Computação das Medidas de Tendência Central e Dispersão Intervalares em Java

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1 V ERMAC-R o Ecotro Regoal de Matemátca Aplcada e Computacoal 9- de outubro de 00 Uersdade Potguar Natal/RN Computação das Meddas de Tedêca Cetral e Dspersão Iteralares em Jaa Laís M. Nees, Elaqum L. S. Neto, Eduardo W. M. Almeda, Daele P. Satos Thago A. S. Nascmeto, João G. Q. L. Marts, Marcíla A. Campos Cetro de Iformátca, CI, UFPE, , Recfe, PE (lm, els, ewma, dps, tas, jgqlm, mac)@féb.uesp.br Ale B. Loreto Depto de Matemátca, UNISC, , Sata Cruz do Sul, RS abl@usc.br Resumo: O presete trabalho tem como objeto computar as Meddas de Tedêca Cetral méda, medaa e moda e as Meddas de Dspersão ampltude, arâca, deso padrão, coefcete de aração, coarâca e coefcete de correlação a íel teralar. Para sso utlza-se a bbloteca de operações artmétcas teralares (+, -, *, /) deseolda o ambete de programação Jaa []. Palaras-chae: dcadores estatístcos, matemátca teralar, Jaa, artmétca de exatdão máxma. j Itrodução Uma forma de se cosderar ão somete os erros umércos, mas também os erros aleatóros eretes aos alores x,..., x e y,..., y é cosderar que, para,.., e j,...,, x [ x, x ] e y [ y, y ] j j. Neste caso, cosderamse os dados de etrada (as amostras) { x,..., x }, x Χ,..., x Χ, ou seja, domíos teralares ode Χ [ x, ],..., Χ x [ x, x ]. Nestas stuações, para dferetes alores possíes x Χ, obtém-se dferetes alores da méda me, moda mo, medaa md, ampltude am, arâca a, deso padrão dp, coefcete de aração c, coarâca co e coefcete de correlação cc. Cosderado que os dados de etrada são alores teralares, deseja-se cohecer quas são os teralos méda teralar ME, medaa teralar MD, moda teralar MO, arâca teralar VA, deso padrão teralar DP, coefcete de aração teralar CV, coarâca teralar Co, coefcete de correlação teralar CC e ampltude teralar AM dos possíes alores da méda me, moda mo, medaa md, arâca a, deso padrão dp, coefcete de aração c, coarâca co, coefcete de correlação cc e ampltude am. As defções dos dcadores méda teralar, moda teralar, arâca teralar e deso padrão teralar foram retradas de Campos e Fara [], os dcadores coarâca teralar e coefcete de correlação teralar foram pesqusadas em [7] e []. A defção do dcador coefcete de aração teralar fo formulada por []. Exemplo. Sejam os alores reas {; ; ; ; } e {; ; ; ; } amostras aleatóras de uma população. Represetado estes alores de forma teralar, com precsão ε 0 temos como dados de etrada os alo- res teralares {[0:99; :0]; [:99; :0]; [:99; :0]; [:99,,0], [.99,,0]} e {[:99; :0]; [:99; :0]; [0:99; :0]; [:99; :0]; [:99; :0]}. Vamos cosderar estes dados teralares para exemplfcar os cálculos de cada dcador teralar defdo a segur. As operações teralares eoldas os cocetos segutes podem ser ecotradas em Moore []. Os cálculos dos exemplos, de cada dcador teralar, foram realzados utlzado sstema de poto flutuate F(0,, -0,0) com arredodameto drecoado [].. Méda artmétca Iteralar Cosdere [ x, x ] [ x, Logo ME [ x, x ] x ] Esta últma expressão pode ser resolda de duas formas dsttas:

