Os Skew Anéis de Polinômios Tipo Automorfismo e a Fatoração Única

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1 Os Skew Aés de Polômos Tpo Automorfsmo e a Fatoração Úca Skew Polyomals Rgs of Automorphsm Type ad Uque Factorsato Marlo Soares Uversdade Estadual do Cetro-Oeste - UNICENTRO Departameto de Matemátca, Guarapuava, PR marlosoares@ucetro.br Resumo: Este artgo apreseta algus resultados da teora dos skew aés de polômos tpo automorfsmo e algumas codções ecessáras para que o skew ael de polômos tpo automorfsmo, de um ael de fatoração úca Noetherao, apresete fatoração úca. Palavras-chave: aés ão-comutatvos; fatoração úca; skew aés de polômos. Abstract: Ths paper presets some results of the theory of skew polyomals rgs of automorphsm type ad some ecessary codtos so that the skew polyomals rg of automorphsm type, of a Noethera uque factorzato rg, presets uque factorsato. Key words: o-commutatve rgs; uque factorzato; skew polyomal rgs. 1 Itrodução Em [1], Kaplasky mostra, o Teorema 5, que a oção clássca de fatoração úca para domíos comutatvos é equvalete à codção que todo deal prmo ão-ulo coteha um deal prmo prcpal ão-ulo. Tal oção fo estedda por Chatters, em [2] a domíos Noetheraos R, ão ecessaramete

2 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 comutatvos, medate a codção que todo deal prmo ão-ulo coteha um elemeto completamete prmo, ou seja, medate a codção que todo deal prmo ão-ulo coteha um elemeto ormal p tal que R/pR seja um domío. Do poto de vsta da teora dos aés ão-comutatvos, essa é uma codção bem forte e faz com que seja relatvamete fácl provar a maor parte dos resultados báscos que são sugerdos, por aaloga, com o caso comutatvo. No etato, a classe dos domíos de fatoração úca Notheraos ão é fechada sob extesões polomas, como mostra o exemplo 2.11 do referdo trabalho. Por sua vez, em [3], Chatters e Jorda estedem o coceto de fatoração úca para aés prmos Noetheraos ão ecessaramete comutatvos medate a codção que todo deal prmo ão-ulo coteha um elemeto prmo. Tal defção tora a classe dos aés de fatoração úca Notheraos fechada sob extesões polomas usuas, porém o fato de ser um ael de fatoração úca, Noetherao ão é codção sufcete para que o mesmo acoteça com suas extesões polomas ão-usuas, em partcular com o skew ael de polômos tpo automorfsmo. Embora Chatters e Jorda teham demostrado que, um ael prmo Noetherao, todo deal α-prmo ão-ulo coter um deal α-prmo ão-ulo prcpal é uma codção ecessára e sufcete para que o skew ael de polômos tpo automorfsmo seja um ael de fatoração úca Noetherao, eles ão provam algumas codções ecessáras para que o skew ael de polômos tpo automorfsmo, de um ael de fatoração úca Noetherao, apresete tal propredade. Além dsso, a teora dos skew aés de polômos tpo automorfsmo, ecessára ao estudo da fatoração úca em aés Noetheraos ão ecessaramete comutatvos, ão é ecotrada a lteratura dspoível, sejam em lvros-texto, seja em peródcos. No que segue, além de uma trodução a essa teora, a partr da qual serão provados algus resultados mprescdíves ao estudo da fatoração úca, demostraremos duas codções ecessáras, ão demostradas por Chatters e Jorda, para que o skew ael de polômos tpo automorfsmo, de um ael de fatoração úca Noetherao, apresete tal propredade. Ressaltamos que, embora a codção ecessára e sufcete, ctada o parágrafo ateror, já teha 164

