Notas em Matemática Aplicada 9

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1 Notas em atemátca Aplcada 9 Edtado por Elaa XL de Adrade Uversdade Estadual aulsta - UNES São José do Ro reto, S, Brasl Rubes Sampao otfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero Ro de Jaero, RJ, Brasl Geraldo N Slva Uversdade Estadual aulsta - UNES São José do Ro reto, S, Brasl Socedade Braslera de atemátca Aplcada e Computacoal

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3 Notas em atemátca Aplcada Restauração de Images com Aplcações em Bologa e Egehara Geraldo Cdade, Atôo Slva Neto e Nlso Costa Roberty Fudametos, otecaldades e Aplcações de Algortmos Evolutvos Leadro dos Satos Coelho 3 odelos atemátcos e étodos Numércos em Águas Subterrâeas Edso Wedlader 4 étodos Numércos para Equações Dferecas arcas ara Crsta de Castro Cuha e ara Améla Novas Schlecher 5 odelagem em Bomatematca Joyce da Slva Bevlacqua, arat Rafov e Cláuda de Lello Courtoue Guedes 6 étodos de Otmzação Radômca: algortmos geétcos e smulated aealg Sezmára F erera Saramago 7 atemátca Aplcada à Fsologa e Epdemologa H Yag, R Sampao e A Sr Raga

4 v 8 Uma Itrodução à Computação Quâtca Reato ortugal, Carlle Campos Lavor, Luz arao Carvalho e Nelso acula 9 Aplcações de Aálse Fatoral de Correspodêcas para Aálse de Dados Dr Homero Chab Flho, Embrapa 0 odelos atemátcos baseados em autômatos celulares para Geoprocessameto arlto Sachotee de Aguar, Fába Amorm da Costa, Graçalz erera Dmuro e Atôo Carlos da Rocha Costa Computabldade: os lmtes da Computação Regva H N Satago e Beamí R C Bedregal odelagem ultescala em ateras e Estruturas Ferado Rochha e Alexadre adurera 3 odelagem em Bomatemátca - odelagem matemátca do comportameto elétrco de eurôos e algumas aplcações - Redes complexas e aplcações as Cêcas 3 - ossíves íves de complexdade a modelagem de sstemas bológcos Corac alta, - Reyaldo D to, - José Carlos ombach e 3 - Herque L Lez, Waldemro de Souza Romaha e arcelo elao-achado 4 A lógca a costrução dos argumetos Agela Cruz e José Eduardo de Almeda oura

5 ALICAÇÕES DE ANÁLISE FATORIAL DE CORRESONDÊNCIAS ARA ANÁLISE DE DADOS Dr Homero Chab Flho - EBRAA homero@cpacembrapabr Socedade Braslera de atemátca Aplcada e Computacoal São Carlos - S, Brasl 004

6 v Coordeação Edtoral: Véra Luca da Rocha Lopes Coordeação Edtoral da Sére: Geraldo Nues Slva Edtora: SBAC Impresso a Gráfca: Epecê Gráfca Capa: atheus Botoss Trdade atrocío: SBAC Copyrght c 004 by Dr Homero Chab Flho Dretos reservados, 004 pela SBAC A publcação esta sére ão mpede o autor de publcar parte ou a totaldade da obra por outra edtora, em qualquer meo, desde que faça ctação à edção orgal Catalogação elaborada pela Bbloteca do IECC/UNICA Chab Flho, Homero Aplcações de Aálse Fatoral de Correspodêcas para Aálse de Dados - São Carlos, S : SBAC, 004 x, 60 p - (Notas em atemátca Aplcada; 9) ISBN Dados ultdmesoas Aálse de dados 3 Aálse fatoral 4 Aálse de Dados qualtatvos I Chab Flho, Homero II Título III Sére CDD - 595

7 refáco Há algus aos traduz parte do lvro Téccas de aálss de datos multdmesoales, do rof o Luco Judez da Uversdade oltécca de adr, para dar um treameto sobre essas téccas a Embrapa Cerrados esava para este m curso fazer uma tradução tegral daquele texto orém, pareceu mas coveete apresetar o tratameto teórco do rf o Judez apeas o tópco de Aálse Fatoral de Correspodêcas que é o foco desse m curso ara os demas tópcos traduz textos do lvro Aalyses factoralles smples et multples de Brgtte Escofer e Jérôme agès A rof a Escofer fo precursora as téccas de aálse de dados multdmesoas e oferece um texto que aborda todos os aspectos dessas téccas sem o rgor matemátco aprestados pelo rof o Judez, o que cosdere mas adequado para esse m curso Textos de outros autores também foram traduzdos e aprovetados em dversos locas a composção do texto fal Em ossa pága da Iteret eles aparecerão com maor preseça A motvação para compormos esse texto e apresetarmos esse m curso vê do fato de que os das de hoe, é bastate comum afrmações do tpo: os dados são o que há de mas mportate orém, é bem sabdo que, de um mesmo couto de dados podem ser extraídas as formações mas dversas, depededo da escolha e do emprego de uma metodologa de aálse Em 97, ao escrever o prefáco do lvro Itroducto à l Aalyse des Doées, de F Callez e J- ages, G orlat afrmava que poda ser detfcada, por aquela época, uma csão dos estatístcos em duas categoras: uma que pratcava uma estatístca clássca, que pretede formalzar a dução, e segue a escola aglosaxôca; e outra que passou a se apoar uma vsão puramete algébrca e vsava a descrever, reduzr e classfcar as observações multdmesoas: esta categora segue a escola fracesa da aalyse des doées (chamada aálse de dados multdmesoas) O texto aqu apresetado fo motado a teção de torar famlar, aos pesqusadores e estudates, a escola fracesa de aalyse des doées, represtada pelos chamados: métodos fatoras de aálse de dados multdmesoas Tas métodos são utlzados para que se obteha a sítese de vastos coutos umércos, com uma vsão geométrca, permtdo aos aalstas observar dos própros dados as evdecas das relações exstetes em tas coutos ara sso, são abordados aspectos cocetuas e teórcos, extraídos de autores assumram que a essa escola como uma alteratva ao estudo dos dados Buscamos o texto, dar uma déa dos dversos métodos de aálse de dados multdmesoas, dssertado sobre a Aálse v

8 em Compoete rcpas (o método fudametal) e realzado uma abordagem teórca, um pouco mas detalhada, da Aálse Fatoral de Correspodêcas, método que é cosderado o mas útl para as mas dversas aplcações e partcularmete os assutos relatvos à produção agrícola Também, é feta uma rápda abordagem da Aálse Fatoral de correspodêcas últplas, um método dervado da Aálse Fatoral de Correspodêcas, para o tratameto de dados qualtatvos or fm, são lstadas algumas aplcações realzadas detro da Embrapa Cerrados (udade de pesqusa ecorregoal da Embrapa, para os Cerrados) Assm, este texto busca cotrbur para a expasão da capacdade de aálse de dados dos pesqusadores brasleros e (é bastate pretesoso) coduzr os estudates a uma ova seara detro da estatístca matemátca Exemplos de aplcação desses métodos ecotrar-se-ão a pága do m curso, em desevolvmeto v

