USANDO PROBABILIDADES PARA APROXIMAR FUNÇÕES POR POLINÓMIOS

Transcrição

1 USANDO PROBABILIDADES PARA APROXIMAR FUNÇÕES POR POLINÓMIOS JOEL MOREIRA Resumo. Uma dea cetral em Aálse modera é a de aproxmar objectos potecalmete mal comportados por objectos mas smples. O Teorema de Aproxmação de Weerstrass é um teorema clássco em aálse sobre aproxmação de fuções cotíuas por polómos. Neste artgo apresetamos uma demostração desse teorema, proposta por Berste, lustrado como a Teora das Probabldades permte obter demostrações mas tutvas em aálse. 1. Itrodução Seja f : [, 1] R uma fução cotíua. A fução f pode ser muto mal comportada; por exemplo, pode ão ter dervada em poto ehum. Assm, para ldar com fuções cotíuas geércas é muto útl poder aproxmá-las por fuções mas regulares. E ão podíamos pedr melhor que polómos para fazer este trabalho. Com esta dea, Weerstrass, em 1885, demostrou o segute resultado: Teorema de Weerstrass. Seja f : [, 1] R uma fução cotíua e ε > um úmero real. Etão exste um polómo p(x) de coefcetes reas tal que, para cada x [, 1], temos f(x) p(x) < ε. Este teorema é fudametal porque permte que mutas propredades sobre fuções cotíuas sejam apeas verfcadas para polómos. Vejamos uma aplcação deste teorema. Seja f : [, 1] R uma fução cotíua. Vamos provar que (1) lm x +2 f(x) dx = f(1). Isto verfca-se medatamete para moómos, calculado drectamete o tegral. Como o lado esquerdo é lear em f, temos que a propredade é satsfeta para qualquer polómo. Falmete, para uma fução cotíua arbtrára, aplcado o Teorema de Weerstrass ecotramos, para cada ε >, um polómo g tal que r(x) = g(x) f(x) satsfaz r(x) < ε para todo o x [, 1]. Etão para cada temos 1 x +2 g(x) dx x +2 f(x) dx = 1 x +2 r(x) dx ε x +2 dx e assm, podo obtemos lm g(1) 1 x +2 f(x) dx lm ε x +2 dx ε. Como g(1) f(1) < ε e sto se verfca para todo o ε >, demostrámos (1). Key words ad phrases. Teorema de Weerstrass, Argumeto probablístco. Publcado em Números, crurgas e ós de gravata: 1 aos de Semáro Dagoal o IST, J. P. Boavda, R. P. Carpeter, L. Cruz-Flpe, P. S. Goçalves, E. Grfo, D. Herques, A. R. Pres (edtores), IST Press, 212. Copyrght c 212, IST Press. 1

2 2 JOEL MOREIRA O Teorema de Weerstrass é também mportate em Matemátca Aplcada, pos permte aproxmar valores de fuções cotíuas por polómos, que são mas fáces de armazear a memóra de um computador e de calcular o valor em qualquer poto. Em 1912, Berste ecotrou outra demostração deste teorema, utlzado ferrametas probablístcas. Esta demostração ão só é mas smples que a orgal de Weerstrass como tem a vatagem de permtr ecotrar uma sucessão de polómos que aproxma a fução cotíua. É esta demostração que vou apresetar este artgo, tedo como objectvo prcpal demostrar de forma quase elemetar este teorema fudametal em Aálse e como objectvo secudáro lustrar o facto de que argumetos probablístcos são uma ferrameta poderosa em Aálse modera, que produzem demostrações smples e tutvas (depos de se estar famlarzado com a lguagem das probabldades). Na Secção 2 troduzo as oções de probabldades que vou utlzar, pelo que o letor cofortável com essa área pode saltar essa secção. Na Secção 3 apreseto a demostração do Teorema de Weerstrass ecotrada por Berste. Na Secção 4 exploro as dferetes geeralzações deste teorema. 