3 SOARES, M. sdo demostrada por Chatters e Jorda, como sua demostração possu váras mplcações ão evdetes e os resultados que provaremos são uma coseqüêca desta, faremos uma reletura deste resultado. Por sua vez, resultados, já provados em outros trabalhos, serão apeas referecados. A próxma seção desta-se às oções báscas dspesáves ao desevolvmeto dos resultados que serão apresetados. Na Seção 3, troduzmos a teora dos skew aés de polômos tpo automorfsmo equato, a Seção 4, se desta à fatoração úca. 2 Pré-requstos Ao desevolvermos este trabalho cosderamos cohecdas as oções báscas da Teora de Aés. Caso seja ecessára alguma cosulta com relação a esta teora recomedamos [4] e [5]. Nesta seção, recordamos apeas algus cocetos e fxamos a termologa. Cosderaremos um ael R sempre assocatvo com udade, mas ão ecessaramete comutatvo. Quado um deal I de R for blateral, dremos que I é um deal de R. Além dsso, deotaremos a clusão estrta por ou. Um elemeto a R é dto ormalzate se ar=ra. Um elemeto a R é dto regular à dreta, se dado um elemeto b R tal que ab=0, temos que b=0. Aalogamete, defe-se elemeto regular à esquerda e quado um elemeto é regular à dreta e à esquerda dz-se que ele é um elemeto regular de R. Dado um deal I de R, C R (I), deota-se que o cojuto dos elemetos de R são regulares módulo I, ou seja, C R (I)={r R; r+i é regular em R/I}. Quado ão houver dúvda com relação ao ael em questão, deotaremos este cojuto por C(I). Um ael R é dto smples quado seus úcos deas blateras são os trvas, ou seja, 0 e R. Por sua vez, um ael R é dto Noetherao à dreta se satsfaz à codção de cadea ascedete sobre deas à dreta, sto é, se dada uma cadea qualquer de deas à dreta I1 I 2..., exste um tero postvo k tal que I k =I k +1=... Aalogamete, defe-se um ael Noetherao à esquerda e quado R é Noetherao à dreta e à esquerda dz-se que R é um ael Noetherao. 165

4 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 Defção 2.1 Um deal P de um ael R é dto deal prmo se, para quasquer deas I e J de R, temos que IJ P mplca I P ou J P. Um ael R é dto um ael prmo se o deal 0 é um deal prmo de R. Um ael R é dto ael semprmo se, para qualquer deal I de R e 1, I =0 mplca I=0. Defção 2.2 Sejam R um ael e P um deal prmo de R. A altura de P, que deotaremos por altp, é o úmero de clusões estrtas da maor cadea de deas prmos cotdos em P. Um deal prmo P de R é dto um deal prmo mmal de R se P ão cotém propramete qualquer outro deal prmo. Teorema 2.3 ([5], Teorema ) Sejam R um ael Noetherao à dreta, a R um elemeto ormalzate ão vertível e P um deal prmo de R mmal sobre ar. Etão P tem altura o máxmo 1. Teorema 2.4 ([6], Teorema 2.4) Se R é um ael Noetherao à dreta, etão exste somete um úmero fto de deas prmos mmas em R. Defção 2.5 Seja S um sstema multplcatvo formado por elemetos regulares em um ael R. Um ael R S é chamado um ael de quocetes à dreta de R se satsfaz as segutes codções: ) R RS ; ) todo elemeto de S é vertível em R S ; ) todo elemeto de R S é da forma rs -1, para algum r R e para algum s S. Defção 2.6 Um sstema multplcatvo S, de um ael R, satsfaz a codção de Ore à dreta se, para todo r R e para todo s S, exstem r R e s S tas que rs =sr. Teorema 2.7 ([7], Teorema 1.3) Seja S um sstema multplcatvo de elemetos regulares em um ael R. O ael de quocetes à dreta R S com relação a S exste se, e somete se, S satsfaz a codção de Ore à dreta. Teorema 2.8 ([5], Proposção 1.16) Seja R S o ael de quocetes à dreta de um ael R, com respeto a um sstema multplcatvo S. Se R é um ael Noetherao, etão exste uma correspodêca buívoca etre { P R P S = } {P SpecR S }va P PR S e P P R. Spec ; e 166

