Introdução à Teoria dos Números Notas 1 Os Princípios da Boa Ordem e de Indução Finita Prof Carlos Alberto S Soares

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1 Itrodução à Teora dos Números Notas 1 Os Prcípos da Boa Ordem e de Idução Fta Prof Carlos Alberto S Soares 1 Prelmares Neste curso, prortaramete, estaremos trabalhado com úmeros teros mas, quado ecessáro, utlzaremos as propredades já cohecdas dos úmeros racoas e reas. As otações para cojuto umércos a serem utlzadas serão: 1. Z= cojuto dos úmeros teros,. N = {1,, 3,...}= cojuto dos úmeros teros postvos ou úmeros aturas, 3. N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0}=cojuto dos úmeros teros ão-egatvos, 4. Q=cojuto dos úmeros racoas,. R=cojuto dos úmeros reas, 6. R\Q= cojuto dos úmeros rracoas e 7. R + = cojuto dos úmeros reas postvos(> 0 Em todos os cojutos acma estaremos supodo sufcetemete cohecdas as operaçoes usuas eles defdas, jutamete com a relação de ordem (a b. Lembramos que um úmero racoal é um úmero que pode ser escrto a forma p com p, q úmeros teros e q q 0. Saletamos que em R todo úmero postvo possu raíz eésma, sto é, se x é um úmero real postvo e N exste um úco úmero real postvo, dcado por x, tal que ( x = x. Bem eteddo, se x > 0 é um úmero real e N temos x = y y > 0 e y = x. 1

2 Lembramos que em R, cosequetemete em Q e Z, temos a mportate oção de módulo, ou seja, { x se x 0 x = x se x < 0 para todo x R. Exercíco 1 1. Mostre que o produto de qualquer úmero racoal por um úmero rracoal produz como resultado um úmero rracoal.. Mostre que a soma de qualquer úmero racoal com um úmero rracoal produz como resultado um úmero rracoal. 3. Exba um exemplo de dos úmeros rracoas cuja soma seja um úmero racoal. 4. Exba um exemplo de dos úmeros rracoas cujo produto seja um úmero racoal.. Mostre que um úmero real postvo r é racoal se, e somete se, exste um úmero atural tal que r seja um úmero atural. 6. Mostre que para quasquer úmeros reas x, y temos: (a xy = x y (b x + y x + y ( Chamada Desgualdade Tragular! Defção Sedo x um úmero real chamamos parte tera de x, dcada por [x], o maor tero meor ou gual a x. Exemplo 3 [9/4] = e [ 9/4] = 3. Note que temos [x] x < [x] + 1, x R. Além dsso, se k é um úmero tero satsfazedo k x, etão k [x]. Como, [x] x < [x]+1, temos 0 x [x] < 1. Temos, etão, a segute proposção. Proposção 4 Seja x um úmero real. Temos y = [x] se, e somete se, y Z e x = y + a com 0 a < 1 Prova. ( Supohamos y = [x]. Por defção, teremos y Z. Além dsso, temos x = [x] + (x [x] = y + (x [x]. Como 0 x [x] < 1, fazedo a = x [x] teremos x = y + a, com 0 a. ( Supohamos x = y + a com y Z e 0 x < 1. Etão, temos que y x e, portato, y [x]. Se y < [x], teremos [x] y 1 e como x [x], vem que x y 1, o que cotrara x y = a com 0 a < 1.

3 Proposção Sejam x um úmero real e λ um úmero real postvo. Etão 1 < [x] λ < λ. λ] Prova. Temos ] λ x < [ [ x λ λ] + 1 λ x [ λ] x < λ x λ] + λ. Como, [x] x < [x] + 1, teremos λ [ [ x λ] 1 < [x] < λ x λ] + λ, sto é, 1 < [x] λ < λ. λ] Coroláro 6 Sejam x um úmero real e um úmero atural. Etão 0 [x] 1. ] Em outras palavras [x] = 0 ou 1 ou... ou 1. ] Prova. Pela proposção ateror temos 1 < [x] <. ] Mas, [x] ] é um úmero tero e, portato, 0 [x] 1. ] Note que, pelo coroláro acma, sedo um úmero atural, temos Se [x] = 1 e = teremos [x] + 1 ] [x] ] 1 ] ] 0 1/ = 0. Já se, [x] =, de maera aáloga, teremos ] 1/ 1 [x] = 1. Exercíco 7 1. Determe, justfcado, os úmeros reas x tas que ] [x] =. 3

