqüêca, os tervalos parcas deverão ser apresetados de maera a evtar dúvdas quato à classe a que permaece determado elemeto. O tpo de tervalo mas usado é do tpo fechado a esquerda e aberto a dreta, represetado pelo símbolo: ---. Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Admstração da UFSM Altura (cm) f Σ Fote: Departameto de Estatístca (990) Elemetos de uma Dstrbução de Freqüêcas: Classe ou Classe de Freqüêca (K): É cada subtervalo (lha) a qual dvdmos o feômeo. Para determar o úmero de classes a partr dos dados ão tabelados, podemos usar a Fórmula de Sturges, mas deve-se saber que exstem outros métodos de determação do úmero de classes em uma tabela de freqüêca. O que se deseja fazer é apeas comprmr um cojuto de dados em uma tabela, para facltar a vsualzação e terpretação dos mesmos. (K) log, ode é o de formações. Além da Regra de Sturges, exstem outras fórmulas empírcas para resolver o problema para determação do úmero de classes [(k)], há quem prefra (k). Etretato, a verdade é que essas fórmulas ão os levam a uma decsão fal; esta va depeder a realdade de um julgameto pessoal, que deverá estar lgado a atureza dos dados, procurado, sempre que possível, evtar classes com freqüêcas ulas ou freqüêcas relatvas exageradamete grades. Lmte de Classe (l ou L ): São os valores extremos de cada classe. l lmte feror da -ésma classe; L lmte superor da -ésma classe; 8

12 Ampltude do tervalo de classe (h): É a dfereça etre dos lmtes ferores ou superores cosecutvos. h l l ou h L L A ampltude do tervalo de classe deve ser costate em todo a dstrbução de freqüêcas tervalar. Ampltude total (H): É a dfereça etre o lmte superor da últma classe e o lmte feror da ª classe, ou a dfereça etre últmo e o prmero elemeto de um cojuto de dados postos em ordem crescete. H L l Poto médo de classe ( ): É a méda artmétca smples do lmte feror com o lmte superor de uma mesma classe. l + L ou a partr do os demas potos médos pode ser determado por: h + Quado substturmos os tervalos de classes pelos potos médos ( ), ter-se -á uma dstrbução de freqüêca potual. Freqüêca absoluta (f ): É a quatdade de valores em cada classe f f + f f Freqüêca Acumulada (F ): É o somatóro da freqüêca absoluta da -ésma classe com a freqüêca absoluta das classes aterores, ou a freqüêca acumulada da classe ateror. F f Freqüêca Relatva (fr): É o quocete etre a freqüêca absoluta da -ésma classe com o somatóro das freqüêcas. f fr Obs.: fr f Freqüêca Relatva Acumulada (Fr ): É o somatóro da freqüêca relatva da -ésma classe com as freqüêcas relatvas das classes aterores. Fr fr 9

13 3 Represetação gráfca Os gráfcos são uma forma de apresetação vsual dos dados. Normalmete, cotém meos formações que as tabelas, mas são de mas fácl letura. O tpo de gráfco depede da varável em questão 3. Gráfcos de Lhas Usado para lustrar uma sére temporal. Produção de Petróleo Bruto o Brasl de 976 a 980 (x 000 m³) Produção Aos 3.. Gráfco de lhas comparatvas Fote: Cojutura Ecoômca (Fev. 983) População Urbaa do Brasl por Regão de 940 a 980 (x 000) Fote: Auáro Estatístco (984) NE N SE S CO 0

14 3. Gráfcos de coluas ou barras Represetação gráfca da dstrbução de freqüêcas. Este gráfco é utlzado para varáves omas e ordas. Característcas: - todas as barras devem ter a mesma largura - devem exstr espaços etre as barras 3.. Gráfco de Coluas Usado para lustrar qualquer tpo de sére. População Urbaa do Brasl em 980 (x 000) Pop N NE SE S CO Regões Fote: Auáro Estatístco (984) As larguras das barras que deverão ser todas guas podedo ser adotado qualquer dmesão, desde que seja coveete e desde que ão se superpoham. O úmero o topo de cada barra pode ou ão omtdo, se forem coservados, a escala vertcal pode ser omtda Gráfco de coluas comparatvas a) Coluas Justapostas (gráfco comparatvo) População Urbaa do Brasl por Regão de 940 a 980 (x 000) N NE SE S CO Fote: Auáro Estatístco (984)

15 b) Coluas Sobrepostas (gráfco comparatvo) População Urbaa do Brasl por Regão de 940 a 980 (x 000) CO S SE N NE Fote: Auáro Estatístco (984) 3.. Gráfco de Barras As regras usadas para o gráfco de barras são gua s as usadas para o gráfco de coluas. População Urbaa do Brasl em 980 (x 000) CO 55 S 878 Regões SE 480 NE 7568 N População Fote: Auáro Estatístco (984) Assm como os gráfcos de Coluas podem ser costruídos gráfcos de barras comparatvas. 3.3 Gráfcos crculares ou de Setores (Pe Charts) Represetação gráfca da freqüêca relatva (percetagem) de cada categora da varável. Este gráfco é utlzado para varáves omas e ordas. É uma opção ao gráfco de barras quado se pretede dar êfase à comparação das percetages de cada categora. A costrução do gráfco de setores segue uma regra de 3 smples, ode as freqüêcas de cada classe correspodem ao âgulo que se deseja represetar em relação a freqüêca total que represeta o total de 360.