5 SOARES, M. Defção 2.9 Um ael R é chamado um ael de fatoração úca Noetherao se R é um ael prmo Noetherao tal que todo deal prmo ão-ulo de R cotém um deal prmo prcpal ão-ulo. Teorema 2.10 Sejam R um ael de fatoração úca Noetherao e P um deal prmo ão-ulo de R. Etão P tem altura 1 se, e somete se, P é prcpal. Demostração. Supohamos que P é prcpal, como R é prmo Noetherao segue, por 2.3, que alt(p) = 1. Recprocamete, supohamos, por absurdo, que exste em R um deal prmo Q, de altura 1, que ão é prcpal. Como R é um ael de fatoração úca Noetherao, Q cotém um deal prmo prcpal P ão ulo e, portato, de altura 1. Daí temos 0 P Q, com altq = altp = 1, o que é uma cotradção. Teorema 2.11 ([8], Lema 3.1) Sejam p e q elemetos prmos de uma ael prmo R. Se pr qr etão pqr = pr qr = qpr. Observação. O lema acma pode ser esteddo a um úmero fto qualquer de elemetos prmos. 3 Skew aés de polômos tpo automorfsmo Nesta seção faremos uma trodução à teora dos skew aés de polômos tpo automorfsmo, ecessára ao estudo da fatoração úca. Reteramos que os resultados já provados em outros trabalhos serão apeas referecados. Sejam R um ael e α um automorfsmo de R. O skew ael de polômos tpo automorfsmo R[ x; α ] é defdo como o ael cujos elemetos são os polômos = 0 a x, com a R. A adção é defda da forma usual e a multplcação pela propredade xa=α(a)x, para todo a R, estedda por dstrbutvdade. Assm, a multplcação é dada por: m,m + j a x b x = aα ( bj) x = 0 j = 0, j = 0 Um deal I de R é dto um α-deal se ( I ) quado seus úcos α-deas são os trvas, ou seja, 0 e R. α I. Um ael R é dto α-smples 167

6 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 Defção 3.1 Um α-deal P de R é dto um deal α-prmo se para quasquer α-deas I e J de R tem-se que IJ um ael α-prmo se o deal 0 é um deal α-prmo de R. P mplca I P ou J P. Um ael R é dto Lema 3.2 ([5], Lema ) Se R é Noetherao à dreta e α-prmo, etão R é semprmo. I x;α é um Seja I é um α-deal de R; como α ( I ) I, temos que [ ] deal de R[ x; α ]. Sejam I e J α-deas de R; como ( J ) J ( IJ )[ x; α] =I [ x; α] J [ x; α ]. Além dsso, dado um deal K de [ ] α, temos que R x; α é fácl ver que o subcojuto de R formado pelos coefcetes líderes dos elemetos de K, que deotaremos por τ ( K ), é um α-deal de R. Teorema 3.3 Se P é um deal α-prmo de R, etão P [ x;α ] é um deal prmo de R[ x; α ]. Demostração. Sejam I e J deas de R[ x; α ] tas que IJ P [ x;α] P [ x; α] I e P [ x; α] J. Etão, τ ( I ) τ ( J ) τ ( IJ ) P e τ ( I ) e τ ( J ) são α-deas de R temos que τ ( I ) P ou ( J ) P que τ ( I ) P e seja f = ax + + a1x + a0 I. Etão, a τ ( I ) P ax P [ x; α] I. Como f I temos que,. Como P é α-prmo τ. Supohamos f ax a x 1 = + + a x + a I 1 τ ( ). Repetdo o processo obtemos a P P [ x;α] e, portato, P [ x;α ] é um deal prmo de [ ] a I P I e Daí,, 0. Assm, R x; α. Teorema 3.4 Seja P um deal prmo de R[ x; α ]. Se x P etão = ( ) + [ α]. Caso cotráro α ( P) P. P P R R x; x Demostração. Supohamos que x P e seja f = a x um elemeto de = 0 a1 + + a x x P e etão, a0 P. Assm, 1 P. Como x P obtemos que ( ) 1 0 ( 1 ) ( ) [ α] e, portato, P ( P R) + R[ x; α] x. g P R + R x; x, etão g=b 0 +hx, com f = a + a + + a x x P R + R x; x Cosdere agora um elemeto ( ) [ α] b0 ( P R) ( P R) + R[ x; α] x P.. Como x P temos que hx P, logo g P e daí, 168