9 Agradecmetos Gostara de agradecer ao rof Lucío Judez, que, desde adr, evou seu estímulo para realzação deste m curso Ada que o materal aqu apresetado teha sdo retrado de dversos lvros, dos foram os báscos, de ode traduzmos o coteúdo presete: o do rof Judez, Téccas de aálss de datos multdmesoales, de ode retramos as lhas geras que orteou ossa adaptação; e o Aalyses factorelles smples et multples, de Brgtte Escofer e Jérome agès, cua otação fo adaptada àquela do rof Judez Também agradeço à Embrapa Cerrados e aos colegas de trabalho, por permtrem a dvulgação das aplcações realzadas Agradecemos à SBAC a oportudade de dfudrmos osso efoque a aálse de dados Agradecemos especalmete à Rosaa arts de Castro Chab, mha esposa e compahera, pela auda a tradução e o carho cetvador x

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11 Coteúdo ága Capítulo Sobre dados multdmesoas Itrodução 0 Geeraldades sobre dados multdmesoas 0 Tabelas quattatvas (ou de dvíduos x característcas) 0 Tabelas de Cotgêca 0 3 Tabelas lógcas, tabelas dsutas completas 04 4 Tabelas de dados ordas 04 5 Tabelas de dstâcas, de proxmdades 06 3 Os prcpas métodos de aálse multdmesoal 06 Capítulo - Noções de Aálse de Compoetes rcpas Dados e obetvos de estudo 07 esos de dvíduos 08 esos das varáves 09 Trasformação de dados 09 3 Nuvem dos dvíduos 0 4 Nuvem das varáves 5 Represetação da uvem de dvíduos 5 Idvíduos suplemetares 3 6 Represetação da uvem de varáves 4 6 Compoetes prcpas 4 6 Varáves suplemetares 5 63 Efeto talle (de valor da varável) 5 7 Dualdade e fórmulas de trasção a AC 6 7 Iércas 6 7 Fatores 6 73 Relações de trasção 8 74 Represetação smultâea 9 75 roeção de vetores utáros da represetação de dvíduos 9 8 Auda à terpretação 9 8 Defções 0 8 Qualdade de represetação de um elemeto um exo 9 8 Qualdade de represetação de uma uvem sobre um exo 0 83 Cotrbução de um elemeto à érca de um exo 9 Téccas de agrupameto 9 Aálse Fatoral Dscrmate 9 Téccas de Classfcação Capítulo 3 Aálse Fatoral de Correspodêcas:Fudametos Teórcos 3 Itrodução 3 3 Obetvos da Aálse Fatoral de Correspodêcas 3 3 Nuvem de potos-observações e potos-varáves 4

12 x 3 erfs de observações e varáves 4 3 Costrução da uvem de potos-observações 5 33 Costrução da uvem de potos-varáves 7 34 ropredade de equvalêca dstrbutva 8 33 Aálse da uvem de potos-observação Exos fatoras 3 33 Cálculo prátco dos exos fatoras Compoetes prcpas Característcas Estudo da dspersão dos potos-observações Cotrbução absoluta da observação ao exo Cotrbução relatva da observação ao exo Represetação smultâea ótma de potos-observações e potosvaráves sobre um exo Aálse da uvem de potos-varáves (aálse dual) Característca das varáves G e estudo da dspersão dos potosvaráves Relações de trasção 4 37 Represetação de observações e varáves suplemetares 43 Capítulo 4 - Aálse Fatoral de Correspodêcas ultplasnoções e cocetos Teórcos 4 Itrodução 45 4 Os Dados 45 4 Codfcação codesada Tabela dsuta completa Tabela de Burt 46 4 Obetvos 47 4 Estudo dos dvíduos 47 4 Estudo das varáves Estudo das modaldades Coclusão sobre os obetvos A ACF aplcada a uma Tabela Dsuta Completa AFC e AFC Nuvem de dvíduos Nuvem das modaldades Relações de trasção e represetação smultâea As varáves através de suas modaldades Barcetro das modaldades de uma varável Subespaço egedrado pelas modaldades de uma varável Sítese das varáves qualtatvas Represetação das varáves a AFC Codfcação das varáves qualtatvas orque trasformar as varáves cotíuas em qualtatvas? Escolha do úmero de classes Escolha das classes 56

13 Capítulo Sobre Dados ultdmesoas Itrodução Os aalstas (matemátcos ou estatístcos) que executam a tarefa de terpretar os dados obtdos por outros pesqusadores, devdo ao predomío de um efoque a codução das aálses de dados, podem se deparar com stuações como a segute: depos de realzar as aálses e alcaçar um resultado, alguém lhe perguta qual o ível de cofaça dos resultados Exstem questoametos fetos a codução de uma aálse de dados que estão estrtamete lgados ao efoque adotado A perguta sobre o ível de cofaça está detro do marco das aálses baseadas em ferêcas As téccas de aálse de dados multdmesoas, lgadas à escola fracesa de aalyses des doées são uma alteratva para a aplcação de um efoque dferete, por estarem baseadas em desevolvmetos essecalmete algébrcos que, além de oferecer uma terpretação geométrca dos resultados, permtem aos própros dados evdecarem as relações exstetes detro do couto aalsado Ademas, como os obetvos estão relacoados à redução, classfcação e agrupameto das varáves (ou dvíduos), ão são ecessáros mas que elemetos da estatístca descrtva, para que seam obtdas tpologas a partr de uma dada massa de dados Assm, para a perguta: mas qual é o grau de cofaça dessa tpologa?, ão exste uma resposta detro do campo da aálse de dados multdmesoas As téccas podem ser resumdas as segutes: Aálse em Compoetes rcpas, Aálse Fatoral de Correspodêcas, Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas, Aálse Fatoral Dscrmate e Téccas de Classfcação Neste capítulo serão abordados, prmeramete, aspectos relacoados à orgazação dos dados, aos quas se aplcarão as téccas Em seguda, o capítulo, será dada uma oção do desevolvmeto teórco da Aálse em Compoetes rcpas, sedo cocluído o capítulo com uma rápda meção sobre a mportâca da Aálse Dscrmate e das téccas de classfcação, sem, cotudo, qualquer aprofudameto teórco No capítulo 3 é feta uma abordagem um pouco mas detalhada dos aspectos teórcos da Aálse Fatoral de Correspodêcas, equato o capítulo 4 a Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas é levada em cosderação Geeraldades sobre dados multdmesoas São chamados dados multdmesoas, àqueles que compõem o couto de valores de um certo úmero de varáves estatístcas, observadas sobre um dvíduo de uma população dada odemos, etão, cosderá-los como a realzação de um vetor aleatóro, defdo sobre a população, com valores em um espaço a defr Cosderemos, por exemplo, o peso, a altura, a dade e o sexo de uma pessoa que faz parte de uma população qualquer Supomos que essa pessoa pese 60 g, meça,65 m, teha 6 aos e sea do sexo femo A realzação do vetor aleatóro (peso, altura, dade,

