INTERPRETANDO ALGUNS CONCEITOS DE PROBABILIDADE ESTATÍSTICA VIA ÁLGEBRA LINEAR

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1 INTERPRETANDO ALGUNS CONCEITOS DE PROBABILIDADE ESTATÍSTICA VIA ÁLGEBRA LINEAR Hetor Achlles Dutra da Rosa - hetorachlles@yahoo.com.br Cetro Federal de Educação Tecológca Celso Suckow da Foseca CEFET/RJ Aveda Maracaã, 229 Maracaã CEP Ro de Jaero - RJ José Luz Ferades - jlferades@cefet-rj.br Marcos Olvera de Pho - dephogalos@aol.com Resumo: Este trabalho tem como objetvo ressaltar a mportâca da Matemátca, em especal da Álgebra Lear e da Probabldade e Estatístca para os cursos de graduação em Egehara. Dessa forma pretede-se desevolver determados cocetos de Probabldade e Estatístca a partr de um referecal pautado em cocetos de Álgebra Lear, promovedo dessa maera uma assocação etre essas duas áreas da Matemátca. O desevolvmeto desses cocetos ocorre a partr de problemas smples, característcos da área de Egehara. Cotudo, um dos objetvos desse trabalho é promover uma reflexão a respeto da forma com que os cocetos matemátcos em geral são levados aos cursos de graduação em Egehara. Palavras-chaves: Eso de Matemátca; Álgebra Lear, Probabldade e Estatístca. 1. INTRODUÇÃO Segudo BECKER (1997) etede-se que é de fudametal mportâca para aluos de graduação a área de Cêcas Exatas, em especal, as áreas relacoadas às Egeharas, o desevolvmeto de uma sólda formação matemátca que é resposável, detre outras cosas, pelo auxílo a resolução de problemas característcos de suas áreas. Nesse setdo faz-se ecessáro estmular os aluos e profssoas dessas áreas a compreeder e aplcar, com seguraça, os cohecmetos téccos adqurdos ao logo dos cursos de graduação. Date dsso, esse trabalho ressalta a mportâca da Estatístca e da Álgebra Lear a área de Egehara, servdo ambas, como elemetos sgfcatvos para a tomada de decsões e de suporte às aálses de problemas relacoados a essas áreas. É mportate destacar que o eso tato de Estatístca quato de Álgebra Lear devem estar relacoados etre s, e à questões que teham verdadero sgfcado para os estudates de egehara em geral. Segudo BROUSSEAU (1988) cabe às dscplas relacoadas à Probabldade e Estatístca, oferecdas aos cursos de graduação em Egehara, apresetar métodos e téccas que possam ser aplcados um cotexto própro e pecular dessas áreas, cotrbudo para o etedmeto de

2 feômeos e para o desevolvmeto terpretatvo dos mesmos, a fm de que possam ser estabelecdas aálses qualtatvas e quattatvas de tas feomeos. Stetcamete, estatístca é a cêca dos dados uma cêca para o produtor e o cosumdor de formações umércas. Ela evolve coleta, classfcação, sumarzação, orgazação, aálse e terpretação de dados. (MARTINS, 2002, p.19) Quato à Álgebra Lear temos que: A Álgebra Lear é o estudo dos espaços vetoras e das trasformações leares etre eles. Quado os espaços têm dmesões ftas, as trasformações leares possuem matrzes. Também possuem matrzes as formas bleares e, mas partcularmete, as formas quadrátcas. Assm a Álgebra Lear, além de vetores e trasformações leares, lda também com matrzes e formas quadrátcas. São umerosas e bastate varadas as stuações, em Matemátca e em suas aplcações, ode esses objetos ocorrem. Daí a mportâca da Álgebra Lear o eso da Matemátca. (LIMA, 1995 prefáco) Na prátca é comum observar que mutos cursos de Álgebra Lear correspodem a um cojuto de defções e