7 SOARES, M. Por sua vez, se x P etão x C ( P). Além dsso, temos que xp = α ( P) x P, logo α ( P) R[ x; α] x α ( P) xr[ x; a] P deal prmo de R[ x; α] e x P, segue que α ( P) P. Teorema 3.5 Se P é um deal prmo de R[ x; α ] tal que ( P) P R é um deal α-prmo de R. =. Como P é um α P, etão Demostração. É claro que P R é um deal de R e, sedo α ( P) P, temos que α ( P R) P R. Além dsso, se I e J são α-deas de R tas que IJ P R, temos IJ P e daí, IR[ x; α] JR[ x; α] = ( IJ ) R[ x; α] P. Como P é prmo segue que I I [ x; α] P ou [ α] ou J P R. Portato, P R é um deal α-prmo de R. J J x; P, e assm, I P R Coroláro 3.6 Se R[ x; α ] é um ael prmo etão R é um ael α-prmo. Demostração. Sedo R[ x; α ] é um ael prmo, temos que 0 é um deal prmo de R[ x; α ]. Como α ( 0) 0, segue pelo Lema 3.5, que 0 R = 0 é um deal α-prmo de R e, por cosegute, R é um ael α-prmo. Teorema 3.7 ([5], Teorema 1.2.9) Se R é um ael Noetherao à dreta (esquerda), etão R[ x; α ] é um ael Noetherao à dreta (esquerda). 4 Fatoração úca em R[x;α] Observação. Embora o Teorema 4.4, que será apresetado esta seção, já teha sdo demostrado por Chatters e Jorda, em [3], faremos uma reletura da sua demostração. Isso se justfca por questões pedagógcas, haja vsta que a demostração apresetada em [3], há váras mplcações ão evdetes. Ressaltamos, ada, que os Lemas 4.1, 4.2 e 4.3, bem como as demostrações dos Teoremas 4.5 e 4.6 ão fazem parte do referdo artgo. Dferetemete do ael de polômos usual R[ x ], quado tratamos de skew aés de polômos tpo automorfsmo, o fato que R é um ael de fatoração úca Noetherao ão é codção sufcete para que o mesmo acoteça com [ ] R x; α. Um exemplo dsto pode ser ecotrado em [9], em que é mostrado que se R é o ael dos polômos em duas determadas, t e y, que comutam 169

8 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 com o corpo dos complexos, e α é um automorfsmo tal que α( y ) =t+y 2 e α ( t ) =y, etão R[ x; α ] ão é um ael de fatoração úca. Veremos, etão, algumas codções adcoas para que R[ x; α ] seja um ael de fatoração úca. Nesta seção chamaremos um elemeto b R de ormalzate α-prmo se br é um deal α- prmo prcpal ão-ulo de R. É claro que o sstema multplcatvo D, gerado pelos elemetos ormalzates α-prmos de R, satsfaz a codção de Ore. Além dsso, sedo R um ael prmo, os elemetos de D são regulares. Etão, pelo Teorema 2.7, exste um ael de quocetes S de R formado pela versão dos elemetos ormalzates α-prmos e podemos esteder α para um automorfsmo de S que também chamaremos de α. Note que S[ x; α ] é o ael de quocetes de [ ] S x; α, com respeto a D. Teorema 4.1 Sejam R um ael α-prmo Noetherao e P um deal prmo mmal de R. Etão P α ( P) α ( P) = 0, para algum tero postvo. Demostração. Por 2.4, exste um úmero fto de deas prmos mmas de R. Sejam P 1,...,P k os deas prmos mmas dsttos de R. Supohamos, por absurdo, que exste um deal prmo mmal, que sem perda de geeraldade vamos supor P 1, tal que α ( P 1 ) 