Estatística Descritiva

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1 Estatístca Descrtva Cocetos Báscos População ou Uverso Estatístco: coj. de elemetos sobre o qual cde o estudo estatístco; Característca Estatístca ou Atrbuto: a característca que se observa os elemetos da população; Modaldades (compatíves e eaustvas): as dversas formas em que se apreseta a característca estatístca; Amostra: subcojuto fto da população (razões para a recolha de uma amostra: dmesão ecessva da população, estudo de atureza destrutva, ecooma e tempo) Eemplos: ) O Gestor de produção de uma fábrca pretede ter uma dea da percetagem de peças defetuosas que a fábrca produzu em determado período de tempo. A população em estudo é costtuída por todas as peças produzdas pela fábrca durate aquele período de tempo. A característca estatístca tem apeas duas modaldades: peça defetuosa e peça ão defetuosa.

2 Estatístca Descrtva ) Num estudo de mercado para costrução de um cetro comercal, teressa estudar o redmeto famlar mesal dos habtates de uma determada cdade. A população é costtuída pelas famílas daquela cdade e a característca estatístca é o redmeto famlar mesal. As modaldades do redmeto famlar mesal ão se podem eumerar; são todos os valores desde, por eemplo, 50 cotos até 000 cotos. 3) Uma determada empresa pretede realzar um quérto aos seus trabalhadores, ode lhes é peddo para classfcarem a qualdade do servço do bar/refetóro segudo a segute escala: fraco, razoável, bom ou muto bom. Os trabalhadores da fábrca costtuem a população em estudo, e a característca estatístca é a opão acerca da qualdade do servço do bar/refetóro. Neste estudo o atrbuto pode mafestar-se as segutes modaldades: fraco, razoável, bom ou muto bom.

3 Tpos de Dados estatístcos. Estatístca Descrtva Quattatvos (por e., o úmero dáro de ascmetos o hosptal de Vseu ou a altura dos aluos da ESTV): Dscretos (úmero fto ou fto umerável de modaldades; por e., o úmero dáro de ascmetos o hosptal de Vseu) Cotíuos (pode assumr qualquer valor um tervalo de úmeros reas; a dstção etre os dos é por vezes arbtrára; por e., altura de um aluo da ESTV) Qualtatvos (por e., cor dos cabelos, estado cvl) 3

4 Represetação de Dados Estatístca Descrtva População ou amostra de dvíduos. Atrbuto A com p modaldades: A, A,...,A p. Frequêca absoluta ou efectvo da modaldade A, é o º de dvíduos que apresetam a modaldade A. Frequêca relatva da modaldade A f, é a proporção de dvíduos que apresetam a modaldade A, f. p e f. p 4

5 Represetação Tabular Quadros de Frequêcas Estatístca Descrtva Modaldades Frequêcas absolutas A f / f A f / + f +f Frequêcas relatvas Frequêcas absolutas acumuladas Frequêcas relatvas acumuladas M M M M M A P p f p p / p f +f +...+f p Total - - Eemplo : Os dados que se seguem são relatvos às vedas (em cotos) de 30 vededores da ElectroNoLar durate o mês de Outubro passado

6 Tabela de frequêcas - dados ão agrupados Freq. absolutas Freq. relatvas f Freq. absolutas acumuladas Freq. relatvas acumuladas /30 3 3/ /30 6 6/ /30 9 9/ /30 5 5/ /30 0 0/ /30 4 4/30 30 /30 6 6/30 40 /30 8 8/30 50 /30 9 9/30 60 /30 30 Total Estatístca Descrtva Tabela de frequêcas com dados agrupados. Classes de valores Freq. absolutas Freq. relatvas f Freq. absolutas acum. Freq. relatvas acum. [60, 80[ 3 3/30 3 3/30 [80, 00[ 6 6/30 9 9/30 [00, 0[ /30 0 0/30 [0, 40[ 6 6/30 6 6/30 [40, 60[ 3 3/30 9 9/30 [60, 80[ / /30 Total Os tervalos de classe podem ter a mesma ampltude ou ampltudes dferetes depededo da atureza dos feómeos a estudar. Agrupar os dados mplca perda de formação. Regras prátcas para a determação do º de classes: Regra de Sturges º de classes +log 0 ()/log 0 () Outra º de classes (usualmete empregue quado >5). 6

7 Represetação gráfca Dagrama de barras Dados Não Agrupados Polígoo de frequêcas Estatístca Descrtva Frequêca absoluta Vedas Represetação gráfca das frequêcas acumuladas Frequêca absoluta Vedas Frequêcas relatvas acumuladas 0,8 0,6 0,4 0, Vedas 7