16 Característcas: - A área do gráfco equvale à totaldade de casos (360 o 00%); - Cada fata represeta a percetagem de cada categora População Urbaa e Rural do Brasl em 980 (x 000) 3% Urbaa Rural 68% Fote: Auáro Estatístco (984) 3.4 Gráfco Pctoral - Pctograma Tem por objetvo despertar a ateção do públco em geral, muto desses gráfcos apresetam grade dose de orgaldade e de habldade a arte de apresetação dos dados. Evolução da matrcula o Eso Superor o Brasl de 968 a 994 (x 000) Fote: Grades úmeros da educação braslera março de 996 3

17 3.4. Exemplos de pctogramas Evolução da frota acoal de carros à álcool de 979 à Os métodos mas efcetes para dexar de fumar segudo fumates etrevstados o Caadá Goma de mascar com cota mas sessões de apoo pscológco Iterameto em hosptal e uso de drogas relaxates Acumputura Hpose Ijeção de Cloda, droga que reduz os efetos da abstêca 36% 30% 7% 9,5% 8,5% Devastação Selvagem: extração de maderas o Brasl Pus 6,8% Eucalpto Madera 4,4% atva 68,8% 4

18 3.5 Gráfco Polar É o tpo de gráfco deal para represetar séres temporas cíclcas, ou seja, toda a sére que apreseta uma determada perodcdade Como costrur um gráfco polar ) Traça-se uma crcuferêca de rao arbtráro (preferecalmete, a um rao de comprmeto proporcoal a méda dos valores da sére); ) Costró-se uma sem-reta (de preferêca horzotal) partdo do poto 0 (pólo) e com uma escala (exo polar); 3) Dvde-se a crcuferêca em tatos arcos forem as udades temporas; 4) Traça-se sem-retas a partr do poto 0 (pólo) passado pelos potos de dvsão; 5) Marca-se os valores correspodetes da varável, cado pela sem-reta horzotal (exo polar); 6) Lgam-se os potos ecotrados com segmetos de reta; 7) Para fechar o polígoo obtdo, emprega-se uma lha terrompda. Precptação pluvométrca do mucípo de Sata Mara RS- 999 Meses Precptação (mm) Jaero 74,8 Feverero 36,9 Março 83,9 Abrl 46,7 Mao 48, Juho 48,4 Julho 538,7 Agosto 33,8 Setembro 39,7 Outubro 66, Novembro 83,3 Dezembro 0, Fote: Base Aérea de Sata Mara Precptação pluvométrca do mucípo de Sata Mara RS- 999 Fote: Base Aérea de Sata Mara Méda 37,3 mm 5

19 3.6 Cartograma É a represetação de uma carta geográfca. Este tpo de gráfco é empregado quado o objetvo é o de fgurar os dados estatístcos dretamete relacoados com as áreas geográfcas ou polítcas Dados absolutos (população) usa-se potos proporcoas aos dados. Dados relatvos (desdade) usa-se hachaduras. Exemplo: População da Regão Sul do Brasl Estado População (hab.) Área (m ) Desdade Paraá ,8 Sata Catara ,8 Ro Grade do Sul ,6 Fote: IBGE População da Regão Sul do Brasl 990 Desdade populacoal da Regão Sul do Brasl 990 Fote: IBGE Fote: IBGE 6

20 3.7 Gráfcos utlzados para a aálse de uma dstrbução de freqüêca 3.7. Hstograma Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Admstração da UFSM Polígoo de Freqüêcas Fote: Departameto de Estatístca (990) Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Admstração da UFSM Fote: Departameto de Estatístca (990) 7

21 3.6.3 Ogvas Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Admstração da UFSM 990 Ogva Crescete Ogva Decrescete Gráfco em segmetos de reta vertcal É utlzado para represetar uma dstrbução de freqüêca potual, ode os segmetos de reta são proporcoas às respectvas freqüêcas absolutas. Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Admstração da UFSM Fote: Departameto de Estatístca (990) Como se terpreta um hstograma? A represetação gráfca da dstrbução da varável, por hstogramas. Este gráfco é utlzado para varáves cotíuas. Característcas: - Cada barra represeta a freqüêca do tervalo respectvo; - Os tervalos devem ter a mesma ampltude; - As barras devem estar todas jutas. 8

22 A smples observação da forma do hstograma permte algumas coclusões. Veja a fgura 4.. A medda dos dados está o cetro do deseho. As freqüêcas mas altas também estão o cetro da fgura. Nos processos dustras, esta é a forma desejável. Fgura 4. Hstograma A fgura 4. apreseta um hstograma com assmetra postva. A méda dos dados está localzada à esquerda do cetro da fgura e a cauda à dreta é alogada. Esta ocorre quado o lmte feror é cotrolado ou quado ão podem ocorrer valores abaxo de determado lmte. Fgura 4. Hstograma com assmetra postva A fgura 4.3 apreseta um hstograma com assmetra egatva. A méda dos dados está localzada à dreta do cetro da fgura e a cauda à esquerda é alogada. Esta forma ocorre quado o lmte superor é cotrolado ou quado ão podem ocorrer valores acma de certo lmte Fgura 4.3 Hstograma com assmetra egatva

23 Fgura 4.4 Hstograma em plateau A fgura 4.4 mostra um hstograma em plateau, Isto é, com exceção das prmeras e das últmas classes, todas as outras têm freqüêcas quase guas. Essa forma ocorre quado se msturam váras dstrbuções com dferetes médas A fgura 4.5 mostra um hstograma com dos pcos, ou duas modas. As freqüêcas são baxas o cetro da fgura, mas exstem dos pcos fora do cetro. Esta forma ocorre quado duas dstrbuções com médas bem dferetes se msturam. Podem estar msturados, por exemplo, os produtos de dos turos de trabalho. Fgura 4.5 Hstograma com dos pcos Os hstogramas também mostram o grau de dspersão da varável. Veja a fgura 4.6. O hstograma à esquerda mostra pouca dspersão, mas o hstograma à dreta mostra grade dspersão. Fgura 4.6 Hstogramas com dspersões dferetes Freqüêca Freqüêca

