Medidas de tendência central. Média Aritmética. 4ª aula 2012

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1 Estatístca 4ª aula 2012 Meddas de tendênca central Ajudam a conhecer a analsar melhor as característcas de dados colhdos. Chamamos de meddas de tendênca central em decorrênca dos dados observados apresentarem em geral a tendênca de se agruparem em torno dos valores centras da dstrbução. Entre essas meddas destacam-se: Méda artmétca Medana Moda Méda Artmétca Méda Artmétca de ( ndcada por _ ) é a dvsão da soma de todos os valores da varável pela quantdade desses valores, ou seja: Eemplo: n 1 Calcule, em cada caso, a méda artmétca dos valores: a) b) c) _ n Cálculo da méda artmétca para dados agrupados Quando os dados estão agrupados em classes, as freqüêncas dessas classes devem ser consderadas como fatores de ponderação (ou pesos estatístcos), sendo então a méda uma Méda Artmétca Ponderada, calculada pela epressão: f f n f Eemplos: Consderando a dstrbução abao, calcule a méda artmétca: Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 1

2 Estatístca valores frequêncas Cálculo da méda artmétca para dados agrupados com ntervalos No caso das classes apresentarem ntervalos o valor de deve ser consderado como sendo o ponto médo da classe, ou seja: Eemplo: Pm f n Pm Alturas de 100 estudantes do seo masculno da Unversdade XYZ. Altura (cm) Nº de estudantes SPIEGEL, p. 79 Determnar a altura méda dos 100 estudantes. Méda Geométrca É a raz n-ésma do produto de todos eles. Méda Geométrca Smples Seja a seqüênca numérca X = 1, 2, 3, 4,..., n, temos : Eemplos: Calcular a méda geométrca dos seguntes conjuntos de números: a) 10, 60, 360 b) 2, 2, 2 c) 1, 4, 16, 64 _ n g 1. 2 n... Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 2

3 Estatístca Méda Geométrca Ponderada Seja a seqüênca numérca X = 1, 2, 3, 4,..., n, com frequêncas f 1, f 2, f 4,..., f n, temos : _ n f1 f f3 fn gp n com n = f 1 + f 2 + f f n. Eemplo: Calcular a méda geométrca dos valores da tabela abao: f total 9 Medana A medana é o valor que se encontra no centro de uma sére de números ordenados, de modo que antes e depos dele há gual quantdade de dados. Tendo os n valores ordenados de uma varável. A medana desse conjunto de valores (ndcada por Me) é defnda por: Eemplo: Determne: a) A medana dos nove valores já ordenados, b) A medana dos oto valores já ordenados, c) A medana dos valores: 8, 2, 6, 10, 4 d) A medana dos graus, 84, 91, 72, 68, 87 e 78 de um estudante em ses eames. Costa Neto, p. 22 Spngel, p. 85 Cálculo da Medana para dados agrupados M d l Md f Fac( ant) 2 f Md h Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 3

4 Estatístca Onde: l Md = lmte nferor da classe medana. f Md = freqüênca da classe medana. F ac (ant) = freqüênca acumulada da classe anteror à classe medana. h = ampltude da classe medana. Eemplo: 1) Dada a dstrbução, determne a medana: Classes Frequênca ) Dada a dstrbução (*), determne a medana: Classes Frequênca 39,5 44,5 3 44,5 49,5 8 49,5 54, ,5 59, ,5 64,5 7 64,5 Ⱶ 69,5 3 69,5 Ⱶ 74, Costa Neto, p. 23 Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 4

5 Estatístca Moda A Moda corresponde ao valor mas freqüente encontrado na dstrbução. Eemplo: Determne a moda: a) O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 b) O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 c) O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Spegel, p. 71 Cálculo da Moda para dados agrupados Quando os dados estão agrupados em classes, a classe que apresenta a maor freqüênca é denomnada classe modal. Nesse caso, a moda pode ser obtda utlzando-se a fórmula de Czuber. M o l Mo h Onde: l Mo = lmte nferor da classe modal. Δ 1 = dferença entre a freqüênca da classe modal e a freqüênca da classe anteror. Δ 2 = dferença entre a freqüênca da classe modal e a freqüênca da classe posteror. h = ampltude da classe modal. Eemplo: Determne a moda consderando a dstrbução acma (*) Eercícos 1) Determnar a méda, a medana e a moda dos seguntes conjuntos de valores: a) 2,3 2,1 1,5 1,9 3,0 1,7 1,2 2,1 2,5 1,3 2,0 2,7 0,8 2,3 2,1 1,7 b) ) Calcular a méda, a medana e a moda da segunte dstrbução de freqüêncas: Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 5

6 classes frequêncas Total 40 Costa Neto, p. 24,25 Estatístca 3) A tabela mostra a dstrbução de freqüênca dos saláros semanas, em reas de 65 empregados da Companha P&R. Determne a méda artmétca, a medana e a moda. Saláros (R$) Nº de empregados Notas de aula - Prof. Jábo Antono Salmazo 1) Consdere que 10 lâmpadas foram testadas para determnar o tempo de vda útl (em horas).vamos determnar a méda artmétca, a medana e moda do tempo de vda útl das lâmpadas ) O controle de qualdade de uma ndústra forneceu o segunte número de peças defetuosas (por lote de 100 undades): Calcule o valor da meda artmétca, medana e moda do número de peças defetuosas. 3) O sulfto de sódo (Na2SO3) é usado como conservante em almentos. Ele é encontrado em refrgerantes, concentrados de frutas, chocolates, sucos, quejos funddos, margarnas, conservas vegetas, carnes, pães, farnhas e em mlhares de outros almentos ndustralzados. Uma denunca de ntocação almentar levou a nvestgação de um lote de 20 latas de certo produto. Os resultados são dados abao (em g de Na2SO3 por 100g do produto): Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 6

7 Estatístca 0,04 0,04 0,06 0,02 0,05 0,07 0,06 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,03 0,03 0,05 0,06 0,07 0,05 0,06 0,04 Determne a méda artmétca, medana e moda. 4) Suponha que o sndcato dos engenheros solcte a uma pequena empresa o valor médo dos saláros pagos aos seus empregados. Os valores levantados pelo setor de Recursos Humanos são apresentados abao: Saláros (R$) Nº de empregados Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 7

8 Estatístca SPIEGEL- p. 98, 99, 100, 101 Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 8

9 Estatístca Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 9

10 Estatístca Eercícos (Notas de Aula) 1 ) Um jogador de futebol controlou a bola com os pés sem derruba-la, consegundo os seguntes números de vezes : 23, 43, 16, 26, 49, 15, 58, 68, 71 e 114. Determne : a ) A ampltude do rol. b ) A méda artmétca. c ) A medana. d ) A moda. 2 ) Calcule _ p ( ou M a ), M d e M o das seguntes dstrbuções de freqüêncas : Alturas ( cm ) Nº Alunos ( F ) Ponto Médo (m ) F.m F a Alturas ( cm ) Nº Alunos ( F ) Ponto Médo (m ) F.m F a 4 ) A tabela abao, mostra a dstrbução dos dâmetros das cabeças dos rebtes fabrcados por uma companha. Calcule os dâmetros ( Médo, Medano e Modal ). Dâmetro ( em pol s.) Freq. ( F ) 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ponto Médo ( m ) F.m F a Profa. Ms. Lucclede Lavor Terto 10