ESTATÍSTICA APLICADA AO ESPECTRO DE UM GRAFO

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1 ESTATÍSTICA APLICADA AO ESPECTRO DE UM GRAFO Rachel Abrahão Rbero Escola Nacoal de Cêcas Estatístcas, ENCE/IBGE Carla Slva Olvera Escola Nacoal de Cêcas Estatístcas, ENCE/IBGE Resumo Estudamos o comportameto dos autovalores da matrz de adjacêca dos grafos k-regulares, das árvores e de algus ucíclcos, uma vez que essas famílas de grafos ão possuem espectros cohecdos. Utlzado méda e varâca de uma varável aleatóra, cosegumos uma lmtação para o percetual mímo de autovalores em determados tervalos da reta real, tervalos esses, lmtados em fução do úmero de vértces ou do grau máxmo do grafo. Palavras-chave: espectro de um grafo, méda e varâca Abstract We have studed the behavor of the egevalues of the adjacecy matrx of the k-regular graphs, the trees ad some ucycles sce these famles of graphs do t have spectrum kow. Usg average ad varace of a radom varable, we get a lmtato for the mmum percetual the egevalues determed tervals of a real le. These tervals are lmted due to the umber of vertces or the maxmum degree of a graph. Key words: spectrum of a graph, average ad varace [833]

2 Itrodução A fudametação teórca da Teora Espectral dos Grafos começou por volta de 950, baseado-se prcpalmete a aplcação de téccas algébrcas em grafos para trasformar propredades de grafos em propredades algébrcas e utlzar resultados e métodos da Álgebra para deduzr teoremas sobre grafos. Este efoque fo proposto explctamete por Hoffma (969) embora já tvesse sdo cado os artgos de We (95) e Lhtebaum (956). Os lvros de Bggs (993), Cvetkovc et al. (997) e Godsl et al. (00) são os mas recetes esta área. Algus parâmetros da Teora Espectral dos Grafos têm cotrbuído muto o fortalecmeto da coexão desta área com outras áreas da Matemátca e da Cêca da Computação, como por exemplo podemos ctar os trabalhos de Chug (994) e Noga Alo et al (000). Neste trabalho, utlzamos cohecmetos da área da Estatístca e Teora das Probabldades para ecotrarmos lmtates para os autovalores de três famílas de grafos: k- regulares, ucíclcos com cclo de comprmeto par e árvores. Tetamos, com sso, estabelecer uma coexão produtva etre ramos da Matemátca Aplcada. Assm, camos a próxma seção com cocetos báscos e resultados da lteratura sobre Teora Espectral dos Grafos e apresetamos a seção 3 os cocetos estatístcos que aqu serão utlzados, para, a seção segute, apresetarmos algus resultados relacoado essas duas teoras. Por fm, apresetamos as cosderações fas. Cocetos e resultados da lteratura sobre Teora Espectral dos Grafos Cosderemos G = (V,E) um grafo smples, ão oretado, sem laços ou arestas múltplas, tedo V como o cojuto de vértces de cardaldade V(G) = e E como o cojuto ( ) de arestas de cardaldade E(G) = m, ode 0 m. Cada aresta de G é deotada por e = ( v, w), tal que v, w V são seus vértces termas, deomados vértces adjacetes e dzse que e cde em v e w ou que e é uma aresta cdete em v e em w. O grau de v, d(v), é o úmero de arestas cdetes em v e o grau médo de G, d( G) respectvamete, por δ ( G) = m d( v ) e Δ( G) max d( v ) máxmo do grafo G. v V = v V ( v ) d = =. Deota-se,, os graus mímo e A matrz quadrada smétrca de ordem, A(G)=[a j ], para a qual a j =, se ( v, vk ) E e a j = 0, se ( v vk ) E de G é dado por p G ( λ) = det ( A λi ), ode λ λ λ λ A(G), sto é, as raízes de p ( λ),, é deomada matrz de adjacêca de G. O polômo característco... são os autovalores de G, as quas são deomadas autovalores de G. O maor autovalor deste polômo, λ, é deomado ídce do grafo e deotado por d(g). O espectro de G, spect G, é defdo como sedo uma matrz x s cuja prmera lha é costtuída pelos autovalores dsttos de A(G), ordeados em ordem ão-crescete e a seguda lha por suas multplcdades algébrcas(úmero de vezes que o autovalor é raz do polômo característco). Assm se ( ) m λ são as multplcdades algébrcas, o espectro de G é dado por: A λ spect G = m A s ( λ ) K m ( λ ). K λ A s [834]

3 Exemplo.: Cosdere o grafo G da Fgura.. Fgura.: grafo G Sua matrz de adjacêca é A ( G) =. λ = O polômo característco de G é dado por ( ) λ λ λ p G. As raízes deste polômo são λ =,566; λ = 0, λ 3 = - e λ 4 = -,566, e coseqüetemete o ídce do grafo é, d G =,56 0,566,566 e seu espectro dado por: spect G =. Na lteratura exstem város resultados sobre o espectro de um grafo. Algus desses resultados mostram que se pode obter formações sobre a estrutura do grafo em fução dos seus autovalores. A segur eucamos algus resultados que podem ser ecotrados em Bggs(993), Cvetkovc et al. (995) e Godsl et al. (00). Teorema.: Seja G um grafo com seqüêca decrescete de graus [ d ( v ),, d( )] médo d(g). Etão δ ( G) d( G) d( G) Δ( G). v K e grau Teorema.: Se G é um grafo coexo k-regular, etão k é um autovalor de G com multplcdade algébrca gual a. Para certas classes de grafos são cohecdos os seus espectros. Detre eles tem-se: O espectro do grafo completo K é spect K = ; [835]

4 Para ímpar, o espectro de C é para par, é ( ) π π cos K cos spect C = e K ( ) π π cos K cos spect C =. K Teorema.3: G é coexo k-regular se, e somete se, λ k. Teorema.4: Seja G um grafo coexo. Etão as segutes afrmações são equvaletes - G é bpartdo; - se λ é um autovalor de G etão λ também é um autovalor de G com a mesma multplcdade algébrca que a de λ. = = Como coseqüêca do Teorema.4, o grafo bpartdo completo K a, b tem seu espectro dado por: spect ab 0 ab K a, b =. a + b Covém lembrar que toda árvore e todo grafo ucíclco com cclo de comprmeto par são grafos bpartdo e portato seus autovalores são smétrcos. Coseqüetemete pelo Teorema., coclu-se que seus autovalores satsfazem a segute desgualdade: Δ λ Δ,,. De acordo com Cvetkovc et al. (990), Hog (993) e Stevaovc (003) podemos ecotrar outros lmtates superores e ferores para o ídce de um grafo como observamos os resultados a segur. Teorema.5: Se G é um grafo coexo com vértces e m arestas etão λ ( G) m. A gualdade é atgda se, e somete se, G é a estrela K, ou o grafo completo K. π Teorema.6: Se G é uma árvore com vértces etão cos λ ( G). O lmte + feror é atgdo se, e somete se, G é o camho P e o lmte superor é atgdo se, e somete se, G é a estrela K,. Teorema.7: Seja G uma árvore com grau máxmo Δ. Etão λ ( G) Δ. + [836]