0, para todo tero postvo. Daí, é fácl = 0 ver que a terseção α ( P ) também é ão ula. Sedo R Noetherao e α- 1 0 prmo temos, pelo Lema 3.2, que R é sem-prmo, e etão, α ( P 1 ) P 1 ( ) k 1 j = P j = 0. Como k temos, α ( P1 ) P2 Pk P1 P2 Pk Pj = α P 0 0 j = 1 0 é um α-deal que estamos supodo ão-ulo e R é α-prmo, etão temos 1 0. Mas, ( ) P 2... Pk =0. Daí, P 2 P k P e P 1 1=P t, para algum t { 2,, k}, o que cotradz o fato que os P s são todos dsttos. Portato, segue a tese. Lema 4.2 Se R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao, etão R é um ael prmo Noetherao. Demostração. Tomado a aplcação φ : R[ x; α ] R, defda por φ ( h ) = c 0, ode h = c x, temos que R é uma magem homomórfca de R[ x; α ], logo R é = 0 um ael Noetherao. Além dsso, por 3.6, R é um ael α-prmo. Por cosegute, = 0 dado um deal prmo mmal P de R temos, por 4.1, que α ( P) algum tero postvo. = 0, para 170

9 SOARES, M. Cosdere o deal xr x; α + P R x; α. Como R[ x; α] / ( xr[ x; α ] + P) R / P, temos que xr x; α + P é um deal prmo de xr x; α Q xr x; α + P de [ ] R[ x; α ]. Seja Q um deal prmo de R[ x; α ] tal que [ ] [ ] Mostraremos que Q=xR[ x; α ] ou Q = xr[ x; α] = P. Temos que x Q por 3.4, Q = ( Q R) + R[ x; α ] x. Assm R[ x; ]/ Q R / ( Q R) Q Q ; etão, α e, daí, R é um deal prmo de R, cotdo em P. Como P é um prmo mmal segue que R = 0 ou Q R P Q=xR x; α ou Q=xR x; α +P. =. Por cosegute, [ ] [ ] Se Q=xR[ x; α ], etão xr[ x; α ] é um deal prmo e, como R[ x; α] / xr[ x; α] R, temos que R é um ael prmo. Supohamos etão que Q=xR[ x; α ] +P ; daí, o deal xr x; α + P é mmal sobre xr[ x; α ] e, pelos j Teoremas 2.3 e 2.10, deve ser da forma fr[ x; α] =R[ x; α ] f, para algum f a j x em R[ x; α ]. Como x xr[ x; ] xr[ x; ] P fr[ x; ] que x=fg, para algum = J = 0 α α + = α temos m k g = bk x k= 0 xr x; α + P = fr[ x; α] =R[ x; α ] f e xr[ x; ] e, daí, α ( P) = α ( a ) R = Rα ( a ) em R[ x; α ]. Note que, sedo α R = 0, temos P = a R = Ra , para todo tero postvo. Além dsso, de x=fg, temos que a 0 b 0 =0 dode, α(a 0 )Rα(b 0 )=0. Novamete de x=fg temos que a 1 α(b 0 )+a 0 b 1 =1. Multplcado esta últma equação por α(a 0 ) e cosderado que α(a 0 )Rα(b 0 )=0, obtemos α(a 0 )a 0 b 1 =α(a 0 ). Multplcado esta equação por ( 2 α ( a0) α )( α0 ) e cosderado o fato que α ( a0) α ( α0) a0 P α ( P) α ( P) = 0 obtemos que 1 1 ( ( a0) a0) 0. Da jetvdade de α temos α ( a ) α ( α ) α α = 0 0 a0 = 0. Repetdo este processo, obtemos a 0 =0. Assm, P=0 e, portato, R é um ael prmo. Lema 4.3 Sejam R um ael de fatoração úca Noetherao e S o ael de quocetes de R com respeto ao sstema multplcatvo gerado pelos elemetos ormalzates α-prmos de R. Etão, todo deal prmo ão-ulo P de S[ x; α ] tal que x P é prcpal e gerado por um elemeto ormalzate de S[ x; α ]. Demostração. Sejam P um deal prmo ão-ulo de S[ x; α ], tal que x e f um elemeto ão-ulo de P de grau mímo, dgamos ( f ) P, =. É claro que o subcojuto τ 0 de S, formado pelo 0 e pelos coefcetes líderes dos elemetos de P de grau, é um deal ão-ulo de S. Cosdere um elemeto c τ 0, etão exste h P tal que ( h ) = e seu coefcete líder é c. Temos xh = α( h )x P, etão 171