2. Algus cocetos em Probabldades O elemeto básco da Teora das Probabldades é o espaço amostral, chamemoslhe Ω. Podemos pesar o espaço amostral como o cojuto de todos os possíves estados do uverso um certo tempo futuro (a defção rgorosa é um pouco técca). Um subcojuto A Ω é um acotecmeto e tem assocada uma certa probabldade, P(A). Por exemplo, se se atrar uma moeda ao ar pode sar cara ou coroa. Assm, em metade dos estados de Ω sa cara e a outra metade sa coroa. É claro que ates de laçar a moeda ão sabemos o que va sar, mas podemos cosderar o subcojuto A Ω de todos os estados futuros os quas aquela partcular moeda sau cara, e falar da probabldade P(A) de sar cara. Esta fução P que atrbu uma probabldade a cada acotecmeto tem de satsfazer certas propredades tutvas: P(Ω) = 1; para cada acotecmeto A Ω temos P(A) ; e se A e B são acotecmetos dsjutos (também se podem chamar compatíves, por exemplo sar 2 o laçameto de um dado e sar 3 o mesmo laçameto) temos P(A B) = P(A) + P(B). 1 Uma varável aleatóra é uma fução X : Ω R, por exemplo, o úmero de caras em 1 laçametos de moedas equlbradas, que a cada estado ω Ω atrbu o úmero de caras aqueles partculares 1 laçametos que ocorreram o estado futuro ω. Um lgero abuso de otação muto útl é escrever {X = x} para deotar o cojuto {ω Ω : X(ω) = x} e P(X = x) para deotar P({X = x}). Todas as varáves aleatóras utlzadas este artgo têm um úmero fto de valores possíves (o cojuto X(Ω) é fto). Assm, expressões como a R P(X = a) têm setdo e tora-se mas fácl desevolver a teora. Quado ldamos com varáves aleatóras geras, as defções são teccamete mas elaboradas, mas as deas são as mesmas. Por exemplo, para um subcojuto A R, a segute soma faz setdo: a A P(X = a) = P(X A). A gualdade verfca-se porque os acotecmetos {X = a} são dsjutos dos a dos. A dstrbução de uma varável aleatóra é o cojuto de valores que ela pode tomar, jutamete com as probabldades assocadas. Duas varáves aleatóras dferetes podem ter a mesma dstrbução. Por exemplo, o úmero X de caras o laçameto de 1 moedas e o úmero Y de coroas o laçameto de 1 moedas são 1 Na realdade estes são os axomas de probabldade ftamete adtva, mas todos os espaços este artgo são ftos, pelo que esta costrução é equvalete.

3 USANDO PROBABILIDADES PARA APROXIMAR FUNÇÕES POR POLINÓMIOS 3 varáves aleatóras dferetes. No etato, por smetra, é fácl verfcar que para cada a {, 1,..., 1} temos P(X = a) = P(Y = a). Dos acotecmetos A, B Ω dzem-se depedetes se a formação sobre a ocorrêca de um ão altera a probabldade de o outro ocorrer. Não é dfícl verfcar que este coceto pode ser traduzdo matematcamete da segute maera: os acotecmetos A e B são depedetes se P(A B) = P(A) P(B). Por exemplo, ao trar uma carta ao acaso de um baralho de 4 cartas, os evetos ser paus e ser re são depedetes. Da mesma forma, se X e Y são varáves aleatóras, estas dzem-se depedetes se qualquer formação sobre o valor de X ão altera a dstrbução de Y. Rgorosamete, X e Y são depedetes se os acotecmetos {X A} e {Y B} são depedetes para quasquer A, B R. Por exemplo, ao trar uma carta ao acaso de um baralho de 4 cartas, as varáves ape e úmero são depedetes. Um medda muto útl assocada a uma varável aleatóra X é a sua esperaça (ou valor esperado) E[X], ou méda. A defção deve ser tutva: se X é uma varável aleatóra que toma apeas um úmero fto de valores dferetes, defmos E[X] = a R a P(X = a). Repare-se que as parcelas só ão são zero um úmero fto de vezes, pelo que a soma faz setdo. Por exemplo, se X é o úmero de caras o laçameto de duas moedas, E[X] = P(X = ) + 1 P(X = 1) + 2 P(X = 2) = = 1. Uma propredade fudametal da esperaça é ser lear, ou seja, se X e Y