5 3 Noções báscas do Cálculo das Probabldades Ates de qualquer cosa, cosderemos, de acordo com Meyer(983), a defção de modelo determístco como sedo um modelo que estpula que as codções, sob as quas um expermeto seja executado, determam o resultado do expermeto. Em cotraposção a ele está o modelo ão-determístco ou probablístco ou, ada, aleatóro, que caracterza um modelo que, depedete das codções, ão determa resultados prevamete ou, em outras palavras, ão admte resultados ates da realzação do expermeto. Aos feômeos para os quas modelos ão-determístcos são aproprados, dá-se o ome de expermeto aleatóro. Como exemplo, podemos ctar o laçameto de um dado para a observação do úmero mostrado a face de cma (expermeto ), ou o laçameto de uma moeda para a observação da face obtda (expermeto ). Ao cojuto de todos os possíves resultados do expermeto dá-se o ome de espaço amostral. Defção 3.: Para cada expermeto ε, defe-se o espaço amostral como o cojuto de todos os resultados possíves de ε. Geralmete represeta-se esse cojuto por S. S para o expermeto, = para o expermeto, também já ctado. É mportate lembrar que ao descrevermos o espaço amostral de um expermeto, ão especfcamos que um resultado dvdual seja ecessaramete um úmero. Esse é o caso do expermeto, cujo espaço amostral é costtuído por dos omes, que represetam, cada qual, uma das faces da moeda. Etretato, em mutas stuações expermetas, há teresse a mesuração de cada resultado e o seu regstro como um úmero. A partr dsso, segue uma das defções de maor relevâca o cotexto do trabalho. Como exemplo podemos ctar o espaço amostral = {,,3,4,5,6} ctado aterormete, ou o espaço amostral S { Cara, Coroa} Defção 3.: Sejam ε um expermeto e S o espaço amostral assocado ao expermeto. Uma fução X, que assoce a cada elemeto s S um úmero real, X(s), é deomada varável aleatóra. Para lustrar a defção acma, cosderemos ovamete o expermeto. Uma fução X que assoce, por exemplo, a ocorrêca de cara ao úmero 0 e a ocorrêca de coroa ao úmero é uma varável aleatóra. Se, todava, o resultado s do espaço amostral já costtur uma característca umérca, assm como acotece o expermeto, basta tomar a fução X como sedo a fução detdade para que se garata a exstêca da varável aleatóra. Defção 3.3: Seja X uma varável aleatóra defda a partr de uma experêca aleatóra ε. Dzemos que X é uma varável aleatóra do tpo dscreto se, e somete, se o seu cotradomío é um cojuto fto ou fto mas umerável de potos. Defção 3.4: Seja X uma varável aleatóra do tpo dscreto e seja x um poto geérco de seu domío, tal que =,, K,. A cada x assocaremos um úmero p = P ( X = x ) deomado probabldade de x, satsfazedo as segutes codções: 0 P = ; - ( X x ) [837]

6 - P ( X = ) = ; = A probabldade p P ( X = ) x = para =,, K,, defe o que chamamos de fução de x probabldade da varável aleatóra X. Não é dfícl coclur que, tato o expermeto quato o expermeto, defem varáves aleatóras do tpo dscreto. Sedo assm, tomemos o prmero deles como exemplo para lustrar a Defção 3.4. Seja X a varável aleatóra que se detfca ao úmero obtdo a face de cma o laçameto de um dado. Etão, P ( X = x ) =, x {,,3,4,5,6}. 