4 . Mostre que sedo x e y úmeros reas, teremos [x + y] [x] + [y]. 3. O últmo corláro os dz que ] 0 [x] 4. Determe, se exstrem, úmeros reas x 1, x, x 3, x 4, x tas que ] [x ] =, para = 0, 1,, 3, Sedo x, y úmeros reas, mostre que x y 1 [x] [y].. Resolva, em R, a equação 6. Resolva, em R, a equação 7. Resolva, em R, a equação [x] = [x + 1]. [3x + 1] =. [x x] =. 8. Mostre que x < y [x] < y e, cosequetemete, [x] [y]. 9. Sedo x um úmero real e λ um úmero real egatvo, mostre que λ 1 < [x] λ 0. λ] Os Axmas da Boa Ordem e da Idução Fta Eucaremos, agora, dos mprescdíves axomas que pratcamete caracterzam o cojuto dos úmeros aturas já que, detre os cojutos N, Z, Q e R, somete N satsfaz esses axomas. Axoma 8 (Axoma da Boa Ordem - PBO Todo subcojuto ão vazo de N possu um meor elemeto. Aplcação 9 Mostre que ão é um úmero racoal. Solução 10 Em sala! Aplcação 11 Seja f : N N uma fução ão-crescete, sto é, para quasquer úmeros aturas m teremos f( f(m. Mostre que f é costate a partr de um certo úmero atural, ou seja, exste 0 N tal que f( = f( 0 para todo 0. 4

5 Solução 1 Em sala! Aplcação 13 Sejam, m úmeros aturas. Etão, m é um úmero tero ou um úmero rracoal Solução 14 Em sala! Axoma 1 (Axoma da Idução Fta - PIF Seja X um subcojuto de N satsfazedo as segutes codções: C1: 1 X C: k X teremos k + 1 X. Etão X = N. Aplcação 16 Mostre que > para todo úmero atural Solução 17 Em sala! Os dos axomas aterormete mecoados são equvaletes, sto é, o PBO é uma cosequêca do PIF e vce-versa. Proposção 18 O PFI mplca o PBO, sto é, admtdo o PIF, obtemos o PBO. Prova. Seja X um subcojuto de N e supohamos que X ão possu um meor elemeto. Seja Γ o cojuto defdo por Γ = {k N tal que x k, temos x / X}. Temos 1 Γ pos 1 / X, já que X ão possu um meor elemeto. Além dsso, se k Γ teremos k+1 Γ, pos se k+1 / Γ teríamos k+1 sedo o meor elemeto de X, já que todos os úmeros meores que k +1 ão estão em X. Portato, temos 1 Γ e k Γ, temos +1 Γ e, daí, pelo PIF temos Γ = N e, cosequetemete, X =. Cocluímos, etão, que se X ão possu meor elemeto, X é o cojuto vazo, sto é, se X temos que X possu elemeto mímo. Proposção 19 O PBO mplca o PFI, sto é, admtdo o PBO, obtemos o PFI. Prova. Cosderemos X N satsfazedo (1 1 X e ( X, temos + 1 X. Mostremos que X = N. Para tato, cosderemos o cojuto Γ = N \ X. Observe que 1 / Γ e pelo PBO, se Γ exste k > 1 que é o meor elemeto de Γ. Mas, como k Γ, temos k 1 Γ, já que se k 1 / Γ, teremos k 1 X e, este caso, pela hpótese admtda, teríamos k X. Logo Γ ão possu meor elemeto e, portato, Γ = o que os leva a X = N.