14 sexo) defdo sobre um dvíduo do grupo estudado é o dado multdmesoal (60 g,,65 m, 6 aos, femo) Uma tabela multdmesoal é, etão, uma amostra de um vetor aleatóro: as mesmas varáves são meddas sobre um certo úmero de dvíduos, vdo, de outro lado, elas mesmas costtuírem-se em vetores aleatóros também A maora das tabelas tem a segute forma: x x x x p x Fgura O termo da -ésma lha e -ésma colua é o valor observado para a varável x sobre o dvíduo A segur são apresetados dferetes tpos de tabelas de dados ecotradas a prátca, e para o que se segue é defdo I{,,,,,} e J{,,,,,p} Tabelas quattatvas (ou de dvíduos x característcas) Esse é o tpo mas smples das tabelas, tem o formato como o da fgura, acma: os compoetes de vetor aleatóro (x, x, x, x p ) são varáves quattatvas, de valores reas, ão ecessaramete cotíuos O termo x é, etão, um úmero real que represeta a medda da varável (característca) x sobre o dvíduo Tabelas de Cotgêca Numa tabela de cotgêca forece-se a repartção de uma população estatístca por dos caracteres qualtatvos expressos, cada um, por modaldades exclusvas (um dvíduo da população ão pode possur mas de uma modaldade) e exaustvas (possurá uma e somete uma modaldade) elo fato de que lhas e coluas represetam característcas, em uma tabela de cotgêca, os papes que desempeham são smlares Nesse tpo de tabela, os dvíduos da população ão aparecem dretamete; etretato, certos autores se referem às lhas como dvíduos e às coluas como varáves No seu devdo tempo estabeleceremos ossa otação Os dados socoecoômcos são freqüetemete apresetados a forma de tabelas de cotgêca; em efeto, as varáves apresetadas são freqüetemete qualtatvas: categora sóco-profssoal do chefe de famíla; setor de atvdade de uma empresa, etc or outro lado, pode ocorrer, fora desse campo, stuações em que será útl represetar em uma tabela de cotgêca, dados que represetam meddas físcas O caso dos dados socoecoômcos pode ser lustrado as tabelas do IBGE Já o segudo caso é lustrado a pága segute, uma tabela ode são ecotradas 5 varedades de maga, como dvíduos (ou observações) e, as coluas, tpos de patologas ecotradas, em dversos graus de cdêca, como varáves

15 Tabela de cotgêca ode as varáves (característcas) são: a - festação de atracose; o - festação de oído; ma - festação de macha de lágrma; mo - ocorrêca ou ão de mosca do fruto; po - ocorrêca ou ão de podrdão peducular; am - ocorrêca ou ão de amolecmeto do fruto; rh - ocorrêca ou ão de Rhzopus; As lhas correspodem às varedades de maga (os dvíduos) Cada célula é a quatdade de frutos de uma dada varedade fectada por um determado patógeo, um ível de tesdade (os úmeros dcam este ível) a a a6 o o o3 o4 o5 o6 ma a ma3 ma4 ma5 ma6 mo mo po po rh rh a3 a4 a5 am am v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v

16 4 3 Tabelas Lógcas, Tabelas Dsutas Completas Nas tabelas lógcas dcam-se a pertêca de cada dvíduo de uma população estatístca a um grupo partcular em que, o que é evdete, a modaldade de uma varável dada possu aquela característca O códgo utlzado é o códgo lógco:, quado exste a pertêca 0, caso cotráro Cada dvíduo pertece a um e somete um grupo Os dados são apresetados a segute forma: p x Tabela 3 Tabela lógca O termo x, da -ésma lha e -ésma colua, tem valor ou 0, segudo o dvíduo perteça ao grupo (ou se possu a modaldade de um caráter qualtatvo) ou ão: assm, cada em cada lha, apeas um termo será gual a Dá-se o ome de Tabela Dsuta Completa àquela formada pela ustaposção de dversas tabelas lógcas Uma Tabela Dsuta Completa tera o segute aspecto, para o caso de três tabelas lógcas Tabela 4 Tabela Dsuta Completa p p 3 p 3 x x x 3 O termo x será gual a ou 0, segudo o dvíduo perteça, ou ão, ao grupo, para,, 3, este caso Cada lha da Tabela Dsuta Completa coterá tatos quatas seam as Tabelas Lógcas 4 Tabelas de Dados Ordas As tabelas de dados ordas são muto utlzadas em téccas de comercalzação Em efeto, os especalstas dessas téccas cosderam freqüetemete que uma resposta dada sob a forma de classfcação aporta uma formação mas coerete que uma resposta dados, por exemplo, sob a forma de ota: é solctado, uma equête, que se classfque um certo úmero de obetos (tes, marcas), por ordem de preferêca

17 5 No caso em que os ex-aequos ão são permtdos, os dados se apresetam da segute forma: p x Tabela 5 Tabela de dados ordas O termo x, da -ésma lha e -ésma, é a classfcação dada para o dvíduo cosderado o obeto Como os ex-aequos ão são admtdos, teremos: J J e I x x x, A soma de uma lha é costate e gual à soma dos p prmeros úmero teros, ou sea: p(p+)/ No caso em que os ex-aequos seam admtdos, a codfcação é um pouco mas complcada; se procede como se segue: se obetos tem classfcação ex-aequos a posção l, cada um será codfcado l ( l + ( l + ) + + ( l + )) de maera que a soma da lha fque gual a p(p+)/ Ex: dos obetos classfcados a 4 a posção serão codfcados como 4,5; três obetos classfcados a 6 a posção serão codfcados 7 Exemplo de dados ordas Uma empresa pretede laçar um ovo detfríco em caráter acoal; uma equête aplcada a uma amostra represetatva da população é efetuada para determar as característcas do produto e a sesbldade do públco a certos argumetos Solctamos etão às pessoas terrogadas que classfquem por ordem de preferêca os tes abaxo: bracura dos detes pureza do hálto 3 proteção cotra cáres 4 lmpeza da gegva 5 elmação de tártaros 6 possur um gosto agradável Uma pessoa terrogada respode da segute maera: O tem bracura dos detes fcou em tercero lugar; o tem pureza do hálto em segudo; o lmpeza da gegva em prmero, etc p ode-se eteder por empates