6 Nesse exemplo, as probabldades são guas para todo x, vsto que todas as faces têm a mesma chace de caírem voltadas para cma. Além dsso, é trval mostrar que as duas codções assocadas à Defção 3.4 são satsfetas. Mutas vezes, o etato, determar essas probabldades ão é algo tão smples assm. Em mutos casos, dversos outros fatores devem ser levados em cosderação (como, por exemplo, se o dado é um dado tradcoal, se ele está vcado ou ão, etc.). O mportate, porém, é que a defção de fução de probabldade fque clara, pos é ela que os leva a um outro coceto: fução de dstrbução. A fução de dstrbução de uma varável aleatóra X é defda pela probabldade do eveto ( X x) e, para calculá-la o poto x, devemos somar as probabldades dos potos que tem probabldade ão ula o tervalo ( ; x ], como mecoado a defção abaxo. Defção 3.5: Seja X uma varável aleatóra com fução de probabldade ( X ) de dstrbução de probabldades de X, o poto x, é dada por: F ( X ) P( X = x ), x R. = x x P =. A fução Como exemplo, podemos calcular a fução de dstrbução da varável defda a partr do expermeto : seja X a varável aleatóra que se detfca ao úmero obtdo a face de cma x o laçameto de um dado. Etão, F ( X ) =, x {,,3,4,5,6}. Ou seja, a probabldade de 6 X ser meor ou gual a 4, por exemplo, é gual ao somatóro das probabldades de X ser gual a, ser gual a, ser gual a 3 e ser gual a 4. Como 4 P ( X = ) = P ( X = ) = P ( X = 3) = P ( X = 4) =, temos etão que F ( X ) =, para x = Dadas as defções de varável aleatóra dscreta, fução de probabldade e fução de dstrbução, partmos agora para dos outros mportates cocetos: méda e varâca de uma varável aleatóra. É mportate frsar que as defções de méda e varâca apresetadas a segur são exclusvas de varáves aleatóras dscretas. A méda de uma varável aleatóra, também deomada de valor esperado ou expectâca é cohecda como uma medda de posção cetral por forecer um valor que represete bem o comportameto de todos os outros valores assumdos pela varável aleatóra e é defda por: E ( X ) = x P ( X = x ) ode X é uma varável aleatóra dscreta e x é cada possível resultado de X. = x [838]

7 Jutamete com o coceto de méda, vem o coceto de varâca de uma varável aleatóra, que se caracterza por ser uma medda de dspersão que dca quão loge, em geral, os valores assumdos pela varável estão da sua méda. A varâca é defda por: ( X ) [ x E( X )] P( X x ) VAR = = = ode X é uma varável aleatóra dscreta, E(X) é a méda de X e x é cada possível resultado de X. A raz quadrada postva da varâca é cohecda como desvo padrão e deotada por DP(X). Eteddos os cocetos de méda e varâca de uma varável aleatóra dscreta, falzamos essa seção com a apresetação de algus resultados que terão grade utldade o decorrer do trabalho. Proposção 3.6: Seja X uma varável aleatóra dscreta que pode assumr qualquer valor x, =, K,, com gual probabldade. Se x z, =, K,, e E ( X ) = 0 etão, ( X ) z. VAR Demostração: Seja X uma varável aleatóra dscreta que pode assumr qualquer valor x, =, K,, com gual probabldade. Supohamos que z, =, K,, e E ( X ) = 0. Etão, VAR z = = = VAR X z Logo, ( ). ( X ) x = ( x + x + K + x ) ( z + K + z ) = z. Teorema 3.7: Seja X uma varável aleatóra com fução de dstrbução F(X) e seja g(x) uma fução ão egatva da varável aleatóra X. Se exstr E{ g( X )}, etão para todo k > 0, arbtráro, é válda a segute desgualdade: P ( g( X ) k) E { g( X )}. Exste um caso partcular do Teorema 3.7, que restrge a fução g(x) como sedo g( X ) = { X E( X )}. De acordo com Meyer (983), temos que E { X E( X )} = VAR( X ). Assm, a desgualdade do Teorema 3.7, aplcada este caso, VAR produz: {( ( )) } ( X ) VAR P X E X k ou { ( ) } ( X ) P X E X k. Fazedose k = ε DP( X ), obtemos a fórmula da Desgualdade de Chebyshev, k k P { X E( X ) ε DP( X )}, que estabelece um valor máxmo para a probabldade da ε varável aleatóra X dferr de sua méda por, o mímo, um úmero ε de vezes do seu desvo padrão. k x A defção de valor esperado de uma fução de uma varável aleatóra ão fo defda aterormete por questão de prordades. Isso, o etato, ão afetará a compreesão do trabalho. De qualquer maera, em caso de curosdade, ela pode ser ecotrada em MEYER (983). [839]