2 ) usado a multplcação de um real por um teralo, como / > 0 ão haerá alteração os lmtes do teralo resultate e ) defdo o teralo degeerado [/; /] e usado a multplcação de teralos. Em ambos os casos tem-se a Defção.. MÉDIA ARITMÉTICA INTERVA- LAR [ me( x ), me( x)] [ me,. ME Se for ecessáro um úco alor para a méda, calcular o poto médo do teralo, usado m ( x) ( x + x)/ Exemplo. Com os alores teralares [:99; :0], [:99; :0], [0:99; :0], [:99; :0] e [:99; :0], ão obtemos alor modal teralar MO pos ão exste, para estes dados teralares, teralos repetdos.. Varâca Iteralar Temos que x ME e [ x, x] [ me, [ x me, x Exemplo. Cosderado os alores teralares [0,99;,0], [,99;,0], [,99;,0], [,99;,0] e [,99;,0], obtemos ME [,78;,8].. Medaa Iteralar Prmeramete dee-se ordear os dados teralares de acordo com os segutes casos: TODOS OS INTERVALOS DISJUNTOS: cosdera-se a ordem teralar de Kulsch []:..., ode x x x x TODOS OS INTERVALOS ENCAIADOS: este caso, para a ordeação dos elemetos, cosdera-se a ordem de clusão [] :..., ode () ( ) () () x x ( ) x x A medaa teralar MD correspoderá ao teralo medao. A posção deste teralo é calculada como em alores reas. Defção.. MEDIANA INTERVALAR ME [ me( x ), me( x)] [ me,. Moda Iteralar Defe-se o teralo modal por Defção.. MODA INTERVALAR Se exste um alor modal para os dados reas, etão MO [ mo { x}, mo { x}] [ mo, mo ] Exemplo. Com os alores [0,99;,0], [,99;,0], [,99;,0], [,99;,0] e [,99;,0], obtemos MO [,99;,0]. Etão defmos a arâca teralar como Defção.. VARIÂNCIA INTERVALAR VA [ a, a] ( x ME) Exemplo. Cosderado os alores teralares do Exemplo [0,99;,0], [,99;,0], [,99;,0], [,99;,0] e [,99;,0], obtemos ME [,78;,8] e VA [,08;,].. Deso Padrão Iteralar Como o deso padrão é a raz quadrada posta da arâca, a obteção da raz quadrada de cada lmte do teralo VA, forecerá o teralo deso padrão DP: Defção.. DESVIO PADRÃO INTERVALAR DP VA + [ a, a] [ + a, + a] Exemplo 6. Cosderado o alor da arâca teralar, calculado o exemplo, VA [,08;,] obtemos DP [,;,0]. 6. Coefcete de Varação Iteralar Defção.6. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO IN- TERVALAR Se 0 [ me,, etão CV [ c, c] DP ME [ dp, dp] [ me, [ dp, dp] [ me, Exemplo 7. Cosderado os mesmos alores teralares do exemplo da arâca teralar, Exemplo, e

3 o teralo do deso padrão teralar DP [,;,0], calculado o Exemplo, obtemos ME [,78;,8] e CV [0,; 0,]. 7. Coarâca Iteralar Temos que: x ME e y ME [ x, x] [ me, [ x me, x [ y, y] [ me, me ] [ y me, y me ] ode ME é a méda teralar dos alores de e ME a méda teralar dos alores de. Etão, defmos a coarâca teralar como: Defção.7. COVARIÂNCIA INTERVALAR CO [, ] ( )( ME co co x ME y ) Exemplo 8. Neste caso precsamos de dos cojutos de dados teralares. Cosderamos os mesmos alores teralares do Exemplo da arâca teralar [0,99;,0], [,99;,0], [,99;,0], [,99;,0] e [,99;,0],.., e os segutes dados teralares [,99; :0], [,99; :0], [0,99;,0], [,99;,0] e [,99;,0]. Obtemos ME [,78;,8], ME [,98;,00] e CO [,7;,87]. 8. Coefcete de Correlação Iteralar O coefcete de correlação teralar é defdo da segute maera: Defção.8. COEFICIENTE DE CORRELA- ÇÃO INTERVALAR Se 0 DP DP etão CC [ cc, cc] CO DPxDP y [ co, co] [ dp, dp ][ dp, dp ] (ode CO é coarâca teralar, DP o deso padrão teralar dos alores de e DP o deso padrão teralar dos alores de ). Exemplo 9. Cosdere os mesmos cojutos de alores teralares do Exemplo 7 da coarâca teralar. Obtemos os alores teralares de CO [,7;,87], DP DP [,0;,] e CC [0,8; 0,9]. 9. Ampltude Com os dados teralares ordeados segudo a ordem para teralos dsjutos " " ou teralos ecaxados " " (Item.), cosdera-se : Mímo Iteralar: MI [ m { x}, m { x}] [ m, m ] Máxmo Iteralar MO [ mo { }, { }] x mo x [ mo, mo ] Defe-se a ampltude total teralar como sedo: Defção.. AMPLITUDE TOTAL INTERVA- LAR [ma - m, ma - m], se ma m AT [ at, at] { [0, ma - m], se ma < m 0. Meddas de Erro Para erfcação de resultados e certfcação da ão ocorrêca de teralos superestmados (teralos com ampltude grade), cosderam-se as segutes meddas de erros [7]: ) x m ( Χ ) < ε, m ( Χ ) x + x, ode m( ) x + x / ; ) x m ( Χ ) < ) x x ; x m x ) x Χ w( Χ ), ode w( Χ ) ( w( Χ ), se m Χ 0, e realza-se uma comparação com os alores reas dos dcadores estatístcos descrtos acma. Estudo de Caso Como estudo de caso, amos cosderar o cálculo do IMC (Ídce de Massa Corporal) teralar dos aluos do eso fudametal de a. a 8a. sére da escola Nossa Sehora Imaculada Coceção, localzada a cdade de Cachoera do Sul, RS. O ídce de Massa Corporal (IMC) é uma fórmula que dca se uma pessoa está acma do peso, se está obeso ou com peso deal cosderado saudáel. A fórmula para calcular o Ídce de Massa Corporal é: IMC peso/(altura). Tabela.: Idade, IMC Meas e IMC Meos. Cosdera-se o IMC da turma de aluos da a. sére da escola Imaculada Coceção.