24 3.7.6 Curva de freqüêca curva polda Como, em geral, os dados coletados pertecem a uma amostra extraída de uma população, pode-se magar as amostras torado-se cada vez mas amplas e a ampltude das classes fcado cada vez meor, o que os permte coclur que o cotoro do polígoo de freqüêcas tede a se trasformar uma curva (curva de freqüêca), mostrado, de modo mas evdete, a verdadera atureza da dstrbução da população. Pode-se dzer, etão, que, equato que o polígoo de freqüêca os dá a magem real do feômeo estudado, a curva de freqüêca os dá a magem tedecosa. Assm, após o traçado de um polígoo de freqüêca, é desejável, mutas vezes, que se faça um polmeto, de modo a mostrar o que sera tal polígoo com um úmero maor de dados. Esse procedmeto é claro, ão os dará certeza absoluta que a curva polda seja tal qual a curva resultate de um grade úmero de dados. Porém, pode-se afrmar que ela assemelha-se mas a curva de freqüêca que o polígoo de freqüêca obtdo de uma amostra lmtada. O polmeto, geometrcamete, correspode à elmação dos vértces da lha polgoal. Cosegue-se sso com a segute fórmula: fat. + f + fpost. fc 4 ode: fc freqüêca calculada da classe cosderada; f freqüêca absoluta da classe ; f at. freqüêca absoluta da classe ateror a ; f post. freqüêca absoluta da classe posteror a ; Quado for em fazer o uso da curva polda covém mostrar as freqüêcas absolutas, por meo de um pequeo crculo, de modo que qualquer teressado possa julgar se esse poto se o poto é um dado orgal ou um dado poldo. Altura em cetímetros de 40 aluas do Curso de Efermagem da UFSM Altura (cm) f fc (0+ x 4 + 9)/4 4, (4 + x 9 + )/4 8, (9 + x + 8)/4 9, ( + x 8 + 5)/4 8, (8 + x 5 + 3)/4 5, (5 + x 3 + 0)/4,75 Σ Fote: Departameto de Estatístca (997)

25 Altura em cetímetros de 40 aluas do Curso de Efermagem da UFSM Fote: Departameto de Estatístca (997) Curvas em forma de so As curvas em forma de so caracterzam-se pelo fato de apresetarem um valor máxmo a regão cetral. Dstguem-se as curvas em forma de so em: smétrca e assmétrca a) Curva smétrca Esta curva caracterza-se por apresetar o valor máxmo o poto cetral e os potos eqüdstates desse poto terem a mesma freqüêca. 3

26 b) Curvas assmétrcas Na prátca, ão se ecotram dstrbuções perfetamete smétrcas. As dstrbuções obtdas de meddas reas são mas ou meos assmétrcas, em relação à freqüêca máxma. Assm, as curvas correspodetes a tas dstrbuções apresetam a cauda de um lado da ordeada máxma mas loga do que o outro. Se a cauda mas loga fca a dreta é chamada assmétrca postva ou evesada à dreta, se a cauda se aloga a esquerda, a curva é chamada assmétrca egatva ou evesada à esquerda. Assmétrca Postva Assmétrca Negatva 3

27 4 Meddas Descrtvas Tem por objetvo descrever um cojuto de dados de forma orgazada e compacta que possblta a vsualzação do cojuto estudado por meo de suas estatístcas, o que ão sgfca que estes cálculos e coclusões possam ser levados para a população. Podemos classfcar as meddas de posção coforme o esquema abaxo: 4. Meddas de Posção Méda Artmétca Represetatvas - Médas Méda Geométrca Méda Harmôca Separatrzes Medaa Quarts Decs Cets ou Percets Domates Moda de Czuber Moda de Kg Moda de Pearso 4.. Represetatvas (Médas) São meddas descrtvas que tem por faldade represetar um cojuto de dados. a) Méda Artmétca: Amostral (); Populacoal (µ) Dados Não Tabelados ou µ N N 33

28 Dados Tabelados com Valores Poderados Méda Artmétca Poderada ( w ), (ode W é o peso) Nota do aluo "" semestre de UFSM Notas () Pesos (W) Σ 0 Fote: Dados Hpotétcos w.w W Dstrbução de freqüêcas - Méda Artmétca ( ) Altura em cetímetros de 60 aluos do Curso de Admstração da UFSM Altura (cm) f. f , , , , , ,55 Σ Fote: Departameto de Estatístca (990).f f - Característcas da Méda Artmétca Smples a ) A Méda Artmétca Smples deverá estar etre o meor e o maor valor observado, m. max. a ) A soma algébrca dos desvos calculados etre os valores observados e a méda artmétca é gual a zero; desvos d µ x d (x µ) zero 34

29 3 a ) Somado-se ou subtrado-se todos os valores ( ) da sére por uma costate "k" (k 0), a ova méda artmétca será gual a méda orgal somada ou subtraída por esta costate "k". x y x ± k Y ± k 4 a ) Multplcado-se ou dvddo-se todos os valores ( ) da sére por uma costate "k" (k 0), a ova méda artmétca será gual a méda orgal multplcada ou dvdda por esta costate "k". x y x k y x k b) Méda Geométrca: ( g ): Y k Y k A aplcação da méda geométrca deve ser feta, quado os valores do cojuto de dados cosderado se comportam segudo uma progressão geométrca (P.G.)ou dela se aproxmam. Dados Não Tabelados Dados Tabelados g.... f f f g.... Usado um artfíco matemátco, pode-se usar para calcular a méda geométrca a segute fórmula: f f f ( f.log + f.log f.log) f g 0 0 f f.log 35