teoremas descoexos com o uverso dos futuros egeheros, fazedo com que erroeamete, a terprete como mas uma dscpla sem sgfcado e sem relevâca para a sua formação. Esse trabalho tem como objetvo relacoar algus cocetos de Álgebra Lear aos cocetos de Probabldade e Estatístca, a fm de permtr a resolução de problemas e facltar a compreesão de cocetos que se apresetam terlgados. Assm, serão apresetadas algumas defções báscas de Álgebra Lear, como a oção de espaços vetoras, bem como a apresetação da defção de produto tero, que correspode a uma oção que erquece a estrutura de um espaço vetoral, permtdo o uso da lguagem geométrca. Date dos etes matemátcos tratados pela Álgebra lear será feta uma aplcação detro da Estatístca, ou seja, com o auxílo desses elemetos apresetados serão apresetados cocetos estatístcos. Acredta-se que a abordagem utlzada vablza uma assocação etre essas duas áreas da Matemátca, possbltado dar maor setdo à Álgebra Lear equato dscpla dos cursos de egehara e também mostrar aos estudates as suas aplcações detro da Estatístca. 2. UM POUCO DE ÁLGEBRA LINEAR Um espaço vetoral real é um cojuto V, ão vazo, com duas operações: soma, + V V V, e multplcação por escalar IR V V, tas que, para quasquer uvw,, V e α, β IR, as segutes propredades são satsfetas: ) ( u+ v) + w= u+ ( v+ w) ) u+ v= v+ u ) 0 V tal que u+ 0 = u v) u V tal que u+ ( u) = 0 v) α( u+ v) = αu+ αv v) ( α + β)u = αu+ βu v) ( αβ) u = α( βu) v) 1u = u

3 Dz-se que qualquer elemeto de um espaço vetoral é um vetor. Como exemplo de espaço vetoral tem-se o cojuto IR, sto é, o cojuto formado pelos vetores -uplas dos úmeros reas: IR = {( x1, x2,..., x ) x IR} tal que para quasquer u = ( x1, x2,..., x ) e v= ( y1, y2,..., y ) em IR e α IR estão defdas as operações u+ v= ( x1+ y1, x2 + y2,..., x + y) e αu = ( αx1, αx2,..., αx ). Tal fato pode ser mostrado pela smples verfcação dos axomas que caracterzam em espaço vetoral. Em partcular, segue que 2 3 IR e IR, sto é, o cojuto dos vetores o plao e o espaço, respectvamete em relação às operações defdas aalogamete, como em IR, também são espaços vetoras. Dado um espaço vetoral V, um subcojuto W, ão vazo, será um subespaço vetoral de V se: ) para quasquer uv, W tem-se u+ v W ) para quasquer α IR, tem-se αu W Num espaço vetoral com v1, v2,..., v V o cojuto { v1, v2,..., v } é learmete depedete (LI) se a equação α1v1+ α2v αv= 0 mplca em α1 = α2 =... = α = 0. Caso cotráro, dz-se que { v1, v2,..., v } é learmete depedete (LD). Pode-se ecotrar, detro de um espaço vetoral V, um cojuto fto de vetores, tas que outro vetor de V seja uma combação lear deles, esse cojuto é deomado base de V. Isto é, mas especfcamete, um cojuto { v, v,...,v } de vetores de V é uma base V se, e somete se, { v, v,..., v } é LI e se { v1, v2,..., v } gera V, ou seja, [ v1, v2,..., v ] = V. É teressate observar que um espaço vetoral pode ser estudado a partr de uma abordagem geométrca, sto é, um espaço vetoral é possível determar meddas que varam de espaço para espaço e que têm sgfcados própros em relação a atureza desses espaços. Sedo V um espaço vetoral real, um produto tero sobre V é uma fução que a cada par de vetores uv,, assoca um úmero real, deotado por < uv, >, satsfazedo as segutes propredades: ) < uv, >=< vu, >, u, v V ) < u+ v, w>=< u, v>+< v, w>, u, v, w V ) < αuv, >= α < uv, >, u, v V v) < u, u > 