18 6 5 Tabelas de dstâcas, de proxmdades Da mesma forma que as tabelas ordas, as tabelas de dstâcas ou de proxmdades são freqüetemete utlzadas em téccas de comercalzação recsamos, calmete as oções de dstâcas ou de proxmdades: Sea dado uma população estatístca I, chamamos: Ídce de dstâca: uma fução smétrca com valores reas e postvos defda etre dos dvíduos e ; quato mas os dvíduos e se assemelham, mas o valor desse ídce é fraco Defmos I, I tem se d(, ) d(, ) 0 e d(, ) 0 ídce de proxmdade, uma fução a valores reas defda etre dos dvíduos, e, e smétrca: quato mas os dvíduos e se assemelham, mas o valor do ídce de proxmdade se eleva Escrevemos, etão: I, I tem se p(, ) p(, ) Vê-se que podemos deduzr faclmete um ídce de dstâca de um ídce de proxmdade e recprocamete; escolhemos freqüetemete um ídce de proxmdade etre - e, por aaloga com o coefcete de correlação Uma tabela de dstâca aparece sob a segute forma: d(, ) d(,) 0 0 Ode d(, )d(,) 0 3 Os prcpas métodos de aálse multdmesoal Cosderamos que a base para o desevolvmeto das téccas de tpfcação é a Aálse em Compoetes rcpas, porém as Téccas de Dscrmação e Classfcação audam muto esse estudo or sua vez, a Aálse Fatoral de Correspodêcas aborda dados de uma maera mas geral ao ter as tabelas de cotgêca o obeto de aálse A segur, faremos uma apresetação geérca e rápda da Aálse em Compoetes rcpas e dcamos a utlzação da aálse dscrmate e as téccas de classfcação Nos dos capítulos segutes, abordamos a Aálse Fatoral de Correspodêcas e a Aálse Fatoral de Correspodêcas últplas

19 7 Capítulo Noções de Aálse em Compoetes rcpas (Extraído de Escofer, B e agès,, 998) Dados e obetvos de estudo Vte aos desde as prmeras publcações e aplcações, os métodos de aálse de dados demostraram largamete sua grade utldade os estudos de grades massas complexas de formação Esses são os métodos, dtos multdmesoas, que tratam de mas de duas varáves smultaeamete Eles permtem a cofrotação de umerosas formações, o que é ftamete mas rca que seu exame separadamete A Aálse em Compoetes rcpas (AC), aplca-se a tabelas, chamadas de forma cocsa, de IdvíduosxVaráves quattatvas, ou IdvíduosxCaracterístcas quattatvas, como vsto aterormete Nessas tabelas as lhas represetam os dvíduos e as coluas as varáves A terseção etre lha e a colua exprme o valor da varável observado o dvíduo, como vsto a tabela x x x x p x Tabela O termo da -ésma lha e -ésma colua é o valor observado para a varável x sobre o dvíduo Ressaltamos que os termos dvíduos e varáves podem expressar oções dversas or exemplo, depededo do estudo, a tabela pode ser composta de dvíduos que represetam vhos e as varáves os dversos crtéros de aprecação do vho (acdez, adstrgêca, etc) As questões que propomos aos dvíduos e para as varáves ão são da mesma atureza Com respeto a dos dvíduos, deseamos avalar as semelhaças exstetes etre eles: dos dvíduos se assemelharão, quato mas próxmos forem seus valores detro do couto de varáves Em AC, a dstâca d(, ) etre dos dvíduos e é defda por: d (, ) J ( x x ), ode J(,,, p) Com respeto a duas varáves, deseamos avalar sua lgação (como se relacoam, se possuem terdepedêcas, etc) Na AC, a lgação etre duas varáves é medda pelo coefcete de correlação lear (em raras stuações utlza-se a covarâca), deotado, usualmete, como ñ Ou sea:

20 8 sedo covarâc a(, ) ρ (, ) varâca( )varâca ( ) I x ( x s x )( x x e s a méda e o desvo-padrão da varável e I(,,, ) Aplcada a uma tal tabela, a AC obetva a realzação de: Um balaço das semelhaças etre dvíduos Buscamos respoder às segutes questões: quas são os dvíduos que se assemelham? Quas são os mas dsttos? Exstem grupos homogêeos de dvíduos? odemos colocar em evdêca uma tpologa dos dvíduos? Um balaço das lgações etre varáves As questões podem ser as segutes: quas varáves se correlacoam postvamete? Quas são as varáves, duas a duas, em que exstdo a mesma característca, uma é marcate uma e outra é débl, podedo-se dzer que essas varáves se opõem (correlacoam-se egatvamete)? Exstem grupos de varáves correlacoadas etre s? odemos evdecar uma tpologa das varáves? Um outro aspecto do estudo das lgações etre varáves cosste em expressar um couto delas por um pequeo úmero de varáves stétcas chamadas aqu de compoetes prcpas Esse poto de vsta está bastate lgado ao precedete: um compoete prcpal pode ser vsto como o represetate (a sítese) de um grupo de varáves lgadas etre s (que possuem fortes relações que as lgam de uma ou outra forma) Naturalmete, esses dos potos de vsta ão são depedetes da dualdade erete ao estudo de uma tabela retagular: a estrutura da tabela pode ser aalsada tato por meo da tpologa de dvíduo, como por meo da tpologa de varáves Assm, buscamos, em geral, realzar as duas tpologas ara tato, caracterzaremos classes de dvíduos por certas varáves (selecoaremos, etão, varáves para as quas os dvíduos de uma classe formam um couto que possu valores partcularmete grades ou pequeos) Da mesma forma, caracterzaremos grupos de varáves lgadas etre s por dvíduos típcos (selecoaremos, etão, os dvíduos que possuem valores partcularmete grades ou pequeos para um couto de varáves correlacoadas postvamete) Efm, uma stuação deal, as duas tpologas poderam ser superpostas: cada grupo de varáves caracterza um grupo de dvíduos e cada grupo de dvíduos é formado pelos dvíduos típcos de um grupo de varáves esos de dvíduos Na maor parte dos casos, os dvíduos desempeham o mesmo papel Somos, etão, levados a dar a mesma mportâca a cada dvíduo, atrbudo-lhes o mesmo peso or comoddade, tomamos o peso de maera a que a massa total dos dvíduos sea gual a : a cada dvíduo atrbuímos o peso / Etretato, em certos casos, poderemos atrbur pesos dsttos aos dvíduos Essas stuações ocorrem quado os dvíduos represetam, s )