30 c) Méda Harmôca ( h ) É usada para dados versamete proporcoas. Ex.: Velocdade Méda, Preço de Custo Médo 4.. Emprego da méda ) Deseja-se obter a medda de posção que possu a maor establdade; ) Houver ecessdade de um tratameto algébrco ulteror. Dados Não Tabelados h Dados Tabelados h f f f + f f f f f Deve-se observar esta propredade etre as médas g h 4..3 Separatrzes (Medaa, Quarts, Decs e Cets ou Percets) São meddas de posção que dvde o cojuto de dados em partes proporcoas, quado os mesmos são ordeados. a) Dados ão tabelados Ates de determarmos as separatrzes devemos em prmero lugar ecotrar a posção da mesma. - Se o úmero de elemetos for par ou ímpar, as separatrzes seguem a segute ordem: ( +) Posção S se for medaa S se for quarts 3 S 4 36

31 se for decs 9 S 0 se for cets 99 S 00 Dados Tabelados b) Dstrbução de freqüêcas potual: segue a mesma regra usada para dados ão tabelados c) Dstrbução de freqüêcas tervalar ode: S l S +. S f F S at.h S Md ; S Q 3; S D 9; S C ou P 99 l S. S F at h f S lmte feror da classe que cotém a separatrz; posção da separatrz; freqüêca acumulada da classe ateror a que cotém a separatrz; ampltude do tervalo de classe; freqüêca absoluta da classe que cotém a separatrz; 4..4 Emprego da medaa ) Quado se deseja obter um poto que dvde a dstrbução em partes guas; ) Há valores extremos que afetam de uma maera acetuada a méda; 3) A varável em estudo é saláro Domates - Moda (Mo) É defda como sedo a observação de maor freqüêca. 37

32 a) Dados ão tabelados Ex.: Mo 4 (umodal) Mo (amodal) Mo 3 Mo 5 (bmodal) Mo (amodal) Mo 5 Mo 6 Mo3 7 (multmodal) Acma de 3 modas usamos o termo multmodal. Dados Tabelados a) Dstrbução de freqüêcas potual - Moda Bruta (Mo b ): é o poto médo da classe de maor freqüêca Mo b b) Dstrbução de freqüêcas tervalar - Moda de Czuber (Mo c ): O processo para determar a moda usado por Czuber leva em cosderação as freqüêcas aterores e posterores à classe modal. Mo c l Mo + +.h f f Mo Mo f f at pos ode: l Mo f Mo h f at f pos lmte feror da classe modal; freqüêca absoluta da classe modal; ampltude do tervalo de classe; freqüêca absoluta da classe ateror a classe modal; freqüêca absoluta da classe posteror a classe modal; - Moda de Kg (Mo k ): O processo proposto por Kg cosdera a fluêca exstete das classes ateror e posteror sobre a classe modal. A coveêca deste processo é justamete ão levar em cosderação a freqüêca máxma. Mo k l Mo + f pos f pos + f at.h 38

33 - Moda de Pearso (Mo p ): O processo usado por Pearso pressupõe que a dstrbução seja aproxmadamete smétrca, a qual a méda artmétca e a medaa são levadas em cosderação. Mo 3 p Md - Um dstrbução é cosderada smétrca quado Md Mo Emprego da moda ) Quado se deseja obter uma medda rápda e aproxmada de posção; ) Quado a medda de posção deve ser o valor mas típco da dstrbução Posção relatva da méda, medaa e moda Quado uma dstrbução é smétrca, as três meddas cocdem. Porém, a assmetra tora-as dferetes e essa dfereça é tato maor quato maor é a assmetra. Assm, em uma dstrbução temos: x Md Mo curva smétrca x < Md < Mo curva assmétrca egatva Mo < Md < x curva assmétrca postva x Md Mo M oda M ed a a M é d a Mo Md x x Md Mo 39

34 4..8 Exercícos Para os dados abaxo calcule: Md; Q ; Q 3 ; D 3 ; C 70 ) ) 3) Alturas dos aluos da Turma o o sem. de UFSM Alturas f Σ 90 Fote: Dados Hpotétcos Alturas dos aluos da Turma Y o o sem. de 994 UFSM Alturas f F Σ 0 0 Fote: Dados Hpotétcos 4. Meddas de Varabldade ou Dspersão Vsam descrever os dados o setdo de formar o grau de dspersão ou afastameto dos valores observados em toro de um valor cetral represetatvo chamado méda. Iforma se um cojuto de dados é homogêeo (pouca varabldade) ou heterogêeo (muta varabldade). As meddas de dspersão podem ser: Absoluta - Desvo extremo - ampltude - Desvo Médo - Desvo Padrão - Desvo quadrátco - Varâca 40

35 Para estudarmos as meddas de varabldade para dados ão tabelados usaremos um exemplo prátco. Supomos que uma empresa esteja queredo cotratar um fucoáro, e o fal da cocorrêca sobraram dos caddatos para uma úca vaga. Etão fo dado 4 tarefas para cada um, ode as mesmas tveram como regstro o tempo (em mutos) de execução. TAREFAS 3 4 OPERÁRIO (TEMPO) OPERÁRIO (TEMPO Aálse Gráfca - Meddas de dspersão Absoluta: - Desvo Extremo ou Ampltude de Varação (H): É a dfereça etre o maor e o meor valor de um cojuto de dados H max m - Desvo Médo (d ): Em vrtude do ( ) médo 0, assm fcado: Para dados ão tabelados 0, usamos para calcular o desvo d Para dados tabelados 4

36 4 ( ) f f f f f f d... - Desvo Quadrátco ou Varâca : S (amostra) ou σ (população) Para dados ão tabelados: ( ) ( ) ( ) ( ) σ ( ) ( ) ( ) ( ) S Para dados tabelados ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f... σ ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f S