0 e < uu, >= 0 u= 0, u V Em IR defe-se o produto tero usual etre dos vetores u = ( x1, x2,..., x ) e v= ( y1, y2,..., y ) como sedo < uv, >= xy 1 1+ xy xy, uma vez que essa le verfca as quatro, propredades que caracterzam um produto tero. O produto tero serve, detre outras cosas, para caracterzar a oção de ortogoaldade etre vetores. Dado um espaço vetoral V com produto tero <, >, dz-se que dos vetores uv, Vsão ortogoas em relação ao <, > se < uv, >= 0 e deota-se esse fato por u v. Assm, prova-se que dado um cojuto de vetores, ão ulos, { v1, v2,..., v } dos a dos ortogoas tem-se que { v1, v2,..., v } é LI. Esse resultado permte caracterzar bases ortogoas, ou seja, { v, v,..., v } é base ortogoal de V se < v, v >= 0 para j. A defção de base ortogoal tora-se relevate porque permte estabelecer um procedmeto padrão para se ecotrar as coordeadas de um vetor qualquer em relação a base. j

4 Cosdere V um espaço vetoral com produto tero <, > e β = { u1, u2,..., u } uma base de V e w um vetor qualquer de V. Pode-se obter as coordeadas de w em relação a base β, ou seja, pela defção de base tem-se w= α v + α v + + α v. (1) Aplcado o produto tero <, >, os dos membros dessa gualdade por v obtém-se < v, w>= α < v, v > (2) que mplca em < wv, > α =, (3) < v, v > coordeada cohecda por coefcete de Fourrer de w em relação a v. Seja V um espaço vetoral com produto tero <, > defe-se orma de um vetor u em relação a esse produto tero, o úmero u = < u, u >. (4) Caso, u = 1 u é dto vetor utáro, ou dz-se que u está ormalzado. Para quasquer uv, V e α IR, a oção de orma apreseta as segutes propredades: u 0 e u = 0 u = 0; (5) αu = α u ; (6) < uv, > u v (desgualdade de Schwarz) e (7) u+ v u + v (desgualdade tragular). (8) A desgualdade de Schwarz permte defr âgulo etre dos vetores ão ulos, em um espaço vetoral V mudo de um produto tero, sto é, dados uv, V, vetores ão ulos, etão tem-se que < uv. > 1 (9) u v ou seja, < uv, > 1, (10) u v e, portato exste um âgulo θ etre 0 e π radaos tal que < uv, > cosθ =. (11) u v A defção de orma tora-se ecessára para a caracterzação de bases cohecdas como ortoormas, sto é, uma base β = { u1, u2,..., u } de V é ortoormal se for ortogoal e se cada um de seus vetor é utáro. Vale lembrar que a partr de qualquer base de um espaço vetoral pode-se obter uma base ortoormal utlzado-se o processo de ortogoalzação de Gram- Schmdt e em seguda ormalzado os vetores obtdos esse processo. A obteção de uma base ortoormal a partr de uma base qualquer de um espaço vetoral aparece descrto em LIMA, 2002.

5 de Dados um espaço vetoral V mudo de um produto tero <, > e um subcojuto S V, dz-se que S = { v V v é ortogoal a todos os vetores de S} é chamado complemeto ortogoal de S. 3. PROBABILIDADE ESTATÍSTICA E ÁLGEBRA LINEAR A partr de problemas propostos serão caracterzadas algumas oções de Probabldade Estatístca a fm de uma posteror assocação com as oções de Álgebra Lear descrtas a secção ateror desse trabalho. PROBLEMA 1: Uma dústra que produz determado produto eletrôco percebedo que esses produtos ão tem a mesma durabldade, devdo à varações a lha de produção, qualdade de materas, etc resolve fazer experêcas com relação ao úmero de horas de uso efetvo relacoado durabldade com a respectva probabldade. A partr dos dados cotdos a tabela abaxo, qual a probabldade méda dos compoetes? Tabela 1 Relação