21 9 cada um, subpopulações; atrbuímos, etão, a cada dvíduo os pesos proporcoas ao valor efetvo da sub-população por ele represetada Esses pesos tervêm o cálculo da méda de cada varável (por assm dzer, a defção de um dvíduo teórco médo), o cálculo da varâca de cada varável e, assm, a medda da lgação (o coefcete de correlação) etre varáves Etão, chamado ao peso atrbuído a um dvíduo (ode ): x x s ( x x x x x r (, ) ( )( ) s s Os programas de AC permtem troduzr dvíduos poderados esos das varáves É muto raro, a prátca, avalarmos varáves com mportâcas dsttas, ao observarmos um mesmo dvíduo Essa assertva é tão forte que a maora dos programas de AC ão permte que seam atrbuídos pesos dsttos às varáves or sso, cosderaremos, a pror, que as varáves têm o mesmo peso No etato, para ão descosderar a possbldade de que sea dada mportâca dstta às varáves, um coefcete, chamado peso das varáves, será utlzado Deotado por m o peso da varável a dstâca etre dos dvíduos e é defda por: d (, ) J m ( x Etretato, como veremos adate, esses pesos ão fluecam em ada os prcípos geras da aálse Assm, para ão complcarmos, cosderaremos, este capítulo, os mesmos pesos aos dvíduos ( qualquer que sea I ) assm como para as varáves ( m qualquer que sea J ) Trasformação de dados Em AC, as tabelas de dados devem ser, ates de tudo, cetradas De cada valor umérco, dever ser subtraída a méda da varável em questão: ( x x ) Esse procedmeto ão provoca ehuma alteração sobre as propredades que possam ser ecotradas o couto de dados orgal Embora a AC possa ser realzada sobre o couto de dados cetrados, seus resultados serão sesíves às udades de medda exstetes Geralmete, se esco lhe meddas segudo udades arbtráras: em exemplos clásscos de meddas de amas, a varável altura pode ser expressa em metros ou cetímetros Essa escolha pode levar a uma grade fluêca sobre a medda de semelhaça etre dvíduos A forma clássca para se evtar as dfereças causadas pelas dferetes udades de medda, cosste em reduzr as varáves cetradas: dvde-se o dado cetrado (subtraído da x ) x )

22 0 méda correspodete à varável ) pelo desvo-padrão da varável ( x x ) / s Todas as varáves apresetam etão a mesma varabldade e desse modo a mesma fluêca sobre o cálculo das dstâcas sobre os dvíduos pos o Em estudos que ão apresetam dfereças etre udades de medda, a etapa de reduzr varáves pode ser suprmda rocededo assm, estamos atrbudo a cada varável um peso gual à sua varâca, d (, ) ( x x ) Segudo um outro poto de vsta, a defção de d(, ) s J mostra que a varâca da varável é gual à cotrbução méda da varável ao quadrado da dstâca etre dvíduos Isso se deduz da defção da varâca s ( x x ), Desde poto em date as varáves são cosderadas cetradas e reduzdas 3 Nuvem dos dvíduos É teressate cosderar os dvíduos como uma ustaposção de lhas A cada dvíduo é assocada uma sére de p úmeros Segudo essa abordagem, um dvíduo p pode ser represetado como um poto o espaço vetoral à p dmesões, deotado R, ode cada dmesão represeta uma varável O couto de dvíduos costtu a uvem I com cetro de gravdade G cocddo com a orgem O dos exos, de fato cetrado; G represeta os dvíduo médo prevamete ctado Essas oções são represetadas a fgura, abaxo p R p x x s OG I varável x x s Fgura Tabela de dados cetrados e reduzdos e uvem dos dvíduos assocados ao espaço R p Devdo aos dados serem cetrados, a orgem dos exos cocde com o cetro de gravdade da uvem No espaço R p, a oção de semelhaça etre dos dvíduos, ão será mas que a dstâca eucldaa usual Essa terpretação geométrca costtu uma ustfcatva, a posteror, decsva para a escolha da medda de semelhaça: o fato dela ser uma dstâca

23 eucldaa cofere-lhe um grade úmero de propredades matemátcas dspesáves o que segue O couto das dstâcas terdvduas costtu o que chamaremos a forma da uvem I Realzar um balaço dessas dstâcas, equvale a estudar a forma da uvem, ou sea, detfcar partções de potos ou das dstâcas etre eles Sedo p superor a 3, o estudo da uvem é mpossível devdo a termos uma lmtação vsual a três dmesões Da o teresse os métodos fatoras em geral, e da AC em partcular, que forecem as mages de plaos que aproxmam, o melhor possível, a uvem de potos stuada um espaço de grade dmesão 4 Nuvem das varáves Cosderado-se a tabela de dados como sedo uma ustaposção de coluas, cada varável estará assocada à sére de úmeros Defe-se, dessa forma, uma varável que pode ser represetada como um vetor do espaço vetoral à dmesões, deotado por R, ode cada dmesão represeta um dvíduo: por exemplo, a varável é represetada por um vetor z ode a -ésma compoete é ( x x ) / s O couto das extremdades dos vetores que represetam as varáves costtu a uvem J Observado-se a fgura abaxo, tem-se uma oção dessas otações z z z p x x s R J z z Idvíduo Fgura Tabela de dados e uvem de varáves assocadas ao espaço R p x x s A escolha da dstaca em R cosste em assocar a cada dmesão um coefcete gual ao peso de cada dvíduo a uvem I de R p No caso geral, em que esses pesos são dêtcos, a dstâca utlzada, com coefcetes /, é a eucldaa usual Com essa dstâca, os vetores represetado as varáves cetradas e reduzdas, possuem as segutes propredades: a) Cada vetor represeta uma varável de orma Ou sea: x x s varável z

24 A uvem J está, assm, stuada uma esfera de rao (os refermos a uma hperesfera quado R tem dmesão maor que 3) or essa razão, a AC sobre dados cetrados e reduzdos é dta ormalzada b) O cosseo do âgulo formado pelos vetores represetado as varáves z e z, obtdo ao se calcular o produto escalar, <z, z >, dos dos vetores, é gual ao coefcete de correlação etre tas varáves: x cos(z, z )<z, z > x x x correlação(z, z ) s s Iterpretar uma correlação como sedo o cosseo defe uma propredade bastate teressate porque dá um suporte geométrco, logo vsual, ao coefcete de correlação Essa propredade ecessta que as varáves seam cetradas, ustfcado assm a trasformação dos dados apresetada aterormete, como uma técca termedára Essa propredade, também ustfca a escolha da métrca e mplca que, a represetação de varáves, se poderá, sobretudo, cohecer as dreções determadas pelas varáves, ou sea, cohecer os vetores porém, e sobretudo, para ode apotam suas extremdades O comprmeto dos vetores que represetam as varáves é gual a, a coordeada da proeção de uma varável sobre uma outra se terpreta como um coefcete de correlação Assm, buscar a coleção dos coefcetes de correlação etre as varáves equvale a estudar os âgulos etre os vetores que defem a uvem J A dmesão de R tora mpossível um estudo dreto desses coefcetes O teresse a AC é defr varáves stétcas que costtuem uma sítese do couto das varáves cas e expressam uma base para uma represetação um plao aproxmado, das varáves e seus âgulos 5 Represetação da uvem de dvíduos Neste poto, o obetvo é forecer as mages, o plao aproxmado, da uvem I stuada o espaço R p Obetvamete, buscamos uma sére {u :,,, h} de dreções prvlegadas de R p chamadas exos fatoras que, fxados dos a dos, defrão plaos fatoras sobre os quas proetamos a uvem I Cada dreção u retém (ou explca) a érca máxma com respeto à orgem O (que se cofude com o cetro de gravdade, pelo fato dos dados terem sdo cetrados) da proeção de I sobre u Na busca dessa sére, obrgamos que cada exo fatoral sea ortogoal aos á ecotrados ode ser mostrado que o plao egedrado pelos dos prmeros exos u e u retém o máxmo da érca proetada sobre o plao por eles defdo Em se tratado de R p, para p>, dar-se-á o mesmo aos três prmeros exos e os segutes Quado as varáves forem apeas cetradas, seu comprmeto será gual ao desvo padrão e dzemos que o AC é ão ormal