8 Defção 3.8: Seja X uma varável aleatóra com fução de dstrbução F(X), tal que E(X) = μ e Var(x) = σ ². A Desgualdade de Chebyshev é defda como: P { X μ εσ }. ε 4 Aplcações dos cocetos Estatístcos para aálse do comportameto dos autovalores de um grafo Cosderemos, a partr de agora, o espectro de um grafo com vértces apeas como o cojuto de todos os autovalores de sua matrz de adjacêca. Cosderemos também a varável aleatóra X como sedo a varável que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores desse espectro. Temos, etão, que o espaço amostral assocado a esse expermeto aleatóro é costtuído pelos autovalores cotdos o espectro do grafo, ou seja, S = { λ, λ, λ3, K, λ }. Assm, se tora fácl perceber que a varável X se caracterza por ser uma varável aleatóra dscreta, uma vez que o cojuto de valores que X pode assumr tem cardaldade, ou seja, é um cojuto fto de potos. É mportate lembrar também que a varável aleatóra X se justfca devdo à exstêca da fução X (o caso, a fução detdade) que assoca cada autovalor cotdo o espectro a ele mesmo, uma vez que os autovalores já costtuem característcas umércas. Além dsso, ão podemos os esquecer que a varável aleatóra X está sedo defda a partr de uma experêca aleatóra. Sedo assm, as chaces de um autovalor ser selecoado detre todos os outros são, esse caso, as mesmas para qualquer autovalor cotdo o espectro. Ou seja, como estamos cosderado X como a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre autovalores, temos etão que P ( X = λ ) =,, =, K,. Tedo sso em vsta, segumos adate com algus resultados que obtvemos ao relacoar a Teora Espectral dos Grafos com a Estatístca e a Teora das Probabldades. Proposção 4.: Sejam G um grafo com vértces e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Etão, E X =0 ( ). Demostração: Como a méda da varável aleatóra dscreta X é dada por: E( X ) = λ P ( X = λ ), tem-se que E( X ) = λ. O somatóro de λ, porém, é ada = = meos que o somatóro dos autovalores da matrz de adjacêca de G. De acordo com Hor (985), temos que a soma dos autovalores de uma matrz é sempre equvalete ao traço da matrz (soma dos elemetos da dagoal prcpal). Sedo assm, como o traço da matrz de adjacêca 0 de G é sempre gual a zero, temos etão que E ( X ) = = 0. Proposção 4.: Sejam G um grafo k-regular com vértces e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Etão, VAR ( X ) = k. Demostração: Como a varâca da varável aleatóra dscreta X é dada por: VAR ( X ) [ λ E( X )] P( X = λ ) = =. [840]

