CAPÍTULO 9 - Regressão linear e correlação

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1 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell CAPÍTULO 9 - Regressão lear e correlação Veremos esse capítulo os segutes assutos essa ordem: Correlação amostral Regressão Lear Smples Regressão Lear Múltpla Correlação Amostral Serve para estudar o comportameto cojuto de duas varáves quattatvas dsttas. Ou, em outras palavras, mede o grau de assocação etre duas varáves aleatóras e. OBS.: ão há, esse caso, preocupação em apresetar alguma forma fucoal etre as varáves, se houver. Exemplos: (apresetados em aula) Para o estudo do comportameto cojuto de duas varáves poderam ser usados: a) O Dagrama de dspersão Represetação gráfca do cojuto de dados. Nada mas é do que a represetação dos pares de valores um sstema cartesao. Veja exemplo a segur. Em sítese três stuações marcates poderam acotecer: Se, quado uma das varáves cresce, a outra, em méda, também cresce, dzemos que etre as duas varáves exste correlação postva, tato mas forte quato mas perto de uma reta magára os potos estverem; Se, quado uma das varáves cresce, a outra, em méda, também decresce, dzemos que etre as duas varáves exste correlação egatva, tato mas forte quato mas perto de uma reta magára os potos estverem; Se os potos estverem dspersos, sem defção de dreção, dzemos que a correlação é muto baxa, ou mesmo ula. As varáves esse caso são dtas ão correlacoadas. b) O coefcete de correlação É um valor umérco, uma medda, para o grau de assocação etre duas varáves. Se for observada uma assocação etre as varáves quattatvas (a partr de um dagrama de dspersão, por exemplo), é muto útl quatfcar essa assocabldade.

2 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Exstem mutos tpos de assocação possíves, e aqu remos apresetar o tpo de relação mas smples, que é o lear. Iremos julgar o quato a uvem de potos do dagrama de dspersão se aproxma de uma reta. Sejam duas amostras relatvas às varáves e, dadas a segur:!! O coefcete de correlação etre os valores de e é dado por: ( ) ( ) ( ) r -,.., SPD SPD V V COV r em que: SPD e Para o exemplo: Amostra A Amostra B ( )( ) 6 5 AB B A A B SPD ( ) A A A ( ) B B B

3 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell r AB SPAB, 575. ( 8)( 4) A B Regressão lear A aálse de regressão cosste a realzação de uma aálse estatístca com o objetvo de verfcar a exstêca de uma relação fucoal etre uma varável depedete com uma ou mas varáves depedetes. Em outras palavras cosste a obteção de uma equação que teta explcar a varação da varável depedete pela varação do(s) ível(s) da(s) varável(s) depedete(s). Para tetar estabelecer uma equação que represeta o feômeo em estudo podese fazer um gráfco, chamado de dagrama de dspersão, para verfcar como se comportam os valores da varável depedete () em fução da varação da varável depedete (). O comportameto de em relação a pode se apresetar de dversas maeras: lear, quadrátco, cúbco, expoecal, logarítmco, etc.... Para se estabelecer o modelo para explcar o feômeo, deve-se verfcar qual tpo de curva e equação de um modelo matemátco que mas se aproxme dos potos represetados o dagrama de dspersão. Cotudo, pode-se verfcar que os potos do dagrama de dspersão, ão vão se ajustar perfetamete à curva do modelo matemátco proposto. Haverá a maor parte dos potos, uma dstâca etre os potos do dagrama e a curva do modelo matemátco. Isto acotece, devdo ao fato do feômeo que está em estudo, ão ser um feômeo matemátco e sm um feômeo que está sujeto a fluêcas que acotecem ao acaso. Assm, o objetvo da regressão é obter um modelo matemátco que melhor se ajuste aos valores observados de em fução da varação dos íves da varável. No etato o modelo escolhdo deve ser coerete com o que acotece a prátca. Para sto, deve-se levar em cota as segutes cosderações o mometo de se escolher o modelo: -o modelo selecoado deve ser codzete tato o grau como o aspecto da curva, para represetar em termos prátcos, o feômeo em estudo; -o modelo deve coter apeas as varáves que são relevates para explcar o feômeo; Como fo dto aterormete, os potos do dagrama de dspersão fcam um pouco dstates da curva do modelo matemátco escolhdo. Um dos métodos que se pode utlzar para obter a relação fucoal, se basea a obteção de uma equação estmada de tal forma que as dstâcas etre os potos do dagrama e os potos da curva do modelo matemátco, o todo, sejam as meores possíves. Este método é deomado de Método dos Mímos Quadrados (MMQ). Em resumo por este método a soma de quadrados das dstâcas etre os potos do dagrama e os respectvos potos a curva da equação estmada é mmzada, obtedo-se, desta forma, uma relação fucoal etre e, para o modelo escolhdo, com um mímo de erro possível. 3