6 3 As duas formas do Prcípo de Idução Fta No que se segue, por seteça aberta em estaremos etededo uma propredade ou afrmação a ser verfcada para os úmeros aturas. Dto sso, o método utlzado acma pode ser formalzado através do segute teorema. Teorema 0 (Prmera Forma do Prcípo de Idução Fta Seja p( uma seteça aberta em. Supohamos que P1: p(1 é verdadera P: Para todo úmero atural k tehamos p(k + 1 verdadera se p(k for verdadera. Etão p( é verdadera para todo úmero atural. Prova. Seja X = { N; p( é verdadera}. Mostremos que X = N. Pela codção P1, temos que 1 X. A codção P os dz que se k X teremos k + 1 X e, portato, por (1 temos que X = N. Observação 1 Se desejamos utlzar o teorema acma para provar que uma certa proposção é válda para todos os úmeros aturas, devemos mostrar que: 1. Tal proposção é válda para k = 1.. Supodo que a proposção é válda para k, devemos mostrar que, este caso, teremos a proposção verdadera para k + 1 Exemplo Mostre que para todo úmero atural teremos Solução 3 Em sala! ( 1 =. Em mutas aplcações uma certa proposção ão é válda para todos os úmeros aturas, mas é verdadera a partr de um certo úmero atural 0. Nestes casos, uma geeralzação do teorema acma quase sempre se mostra muto útl. Teorema 4 (Prmera Forma do Prcípo de Idução Fta - Geral Seja p( uma seteça aberta em. Supohamos que P1: Para um certo úmero atural 0 ela seja verdadera P: Para todo úmero atural k 0 tehamos p(k + 1 verdadera se p(k for verdadera. Etão p( é verdadera para todo úmero atural 0. Prova. Cosdere, como a prova do teorema ateror, o cojuto Complete a prova mostrado que X = N. X = { N; p( é verdadera}. 6

7 Exemplo Estudar a valdade da desgualdade > + 1. Solução 6 Em sala! Aplcação 7 (Desgualdade de Beroull Seja a > 1 um úmero real fxado. Para todo atural temos (1 + a 1 + a. Prova. Em sala! Exercíco 8 1. Mostre que o PBO ão é verdadero para Z.. Utlze o PBO para mostrar que 3 ão é um úmero racoal. 3. Mostre que cada seteça abaxo é verdadera para todos os úmeros aturas. (a = ( + 1 (b = (+1(+1 6 (c = ( (+1 1 (d = 1..3 (+1 +1 (e (+1(+ = (+3 4(+1(+ (f ( 1 1. = ( 1 1. (+1 4. (a Mostre que ão é um úmero racoal. (b Mostre que para cada úmero atural exstem úmeros aturas a e b tas que (1 + = a + b. (c Mostre que para cada úmero atural o úmero (1 + ão é racoal.. Mostre que para qualquer úmero atural e quasquer úmeros reas x 1, x,..., x temos x 1 + x + ldots + x x 1 + x x. 6. Estudar a desgualdade >. 7. Sedo um úmero atural, defmos! = ( 1.. Estude a desgualdade! >. 7

8 8. Mostre que! > 3 para todo úmero atural 7. Teorema 9 (Seguda Forma do Prcípo de Idução Fta Seja p( uma seteça aberta em. Supohamos que P1: p( 0 é verdadera P: Para todo úmero atural k 0 tehamos p(k + 1 verdadera se p( 0, p( 0 + 1,..., p(k for verdadera. Etão p( é verdadera para todo úmero atural 0. Prova. Cosderemos o cojuto X = { N; p( ão é verdadera}. Mostremos que X =. Se X, pelo PBO, seja k o meor elemeto de X, sto é, k é o meor úmero atural tal que p( 0 + (k 1 ão é verdadera. Por P1, temos que k > 1. Como k é o meor elemeto de X temos que p( 0 + 1, p( 0 +,..., p( 0 + (k 1 1 são todas verdaderas, mas sto mplcara, por P que p( 0 + (k 1 sera verdadera, cotrarado o fato de k estar em X. Logo, X = e o resultado está provado. Observação 30 Mutas vezes, verfcado a veracdade de uma certa proposção para uma quatdade de úmeros aturas podemos ser levados a coclur que a mesma é válda para todos os úmeros aturas. Efatzamos que ão mporta quão grade seja essa quatdade, ão podemos coclur a veracdade para todos os úmeros aturas a ão ser que, realmete, sejamos capazes de demostrar tal veracdade, seja usado dução ou qualquer outro método váldo. Por exemplo, cosdere a afrmação: Para todo atural o úmero ão é o quadrado de um úmero atural. Se formos substtudo por 1,,..., possvelmete seremos tetados a coclur a valdade da afrmação para todos os aturas, pos o prmero para qual tal afrmação falha, sto é, o meor para o qual a expressão é um quadrado é Portato, cudado! = Defção por Recorrêca Seja X um subcojuto de R. Mutas vezes estaremos teressados em trabalhar com fuções f : N X. Uma das formas de defr tas fuções é o processo cohecdo por defção por dução ou por recorrêca. Este método cosste em, fxado um úmero atural k, defr de maera explícta f(1, f(, f(3,..., f(k e, a partr daí, termos uma regra que os permta ecotrar f(, para > k, através destes valores cas. Vejamos algus exemplos. Exemplo 31 (Fatoral de um úmero tero ão-egatvo Defmos a fução fatoral ou o fatoral de um úmero tero ão-egatvo por f(0 = 0! = 1 = f(1 = 1! e f( = ( 1! se. Mostre, usado dução, que temos! = ( 1(... 1 para todo úmero atural. 8