durabldade/h e probabldade Durabldade/h Probabldade 1/3 1/4 1/4 1/6 Sedo X uma varável aleatóra dscreta, com valores x 1, x 2,..., x k tem-se que a esperaça matemátca de X, ou méda de X é defda por k µ ( x) = Ex [ ] = xpx ( ). (12) No problema estudado durabldade/h correspode a uma varável aleatóra que assume os valores 4200, 5000, 5400 e 6000, daí: µ ( x) = E[ x] = = 4975 horas. (13) Sedo a varâca uma medda de dspersão que avala o grau de homogeedade dos valores da varável aleatóra em toro da méda, defe-se a varâca de uma varável aleatóra dscreta por = 1 k σ ( x) = VAR( x) = E[( x µ ( x)) ] = ( x µ ( x)) p. (14) Portato, o problema cosderado: σ ( x) = VAR( x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = (15) ,99 A partr do cálculo da raz quadrada da varâca obtém-se o desvo padrão, sto é: σ = σ 2 ( x). (16) No exemplo em questão, σ ( x) ,99 648,56. (17) Os cocetos de Probabldade Estatístca abordados estão relacoados à cocetos de Álgebra Lear. Na aálse de expermetos tem-se que um feômeo estudado possu = 1

6 possbldades dsttas S1, S2,..., S de se mafestar, ode cada uma dessas possbldades apreseta probabldades p1, p2,..., p respectvamete. O cojuto S = { S1, S2,..., S } correspode ao espaço amostral e o vetor p = ( p1, p2,..., p ) ao vetor de probabldades. Assm, date de um expermeto de espaço amostral S = { S1, S2,..., S } com vetor de probabldades aleatóro p = ( p1, p2,..., p ) é possível assocar, a cada elemeto S do espaço amostral, um valor X, ode X = ( x1, x2,..., x) correspode ao vetor varável aleatóra. 4 No problema 1, pode-se defr o segute produto tero o IR : < ( x, x, x, x ),( y, y, y, y ) >= p x y + p x y + p x y + p x y (18) ode o vetor X = ( x1, x2, x3, x4) correspode ao vetor durabldade, Y = ( y1, y2, y3, y4) assume em cada coordeada y o valor 1, sto é, Y = ( y1, y2, y3, y4) = (1,1,1,1) e p 1, p 2, p 3 e p 4 são as respectvas probabldades das varáves aleatóras x1, x2, x3 e x 4. Daí, X = µ ( x) = E[( x)] =< (4200,5000,5400,6000),(1,1,1,1) >= (19) = = VAR( x ) =< (4200,5000,5400, 6000) 4975(1,1,1,1),(4200,5000,5400,6000) 4975(1,1,1,1) >= (20) = ,99 σ ( x) = ((4200,5000,5400, 6000), 4975(1,1,1,1)) 648,56 (21) Date do exposto, de uma maera geral, pode-se cosderar em IR : < ( x, x,..., x ),(1,1,...,1) >= p x y + p x y p x y (22) Se uma gradeza assume valores x 1, x 2,..., x represetadas o vetor X = ( x1, x2,..., x ) com probabldades p1, p2,..., p respectvamete, etão o valor médo dessa gradeza (méda ou valor esperado) pode ser dado por X =< X,(1,1,...,1) >; (23) a varâca defe-se por VAR( x) =< X X (1,1,...,1), X X (1,1,...,1) > (24) e o desvo padrão por σ ( x) = X X(1,1,...,1). (25) A terpretação va Álgebra Lear pode-se esteder ada, a stuações em que a partr de um feômeo assocado a um espaço amostral S = { S1, S2,..., S }, com vetor probabldade p = ( p1, p2,..., p ) e dos feômeos represetados por duas varáves aleatóras X = ( x, x,..., x ) e Y = ( y, y,..., y ) deseja-se descobrr qual a relação exstete etre X e Y. Sedo X e Y os valores médos correspodetes a X e Y, respectvamete cosdera-se os vetores: X X(1,1,...,1) = ( x1 X, x2 X,..., x X) (26) e Y Y(1,1,...,1) = ( y1 Y, y2 Y,..., y Y) (27) Se exstr um λ tal que: ( y1 Y, y2 Y,..., y Y) = λ ( x1 X, x2 X,..., x X) (28)