37 43 - Desvo Padrão: S (amostra) ou σ (população) Para dados ão tabelados: ( ) ( ) ( ) ( ) σ ( ) ( ) ( ) ( ) S Para dados tabelados ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f... σ ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f S ( - ) é usado como um fator de correção, ode devemos cosderar a varâca amostral como uma estmatva da varâca populacoal. - Propredades da Varâca ª) Somado-se ou subtrado-se uma costate k a cada valor observado a varâca ão será alterada; ª) Multplcado-se ou dvddo-se por uma costate k cada valor observado a varâca fcará multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa costate. Outra forma de calcular o desvo padrão O desvo padrão mede bem a dspersão de um cojuto de dados, mas é dfícl de calcular. Etão, você pode obter o desvo padrão através da segute relação: d R ˆ σ ode R é a ampltude e o valor de d, que depede do tamaho da amostra, é ecotrado a tabela a segur. Este método de calcular o desvo padrão forece boas estmatvas para amostras de pequeo tamaho (4, 5 ou 6), mas perde a efcêca se >0. De qualquer

38 forma, é essa relação etre a ampltude e o desvo padrão de uma amostra que permte fazer gráfcos de cotrole R. TABELA : - Fatores para costrur um gráfco de cotrole d,8,693,059,36,534,704,847,970 3,078 3,73 3,58 3,336 3, d 0,347 3,53 3,53 3,640 3,689 3,735 3,778 3,89 3,858 3,39 3, Fote: Motgomery, D.C. Statcal Qualty Cotrol. Nova York, Wyley Meddas de Dspersão Relatva Relatva - Varâca relatva - Coefcete de Varação (Pearso) É a medda de varabldade que em geral é expressa em porcetagem, e tem por fução determar o grau de cocetração dos dados em toro da méda, geralmete utlzada para se fazer a comparação etre dos cojutos de dados em termos percetuas, esta comparação revelará o quato os dados estão próxmos ou dstates da méda do cojuto de dados. - Varâca Relatva V. R. σ µ ou S - Coefcete de Varação de Pearso σ S C.V. ou x 00 µ C.V. 50% a méda é represetatva C.V. 0 é a maor represetatvdade da méda (S 0) 4.4 Mometos, assmetra e curtose As meddas de assmetra e curtose complemetam as meddas de posção e de dspersão o setdo de proporcoar uma descrção e compreesão mas completa das dstrbuções de freqüêcas. Estas dstrbuções ão dferem apeas quato ao valor médo e à varabldade, mas também quato a sua forma (assmetra e curtose). 44

39 Para estudar as meddas de assmetra e curtose, é ecessáro o cohecmeto de certas quatdades, cohecdas como mometos Mometos São meddas descrtvas de caráter mas geral e dão orgem às demas meddas descrtvas, como as de tedêca cetral, dspersão, assmetra e curtose. Coforme a potêca cosderada tem-se a ordem ou o grau do mometo calculado. - Mometos smples ou cetrados a orgem (m r ) O mometo smples de ordem r é defdo como: m r r, para dados ão tabelados; r f m r, para dados tabelados. f ode: r é um úmero tero postvo; m 0 ; m méda artmétca. - Mometos cetrados a méda (M r ) O mometo de ordem r cetrado a méda, é defdo como: M M r r r ( ) r d, para dados ão-tabelados ( ) f r r f d f, para dados tabelados ode: M 0 ; M 0; M varâca (s ). 45

40 - Mometos abstratos (α r ) São defdos da segute forma: ode: s desvo padrão. α r M s r r 4.4. Assmetra Uma dstrbução de valores sempre poderá ser represetada por uma curva (gráfco). Essa curva, coforme a dstrbução, pode apresetar váras formas. Se cosderarmos o valor da moda da dstrbução como poto de referêca, vemos que esse poto sempre correspode ao valor de ordeada máxma, dado-os o poto mas alto da curva represetatva da dstrbução cosderada, logo a curva será aalsada quato à sua assmetra. - Dstrbução Smétrca: É aquela que apreseta a Mo Md e os quarts Q e Q3 eqüdstates do Q. - Dstrbução Assmétrca Mo Md Assmétrca Postva Assmétrca Negatva Mo < Md < < Md < Mo Podemos medr a assmetra de uma dstrbução, calculado os coefcetes de assmetra. Sedo o mas utlzado o Coefcete de Assmetra de Pearso. Mo As S - Se As < 0 a dstrbução será Assmétrca Negatva ; - Se As > 0 a dstrbução será Assmétrca Postva; - Se As 0 a dstrbução será Smétrca. 46

41 Quado ão tvermos codções de calcularmos o desvo padrão podemos usar a segute fórmula: Q3 + Q Md As Q Q 3 - Coefcete mometo de assmetra ( α 3 ): É o tercero mometo abstrato. α 3 M s 3 3 O campo de varação do coefcete de assmetra é: - α Itesdade da assmetra: α 3 < 0, smetra; 0, < α 3 <,0 assmetra fraca; α 3 >,0 assmetra forte Curtose Já aprecamos as meddas de tedêca cetral, de dspersão e de assmetra. Falta somete examarmos mas uma das meddas de uso comum em Estatístca, para se postvarem as característ cas de uma dstrbução de valores: são as chamadas Meddas de Curtose ou de Achatameto, que os mostra até que poto a curva represetatva de uma dstrbução é a mas aguda ou a mas achatada do que uma curva ormal, de altura méda. - Curva Mesocúrtca (Normal): É cosderada a curva padrão. - Curva Leptocúrtca: É uma curva mas alta do que a ormal. Apreseta o topo relatvamete alto, sgfcado que os valores se acham mas agrupados em toro da moda. - Curva Platcúrtca: É uma curva mas baxa do que a ormal. Apreseta o topo achatado, sgfcado que váras classes apresetam freqüêcas quase guas. 47