9 Vale ressaltar que, usualmete, uma fução f : N R é chamada uma sequêca ou sucessão de úmeros reas e, sedo assm, aotamos x 1 = f(1, x = f(,..., x = f(,... o que os leva a escrever a fução como e usaremos a otação (x. x 1, x, x 3,... Exemplo 3 Cosdere a sequêca (x defda por Mostremos que (a x 1 (b x x +1 (c x + x +1 1 x +1 x. Solução 33 Em sala! x = 1 e x = x 1 se. Exemplo 34 (A sequêca de Fboacc Usaremos recorrêca para defr a Sequêca de Fboacc, qual seja Os prmeros 6 termos da sequêca são Mostremos que F ( 7 4. Solução 3 Em sala! F 1 = F = 1 e F = F 1 + F 3. 1, 1,, 3,, 8 Sequêcas Recorretes Geeralzado o exemplo acma, sedo k um úmero atural, podemos defr as chamadas sequêcas recorretes de grau k. Estas sequêcas são defdas da segute forma: Defmos de maera explcíta os prmeros k termos da sequêca, sto é, x 1, x,..., x k. Para defrmos os termos segutes, fxamos k úmeros λ 1, λ,..., λ k e defmos, para > k, x = λ 1 x 1 + λ x λ k x k. Exemplo 36 A sequêca de Fboacc é um exemplo de sequêca recorrete de grau com λ 1 = λ = 1. 9

10 Exemplo 37 [uma sequêca recorrete de grau 3] Tomemos a sequêca defda por x 1 = 1, x =, x 3 = 3 e x = x 1 + x + 3x 3 para 4. Os prmeros 6 termos da sequêca são 1,,3,10,0,49. Claramete (x é uma sequêca recorrete de grau 3 com λ 1 = 1, λ = e λ 3 = 3. Fxada uma sequêca recorrete de grau k do tpo x 1, x,..., x k e x = λ 1 x 1 + λ x λ k x k se > k, assocamos a ela a equação q k λ 1 q k 1... λ k 1 q λ k = 0, deomada equação característca assocada à sequêca. Exemplo 38 A equação característca para a sequêca de Fboacc é dada por q q 1. Já a equação característca para o exemplo 37 é q 3 q q 3 = 0. O teorema abaxo, que admtremos sem demostração, caracterza as sequêcas recorretes de grau k quado sua equação característca possu exatamete k raízes dsttas. Teorema 39 Seja (x uma sequêca recorrete de grau k tal que sua equação característca q k λ 1 q k 1... λ k 1 q λ k = 0 possua k raízes dsttas α 1, α,..., α k. Etão, exstem úmeros A 1, A,..., A k tas que x = A 1 α A α A k α 1 k N. Além dsso, os úmeros A 1, A,..., A k podem ser obtdos resolvedo o sstema A 1 + A A k = x 1 A 1 α 1 + A α A k α k = x A 1 α k A α k A k α k 1 k = x k Exemplo 40 (Novamete a sequêca de Fboacc Tal como já vsto acma temos que a equação característca da sequêca de Fboacc é dada por q q 1 = 0 e, portato, suas raízes são α 1 = 1+ e α = 1. Logo, aplcado o teorema acma, somos levados ao sstema { A1 + A = 1 A A 1 = 1 Resolvedo o sstema ecotramos A 1 = 1+ fórmula para os úmeros de Fboacc F = 1 + ( ( ou ada F = 1 [( 1 + ( e A = 1+, o que os leva à surpreedete 1 ]