são varáves aleatóras e α é um úmero real, temos E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] e E[αX] = α E[X]. Supohamos que uma varável aleatóra X : Ω R é postva e lmtada,.e., exste um M tal que P( X M) = 1. Etão, para cada ε ], M[ temos E[X] = a R a P(X = a) = a<ε a P(X = a) + a ε a P(X = a). Na prmera soma temos a < ε e a seguda podemos assumr que a M (porque se a > M temos P(X = a) = ). Assm, obtemos a estmatva (2) E[X] ε P(X ε) + M P(X > ε). É fácl ver que x + y x + y, facto a que por vezes se chama desgualdade tragular. Podemos geeralzar este facto para somas ftas e, utlzado este prcípo, obtemos, para qualquer varável aleatóra X : Ω R, E[X] = a P(X = a) a P(X = a) = P(X = a) = E[ X ]. a R a R a R a Temos assm a desgualdade tragular para varáves aleatóras: E[X] E[ X ]. Falmete, apresetamos a clássca desgualdade de Markov. Não a vamos utlzar drectamete, mas esta desgualdade faclta a prova da desgualdade de Chebyshev. Seja X uma varável aleatóra que só toma valores ão egatvos. Seja Y a varável aleatóra defda por Y (ω) = λ se X(ω) > λ e Y (ω) = caso cotráro. Assm, claramete Y (ω) X(ω) para todo o ω Ω e portato E[Y ] E[X]. Por outro lado, E[Y ] = P(Y = ) + λ P(Y = λ) = λ P(X > λ), ou seja, P(X > λ) = E[Y ]/λ. Falmete, cocluímos que (3) P(X > λ) E[X] λ. Outra medda muto mportate assocada a uma varável aleatóra é a sua varâca, que os dz quão cocetrada está a varável aleatóra em volta da sua

4 4 JOEL MOREIRA esperaça. Ou seja, dá-os uma oção de quão grade é X E[X]. Por questões téccas, a varâca defe-se utlzado o quadrado dessa varável aleatóra 2 e assm Var(X) = E[(X E[X]) 2 ]. A varâca pode (e va) ser usada para estmar a probabldade de uma varável aleatóra estar perto da méda, através da desgualdade de Chebyshev. Seja X uma varável aleatóra e seja Y = (X E[X]) 2. Para cada λ >, podemos aplcar a desgualdade de Markov (3) a Y e fcamos com P(Y > λ) < E[Y ]/λ. Defmos δ = λ e assm temos que os acotecmetos {Y > λ} e { X E[X] > δ} são o mesmo, logo têm a mesma probabldade. Para além dsso, E[Y ] = Var(X). Podo tudo juto, temos a desgualdade de Chebyshev: (4) P( X E[X] > δ) < Var(X) δ 2. Para aplcar a desgualdade de Chebyshev, é ecessáro calcular a varâca. Sejam X e Y duas varáves aleatóras. Ao cotráro do que podíamos desejar, em sempre Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Cotudo, se as varáves forem depedetes esta relação é válda. Usado a defção e a leardade da esperaça temos Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 E[(X E[X])(Y E[Y ])]. Quado X e Y são depedetes temos: E[XY ] = a P(XY = a) = xy P(X = x) P(Y = y) a R x,y R = x P(X = x) y P(Y = y) = E[X] E[Y ]. x R y R Aplcado às varáves X E[X] e Y E[Y ], que são também depedetes, cocluímos que Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Por outro lado, é claro pela defção que, se α é um úmero real e X uma varável aleatóra, etão Var(αX) = α 2 Var(X). 3. Demostração do Teorema de Weerstrass A dea geral da demostração é costrur, para cada x [, 1], uma varável aleatóra S x, que tem uma grade probabldade de estar muto perto de f(x). Etão a esperaça E[S x ] também tem de estar perto de f(x). Se cosegurmos costrur S x de forma que E[S x ] seja um polómo em x, provamos o teorema. A dea crucal é que, se S x = f(b x ) ode B x é uma varável aleatóra que tem uma grade probabldade de estar muto perto de x, etão S x va estar perto de f(x), e se E[B x ] é um polómo em x e os possíves valores de B x ão depedem