25 3 Isso é equvalete a reter o máxmo de F ou reter o mímo de e Essa seguda expressão, forma clássca do crtéro dos mímos quadrados, mostra que os exos R G0 z e F u I Fgura 3 Represetação da uvem de potos dos dvíduos O dvíduo tem proeção F sobre u Buscamos ecotrar u que reteha o máxmo da érca F Depos, ecotraremos u ortogoal a u, que satsfaz o mesmo crtéro e assm por date No caso em que os dvíduos teham pesos p dferetes, o crtéro cosste em u reter o máxmo de F fatoras retêm o meor desvo padrão etre a uvem de dvíduos e sua proeção Do fato dos dados serem cetrados, o crtéro (érca máxma com respeto à orgem ou ao cetro de gravdade G) permte terpretar os exos fatoras como os de comprmeto máxmo da uvem de potos I, as dreções por eles defdas Dzemos também que esses são os prcpas fatores de varabldade, pos o que é possível dão a medda da dversdade dos dvíduos odemos mostrar que, ada do fato dos dados terem sdo cetrados, a explcação do máxmo de F é equvalete a explcar o máxmo de ( F ) l F Esta últma expressão é de fato a dstâca etre os potos proetados A proeção ocorre de maera a reduzr a dstâca etre os potos, os exos fatoras aprecem uma dreção tal que as dstâcas etre os potos proetados aproxmam-se o mas possível das dstâcas dos potos homólogos a uvem I Segudo os obetvos da aálse, adate mostramos outras terpretações do crtéro de maxmzar a érca explcada R p G H H I u Fgura 4 Represetação das dstâcas terdvduas Represetado por H e H as proeções de e (os valores orgas da varáves trasformadas z e z ) sobre o exo u (assocadas a F e F ), esse exo explcam etão a érca ( OH ) l OH máxma, ou sea d ( H H ) é tal que é a mas próxma possível de d ( ) 5 Idvíduos suplemetares Com freqüêca chegamos à coclusão do teressate que é de que certos dvíduos ão terveham a determação dos exos; porém, mesmo assm, é deseável que se coheça a posção de sua proeção sobre os exos determados pelo restate da

26 4 população Isso pode ser feto, atrbudo-se pesos ulos a esses dvíduos, o crtéro de austameto Esses dvíduos são chamados dvíduos suplemetares Itroduzremos um dvíduo suplemetar a aálse, quado é deseado que ele partcpe da terpretação que faremos dos dados, porém ão da costrução dos exos fatoras Esse é o caso dos dvíduos que apresetam característcas excepcoas, ou que suspetamos de erros de medda ou, efm, cosderamos que o dvíduo destaca-se dos demas por qualquer motvo 6 Represetação da uvem de varáves ara obtermos a sére de varáves stétcas {v : s,, h} e uma represetação aproxmada das correlações etre varáves, a AC aplca à uvem J, das varáves, o mesmo efoque aplcado à uvem de dvíduos R O J H v v Fgura5 Represetação da uvem de varáves Sea H proeção do poto (G ) que represeta a varável y (trasformada, ou a varável orgal) sobre o exo v rocuramos v que explca o máxmo de OH Em seguda, procuramos v, ortogoal à v, que satsfaça o mesmo crtéro e assm por date O crtéro (érca proetada máxma) que coduz à escolha dos exos é exatamete o mesmo que para a uvem de dvíduos Ele, porém, terá uma sgfcação dferete pelo fato da proeção daquela uvem ão ser mas cetrada (seu cetro de gravdade ão é mas a orgem) e de que todos seus potos estarem stuados detro da esfera utára: serão, etão, os âgulos, etre os vetores que represetam as varáves, que serão deformados pelas proeções, e ão as dstâcas etre os potos da uvem Em efeto, o plao (v, v ), ao maxmzar a érca à orgem da uvem proetada, explca o máxmo da soma dos cosseos quadrados dos âgulos etre os vetores e sua proeção: este plao austa os vetores e deforma o meos possível seus âgulos 6 Compoetes prcpas O vetor v, que caracterza a dreção da érca máxma, defe uma ova varável As varáves estudadas estão cetradas e reduzdas, sua proeção sobre v é gual ao

27 5 coefcete de correlação deste exo com essa varável Desse fato, procurar o vetor v que explca o máxmo valor de OH equvale a procurar a combação lear o mas assocado possível a estas varáves (o setdo do crtéro que maxmza a soma dos quadrados das correlações) Assm, esse será o exo que melhor stetza o couto das varáves cas Os exos fatoras, que são ortogoas dos a dos, põem em evdêca uma sére de varáves stétcas, as compoetes prcpas, ão correlacoadas etre elas, que melhor resumem o couto de varáves cas 6 Varáves suplemetares As varáves, como os dvíduos, podem ser tratadas como suplemetares Essas serão aquelas que smplesmete são proetadas os exos que foram determados pelas outras varáves, dtas atvas ode-se, etão, cohecer as correlações etre quasquer varáves e os compoetes prcpas; mesmo aquelas que ão pertecem ao domío de estudo 63 Efeto talle (de valor da varável) Se, um couto de dados, as varáves são todas correlacoadas duas a duas, etão a uvem J está dstate da orgem, próxma da superfíce da esfera O prmero exo fatoral se refere, etão, prcpalmete à posção de J com respeto à orgem: paralelamete, a forma da uvem J é mal represetada, o setdo de que as proeções das R J v Fgura 6 O efeto talle em R As varáves, correlacoadas duas a duas, formam etre s âgulos agudos A uvem de potos J fca cocetrada sobre um pequeo setor da esfera A proeção das varáves sobre o prmero exo fatoral, defdo por v, se refere prcpalmete à posção de J em relação a O varáves são todas próxmas umas das outras O caso dessa fgura é, a Fraça, costumeramete chamado efeto talle: ele correspode à stuação a qual, lembrado o fato de que as varáves se correlacoam duas a duas, certos dvíduos possuem pequeos valores com respeto a um couto de varáves, outros possuem grades valores com respeto a outras varáves e outros, efm, valores termedáros etre esses extremos Exste, este caso, uma estrutura comum, característca, assocada ao couto das varáves: essa característca típca é o que traduz a prmera compoete prcpal