10 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 α( h) S[ x; α ] x = α( h) xs[ x; α] P. Como x P, segue que ( h) dsso, temos ( α ( h) ) = e assm, α( c ) α P. Além τ 0. Portato, τ 0 é um α-deal ão ulo de S e como S é, claramete, um ael α-smples temos que τ = S 0. Assm, podemos supor que f é môco e, pelo algortmo da dvsão, temos que para todo g P exstem q,r S[ x; α ] tas que g=fq+r, com r=0 ou ( r) < ( f ). Logo r P e, da mmaldade de, segue que r=0. Daí, para todo g P q S x; S x; α. Além dsso,, temos g=fq, com [ α ] e, portato, P=f [ ] dado s S, temos α ( s) f fs P e, como x C ( P ), temos x f - f x = h x, para algum h P. Como os elemetos α ( s) f fs e h têm grau meor que, eles são ulos. Logo fs=sf e fx=xf e, por cosegute, P= f S[ x; α ] = S[ x; α] f. Teorema 4.4 Seja R um ael com um automorfsmo α. Etão R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao se, e somete se, R é um ael prmo Noetherao e todo deal α-prmo ão-ulo de R cotém um deal α-prmo ãoulo que é prcpal. Demostração. Se R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao etão, por 4.2, R é um ael prmo Noetherao. Falta mostrar que todo deal α-prmo ão-ulo de R cotém um deal α-prmo prcpal ão-ulo. Seja P um deal α- prmo ão ulo de R. Por 3.3, P [ x;α ] é um deal prmo ão-ulo de R[ x; α ]. Como R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao, exste um elemeto ão-ulo f P[ x; α] tal que f R[ x; α ] = R[ x; α] f é um deal prmo de R[ x; α ]. Supohamos f = r x + + r1 x + r0, com r R ; daí obtemos que r 0 0, pos se r 0 =0 etão teríamos f xr[ x;α]. Note, também, que x fr[ x;α] pos, caso cotráro, teríamos x=r 1 xb 0 =r 1 α(b 0 )x, sedo b 0 o termo costate de algum elemeto g R[ x;α], tal que x = fg. Etão, 1 = r 1 α ( b 0 ) e, por cosegute, temos P=R. Além dsso, x é ormalzate em R[ x; α ]. Assm, teríamos fr[ x; α] = ( r ) [ ] ( x r xr x; α r x r ) R[ x; α] = x. Como fr[ x;α] é um deal prmo e x fr[ x;α], segue que r x r1 fr[ x; α] xr[ x; α] e, portato, r 1 =0. Repetdo este argumeto, obtemos r 1 =r 2 =... r =0, o que cotradz o fato que f é ão-ulo. Observe que, como R é prmo e f é ormalzate, r 0 é regular. Além dsso, xf α( f ) x R[ x; α] f fr[ x; α] = =, logo 172

11 SOARES, M. α( f ) R[ x; α] x = α( f ) xr[ x; α] fr[ x; α]. Como fr[ x;α] é prmo e x fr[ x;α], temos que α( f ) fr[ x; α], ou seja, α( f ) = fg, ode m j g = bj x R x;α j = 0 [ ]. Assm, α ( r0 ) = r0b 0 r0 R e, daí, α ( r0 ) R = α( r0 R) r0 R e, portato, r 0 R é um α-deal de R. Além dsso, é claro que r0 R[ x; α ] = R[ x; α] r0 e r0 P [ x; α]. Etão, por 2.3, exste um deal prmo de altura 1 em R[ x; α ] que, por 2.10, é da forma g R[ x; α ] = R[ x; α] g, tal que r0 gr[ x; α] P [ x; α]. Seja s P o termo costate de g. Assm como r 0, s é um elemeto ormalzate para ambos, R e R[ x; α ]. Note que, xg = α( g) x R[ x; α ] g = gr[ x; α ] logo, α( g) R[ x; α ] x = α( g) xr[ x; α] gr[ x; α ]. Como g R[ x; α ] é prmo e, além dsso, x gr[ x; α ], obtemos que α( g) gr[ x; α ] e, daí, α( g) R[ x; α ] = α( gr[ x; α] ) gr[ x; α ]. Etão, por 3.5, gr[ x; α] R é um deal α-prmo de R e, por 3.3, ( gr[ x; α] R) R[ x; α ] é um deal prmo de R[ x; α ]. Como g R[ x; α ] tem altura 1 e ( gr[ x; α] R) R[ x; α ] possu um elemeto ão-ulo r 0, segue que ( gr[ x; α] R) R[ x; α ] = gr[ x; α ]. É claro que ( gr[ x; α] R) sr. Recprocamete, se r R etão sr é o termo costate de gr ( gr[ x; α] R) R[ x; α ]. Dode sr gr[ x; α] R. Assm, s R[ x; α ] é prmo em R[ x; α ] e, por 3.5, sr = sr[ x; α] R é um deal α-prmo