de x, etão E[S x ] é também um polómo em x. Temos o etato de quatfcar a oção de estar muto perto, para provarmos que o polómo E[S x ] está de facto próxmo de f o setdo do teorema de Weerstrass. Repare-se que, usado esta estratéga, todo o trabalho está em costrur as varáves B x, que são depedetes de f. Chamamos a ateção para o facto de estarmos a ldar com varáves aleatóras que depedem de x, por exemplo, para cada parâmetro x [, 1] temos a varável aleatóra S x, mas quado falamos de probabldade, esperaça, etc., cosderamos x fxo e S x como uma fução do espaço amostral Ω para R. Nesse caso, a probabldade, esperaça, etc., será um úmero que depede de x (mas ão de ω Ω). Para cada x [, 1] e k N defmos a varável aleatóra b x,k por P (b x,k = 1) = x e P (b x,k = ) = 1 x, e assummos que estas varáves são todas depedetes. 3 2 Assm, a varâca é o equvalete da orma L 2 da varável aleatóra. A prcpal vatagem em relação à orma L 1 é o produto tero, que tora L 2 um espaço de Hlbert. 3 Não é medato que exste um espaço amostral Ω e varáves aleatóras bx,k com as propredades preteddas. No etato, pode-se provar que cosegumos sempre ecotrar varáves aleatóras

5 USANDO PROBABILIDADES PARA APROXIMAR FUNÇÕES POR POLINÓMIOS 5 Repare-se que E[b x,k ] = P(b x, = ) + 1 P(b x, = 1) = x. Agora, seja B,x = 1 k=1 b x,k. Temos E[B,x ] = 1 k=1 E[b x,k] = x. Poderíamos agora aplcar a le dos grades úmeros, que este caso os dz que, para sufcetemete grade, B,x tem uma grade probabldade de estar muto perto de x. No etato, aplcado este resultado drectamete temos que depede de x, e ós precsamos de ecotrar algum que fucoe para todo o x [, 1], ou seja, temos de provar que a covergêca de B x, para x é uforme. A dea é aplcar a desgualdade de Chebyshev. Para sso temos de calcular a varâca de B x,. Começamos com a varâca de b x, : Var(b x, ) = E[(b x, E[b x, ]) 2 ] = E[b 2 x, 2xb x, + x 2 ] = x 2 P(b x, = ) + (1 2x + x 2 ) P(b x, = 1) = x 2 (1 x) + (1 x) 2 x = x(1 x). Como as varáves aleatóras b x, são depedetes, podemos calcular a varâca de B x, drectamete: ( 1 ) Var(B x, ) = Var b x,k = 1 x(1 x) 2 Var(b x, ) =. k=1 Repare-se que, para x [, 1], temos x(1 x) < 1, portato Var(B x, ) < 1/. Esta estmatva ão depede de x. Utlzado a desgualdade de Chebyshev (4) temos, para cada δ > : P( B x, x > δ) Var(B x,) δ 2 < 1 δ 2. Assm, escolhedo N > 1/δ 3 obtemos, para todo o > N e todo o x [, 1]: k=1 (5) P( B x, x > δ) < δ. Seja agora f a fução que estamos a tetar aproxmar. Assummos que f é cotíua em [, 1]. Como [, 1] é um tervalo fechado e lmtado, o teorema de Hee Borel dz-os que f é uformemete cotíua. Isto quer dzer que, para cada ε >, exste um δ > tal que, para quasquer potos x, y [, 1] a uma dstâca meor que δ, temos f(x) f(y) < ε. Podemos ada assumr que δ < ε, pos claramete dmur o δ ão destró a codção pretedda. Podemos escrever sto de outra forma: f(x) f(y) > ε x y > δ. Jutado esta observação com a equação (5) temos, para todo o sufcetemete grade, P( f(b x, ) f(x) > ε) P( B x, x > δ) < δ < ε. Seja agora tal que esta estmatva é satsfeta e seja B x = B x, e S x = f(b x ) Temos que E[S x ] é um polómo: E[S x ] = f ( ( ) ) P Bx, = = f ( ) ( ) x (1 x). = Agora só falta coclur que de facto E[S x ] está próxmo de f. Como f é uma fução cotíua o tervalo fechado [, 1], é lmtada. Seja M um majorate de f(x). Assm P( S x f(x) < 2M) = 1 e podemos aplcar a estmatva (2) para obter E[ S x f(x) ] ε P( S x f(x) ε) + 2M P( S x f(x) > ε) ε(1 + 2M). Assm, pela desgualdade tragular, cocluímos falmete que E[S x ] f(x) = E[S x f(x)] E[ S x f(x) ] < ε(1 + 2M). depedetes com qualquer dstrbução. É esse resultado que tora argumetos probablístcos tão flexíves. =