42 - Coefcete de Curtose K Q3 Q ( P P ) Se K > 0.63 a dstrbução será Platcúrtca. - Se K 0.63 a dstrbução será Mesocúrtca; - Se K < 0.63 a dstrbução será Leptocúrtca; Coefcete mometo de curtose (α 4 ): Correspode ao mometo abstrato de quarta ordem. ode: M 4 mometo cetrado de quarta ordem. Iterpretação: - Se α 4 < 3 curva Platcúrtca; - Se α 4 3 curva Mesocúrtca; - Se α 4 > 3 curva Leptocúrtca. α 4 M s Exercícos Para os exercícos abaxo costrua uma tabela de dspersão o sufcete para determar as meddas de posção (méda artmétca, medaa e moda de czuber), dspersão (desvo padrão e varâca, coefcete de varação de Pearso), assmetra (coefcete de assmetra, e coefcete de curtose). Faça um relatóro referete ao comportameto dos dados em fução dos resultados obtdos. ) De um exame fal de Estatístca, aplcado a 50 aluos da Uversdade Luteraa,Ao 999 resultaram as segutes otas: 4,0 4, 4,3 4,4 4,5 4,5 4,6 5,0 5, 5, 5,3 5,3 5,5 5,7 5,8 6,0 6, 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7, 7,5 7,6 7,7 7,9 8,0 8,3 8,5 8,6 8,8 8,9 9,0 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 0,0 48

43 ) Os dados a segur refere-se a altura em cetímetros de 70 aluos da PUCC, turma 6, ao ) Os dados a segur referem-se aos saláros auas pagos em dólares a 60 fucoáros da Empresa PETA S.A. em ,00 5,50 53,50 54,00 54,0 55,50 56,30 56,50 57,00 58,0 58,50 59,00 60,30 6,50 6,00 6,90 63,50 64,00 64,30 65,00 66,00 66,5 67,50 68,00 68,70 69,50 70,00 7,00 75,00 76,50 77,00 78,00 80,00 8,50 8,50 83,50 85,00 87,30 88,00 89,0 90,00 9,35 9,0 93,0 94,00 95,5 96,00 97,00 98,00 99,80 00,0 00,0 0,00 0,00 03,40 04,30 05,00 07,00 08,00 09,0 49

44 5 Probabldade e Varáves Aleatóras 5. Modelos Matemátcos Podem-se destgur dos tpos de modelos matemátcos: 6.. Modelos Determístcos Refere-se a um modelo que estpule que as codções sob as quas um expermeto seja executado determem o resultado do expermeto. O modelo determístco requer o uso de parâmetros pré-determados em equações que defem processos precsos. prever resultados. Em outras palavras, um modelo determístco emprega "Cosderações Físcas" para 6.. Modelos Não Determístcos ou Probablístcos São aqueles que formam com que chace ou probabldade os acotecmetos podem ocorrer. Determa o "grau de credbldade" dos acotecmetos. (Modelos Estocástcos). Em outras palavras, um modelo probablístco emprega uma mesma espéce de cosderações para especfcar uma dstrbução de probabldade. 5. Cocetos em Probabldade Os cocetos fudametas em probabldade são expermetos aleatóros, espaço amostral e evetos. 5.. Expermeto aleatóro (W ) Qualquer processo aleatóro, capaz de produzr observações, os resultados surgem ao acaso, podedo admtr repetções o futuro. Um expermeto aleatóro apreseta as segutes característcas: a - os resultados podem repetr-se vezes ( ) ; 50

45 b - embora ão se possa prever que resultados ocorrerão, pode-se descrever o cojuto de resultados possíves; os resultados. c - a medda que se aumeta o úmero de repetções, aparece uma certa regulardade 5.. Espaço Amostral (S) É o cojuto de resultados possíves, de um expermeto aleatóro. Quato ao úmero de elemetos pode ser: 5... Fto Número lmtado de elemetos; Ex.: S {,, 3, 4, 5, 6} 5... Ifto Número lmtado de elemetos, pode ser sub-dvddo em: a - Eumerável Quado os possíves resultados puderem ser postos em cocordâca buívoca com o cojuto dos úmeros aturas (N) (caso das varáves aleatóras dscretas). Ex.: N b - Não Eumerável Quado os possíves resultados ão puderem ser postos em cocordâca buívoca com o cojuto dos úmeros aturas (caso das varáves aleatóras cotíuas). Ex.: R 5..3 Eveto (E) Um eveto (E) é qualquer subcojuto de um espaço amostral (S). Pode-se ter operações etre evetos da mesma forma que com cojutos, como mostra a segur Operações com Evetos ocorrerem; A uão B Símbolo utlzado "U", é o eveto que ocorrerá se, e somete se, A ou B ou ambos 5

46 U S A B FIGURA 6. - Eveto A uão B A terseção B smultaeamete. Símbolo utlzado "I", é o eveto que ocorrerá se, e somete se, A e B ocorrem S A B A B FIGURA 6. - Eveto A terseção B Complemetar de A Smbologa " A _ ", é o eveto que ocorrerá se, e somete se A ão ocorrer. S FIGURA Eveto complemetar de A (A _ ) A 5