prcpal ão-ulo de R, cotdo em P. Recprocamete, se R é um ael prmo Noetherao e todo deal α-prmo ão ulo de R cotém um deal α-prmo prcpal ão ulo, etão, pelo Lema 3.5 e pelo Teorema 3.7, R[ x; α ] é um ael prmo Noetherao. Falta mostrar que todo deal prmo ão-ulo de R[ x; α ] cotém um deal prmo prcpal ão-ulo. Seja S o ael de quocetes de R formado pela versão dos elemetos ormalzates α-prmos de R. Como R é prmo, 0 é um deal prmo de R etão, por 2.8, o deal 0 é prmo em S e daí, S é um ael prmo. Além dsso, como S S[ x; α] / xs[ x; α ], temos que x S[ x; α] é um deal prmo de S[ x; α ]. Seja Q um deal prmo ão-ulo de R[ x; α ]. Se x Q, etão xr[ x; ] e, como R R[ x; α] / xr[ x; α ], temos que x [ ] ão-ulo, cotdo em Q. Supohamos agora que x casos. Se Q α Q R x; α é um deal prmo prcpal Q. Vamos cosderar dos R 0 etão, por 3.5, Q R é um deal α-prmo ão-ulo de R e, por hpótese, cotém um deal α-prmo prcpal ão-ulo. Assm, cotém 173

12 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 um elemeto ormalzate prmo que gera um deal prmo prcpal ão-ulo de R[ x; α ], cotdo em Q. Falmete, vamos cosderar o caso em que Q R = 0, com x Q. Deotemos por Q* a extesão de Q em S[ x; α ]. Como Q R = 0, segue que Q S[ x; α ]. Por 2.8, temos que Q* é um deal prmo de S[ x; α ]. Note como os elemetos ormalzates α-prmos de R são regulares módulo Q, x Q. Etão, pelo Lema 4.3, Q fs[ x; ] S[ x; ] f f S[ x; α ] tal que xf=fx e Rf=fR. Escrevamos f=gd -1, para algum g Q = α = α, para algum e d um produto de elemetos ormalzates α-prmos de R. Como dr é um α-deal de R, ( d ) α = du, para algum vertível u R. Etão Rg = Rfd = frd = fdr = gr e xg xfd fxd fdu = = = x = gu x R x; α g = gr x; α e 1 1, assm [ ] [ ] 1 Q = fs[ x; α ] = gd S[ x; α ] = gs [ x; α]. Podemos também supor que gr[ x; α ] é maxmal para elemetos ormalzates g de Q tas que gs [ x; α ] = Q. Supohamos que gr[ x; α] Q e seja h Q \ gr[ x; α ]. Como h Q temos h = gd' 1, para algum d ' D, logo h Q \ gr[ x; α ]. Como d é um produto de elemetos ormalzates α-prmos de R, ão exste perda de geeraldade em supor que hb gr[ x; α ], para algum elemeto ormalzate prmo b R para algum c R[ x; α ]. Temos [ ] [ ] [ ] [ ]. Assm, hb=gc, gr x; α c = R x; α gc = R x; α hb R x; α b, com R[ x; α ] b um deal prmo de R[ x; α ]. Como hb = gc e h gr[ x; α] que c R[ x; α ] b. Por cosegute, temos que g R[ x; ] b para algum g ' R[ x; α]. Mas ' [ ] ' [ ] [ ], temos α e, portato, g = g ' b, g R x; α b = g br x; α = gr x; α Q e, sedo Q R = 0, temos que b Q, logo g ' Q. Além dsso, g ' R x; α b = g ' br x; α = gr x; α = R x; α g = R x; α g ' b e etão, do fato [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] que todo elemeto ormalzate é regular, temos g ' R[ x; α ] = R[ x; α] g é um elemeto vertível em S[ x; α] Q = gs [ x; α ] = g bs[ x; α ] = g S[ x; α] Pela maxmaldade de gr[ x; α ], temos g ' R[ x; α ] = gr[ x; α] pos b ão é vertível em R[ x; α ]. Por cosegute, Q = gr[ x; α ]. '. Como b, ' '., o que é mpossível, Assm, em ambos os casos, Q cotém um deal prmo prcpal ão-ulo e, portato, R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao. Vamos, agora, demostrar duas codções sufcetes para que o skew ael de polômos, de um ael de fatoração úca Noetherao, seja um ael de fatoração úca Noetherao. 174