4 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell MODELO LINEAR DE º GRAU (Regressão Lear Smples) O modelo estatístco para esta stuação sera: em que: e valor observado para a varável depedete o -ésmo ível da varável depedete. costate de regressão. Represeta o tercepto da reta com o exo dos. coefcete de regressão. Represeta a varação de em fução da varação de uma udade da varável. -ésmo ível da varável depedete (,,!, ) e é o erro que está assocado à dstâca etre o valor observado e o correspodete poto a curva, do modelo proposto, para o mesmo ível de. Para se obter a equação estmada, vamos utlzar o MMQ, vsado a mmzação dos erros. Assm, tem-se que: e elevado ambos os membros da equação ao quadrado, aplcado o somatóro, e [ ] [ ] e () Por meo da obteção de estmadores de e, que mmzem o valor obtdo a expressão ateror (), é possível alcaçar a mmzação da soma de quadrados dos erros. Para se ecotrar o mímo para uma equação, deve-se dervá-la em relação à varável de teresse e gualá-la a zero. Dervado etão a expressão () em relação a e, e gualado-as a zero, poderemos obter duas equações que, jutas, vão compor o chamado sstemas de equações ormas. A solução desse sstema forecerá: x y x y SPD ( x ) x xy x e Uma vez obtdas estas estmatvas, podemos escrever a equação estmada: Exemplos: 4

5 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell ) Para verfcar se exste relação lear de prmero grau etre umdade relatva (UR) do ar de secagem de semetes e a germação das mesmas, um pesqusador realzou um expermeto com 4 valores dferetes para a %UR do ar, obtedo-se os segutes dados (dados hpotétcos) % UR % germação a) Verfcar se exste efeto da UR do ar de secagem a % de germação. Usar α 5%. b) Qual sera a % de germação esperada quado UR 45 %? c) Como podera ser apresetada, um relatóro técco, a equação de regressão ajustada para esse exemplo? R.: a) 9,7;,8. F 3,55; t,88. b) 95,5 % ) Fo realzado uma aálse de regressão para vestgar a exstêca de ralação lear smples etre a temperatura superfcal de uma estrada () medda em graus F e a deformação da pavmetação () medda segudo uma técca especal. Baseado as segutes formações pede-se: ; y,75; y 8,86; x 478; 83,67 x 435,8; e x y a) Calcule as estmatvas dos parâmetros da regressão. Apresete a equação ajustada um gráfco; b) Use a equação para estmar qual deformação havera a pavmetação quado a temperatura superfcal fosse de 85 graus F. c) Qual sera a mudaça esperada a deformação da pavmetação para uma mudaça de o F a temperatura superfcal? d) Supoha que a temperatura seja medda em graus C ao vés de graus F. Qual sera a ova equação ajustada resultate? Lembre-se: C 5(F 3)/9. e) Qual sera a mudaça esperada a deformação da pavmetação para uma mudaça de o C a temperatura superfcal? Exercíco Proposto Os dados a segur provêm de um expermeto para testar o desempeho de uma máqua dustral. O expermeto utlzou uma mstura de óleo desel e gás, dervados de materas destlados orgâcos. O valor da capacdade da máqua em cavalo vapor (HP) fo coletado a dversas velocdades meddas em rotações por muto (rpm )., 64,3 5, 46,85 8, 5,9 5, 45,79, 6,47 7, 5,7 6, 48,84 7, 5,7 8, 54,94 9, 58, 4, 4,74 9, 56,65 6, 48,84, 63,,,63, 6,6 4, 43,73, 64,3,5 3,5 3, 65,3, 37,48, 6,63 3, 39,68 4, 63,89 velocdade capacdade 5