9 e pela Proposção 4., E ( X ) =0, temos que VAR( X ) = k VAR X = =. cocluímos etão que ( ) k = λ. Usado o Teorema.3, Proposção 4.3: Sejam G um grafo ucíclco com cclo de comprmeto par com vértces e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Etão, VAR ( X ) +. Demostração: De acordo com Boavetura (00), temos que m =, ode m é o úmero de arestas de G. Além dsso, pelos Teoremas.4 e.5 temos que + λ +, =, K,. Como E ( X ) =0, temos, pela Proposção 3.6, que ( X ) ( + ) = +. VAR Logo, VAR ( X ) +. Proposção 4.4: Sejam G uma árvore com vértces e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Etão, VAR X ( ). Demostração: De acordo com Boavetura (00) temos que m =, ode m é o úmero de arestas de G. Além dsso, pelos Teoremas.4 e.6 temos que λ, =, K,. Como E ( X ) =0, temos, pela Proposção 3.6, que ( X ) ( ) =. VAR Logo, VAR ( X ). Proposção 4.5: Sejam G uma árvore com vértces e grau máxmo Δ e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de VAR X 4 Δ. adjacêca de G. Etão, ( ) ( ) Demostração: Pelos Teoremas.4 e.7 tem-se que Δ λ Δ, =, K,. Como E ( X ) =0, temos, pela Proposção 3.6, que ( X ) ( Δ ) = 4 ( Δ ) VAR. Logo, ( X ) 4 ( Δ ) VAR. Como é possível otar, o caso das árvores exstem dos lmtes para a varâca: um em fução do úmero de vértces e outro em fução do grau máxmo do grafo. Isso acotece devdo à exstêca de dos lmtes dferetes para o ídce de uma árvore, o que é um fator postvo, uma vez que um dos lmtes provavelmete será meor que o outro, possbltado assm a obteção de um valor mas aproxmado do real valor da varâca de X. Agora, apresetados os resultados ecessáros, partmos para a aálse do comportameto do espectro das três famílas de grafos ctadas aterormete: k-regulares, ucíclcos com cclo de comprmeto par e árvores. Para sso, será utlzada em todos os casos a Desgualdade de Chebyshev, apresetada a seção 3. - Sejam G um grafo coexo k-regular com vértces e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Pelas Proposções 4. e 4., E ( X ) = 0 e VAR ( X ) = k. Usado a Desgualdade de Chebyshev, temos P { X 0 ε k }. Assm, para ε = : P { X k } ; para ε [84]

10 ε = : P { X k } ; para ε = 3 : P { X 3 k } ; para ε = 5 : 4 9 P { X 5 k } ; para ε = 0 : P { X 0 k }. Assm, a Desgualdade de 5 00 Chebyshev, os permte afrmar que, um grafo k-regular qualquer com vértces: Pelo meos 50% dos autovalores se ecotram etre k e k ; Pelo meos 75% dos autovalores se ecotram etre k e k ; Pelo meos 88% dos autovalores se ecotram etre 3 k e 3 k ; Pelo meos 96% dos autovalores se ecotram etre 5 k e 5 k ; Pelo meos 99% dos autovalores se ecotram etre 0 k e 0 k. - Sejam G um grafo ucíclco com um cclo de comprmeto par com vértces e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Pelas Proposções 4. e 4.3 E ( X ) = 0 e VAR ( X ) +. Usado a Desgualdade de Chebyshev, temos P { X 0 ε + }. Assm, para ε = : ε P { X ( + ) } ; para ε = : P { X + } ; para ε = 3 : 4 P { X 3 + } ; para ε = 5 : P { X 5 + } ; para ε = 0 : 9 5 P { X 0 + }. Assm, a Desgualdade de Chebyshev, os permte afrmar que, 00 um grafo ucíclco de comprmeto par com vértces: Pelo meos 50% dos autovalores se ecotram etre ( +) e ( +) ; Pelo meos 75% dos autovalores se ecotram etre + e +; Pelo meos 88% dos autovalores se ecotram etre 3 + e 3 +; Pelo meos 96% dos autovalores se ecotram etre 5 + e 5 +; Pelo meos 99% dos autovalores se ecotram etre 0 + e Sejam G uma árvore com vértces e grau máxmo Δ e X a varável aleatóra que se detfca à seleção ao acaso de um autovalor detre os autovalores da matrz de adjacêca de G. Pelas Proposções 4., 4.3 e 4.4, temos que E ( X ) = 0, VAR ( X ) e VAR ( X ) 4( Δ ).Usado a Desgualdade de Chebyshev, temos: (3.) em fução do úmero de vértces, P { X 0 ε }. Assm, para ε = : ε P { X ( ) } ; para ε = : P { X } ; para ε = 3 : 4 P { X 3 } ; para ε = 5 : P { X 5 } ; para ε = 0 : 9 5 [84]