8 Estatístca Descrtva Dados Agrupados Hstograma No hstograma tomamos rectâgulos justapostos, cada um com base proporcoal à ampltude da classe respectva e altura h dada por: (frequêcas absolutas) a+ a h f (frequêcas relatvas) a+ a A área de cada rectâgulo é etão proporcoal à frequêca da classe respectva: (frequêcas absolutas) área do - ésmo rectâgulo f (frequêcas relatvas) A área total do hstograma é gual a se foram usadas frequêcas absolutas e gual a se foram usadas frequêcas relatvas. Note-se porém que, quado as classes têm todas a mesma ampltude é costume, para facltar a represetação, tomar para altura de cada rectâgulo a frequêca absoluta ou relatva da classe a que respeta. 8

9 Estatístca Descrtva Hstograma Polígoo de frequêcas Freq. absolutas Vedas Freq. absolutas Vedas Polígoo de frequêcas acumuladas Freq. relatvas acumulada 0,8 0,6 0,4 0, Vedas 9

10 Meddas Descrtvas Estatístca Descrtva Meddas de Localzação ou de Tedêca Cetral Estas meddas dão-os uma dea do cetro ou localzação da dstrbução dos dados. Méda artmétca Sejam,,..., p os valores dsttos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêca absoluta e frequêca relatva f. Etão a méda artmétca represeta-se por e é dada por: f. Para dados agrupados em classes toma-se para o poto médo da -ésma classe; e f serão, aturalmete, a frequêca absoluta e relatva da -ésma classe, respectvamete. 0

11 Estatístca Descrtva Eemplo : A tabela de frequêcas que se segue é relatva ao úmero de peus produzdos por da a fábrca MAVOR, para uma amostra de 30 das. Freq. absoluta Freq. relatva f Freq. abso. acum. Freq. relat. acum.s Total A méda de peus produzdos daramete, para os 30 das cosderados é:

12 Estatístca Descrtva Medaa Trata-se do valor que dvde o cojuto de dados, ordeados por ordem crescete, em duas partes guas. Isto é, a medaa, como o própro ome dca, é o poto medao de um cojuto de dados ordeados em ordem crescete. Sejam,,...,, observações ordeadas por ordem crescete dos seus valores, e que costtuem o cojuto de dados em aálse. ( + ) se é mpar Me + + se é par Eemplo, como é par: Me 4. Para dados agrupados em classes, procuramos a classe medaa, sedo esta tal que a sua frequêca absoluta (resp. relatva) acumulada é / (resp. /) e a frequêca absoluta (resp. relatva) acumulada da classe ateror é < / (resp. /). Depos de ecotrada a classe medaa, [a j, a j+ [, ecotra-se a medaa por terpolação lear: j / Me a j + ( a j+ a j ) j

13 Moda É o valor mas frequete um cojuto de dados. {, 3, 4, 4, 5} Mo4 (dstrbução umodal); {,, 3, 4, 4, 5} Mo e 4 (dstrbução bmodal); Eemplo Mo4. Estatístca Descrtva Havedo mas de valores modas, a dstrbução dz-se multmodal. Quado os dados estão agrupados em classes, a classe modal é aquela que tem maor frequêca por udade de ampltude. Nestes casos ão podemos determar o valor eacto da moda pos ão sabemos como estão dstrbuídas as observações detro de cada classe. Podemos, o etato, obter uma apromação da Moda usado uma das segutes fórmulas: j+ Fórmula de Kg: Mo a j + ( a j+ a j ) + Fórmula de Czuber: Mo a j j+ j j ( ) ( ) ( a ) j a j + j + + j j j j+ ode, [a j, a j+ [ é a classe modal; j é a freq. abso. desta classe; j+ e j- são, resp., a freq. abso. da classe ateror e posteror à modal. 3

14 Estatístca Descrtva Meddas de Localzação ão Cetral Quats: Q p A medaa dvde o cojuto de dados em duas partes guas. Quado o cojuto de dados ordeados é dvddo em 4 partes guas, os potos de dvsão são chamados os quarts: Q /4, º quartl valor que tem cerca de 5% dos dados abao dele; Q /4, º quartl valor que tem cerca de 50% dos dados abao dele trata-se da Medaa; Q 3/4, 3º quartl valor que tem cerca de 75% dos dados abao dele. Podemos ada calcular os quts, decs, percets, Cálculo do quatl de ordem p, Q p : Dados ão agrupados em classes Sejam,,...,, observações ordeadas por ordem crescete dos seus valores. Se p ão é um tero, etão Q p k, ode k é o tero medatamete segute a p. Caso cotráro, sedo p um tero, etão Q p ( p + p+ )/. Cálculo do quatl de ordem p, Q p : Dados agrupados em classes Seja [a j, a j+ [ a classe que cotém Q p,.e., que cotém o valor ao qual correspode a frequêca absoluta (resp. relatva) acumulada de p (resp. p). Por terpolação lear obtém-se Q p : Q p j p a j + j+ j ( a a ) j 4