47 5..5 Tpos de evetos Evetos Mutuamete Excludetes São dtos evetos mutuamete excludetes, quado a ocorrêca de um mplca ou ão ocorrêca de outro, sto é, ão pode ocorrer jutos, e coseqüetemete, A I B é o cojuto vazo ( ). FIGURA Evetos mutuamete excludetes Evetos Não Excludetes ou Quasquer São dtos evetos ão excludetes quado a ocorrêca de um mplca a ocorrêca do outro, sto é, são aqueles que ocorrem ao mesmo tempo, AI B. FIGURA Eveto ão excludetes Evetos Idepedetes São aqueles cuja ocorrêca de um eveto, ão possu efeto algum a probabldade de ocorrêca do outro. 53

48 A I B, se A e B forem Quasquer; AI B, se A e B forem Mutuamete Excludetes. logo, ( A I B) P(A). P(B) P Ex.: A e B evetos Quasquer S {,, 3, 4 } A {, } B {, 4 } A I B { } ( A I B) P(A). P(B) P P( A) 4 P( B) 4 ( ) P A I B Evetos Depedetes ou Codcoados Exstem varas stuações ode a ocorrêca de um eveto pode fluecar fortemete a ocorrêca de outro. Assm, se (A) e (B) são evetos, deseja-se defr uma quatdade deomada probabldade codcoal do eveto (A) dado que o eveto (B) ocorre, ou sob a forma smbólca P ( A ). B Assm, dá-se a segute defção: ( ) P(A B) P A I B P(B) ode P(B) > 0. Se P(B) 0, tem-se que ( A ) P B ão é defda Evetos Coletvamete Exaustvos São aqueles que ocorrem se ehum outro ocorrer. 54

49 AI BICI D FIGURA Eveto coletvamete exaustvos 5.3 Cocetos de Probabldade 5.3. Coceto Empírco de Probabldade O problema fudametal da probabldade cosste em atrbur um úmero a cada eveto (E), o qual avalará quão possível será a ocorrêca de "E", quado o expermeto for realzado. Uma possível maera de tratar a questão sera determar a freqüêca relatva do eveto E (f r (E)), f ( úmero de ocorrêcas do eveto (E) E) r úmero de repetções do expermeto ( Ω ). Surgem, o etato, dos problemas: a - Qual deve ser o úmero de repetções do expermeto (Ω); b - A sorte ou habldade do expermetador poderá flur os resultados, de forma tal que a probabldade é defda como sedo: P(E) lm f (E) r, ode "" é o úmero de repetções do expermeto Ω Defção Clássca ou Efoque "A pror" de Probabldade Se exste "a" resultados possíves favoráves a ocorrêca de um eveto "E" e "b" resultados possíves ão favoráves, sedo os mesmos mutuamete excludetes, etão: 55

50 P(E) a a + b, ode os resultados devem ser verossímes (possível e verdadero) e permte a observação dos valores da probabldade ates de ser observado qualquer amostra do eveto (E) Defção Axomátca Seja (Ω) um expermeto, seja (S) um espaço amostral assocado a (Ω). A cada eveto (E) assoca-se um úmero real represetado por P(E) e deomaremos de probabldade de E, satsfazedo as segutes propredades: a - 0 P(E) ; b - P(S) ; c - Se A e B são evetos mutuamete excludetes, etão: P(A U B) P(A) + P(B). d - Se A, A,..., A são evetos mutuamete excludetes dos a dos, etão: ou P(A U A U... U A ) P(A ) + P(A ) P(A ) P( U A ) P(A ). As propredades aterores são cohecdas como axomas da teora da probabldade. Os axomas, mutas vezes, se spram em resultados expermetas e que, assm, defem a probabldade de forma que possa ser cofrmada expermetalmete Teoremas Fudametas Teorema - Se for eveto vazo, etão P( ) 0. Prova: Seja um eveto A. Assm, A A U, como A I, de acordo com o tem (3..3.4), A e são mutuamete excludetes, etão: P(A) P(A U ) P(A) P(A) + P( ) 56

51 P( ) P(A) - P(A) P( ) 0. Teorema - Se o eveto A _ for o eveto complemetar de A, etão P(A _ )-P(A). Prova: A U A _ S, mas A e A _ são mutuamete excludetes, etão: P(A U A _ ) P(S) P(A U A _ ) P(A) + P(A _ ) P(A) + P(A _ ) logo, P(A _ ) - P(A). Teorema 3 - Se A e B são evetos quasquer, etão: P(A U B) P(A) + P(B) - P(A I B) Prova: Para provar o Teorema 3 devemos trasformar A U B em evetos mutuamete excludetes, coforme a FIGURA 6. FIGURA 6 - Decomposção de evetos quasquer em mutuamete excludetes Tem-se etão que: (A U B) A U (B I A _ ) 57

52 e B (A I B) U (B I A _ ) logo pela propredade (c) temos: P(A U B) P[A U (B I A _ )] P(A U B) P(A) + P(B I A _ ) e P(B) P[(A I B) U (B I A _ )] P(B) P(A I B) + P(B I A _ ) ou P(B I A _ ) P(B) - P(A I B) ( ) ( ) substtudo-se a equação ( ) a equação ( ) tem-se: P(A U B) P(A) + P(B) - P(A I B). Decorrêcas do Teorema 3: Sejam A, B e C evetos quasquer: P(A U B U C) P[(A U B) U C] P(A U B U C) P(A U B) + P(C) - P[(A U B) I C] P(A U B U C) P(A) + P(B) + P(C) - P(A I B) - P[(AIC) U (BIC)] P(A U B U C) P(A) + P(B) + P(C) - P(AIB) - [P(AIC) + P(BI C) - P(AI BIC)] P(A U B U C) P(A) + P(B) + P(C) - P(AIB) - P(AIC) - P(BIC) + P(AIBIC) Sejam A, A,..., A evetos quasquer: 58