11 { X 0 }. P Assm, a Desgualdade de Chebyshev, os permte afrmar que, 00 uma árvore com vértces: Pelo meos 50% dos autovalores se ecotram etre ( ) e ( ) ; Pelo meos 75% dos autovalores se ecotram etre e ; Pelo meos 88% dos autovalores se ecotram etre 3 e 3 ; Pelo meos 96% dos autovalores se ecotram etre 5 e 5 ; Pelo meos 99% dos autovalores se ecotram etre 0 e 0 ;. { }. P Assm, para ε = : ε P { X 8( Δ ) } ; para ε = : P { X 4( Δ ) } ; para ε = 3 : 4 P { X 3 4( Δ ) } ; para ε = 5 : P { X 5 4( Δ ) } ; para ε = 0 : 9 5 P { X 0 4( Δ ) }. Assm, a Desgualdade de Chebyshev, os permte afrmar 00 que, uma árvore com grau máxmo Δ : (3.) - em fução do grau máxmo, X 0 ε 4( Δ ) Pelo meos 50% dos autovalores se ecotram etre 8( Δ ) e 8( Δ ) ; Pelo meos 75% dos autovalores se ecotram etre 4( Δ ) e 4( Δ ); Pelo meos 88% dos autovalores se ecotram etre 3 4( Δ ) e 3 4( Δ ); Pelo meos 96% dos autovalores se ecotram etre 5 4( Δ ) e 5 4( Δ ); Pelo meos 99% dos autovalores se ecotram etre 0 4( Δ ) e 0 4( ) Δ. Mas uma vez, é mportate lembrar que o caso das árvores, que exstem duas possbldades de lmte para a varâca, o meor valor ecotrado é o que merece maor ateção, pos é ele que forecerá um tervalo mas reduzdo para os autovalores. 5 Cosderações Fas Lgações etre Teora Espectral dos Grafos e outras áreas estão surgdo com mas freqüêca. Neste trabalho, uma pequea lgação com a Estatístca e Teora das Probabldades fo apresetada, possbltado ecotrar lmtates para os autovalores de três famílas de grafos. Com sso, pretedemos avaçar esses estudos em outras famílas de grafos e também utlzar outras matrzes a eles assocadas. Agradecmetos: Agradecemos ao IBGE por facar esta pesqusa. [843]

12 6 Referêcas Alo, N. e Sudakov, B. (000), Bpartte subgraphs ad the smallest egevalue, Combatorcs, Probablty ad Computg, 9, -. Bggs, N., Algebrac Graph Theory, ed. Great Brta, Cambrge Uversty Press, 993. Boavetura Netto, P. O., Grafos: Teora, Modelos, Algortmos, Edtora Edgard Blucher, LTDA, 00. Chug, F. R. K. (994), Spectral Graph Theory, CBMS Coferece o Recet Advaces Spectral Graph Theory, umber 9. Cvetkovc, D. e Rowlso, P. (990), The largest egevalue of a graph: a survey, Lear ad Multlear Algebra, 8, Cvetkovc, D., Rowlso, P., Smc, S., Egespaces of Graphs, Ecyclopeda of Mathematcs ad ts Applcatos 66, Cambrdge, 997. Cvetkovc, D.; Doob, M. e Sachs, H., Spectra of Graphs, 3 ed. New York, Academc Press, 995. Godsl, C. e Royle, G., Graduate Texts Matematcs Algebrac Graph Theory, Sprger Verlag, 00. Hoffma, A. J. (969), The chage least egevalue of the adjacecy matrx of a graph uder mbeddg, SIAM J. Appl. Math., 7, Hog, Y. (993), Bouds of egevalues of graphs, Dscrete Mathematcs, 3, Lhtebaum, L. M. (956), Characterstc values of a smple graph, Trud 3-go Vses. Matem. Sezda, tom, Meyer, P. L., Probabldade Aplcações à Estatístca, ed. Lvros Téccos e Cetífcos Edtora, 983. Stevaovc, D. (00), Boudg the largest egevalue of trees terms of the largest vertex degree, 360, We, T. H. (95), The algebrac foudatos of rakg theory, Thess Cambrdge, Uversty. [844]