15 Estatístca Descrtva Meddas de Dspersão Eemplo: Duas empresas cocorretes com sede em Vseu, obtveram os segutes lucros os 5 últmos aos: Lucros em udades moetáras (u. m.) Empresa Empresa O lucro médo das duas empresa os últmos 5 aos é o mesmo, 3 u.m., o etato a Empresa apreseta uma maor varabldade os lucros do que a Empresa. Empresa Empresa

16 Estatístca Descrtva 6 O tervalo terquarts, [Q /4, Q 3/4 ] cotém 50% das observações. A ampltude deste tervalo, ampltude terquarts, é uma medda de dspersão. As meddas de dspersão mas utlzadas são o desvo padrão e a varâca que defmos a segur. Sejam,,..., p os valores dsttos de um cojuto de dados, cada um deles com frequêca absoluta e frequêca relatva f. Se estes dados costtuem observações fetas sobre toda a população, a varâca deota-se por σ e é calculada da segute maera: p p f ) ( ) ( σ, ou equvaletemete, p p f σ. Se, pelo cotráro, o cojuto de dados costtu uma amostra da população, etão a varâca deota-se por s e é dada por: p s ) ( p s. O desvo padrão é a raz quadrada da varâca e deota-se por σ ou por s.

17 Estatístca Descrtva Eemplo Como dspomos de uma amostra, temos: s p. Frequêcas Frequêcas absolutas relatvas f Total Etão a varâca e o desvo padrão são, respectvamete, s ( ) (u.m.) e s u.m.. 7

18 Coefcete de dspersão e de varação Estatístca Descrtva Meddas de dspersão absolutas: epressas a mesma udade dos dados a que se referem Meddas de dspersão relatvas: depedetes da udade de medda dos dados a que se referem A varâca e o desvo padrão são meddas de dspersão absolutas. Se pretedermos comparar a dspersão de dos cojutos de dados que ão estejam epressos a mesma udade de medda, teremos de adoptar uma medda de dspersão relatva, por eemplo: Coefcete de dspersão: cd s ou σ Coefcete de varação: cvcd 00% Estes coefcetes só se empregam quado a varável toma valores de um só sal. 8

19 Descrção smultâea de dos atrbutos Estatístca Descrtva 9

20 Estatístca Descrtva Por vezes a População que se pretede estudar, aparece sob a forma de pares de valores, sto é, cada dvíduo ou resultado epermetal, cotrbu com um cojuto de dos valores. É o que acotece, por eemplo, quado se cosdera para cada aluo caddato ao Eso Superor, a ota fal de Matemátca e a ota da Prova Específca. Como represetar e orgazar este tpo de formação? Através de uma represetação gráfca Através de uma represetação tabular 0

21 Estatístca Descrtva Represetação gráfca Dagrama de Dspersão É uma represetação gráfca para os dados bvarados, em que cada par de dados (,y) é represetado por um poto de coordeadas (,y), um sstema de eos coordeados. Este tpo de represetação é muto útl, pos permte realçar algumas propredades etre os dados, omeadamete o que dz respeto ao tpo de assocação etre os s e os y s. Eemplo: Cosdere os segutes dados, que represetam o úmero de faltas ão autorzadas por ao e a dstâca (em km) a que os empregados de determado armazém estão de casa. Costrua o Dagrama de dspersão e comete-o.

22 Estatístca Descrtva Dstâca (Km) Nº de Faltas y y [Km] Cometáro: O gráfco mostra uma lgera assocação, de setdo cotráro, etre o º de faltas e a dstâca. Assm, quato maor é a dstâca, meor é a tedêca para faltar!

23 Represetação tabular Estatístca Descrtva Outro processo de orgazar a formação correspodete a dados bvarados é utlzado uma tabela de cotgêca. De uma maera geral, uma tabela de cotgêca é uma represetação dos dados, quer de tpo qualtatvo, quer de tpo quattatvo, especalmete quado são de tpo bvarado, sto é, podem ser classfcados segudo dos crtéros. O aspecto de uma tabela de cotgêca é o de uma tabela com lhas, correspodetes a um dos crtéros, e com coluas, correspodete ao outro crtéro. 3

24 Eemplo: Estatístca Descrtva Num quérto realzado a 50 dvíduos, estes tveram de assalar o seo, M ou F, e o estado cvl - soltero, casado, vúvo ou dvorcado. Para resumr a formação cotda a amostra, costruu-se a segute tabela de cotgêca: Estado Cvl Soltero Casado Vúvo Dvorcado Total F M Total Da aálse da tabela podemos trar algumas coclusões, tas como: - O úmero de dvíduos do seo masculo e solteros é 40 - O úmero de dvíduos do seo masculo é O úmero de dvíduos vúvos é 5 4