6 6 JOEL MOREIRA A aproxmação a que chegámos ão fo bem ε, mas cosegumos um polómo que está à dstâca ε(1 + 2M) de f para todo o ε >, o que é sufcete para deduzr o teorema. 4. Geeralzações do Teorema Notemos que esta demostração dá uma descrção explícta dos polómos que aproxmam f, omeadamete os polómos p (x) = E[S x ]. Temos ( ) p (x) = E[S x ] = x (1 x) f ( ). = Estes polómos são chamados polómos de Berste de f. Provámos que p (x) f(x) < ε para todo o x [, 1] se for sufcetemete grade. Para determarmos qual o mímo, precsamos de saber o máxmo M de f e descobrr δ < ε tal que, se x y < δ, etão f(x) f(y) < ε/(1 + 2M). Com esses dados, qualquer > δ 3 satsfaz a codção desejada. Este teorema é apeas um caso smples de um teorema mas geral. Algumas geeralzações termédas obtêm-se faclmete; por exemplo, ão é dfícl verfcar que o teorema de Weerstrass se matém váldo para fuções cotíuas defdas em qualquer tervalo fechado e lmtado de R, [a, b], através da homoteta x (x a)/(b a). Por outro lado, o que há de especal sobre polómos? Em 1937, Stoe propôs uma geeralzação do Teorema de Weerstrass a qual, em vez de polómos, podemos aproxmar fuções cotíuas por outras álgebras de fuções. Deotamos por C(X) o cojuto de fuções cotíuas sobre o cojuto X. Um subcojuto A C(X) é uma álgebra se for um espaço vectoral (fechado para a soma e multplcação por escalares) que é ada fechado para o produto (ou seja, se f, g A, etão f g A). Se alguma fução costate ão ula pertecer a A, todas as costates estão em A (por multplcação por escalares) e dz-se que A cotém costates. Se para cada par de potos dsttos x, y X exstr uma fução f A tal que f(x) f(y), dzemos que A separa os potos de X. Não é dfícl verfcar que o cojuto dos polómos em [, 1] é uma álgebra que cotém costates e separa os potos de [, 1]. Na geeralzação do teorema de Weerstrass proposta por Stoe podemos substtur os polómos por qualquer álgebra que coteha costates e separe potos. Para além dsso, em vez de tervalos fechados em R, cotempla qualquer espaço de Hausdorff compacto (por exemplo, cojutos fechados e lmtados em R d ou em C d ). Se X é um espaço de Hausdorff compacto e A C(X) uma álgebra de fuções que cotém costates e separa potos, etão para toda a fução f C(X) e todo o ε > exste uma fução g A tal que, para todo o x X, temos f(x) g(x) < ε. É esta geeralzação que é mas utlzada em Matemátca Pura, com aplcações por exemplo em Aálse Harmóca em grupos abelaos compactos, ao garatr que a álgebra gerada pelos caracteres é uformemete desa o espaço das fuções cotíuas. Bblografa Exstem váras fotes ode podem obter mas formações sobre os assutos dscutdos este artgo. Um boa trodução em teora das probabldades é [1] ou [2]. Os teoremas de cálculo utlzados podem ser ecotrados em qualquer trodução a cálculo, por exemplo em [3]. Sobre o Teorema de Weerstrass e suas geeralzações exste uma boa dscussão em [4].

7 USANDO PROBABILIDADES PARA APROXIMAR FUNÇÕES POR POLINÓMIOS 7 Referêcas [1] Charles Grstead e J. Laure Sell, Itroducto to Probablty, secod edto, Amerca Mathematcal Socety, [2] Esmeralda Goçalves e Nazaré Medes Lopes, Probabldades: Prcípos teórcos, Escolar Edtora, 2. [3] Mchael Spvak, Calculus, fourth edto, Publsh or Persh, 28. [4] Walter Rud, Fuctoal Aalyss, McGraw-Hll, 1973.