4 IMC das meas: {6.8786,.687, 0.78, 8.96, 9.879, 7.08,.66,.07, 6.97,.07,.609,.09, ,.86}. Represetação teralar: {[6.87, 6.88], [.6,.7], [0.778, 0.788], [8.9, 8.0], [9.8, 9.8], [7.0, 7.0], [.6,.66], [.066,.076], [6.908, 6.98], [.07,.07], [.60,.6], [.0,.], [6.06, 6.07], [.80,.80] }. Para calcular os dcadores estatístcos coarâca e coefcete de correlação precsa-se de dos cojutos de dados. Dessa forma, cosdera-se o IMC dos meos da a. sére da mesma escola (e algus alores do IMC das meas para completar o total de alores ecessáros): {6.8786,.06, 0.78, 9.0, 9.879, 7.69,.66,.7, 6.97, ,.07,.09, ,.86}. Represeta-se estes alores em teralos com a mesma precsão ± 0:00: {[6.87, 6.88], [.6,.6], [0.778, 0.788], [9.09, 9.09], [9.8, 9.8], [7., 7.], [.6,.66], [.79,.79], [6.908, 6.98],[0.88, 0.89], [.07,.07],[.0,.],[6.06, 6.07], [.80,.80]}. Na Tabela. apresetam-se os resultados dos dcadores estatístcos, reas e teralares, com IMC das meas da a. sére. Na Tabela. apreseta-se os erros obtdos ao calcular os dcadores estatístcos com alores teralares. Tabela.: Idcadores Estatístcos, dados com IMC reas (meas da a. sére) e dados com IMC teralares. Tabela.: Idcadores Estatístcos e erro relato (meas a. sére). Tabela.: Idcadores Estatístcos e erro relato (meos a.sére). IMC dos meos: {.06,.9, 9.0,.79, 7.69,.7, }. Represetação teralar: {[.6,.6], [.96,.96], [9.09, 9.09], [.69,.79], [7., 7.], [.79,.79], [0.88, 0.89]. Para os dcadores estatístcos coarâca e coefcete de correlação cosdera-se o IMC das meas da a. sére da mesma escola: {6.8786,.687, 0.78, 8.96, 9.879, 7.08,.66}. Represeta-se estes alores em teralos com a mesma precsão ± 0:00: {[6.87, 6.88], [.6,.7], [0.778, 0.788],[8.9, 8.0], [9.8, 9.8], [7.0, 7.0], [.6,.66]}. Na Tabela. apresetam-se os resultados dos dcadores estatístcos, reas e teralares, com IMC dos meos da a. sére. Na Tabela. apresetam-se os erros obtdos ao calcular os dcadores estatístcos com alores teralares.

5 Tabela.: Idcadores Estatístcos, dados com IMC reas (meos da a. sére) e dados com IMC teralares. [6] MOORE, R. E. Methods ad Applcatos of Iteral Aalyss. Socety for Idustral ad Appled Mathematcs, Phladelpha, PA, USA, 979. [7] RATSCHEK, H., ROKNE, J., New Computer Methods for Global Optmzato, Colls Horwood Lmted, Great Brta, 988. Implemetação As operações teralares aqu apresetadas, foram mplemetadas em lguagem de programação Jaa. Para realzar tas operações fo deseolda uma classe ode seus métodos recebem como etrada um cojuto de teralos e retoram como resultado um teralo que represeta a resposta da respecta operação realzada. É mportate ressaltar algumas peculardades da mplemetação, tas como o cálculo da Coarâca e do Coefcete de Correlação Iteralar, ode a etrada de dados para essas operações cosste em dos cojutos de teralo. No cálculo da Medaa e da Ampltude Iteralar, deemos assumr que os teralos pertecetes ao cojuto de etrada equadram-se em um dos casos de ordeação stos o Item. No cálculo da Moda Iteralar, quado a mesma ão exstr, será retorada uma saída ula. Agradecmetos Às professoras Marcíla A. Campos e Ale B. Loreto por todo o apoo dado ao osso trabalho. Às ossas famílas. Referêcas [] CAMPOS, M. A., FARIA, R. A. Defção de algus dcadores estatístcos usado teralos. I I Cogresso Nacoal de Matemátca Aplcada e Computacoal, Ouro Preto, MG, 988. [] FERREIRA, R. V., FERNANDES, B. T., CAMPOS, M. A., Ealuatg the floatg-pot Jaa Vrtual Mache, I Proceedgs ENNEMAC 00. [] KULISCH, U. W., MIRANKER, W. L., Computer Arthmetc Theory ad Practce. Academc Press, New or, New or, 98. [] LORETO, A. B., CAMPOS, M. A., CLAUDIO, D. M., TOSCANI, L. V. Aalsado a Complexdade Computacoal de Problemas de Meddas de Tedêca Cetral e Dspersão, CNMAC 00. [] MOORE, R. E., Iteral Aalyss. Pretce-Hall, Eglewood Clffs, New Jersey, 966.