13 SOARES, M. Teorema 4.5 Seja R um ael de fatoração úca Noetherao com um automorfsmo α tal que todo deal α-prmo ão-ulo cotém um α-deal prcpal ão-ulo. Etão R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao. Demostração. Cosderemos Q um deal α-prmo ão-ulo arbtráro de R. Etão, por hpótese, Q cotém um α-deal prcpal ão-ulo que deotaremos por R. Cosdere, agora, um deal α-prmo mmal I tal que ar I. Note que I é ão-ulo, pos ar I e ar é ão-ulo. Além dsso, como I é α-prmo, exste um deal prmo P de R, mmal sobre I, tal que α ( P) = I. Mostraremos que 0 o deal prmo P é mmal sobre ar. De fato, supohamos que L seja um deal prmo de R satsfazedo a codção ar L P. Etão ar α ( L) α ( P) = I. É fácl ver que α ( L) é α-prmo e assm, α ( L) = I. Daí, L I e, por cosegute, temos L=P. Logo, 0 pelo Teorema 2.3, P tem altura 1, sedo da forma P = pr. Usado o fato que α é um automorfsmo e estededo o Lema 2.11 para +1 elemetos, obtemos que Π = 0 = 0 = 0 ( ) ( ) ( ) I = α P = α p R = α p R, ou seja, que I é um deal α-prmo ão-ulo prcpal. Como Q é um deal α- prmo ão-ulo arbtráro de R, todo deal α-prmo ão-ulo de R cotém um deal α-prmo ão-ulo que é prcpal e, pelo Teorema 4.4, cocluímos que R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao. Teorema 4.6 Seja R um ael de fatoração úca Noetherao com um R x; α é um ael de fatoração úca automorfsmo α de ordem fta. Etão, [ ] Noetherao. Demostração. Por defção, sedo o automorfsmo α de ordem fta, exste um úmero tero postvo tal que α = d. Mostraremos que todo deal α-prmo ão-ulo de R cotém um α-deal prcpal ão-ulo e daí, pelo Teorema 4.5, que R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao. Seja P um deal α-prmo ão-ulo arbtráro de R, exstem elemetos prmos p 1,, ps R tas que p1 ps P. Como P é um deal de R e p 1,, ps R segue que p1 psr P e, daí, que 1 1 = 1 = 1 ( 1) ( S ) α p R α p R P. 175

14 Revsta Cêcas Exatas e Naturas, Vol.10 º 2, Jul/Dez 2008 Como P é α-prmo temos ( j), para algum j {,,s} 1. 1 α p R P = 1 Usado o fato que α é um automorfsmo e estededo o Lema 2.11 para -1 elemetos, obtemos que 1 1 Π = 1 = 1 ( j) ( j) α p R = α p R P ou seja, que o deal α-prmo ão ulo P cotém o deal α-prmo ão ulo prcpal I = Π 1 α ( p j) R. Como P é um deal α-prmo ão-ulo arbtráro de um ael 1 de fatoração úca Noetherao R, a hpótese do Teorema 4.5 está satsfeta e, portato, R[ x; α ] é um ael de fatoração úca Noetherao. Referêcas [1] KAPLANSKY, I. Commutatve Rgs, The Uversty of Chcago Press, Chcago, [2] CHATTERS, A. W. No-comuttatve uque factorsato domas, Math. Proc. Cambrge Phlos. Soc., v. 95, p , [3] CHATTERS, A. W. e JORDAN, D. A. No-comuttatve uque factorsato rgs, J. Lodo Math. Soc., v. 33,. 2, p , [4] LAN, T. Y. A frst course ocommutatve rgs, Sprger-Verlag, Berl- Hedelberg-New York, [5] MCCONNELL, J. C. e ROBSON, J. C. No-comuttatve Noethera rgs, Wley-Itercece, New York, [6] GOODEARL, K. R. e WARFIELD R. B. Jr. A troducto to ocommutatve Noethera rgs, 2d ed, Lodo Mathematcal Socety Studets Texts 61, Cambrgde Uversty Press, New York, [7] JATEGAONKAR, A. V. Left Prcpal Ideal Rgs, Lecture Notes Mathematcs, Sprger-Verlag, Hedelberg, [8] CHATTERS, A. W., GILCHRIST M. P. e WILSON, D., Uque factorsato rgs, Proceedgs of the Edburgh Math. Soc., v. 35, p , [9] SMITH, M. K. Egevectors of automorphsms of polyomal rgs two varables, Housto J. Math., v. 10,. 2, p ,