11 6 Bômo de Newto Icalmete lembremos que dados úmeros a 1, a,..., a, sua soma é dcada por =1 a, sto é, a = a 1 + a + a a. Note que =1 e (a + b = (a 1 + b 1 + (a + b + (a 3 + b (a + b = a + =1 =1 (λb = (λb 1 + (λb + (λb (λb = λ b. =1 =1 b. =1 Para o desevolvmeto do bômo de Newto é teressate troduzrmos o coceto de úmero bomal, qual seja: Defção 41 Sejam, úmeros teros tas que 0. Defmos (! =!(!. Utlzaremos ada ( = 0 se 1 <. Note que, sedo 0, temos Além dsso, temos, ( = 0 ( = 1 e ( ( =. ( ( = = N. 1 1 Proposção 4 (Relação de Stfel Sejam, úmeros teros tas que 1. Etão ( ( ( + 1 = +. 1 Prova. Basta otar que ( ( + = 1!!(! +! ( 1!( ( 1! = ( + 1! +!!( + 1! ( + 1 =. 11

12 Coroláro 43 Sejam, úmeros teros tas que 0. Etão ( é um úmero atural Prova. Em sala! Teorema 44 [Bômo de Newto]Sejam x, y úmeros reas e um úmero atural. Etão (x + y = =0 ( x y. Prova. Utlzaremos a prmera forma do Prcípo de Idução Fta. O teorema é óbvo para k = 1. Supohamos o resultado váldo para = k, sto é, supohamos que (x + y k = k =0 ( k x k y. Etão, teremos (x+y k+1 = (x+y(x+y k = (x+y k =0 x k y = x k =0 x k y +y k =0 x k y = = k =0 x k+1 y + k =0 x k y +1 = = x k+1 + k =1 x k+1 y + k 1 =0 x k y +1 + y k+1 = = x k+1 + k =1 x k+1 y + k =1 1 x k+1 y + y k+1 = = x k+1 + k [ ( =1 + k ] 1 x k+1 y + y k+1 = k+1 +1 =0 x k+1 y. Daí a valdade também para = k + 1 e o teorema é verdadero para todo atural. Coroláro 4 Sejam x um úmero real e um úmero atural. Etão (1 + x = Prova. Segue dreto do teorema acma. =0 ( x. Termamos estas otas com um resultado sobre fatoração, qual seja: Proposção 46 Sedo x, y úmeros reas e N, temos: 1. x y = (x y(x 1 + x b ab + b 1. x +1 + y +1 = (x + y(x x 1 b +... ab 1 + b 3. x y = (x + y(x 1 x b ab b 1 Prova. Em sala! 1

13 Exercíco Sedo 1 mostre que ( ( ( ( = ( Sedo, m úmeros aturas, mostre que ( ( ( ( m + m =. 0 1 m m 3. Sedo, m, k úmeros aturas, mostre que k =0 4. Use a exercíco ateror e mostre que ( ( m = k =0 ( = ( + m k (.. (a Sedo N e 0 < 1 mostre que ( ( < +1 (b Sedo N e 1 < mostre que ( ( > Sedo a, N calcule: (a ( =0 a (b =0 ( a (c =0 ( 1( a (d =0 ( a 7. Cosdere a sequêca recorrete dada por. x + = x +1 + x, x 1 = x = 1. Determe uma fórmula para x 8. Cosdere a sequêca recorrete dada por x +3 = 6x x x, x 1 = x = x 3 = 1. Determe uma fórmula para x 9. Sejam, m N com m. Mostre que =1 ( ( + m = 1 ( ( + m 1. m 13

14 10. Sedo (F a sequêca de Fboacc, mostre que: (a =1 F = F + 1 (b =1 F 1 = F (c =1 F = F =1 1 (d =1 F = F F +1 ( ( 1 1 F+1 F (e = 1 0 F F 1. (f Sedo, m N com, mostre que 11. Usado dução, mostre que F = 1 [( F +m = F 1 F m + F F m ( 1 ]. 1. Observado que q = 1+ é uma raíz da equação x x 1 = 0, mostre que q = qf + F 1. 14