28 6 7 Dualdade e fórmulas de trasção a AC A uvem I, dos dvíduos, e J, das varáves, são duas represetações de uma mesma tabela: uma pelas lhas e outra por suas coluas Algumas relações bastate expressvas, lgado essas duas uves, são chamadas relações de dualdade 7 Iércas Deve-se saber, ates de tudo, que a érca total dessas duas uves é a mesma; ela é gual ao úmero de varáves (desde que as varáves seam cetradas e reduzdas) x Iérca total de I (ou de J ) x s A proeção de cada uma dessas duas uves sobre uma sére de exos ortogoas correspode a uma decomposção da érca total ode-se mostrar que as decomposções são dêtcas: as ércas das uves proetadas sobre os exos fatoras de mesma dmesão, são guas Será, para o -ésmo exo ecotrado: Iérca(I/u )Iérca(J/v ) ë, ode ë é o valor própro assocado ao -ésmo exo 7 Fatores O couto das proeções de todos os dvíduos, potos da uvem de dvíduos I, sobre os -ésmo exo fatoral u, chamado -ésmo fator sobre os dvíduos, costtu uma ova varável, deotada F Demostra-se que essa varável se cofude com a - ésma compoete prcpal obtda a aálse da uvem de varáves as precsamete, o quadrado da orma do fator F (um vetor de R ), é a soma dos quadrados de suas coordeadas, por ë s ; a relação etre o -ésmo fator sobre I e o -ésmo exo fatoral de R se escreve: v F λ Assm, as proeções plaas em R p são represetações gráfcas de pares de varáves stétcas obtdas em R Os resultados obtdos do estudo de cada uma dessas duas uves possuem fudametalmete a mesma sgfcação, mesmos se são expressos em termos de dvíduos em us casos ou de varáves em outros Na fgura 7, a segur, lustra-se esses resultados

29 7 Os atrbutos da uvem de dvíduos e da uvem de varáves são, em certa medda, p R F R G F I u F J F N Fgura 7 Uma das duas formas da dualdade As coordeadas de I sobres u (-és mo exo fatoral de I) costtuem o -ésmo fator sobre os dvíduos (deotado por F ) O vetor F em R p é colear à v (-ésmo exo fatoral de J) smétrcos, e a dualdade se formula de maera aáloga ao traçar o papel das duas uves: a proeção das p varáves sobre o -ésmo exo fatoral v, da uvem J, defe um valor para cada uma das p varáves: esses valores costtuem o -ésmo fator sobre as varáves (deotado G ) que é, de alguma maera, um dvíduo ovo Essa oção de dvíduo típco (ou característco) é meos clássca que a de compoete prcpal (estamos, pratcamete, cosderado ates de tudo, dvíduos reas como dvíduos típcos) Etretato, em casos partculares, como aqueles em que os dvíduos estão em uma curva e as varáves são seus valores em p potos de dscretzação, esses dvíduos são represetáves e assm utlzados ostra-se que o poto em R p represetado esse dvíduo típco está stuado sobre o -ésmo exo da uvem dos dvíduos as precsamete: R J v G R I G G u G var N Fgura 8 A seguda forma da dualdade As coordeadas de J sobre v (-ésmo exo fatoral de J) costtuem o -ésmo fator sobre os dvíduos (deotado por G ) O vetor G em R p é colear ao -ésmo exo fatoral de I, u

30 8 u λ G Essa relação mostra que, referdo-se ao coefcete λ, valor própro do fator G, as coordeadas das varáves sobre v são os coefcetes da combação lear das varáves que costtuem o exo u de R p Essa propredade é uma característca dos prcpas exos (compoetes prcpas) e essecal para a terpretação (versamete à dfculdade de terpretação dos coefcetes da regressão múltpla quado eles ão são do mesmo sal dos coefcetes de correlação assocados) 73 Relações de trasção Chamam-se relações de trasção etre os -ésmos fatores, F e G, à expressão algébrca das propredades lustradas as duas últmas fguras Cosderado λ s, e a érca proetada de I (ou de J) sobre o -ésmo exo, essas relações se escrevem como a segur: x x F s( ) G ( ) λ s x x G ( ) F ( ) λ s A prmera relação exprme o fato de que a proeção F () de um dvíduo, é uma combação lear das proeções G () de todas as varáves Nessa combação lear, o coefcete de uma varável será postvo se o valor x dessa varável, com respeto ao dvíduo, ultrapassa a méda x Caso cotráro, o coefcete será egatvo Assm se olhamos smultaeamete os dos gráfcos, um dvíduo estará ao lado das varáves que possuírem valores fortes (altos) e estará em oposção àquelas que possuírem valores fracos (pequeos) O gráfco de dvíduos é uma represetação aproxmada da dstâca exstete etre eles O das varáves pode ser cosderado como o elemeto explcatvo dessa represetação: dos dvíduos stuados a mesma extremdade de um exo estarão próxmos porque os dos terão, geralmete, valores altos (sgfcatvos) com respeto às varáves stuadas o mesmo lado e valores sgfcates as varáves stuadas em lado oposto Recprocamete, o gráfco dos dvíduos pode tervr de maera a audar a terpretação do gráfco das varáves: se duas varáves são fortemete correlacoadas postvamete, elas estarão stuadas do mesmo lado sobre um exo Sobre o exo correspodete da uvem de dvíduos, os dvíduos que possuírem valores expressvos para aquelas duas varáves, fcarão stuados ao lado delas e os que tverem valores sem expressão se stuarão em lado oposto Os dvíduos mas expressvos com respeto àquelas

31 9 varáves se ecotrão mas afastados da orgem São faclmete reparados, aqueles dvíduos partculares que duzem a essas correlações fortes 74 Represetação smultâea A ecessdade de uma terpretação couta das represetações dos dvíduos e das varáves coduz à sua superposção É mportate ressaltar que a ustfcatva para uma tal represetação smultâea, de dvíduos e varáves, é essecalmete pragmátca: a represetação das varáves auda a fazer uma terpretação dos dvíduos e recprocamete Ela apota, ão obstate, o problema da represetação sobre um mesmo gráfco de potos de atureza dstta, avalados em espaços dferetes Essa dfculdade ão é somete de prcpo: a preseça smultâea, de dvíduos e varáves sobre um mesmo plao, egedra as proxmdades etre varáves e dvíduos que, por sua vez, pode sugerr déas que ão se verfcam detro dos dados As observações segutes garatem que se pode utlzar sem pergo a represetação smultâea a AC: As fórmulas de trasção relêem a coordeada sobre um exo de um dvíduo com o couto de coordeadas de todas as varáves sobre um exo de mesma ordem Não se pode terpretar a posção de um dvíduo pela ocorrêca de uma só varável e recprocamete Fudametalmete, as varáves são vetores e ão potos Não é a posção etre um dvíduo e um couto de potos, que represetam as varáves, que é mportate, mas o desvo que tem o dvíduo com respeto à dreção defda por daquele couto de varáves 75 roeção de vetores utáros da represetação de dvíduos Uma outra déa, tedo em vsta a represetação smultâea de dvíduos e varáves, cosste em proetar os vetores utáros de R p sobre os exos u Obtém-se, etão, uma represetação sobreposta mas atural que a precedete, o setdo de que os obetos represetados provêem do mesmo espaço ela relação etre u e G, e observado que a -ésma coordeada de u é gual à proeção sobre u do vetor utáro do -ésmo exo de R p, essa ova represetação das varáves é homotétca à precedete exo a exo uma razão costate de 8 Auda à terpretação λ s Os exos fatoras forecem uma magem aproxmada de uma uvem de potos Se faz ecessáro poder medr a qualdade de aproxmação, tato para cada poto, como para a uvem como todo Ou sea, os plaos fatoras represetam as coordeadas dos potos e ão as ércas que levam à sua determação É etão bastate útl cosultar essas ércas Resulta, assm, um estudo do plao realzado com a cosulta de um couto de dcadores reagrupados sob o termo de auda à terpretação