7 pode-se coclur que a medda que X vara, Y também vara proporcoalmete, caracterzado dessa forma uma relação etre ambas. Para que λ exsta é ecessáro que os vetores teham a mesma dreção, sto é, que o âgulo etre eles seja 0 ou π, e portato cosθ = 1 ou 1. Logo, o cosseo do âgulo etre dos vetores X X(1,1,...,1) e Y Y(1,1,...,1) é uma medda da relação etre X e Y. Este valor é cohecdo como coefcete de correlação lear etre X e Y deotado, geralmete, pelos estatístcos por r( X, Y ). Assm, r( X, Y) é defdo por: < ( X X(1,1,...,1), Y Y(1,1,...,1)) > r( X, Y) = X X(1,1,...,1) Y Y(1,1,...,1) PROBLEMA 2: Cosdere um grupo de10 aluos da qual são cohecdas as otas de Álgebra Lear e Estatístca dadas pela tabela abaxo: Tabela 2: Notas dos aluos Aluo Álgebra Lear Estatístca Qual a correlação etre os resultados as duas matéras? Prmeramete tem-se que o espaço amostral correspode ao cojuto dos aluos, umerados de 1 a 10, S = {1,2,...,10}. Como a probabldade de se cosderar as otas de qualquer aluo é gual, o vetor probabldade é dado por p =,,...,, a varável aleatóra que dá as otas de Álgebra Lear é X = (2,8,5,7,7,5,3,1,9,9) e a que dá as otas de Estatístca é Y = (1,9,7,2,7,4,6,3,9,7). Daí, tem-se que X = 5,6 e Y = 5,5. Logo, e o coefcete de correlação é rxy (, ) 0, CONCLUSÃO (29) X X(1,1,...,1) = ( 3,6;2,4; 0,6;...; 4,6;3,4;3,4) (30) Y Y(1,1,...,1) = ( 4,5;3,5;1,5;...; 2,5;3,5;1,5) (31) < X X(1,1,...,1), Y Y(1,1,...,1) > 4,9 (32) 2 2 X X(1,1,...,1) 7,4 e Y Y(1,1,...,1) 7,2 (33) A maera em que foram expostos os cocetos de Álgebra Lear e de Probabldade estatístca sugere uma relação etre essas duas áreas da Matemátca que em cojuto são capazes de resolver problemas característcos das áreas de egehara. Cotudo, essa forma de expor tas cocetos rompe com uma vsão compartmetalzada do eso de matemátca e sem coexões com o mudo real. Etede-se que essa forma de eso baseada uma proposta terdscplar cotrbu para uma formação mas sólda de tas cocetos, além de dar sgfcado a cada uma das áreas da matemátca, revelado o quato, se fazem ecessáras e útl para a formação dos futuros egeheros. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BECKER, F. A Epstemologa do professor O Cotdao da Escola, 5ª Ed., Ed. Vozes, 1997

8 BROUSSEAU, G., Fodemets et méthodes de la ddactque dês máthématques. I: _Recherces e Ddactque dês Mathématques, Greoble: v.9,.3, p , LANG, S., Lear Álgebra, Ed. Addso-Wesley, LIMA. E. L. Álgebra Lear. Ro de Jaero: IMPA, LIPSCHUTZ, S. Probabldade. 4 ª ed. São Paulo: Makro books, MACHADO, S. (Org.), Educação matemátca: Uma Itrodução.São Paulo: EDUC, MARTINS, G. de A. Estatístca geral e aplcada. 2 ª ed. São Paulo: Atlas, MENDANHALL, W. Probabldade e estatístca. Ro de Jaero: Campus, 2 v INTERPRETING SOME CONCEPTS OF STATISTICAL PROBABILITY SAW LINEAR ALGEBRA Abstract: Ths work has as objectve emphaszes the mportace of the Mathematcs, especally of the Leal Algebra ad of the Probablty ad Statstcs for the degree courses Egeerg. I that way t teds to develop certa cocepts of Probablty ad Statstcs startg from a ruled referetal cocepts of Leal Algebra, promotg that way a assocato amog those two areas of the Mathematcs. The developmet of those cocepts, they happe startg from smple problems, characterstc of the area of Egeerg. However, t teds to promote a reflecto regardg the form wth that the mathematcal cocepts geeral are take to the degree courses Egeerg. Key-words: Mathematcs Teachgs; Lear Algebra, Probablty ad Statstcs.