53 P(A UA U... U A ) P(A ) P(A IA ) + P(A IA IA ) + j < j < j< k 3 j k P(A IA j IAk IA l ) ( ) P(A IA I... IA ). < j< k < l 4 RESUMO Mutuamete Excludete s P(A U B) U A I B + (OU) Quasquer P(A U B) A I B P(A) + P(B) P(A) + P(B) - P(A Idepedetes P(A I B) P(A) x P(B) I A I B x (E) Depedetes P(A I B) P(A) x P(B/A) I B) 59

54 5.4 Exercícos ) A probabldade de 3 jogadores marcarem um pealt é respectvamete: /3; 4/5; 7/0 cobrado uma úca vez. a) todos acertarem. (8/75) b) apeas um acertar. (/6) c) todos errarem. (/50) ) Numa bolsa com 5 moedas de,00 e 0 moedas de 0,50. Qual a probabldade de ao retrarmos moedas obter a soma,50. (0/) 3) Uma ura cotém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e bracas. Três bolas são retradas. Qual a probabldade de retrar pretas e vermelha? a) sem reposção (/4) b) com reposção (9/40) 4 ) Numa classe há 0 homes e 0 mulheres, metade dos homes e metade das mulheres possuem olhos castahos. Ache a probabldade de uma pessoa escolhda ao acaso ser homem ou ter olhos castahos. (/3) 5) A probabldade de um homem estar vvo daqu a 0 aos é de 0.4 e de sua mulher é de 0.6. Qual a probabldade de que: a) ambos estejam vvos o período? (0.4) b) somete o homem estar vvo? (0.6) c) ao meos a mulher estar vva? (0.6) d) somete a mulher estar vva? (0.36) 6) Faça o exercíco ateror cosderado 0,5 a chace do homem estar vvo e 0, a chace da mulher estar vva e compara os resultados. 7) Uma ura cotém 5 fchas vermelhas e 4 bracas. Extraem-se sucessvamete duas fcha, sem reposção e costatou-se que a ª é braca. a) qual a probabldade da seguda também ser braca? (3/8) b) qual a probabldade da ª ser vermelha? (5/8) 8) Numa cdade 40 % da população possu cabelos castahos, 5% olhos castahos e 5% olhos e cabelos castahos. Uma pessoa é selecoada aleatoramete. a) se ela tver olhos castahos, qual a probabldade de também ter cabelos castahos? b) se ela tver cabelos castahos, qual a probabldade de ter olhos castahos? (3/5) (3/8) 60

55 9) Um cojuto de 80 pessoas tem as característcas abaxo: BRASILEIRO ARGENTINO URUGUAIO TOTAL MASCULINO FEMININO TOTAL Se retrarmos uma pessoa ao acaso, qual a probabldade de que ela seja: a) braslera ou uruguaa. (63/80) b) do sexo masculo ou teha ascdo a argeta. (9/6) c) braslero do sexo masculo. (8/80) d) uruguao do sexo femo. (5/80) e) ser mulher se for argeto. (5/7) 0) Um grupo de pessoas está assm formado: Médco Egehero Veteráro Masc. 3 5 Fem Escolhedo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabldade de que seja: a) Uma mulher que fez o curso de medca? b) Uma pessoa que fez o curso de medca? c) Um egehero dado que seja homem? d) Não ser médco dado que ão seja homem? ) Num gáso de esportes, 6% dos frequetadores jogam vôle, 36% jogam basquete e % pratcam os dos esportes. Um dos frequetadores é sorteado para gahar uma medalha. Sabedo-se que ele joga basquete, qual a probabldade de que também jogue vôle? ) A probabldade de um aluo resolver um determado problema é de /5 e a probabldade de outro é de 5/6. Sabedo que os aluos tetam solucoar o problema depedetemete. Qual a probabldade do problema ser resolvdo : a) somete pelo prmero? b) ao meos por um dos aluos? c) por ehum? 6

56 5.5 Teorema de Bayes Defção: Seja S um espaço amostral e A, A,..., A k, A, A,..., A k, formam uma partção de S se: k evetos. Dz-se que A,,,..., k k U A S, A I A, j j A, A, A 3, A 4, A 5,..., Ak formam uma partção de S. FIGURA Dagrama represetatvo do Teorema de Bayes Seja B um eveto qualquer de S, ode: B (B I A ) U (B I A ) U... U (B I A k ) k ( ) P(B) P A j.p B j A, j,,..., k j ( ) P(B I A ) P(A ).P B, ( ) A como 6

57 P(B A ) P A I B, P(B) ( ) substtudo as equações ( ) e ( ) a equação ( ) temos: P( A ).P B A A P, j,,..., k. k B P( A j).p B j A j Exemplo: Cores Ura U U U 3 Azul Braca 3 3 Preta 5 3 Escolhe-se uma ura ao acaso e dela extra-se uma bola ao acaso, verfcado-se que ela é braca. Qual a probabldade dela ter saído da ura: U? U? U 3? ) Temos caxas: a prmera há 3 bolas bracas e 7 pretas e a seguda, braca e 5 pretas. De uma caxa escolhda aleatoramete, selecoou-se uma bola e verfcou-se que é preta. Qual a probabldade de que teha saído da prmera caxa? seguda caxa? 5.6 Varáves aleatóras Ao descrever um espaço amostral (S) assocado a um expermeto (Ω) especfca-se que um resultado dvdual ecessaramete, seja um úmero. Cotudo, em mutas stuações expermetas, estaremos teressado a mesuração de alguma cosa e o seu regstro como um úmero. Defção: Seja (Ω) um expermeto aleatóro e seja (S) um espaço amostral assocado ao expermeto. Uma fução de, que assoce a cada elemeto s S um úmero real x(s), é deomada varável aleatóra. 63