32 0 8 Defções 8 Qualdade de represetação de um elemeto um exo A qualdade de represetação de um elemeto (dvíduo ou varável) um exo s é medda pela relação QLT ()[érca da proeção do elemeto sobre o exo ]/[érca total de ] que é também o cosseo quadrado do âgulo è etre o segmeto O e o exo u (fgura 9) O θ H u Fgura 9 Qualdade de represetação de um elemeto em um exo H é a proeção de sobre o -ésmo exo QLT () H / O cos Essa defção se geeralza o caso de um plao Além dsso, pelo fato da ortogoaldade dos exos fatoras, a qualdade de represetação de um elemeto um plao (exo, exo h) é a soma das qualdades de represetação de sobre o exo e sobre o exo h É também o cosseo quadrado do âgulo etre o vetor O e o plao de proeção Se a qualdade de represetação da proeção de um poto sobre um exo, ou sobre o plao, é bastate próxma de, etão este poto estará bem próxmo do exo ou do plao Tratadose de um dvíduo, sua dstâca ao cetro de gravdade (que é o poto médo) é etão vsível sobre a proeção Ela ão será vsível (dstguível) o caso cotráro (quado a qualdade de represetação é próxma de zero) Da mesma forma, a dstâca etre dos potos sobre um plao, traduz tão bem sua dstâca a uvem a mesma medda em que esses potos tverem uma qualdade de represetação Tratado-se de uma varável cetrada e reduzda o vetor tem orma gual a e sua qualdade de represetação é o quadrado do tamaho de sua proeção Sobre um plao, ela se vsualzada dretamete por sua proxmdade ao círculo de rao, traçado de uma hperesfera de rao sobre o plao fatoral Esse círculo é chamado, usualmete, círculo das correlações 8 Qualdade de represetação de uma uvem sobre um exo A defção precedete se geeralza ao couto de uma uvem pela relação: érca da proeção da uvem sobre o exo/érca total da uvem Este dcador, chamado porcetagem de érca assocada a um exo mede, por sua vez, a mportâca relatva de um exo fatoral a varabldade dos dados θ

33 Como o caso de um úco elemeto, essas percetages podem ser acumuladas sobre város exos; falamos etão da porcetagem de érca extraída por um plao ou pelos K prmeros fatores Devdo à dualdade é equvalete calcular essas porcetages de érca a partr da uvem de dvíduos ou daquela das varáves 83 Cotrbução de um elemeto à érca de um exo Um exo fatoral cotrbu com o máxmo (sob a codção de ortogoaldade com os exos precedetes) da érca proetada de uma uvem Essa érca proetada da uvem pode ser decomposta poto por poto O cocete da érca proetada do elemeto sobre o exo pela érca da proeção do couto da uvem sobre esse mesmo exo, represeta a cotrbução do elemeto à érca do exo Esse dcador se geeralza aos subcoutos dos elemetos Sua cotrbução à érca de um exo é a soma das cotrbuções dos elemetos que o compõem Essa razão é precosa para por em evdêca o subcouto de elemetos que cotrbuem prcpalmete à costrução do exo e sobre o qual se apóa em prmero lugar a terpretação 9 Téccas de agrupameto 9 Aálse Fatoral Dscrmate As orges da aálse fatoral dscrmate se screvem os aos 30, do século passado, sedo os prmeros desevolvmetos se devem a RA Fsher, sob a hpótese de ormaldade das varáves Detro do escopo da aálse de dados multdmesoal a aálse dscrmate pode ser tomada quado, ao caracterzarmos grupos de varáves (por exemplo, aquelas que compõem um fator qualfcado uma varável sítese) se tem obetvos como os abaxo: De caráter descrtvo, quado: Deseamos obter uma represetação do couto de observações que os permta verfcar se estamos realmete a preseça de grupos bem dferecados; retedemos ecotrar a varável, ou couto de varáves, que melhor dscrmam a grupos preestabelecdos de observações Quado forem para uma tomada de decsão: e se tratar de reclassfcar certas observações do couto cal I, tem-se por faldade, classfcar ovas observações (observações que ão estavam presetes o couto I cal) em um dos grupos exstetes O quadro de dados, obeto de uma aálse dscrmate, é um do tpo de dupla etrada, de varáves e observações, o qual exste uma partção préva destas últmas Ou sea, se I{,,,,, } é o couto de observações, deverá exstr uma partção em q grupos, I, I,, I h,, I q, com,,, h,, q elemetos, respectvamete, de tal maera que se verfca: U q I h h q h h I e

34 Em osso caso cada subcouto de I pode ser caracterzado a partr dos fatores obtdos pela aplcação de uma AC ou de uma aálse fatoral de correspodêcas Grupos I Lhas Coluas,, L I h L x q + q + x valor da varável a observação I q p Fgura 0 Quadro para defção dos dados de etrada para uma Aálse Fatoral Dscrmate 9 Téccas de Classfcação Segudo Judez (p 47) a hstóra da classfcação pode ser remotada à dade atga, ecotrado-se em trabalhos de Gale e Arstóteles, sedo posterormete desevolvdas o domío bológco (séculos XVII e IXI) e da zoologa Os dados sobre os quas se aplcam as téccas de classfcação são do tpo de dupla etrada o qual um couto de observações I{,,,,, } está caracterzado por um couto de varáves J{,,,,, p} As varáves podem ser do tpo quattatvo ou qualtatvo e os coutos I e J ão apresetam ehuma partção préva As téccas de classfcação compõem o que se costuma chamar taxooma umérca e seu obetvo é obter um couto de classes, dsutas ou ão, de elemetos de I ou de J Dvde-se em dos grades grupos as téccas que se ocupam da obteção de classes dsutas: as téccas herárqucas e ão herárqucas, ou de agrupameto As téccas herárqucas coduzem a um couto de partções dos elemetos de I ou de J que podem ser represetadas segudo uma árvore de classfcação Etre as téccas ão herárqucas mas utlzadas, ecotram-se as chamadas téccas otmzates Essa técca, assm como a aálse dscrmate é de grade auda para tpfcação de varáves e dvíduos a aálse de dados multdmesoas