6 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell Admtdo-se que as varáves e estão relacoadas de acordo com o modelo e, pede-se: (a) Obter a equação ajustada e traçar seu gráfco. Mostre também o dagrama de dspersão; (b) Calcule o coefcete de determação e terprete; (c) Verfque que ê ; (d) Verfque que Ŷ ; (e) Iterprete a estmatva obtda para ; (f) Determe a estmatva de para 5,5. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO O coefcete de determação, também cohecdo como R, ou smplesmete r para o caso de regressão lear smples, forece uma formação auxlar ao resultado da aálse de varâca da regressão (apresetado a segur), como uma maera de se verfcar se o modelo proposto é adequado ou ão para descrever o feômeo. O R é obtdo por: SQ Re g R SQTotal O valor de R vara o tervalo de a. Valores próxmos de dcam que o modelo proposto é adequado para descrever o feômeo. O R dca a proporção (ou porcetagem) da varação de que é explcada pela regressão, ou quato da varação a varável depedete está sedo explcada pela varável depedete. TESTE DE HIPÓTESE NA REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Após ajustar uma equação de regressão devemos verfcar sua adequabldade, por meo de testes de hpóteses para os parâmetros do modelo e/ou a costrução de tervalos de cofaça. Para tal teto precsamos da pressuposção adcoal de que os erros teham dstrbução ormal. Como temos dos parâmetros o modelo e, poderíamos realzar os segutes testes: a) H : * * versus H a : b) H : * versus H a : * Em cada caso a estatístca do teste e as coclusões seram: 6

7 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell a) t calc *, ode V ( ) V( ) σ x regra de decsão: Se t calc t (α/, -) rejeta H b) t calc *, ode V ( ) σ V( ) x regra de decsão: Se t calc t (α/, -) rejeta H SQ Re s y SPDxy OBS.: σ estmatva da varâca dos erros Um caso especal muto mportate sera: H : versus H a :. Essas hpóteses estão relacoadas com a sgfcâca da regressão. Não rejetar H é equvalete a coclur que ão há relação lear etre e. Por outro lado, se H : for rejetado dcara que é mportate para explcar a varabldade em. Veja lustrações apresetadas em aula. De maera alteratva poderíamos testar a sgfcâca da regressão pelo método da Aálse de Varâca (ANOVA). O método da ANOVA cosste em fazer uma partção da varabldade total da varável resposta em outros compoetes de acordo com o modelo e o teste a ser feto. Assm a segute detdade pode ser verfcada: ( ) ( ) ( ), ou, em outra palavras, SQTotal SQRegressão SQResíduo. Ode SQTotal varação total em SQRegressão varação em explcada pela regressão ajustada SPD de modo que SQResíduo SQRes varação ão explcada pela regressão - SPD Baseado essa detdade o segute quadro pode ser motado: FV GL SQ QM F Regressão SQReg QMReg SQReg Resíduo, ou Idepedete da Regressão SQRes Total SQTotal QMRes QM Re g QM Re s SQ Re s - A estatístca F obtda o quadro acma serve para testar a sgfcâca da regressão, ou seja, testar H : versus H a :. regra de decsão: Se F calc F (α,, -) rejeta H 7

8 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell OBS.: Para H : temos que (t calc ) F calc A equação estmada obtda, apeas estabelece uma relação fucoal, etre a varável depedete e a varável depedete, para represetar o feômeo em estudo. Portato a smples obteção da equação estmada ão respode ao pesqusador se a varação da varável depedete flueca sgfcatvamete a varação da varável depedete. Para se respoder a esta perguta, é ecessáro realzar um teste estatístco para as estmatvas dos coefcetes da equação de regressão estmada. Um teste que pode ser realzado para verfcar tal fato é o teste F da aálse de varâca. Portato, é ecessáro realzar uma aálse de varâca dos dados observados, em fução do modelo proposto. O quadro para a aálse de varâca para a regressão é do segute tpo: FV GL SQ QM F Regressão P SQReg Idepedete da Regressão p SQId Total SQTotal em que: - p o de coefcetes de regressão (ão clu o ) - o de observações. SQ Re g p SQId p QM Re gr QMId As fórmulas para a obteção das somas de quadrados total e da soma de quadrados do depedete da regressão são as mesmas, tato para o modelo lear de o grau quato para o de o grau, as quas são dadas a segur: SQTotal SQIdepedete da Regressão SQTotal - SQRegressão Já a soma de quadrados para a regressão vara de acordo com o modelo em teste. Assm tem-se que, para o modelo lear de o grau, a soma de quadrados da regressão é obtda por: SQ Re gressão Para o modelo lear de o grau, a soma de quadrados da regressão é dada por: - 8

9 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell SQRe gressão " " " As hpóteses estatístcas para o teste F, são as segutes: H :... p, o que sgfca dzer que as p varáves depedetes ão exercem fluêca a varável depedete, segudo o modelo proposto. H a :, para pelo meos um, o que sgfca dzer que pelo meos uma das p varáves depedetes exerce fluêca a varável depedete, segudo o modelo proposto. O valor de F da aálse de varâca, deve ser comparado, com o valor de F F, o qual se obtém a tabela da dstrbução F de acordo com o ível de tabelado ( ) tab sgfcâca do teste, e o úmero de graus de lberdade para a regressão e depedete da regressão, ou seja: F tab ( p; p) F α. A regra decsóra para o teste F é: - Se F F tab Rejeta-se H ao ível de sgfcâca que fo realzado o teste. Pode-se ferr que o modelo proposto é adequado para descrever o feômeo. - Se F < F tab Não rejeta-se H ao ível de sgfcâca que fo realzado o teste. Pode-se ferr que o modelo proposto ão é adequado para descrever o feômeo. Exercícos Propostos: ) (questão de prova do II/) Para estudar a relação etre (úmero total de horas ecessáras à motagem da parte de uma estrutura) e (úmero total de operações de furar e rebtar), regstraram-se os dados da tabela abaxo. estudo A B C D E F G H I ,,7 3,3 6,,9 5,9 7, 9,4 4,8 Para facltar seus cálculos cosdere as segutes formações: x 374; y 46,; x 7868; y 79,4; x 45,6 também, SPD xy 35,4444; x 659,5556 Pede-se: a) Obter a equação de regressão ajustada para o modelo x ε R.:,7,46 b) Iterpretar as estmatvas obtdas dos parâmetros da regressão. c) Calcular o coefcete de determação para o modelo ajustado. Faça a terpretação aproprada para esse resultado. R.: 79,9% d) A aálse de varâca (ANOVA) da regressão pode ser resumda o segute quadro y 9

10 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell F.V. g.l. SQ QM F Regressão 34,59 34,59 Resíduo 7 8,68,4 Total 8 43,7 Uma maera de verfcar a sgfcâca da regressão ajustada é por meo da ANOVA apresetada acma. Apresete a hpótese a ser testada pela ANOVA e realze o teste aproprado (use α 5%) para testar essa hpótese. e) Se fosse cocluído que podemos cosderar, como devera ser reescrto o modelo ajustado? Justfque. Regressão lear múltpla A regressão múltpla evolve três ou mas varáves, ou seja, uma úca varável depedete () e duas ou mas varáves depedetes ou explaatóras ou covaráves ou regressoras (,,,...). A teora é uma extesão da aálse de regressão lear smples. De modo smlar a aálse tem por objetvo estabelecer uma equação que possa ser usada para predzer valores de para valores dados das dversas varáves depedetes. A faldade das varáves depedetes adcoas é melhorar a capacdade de predção em cofroto com a regressão lear smples. A técca de cálculo é bastate complcada e pode ser facltada com o auxílo de álgebra de matrzes. O modelo x x # x k k ε é chamado de modelo de regressão lear múltpla com k varáves regressoras. Os parâmetros ( a k) são chamados de coefcetes de regressão parcas. Veremos dos exemplos evolvedo regressão lear múltpla. MODELO LINEAR DE º GRAU O modelo estatístco para esta stuação sera: e em que: valor observado para a varável depedete o -ésmo ível da varável depedete. costate de regressão. coefcete de regressão. coefcete de regressão. -ésmo ível da varável depedete (,,!, ) -ésmo ível da varável depedete, elevado ao quadrado

11 INF 6 Prof. Luz Alexadre Peterell e é o erro que está assocado à dstâca etre o valor observado e o correspodete poto a curva para o mesmo ível de. Utlzado o MMQ, o modelo de º grau, chegar-se-á ao segute sstema de equações ormas, para se obter as estmatvas de, e : Uma vez obtdas estas estmatvas, podemos escrever a equação estmada: