Conceitos básicos de metrologia. Prof. Dr. Evandro Leonardo Silva Teixeira Faculdade UnB Gama

Transcrição

1 Prof. Dr. Evadro Leoardo Slva Teera Faculdade UB Gama

2 Metrologa: Cêca que abrage os aspectos teórcos e prátcos relatvos a medção; Descreve os procedmetos e métodos para determar as certezas de medções; Garate que peças desevolvdas em dferetes países possam ser acopladas; Essecal em todo processo de cotrole da qualdade;

3 Mesurado: Objeto da medção. É a gradeza específca submetda a medção. Idcação: Valor de uma gradeza forecdo por um sstema de medção

4 Coceto de valor verdadero e valor meddo: Valor verdadero: Valor de referêca da medda que se deseja obter; Depede da aplcação em partcular; Valor meddo: Valor forecdo pelo sesor ou strumeto de medção; Assocado a ecessdade do processo de medção; Cosdera as certezas eretes ao processo de medção;

5 Resultado da medção: É a faa de valores detro da qual deve se stuar o valor verdadero do mesurado. Resultado base: É a estmatva do valor do mesurado que, acredta-se, mas se aprome do seu valor verdadero. Icerteza da medção: É o tamaho da faa smétrca, e cetrada em toro do resultado base, que delmta a faa ode se stuam as dúvdas assocadas à medção.

6

7 Objetvo comum os processos de medção: Valor meddo se aprome do valor verdadero; Deve-se garatr que fluêcas eteras ão afetem o processo de medção; Ada que fluêcas eteras ocorram deve ser mesuradas e cosderadas o resultado da medção;

8 Processo de medção Defção do mesurado Procedmeto de medção Codções ambetas Operador Sstema de medção Resultado da Medção

9 Erro sstemátco: Iterferêca assocado ao processo de medção; Altera de forma sgfcatva o resultado da medção; Idetfcado e elmado através da calbração; Uma vez cohecdo deve ser cosderado a composção do resultado da medção; Erro aleatóro: Iterferêca erete ao processo de medção; Não altera sgfcatvamete o resultado da medção; Icerteza presete em todo processo de medção

10 Coceto de precsão e eatdão: Precsão: Uma medda do grau de dspersão dos valores meddos obtdos sob as mesmas codções; Assocada a repetbldade; Eatdão: Uma medda do grau de promdade dos valores meddos com o valor verdadero; Assocada a qualdade das meddas obtdas;

11 Precsão Eatdão Precsão Eatdão Precsão Eatdão Dfereça etre precsão e eatdão

12 Estatístca aplcada a metrologa: Aula a determação do resultado da medção; Aula a determação de fluêcas eteras e ocultas que devem ser detfcadas e cosderadas a medção; Aula a estmar a certeza erete a todo e qualquer processo de medção;

13 Eemplo: Deseja-se medr a pressão em um fludo Amostra Pressão (kpa) Amostra Pressão (kpa) 0,0 0,05 0,0 0,7 3 0,6 3 0,4 4 0,0 4 0, 5 0, 5 0,3 Qual é o valor meddo (resultado) da medção? 6 0,3 6 0, 7 09, ,98 8 0, 8 0,0 9 0,09 9 0,04 Meddor de pressão 0 09, ,8 Amostras coletadas

14 Algumas cosderações: Codções ambetas (como aceleração, ível de vbração e temperatura são matdas costates); Amostras foram coletadas sob a fluêcas que resultaram somete em erros aleatóros; Amostras são sufcetes para represetar o comportameto da população; Parâmetro Valor verdadero Valor 0,000±0,00KPa Aceleração 0 Vbração 0 Temperatura ambete 0± C

15 3,5 Hstograma 3,5 f r f a Frequeca,5 0,5 0 9,85 9,90 9,95 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Itervalo f r = Freqüêca relatva; f a = Freqüêca absoluta = Número de amostras

16 b a d f b a P ) ( ) ( ) ( ) ( e f ) ( X s Fução de desdade de probabldade (fdp) fdp Gaussaa X Méda das amostras Desvo padrão das amostras

17 =0.5 = 3= 4= Meda () = = =4 3=6 4= Desvo padrao () = Efeto da varação da méda e do desvo padrão (fdp Gaussaa)

18 Itervalo de cofaça estátístca (perfeta dstrbução gaussaa):

19 Méda: X 0, KPa Desvo padrão: s 0, 4 KPa Valor meddo: RM 0, 0, 4 kpa Valor verdadero : RM 0,00 0, 00kPa

20 Valor meddo: Valor meddo: Valor meddo: RM 0, 0, 4 kpa (tervalo de cofaça: σ) RM 0, 0, 8 (tervalo de cofaça: σ) RM 0, 0, 4 (tervalo de cofaça: 3σ) kpa kpa

21 Caso se coheça a pror o valor verdadero: Bas: Caracterzação do erro sstemátco; Resultado da medção (RM): BIAS valor meddo valor verdadero BIAS 0, 0,00 0, RM 0,00 0, 4 kpa Icerteza Como fazer para reduzr a certeza da medção?

22 Mcrômetro a laser Faa operação: 0, a 5 mm Icerteza: ±0,05μm Valor: $9, Mcrômetro maual Faa operação: 0 a 5 mm Icerteza: ±,0μm Valor: $88.9

23 Algumas lmtações do método adotado: Amostras coletadas devem ser sufcetemete grade para represetar a população; Métodos como o ch-quadrado podem ser utlzados para verfcar esta hpótese;

24 Processo de calbração: Processo utlzado para estmar o valor verdadero a partr do valor meddo; Mesurar o erro sstemátco assocado ao sesor ou strumeto de medção; Estmar o erro aleatóro assocado ao processo de medção; Utlzado o projeto de ovos sesores ou quado se descofa do resultado da medção;

25 Passos para eecutar a calbração: Eamar aspectos de costrução do sesor; Lstar todas as etradas possíves; Decdr qual etrada é a mas sgfcatva; Mater demas etradas costates; Varar a etrada escolhda sobre toda faa de operação; Coletar as amostras de etrada e saída para posteror aálse;

26 Eemplo: deseja-se calbrar um sesor de temperatura de jução PN: Temperatura (T) Sesor de temperatura Jução PN Tesão (V) Modelo matemátco que descreve o comportameto do sesor V at b

27 Tesão (V) (T,V ) b = V T -V -T Curva de calbração V= a + bt a = V + bt Qual o problema desse método? (T,V ) V = a + bt V = a + bt No mudo real, em tudo fucoa como parece Temperatura (ºC)

28 Tesao(V) Curva meda de calbracao Amostras reas Temperatura (C) N = 0 amostras 0 9 Tesao(V) Curva meda de calbracao Amostras reas Temperatura (C) N = 50 amostras 8 7 Tesao(V) Curva meda de calbracao Amostras reas Temperatura (C) N = 50 amostras

29 Dfculdades do mudo real: Amostras coletadas estão sob a fluêca de certeza; Obteção da curva de calbração deve cosderar que as amostras estão sob a fluêca de certezas; Amostras raramete estão sob a curva; Método de substtução ão pode ser aplcado; Modelo de calbração precsa ser revstado;

30 Modelo revstado (suposções): Amostras coletadas são ão-vesadas; Amostras coletadas possuem uma dstrbução de probabldade Gaussaa; A varâca do erro é costate; Parâmetros depedetes;

31 Modelo revstado: V at ~ b N (0, e ) Temperatura (T) Sesor de temperatura Jução PN Tesão (V) Modelo matemátco que descreve o comportameto do sesor Erro de medção

32 Objetvo da aálse: Obter a curva méda de calbração; Necessdade de estmar os parâmetros do modelo; Necessdade de se utlzar téccas de ferêca estatístca; Técca dos mímos quadrados será utlzada para estmar os parâmetros do modelo;

33 Método dos mímos quadrados (MMQ):... A melhor maera de determar um parâmetro descohecdo de uma equação de codções é mmzado a soma dos quadrados dos resíduos... (Car Gauss) Matemátco Carl Fredrch Gauss ( )

34 Objetvo da técca MMQ: Obter a estmatva dos parâmetros do modelo com base os dados coletados. V at b Vˆ at ˆ bˆ a, b parâmetros aˆ, bˆ parâmetros reas estmados r V Vˆ Resíduo r T av b

35 Método dos mímos quadrados: Colocado a forma vetoral:: V V V at at at b b b

36 Método dos mímos quadrados: Cosderado um total de medções realzadas: b a T T T V V V

37 Método dos mímos quadrados: Notação matrcal: Y V V V Y b a T T T r V ( ) Fução de custo

38 Método dos mímos quadrados: Estmatva dos parâmetros: ˆ y y b ˆ y y a

39 Método dos mímos quadrados: Varâcas da etrada, saída e estmatvas ˆ e b s s ˆ e a s s y y b a s ˆ ˆ a b y s ˆ ˆ

40 Eemplo: Deseja-se realzar a calbração de um strumeto de medção Valor Verdadero (kpa) Pressão dcada 0,000 -, -0,69,000 0, 0,4,000,8,65 3,000,09,48 4,000 3,33 3,6 5,000 4,50 4,7 6,000 5,6 5,87 7,000 6,59 6,89 8,000 7,73 7,9 9,000 8,68 9,0 Meddor de pressão 0,000 9,80 0,0

41 Algumas cosderações: Codções ambetas (como aceleração, ível de vbração e temperatura são matdas costates); Amostras foram coletadas sob a fluêcas que resultaram somete em erros aleatóros; Relação lear etre a etrada e a saída; Parâmetro Valor Aceleração 0 Vbração 0 Temperatura ambete 0± C

42 TValor meddo q0 q Valor verdadero

43 Passos para obter a curva méda de calbração: º Passo: obter o desvo padrão da etrada/saída: s y 0, 08 kpa s 0, 9 KPa Passo: obter o desvo padrão das estmatvas s a 0, 040 kpa ˆ s b 0, 0830 ˆ kpa 3º Passo: obter a estmatva dos parâmetros do modelo aˆ,08 bˆ 0,847 4º Passo: realzar a motagem do modelo y 0,847,08

44 Valor meddo q0 q0 Curva méda Valor verdadero

45 Estmação do valor verdadero com base a curva de calbração: Letura de pressão: y 4, 3kPa Valor verdadero: y 0,847 4,3 0,847 4, 78kPa,08,08 Resultado da medção: RM 3s RM 4,78 0, 58 kpa BIAS 4,3 4,78 0, 46 kpa

46 E quado as amostras obtdas ão são sufcetemete grades para represetar a população? Desvo padrão de um pequeo úmero de amostras tão eato quato de um grade úmero; Substtur o lmte estatístco de 3s (99,7%) pelo s (95%) mas realístco; Ajustar a certeza de medção em relação ao úmero de amostras coletadas (leturas realzadas); Para torar a certeza de medção sesível ao úmero de amostras, utlza-se a dstrbução t;

47 Dstrbução T-Studet Autor: Studet Pseudômo de Wllam Sealy Gosset Fucoáro de uma cervejara Guess (Irlada) Varabldade em fução do úmero de amostras coletadas

48

49 Coefcete t de Studet: v t v t v t v t

50 Icerteza de medção: Para amostras ftas IM Para amostras ftas IM t s t = Coefcete de Studet para v=- graus de lberdade

51 Corrgdo a certeza de medção com base o coefcete t ( amostras): RM RM t s 4,78 (,05 RM 4,78 0, 387 kpa 0,9 ) RM 4,78 0, 384 kpa

52 Propagação de certezas: Em geral, um sesor é composto por uma sére de elemetos fucoas; Cada elemeto fucoal do sesor possu uma certeza assocada erete ao processo de medção; A certeza global do sesor é computada cosderado a certeza dvdual de cada elemeto fucoal; Desse modo, deve-se epressar matematcamete como computar a certeza global a partr das dvduas;

53 Propagação de certezas: Supodo que f(,,..., ) seja uma fução ão-lear de varáves; Pode-se computar o erro absoluto de cada compoete sob um poto de operação a partr da sére de taylor; Sére de taylor permte learzar uma fução ão-lear sob um poto de operação;

54 Propagação de certezas: Supodo de o resultado da medção seja fução de varáves depedetes. y f (,,..., ) Deseja-se calcular o erro absoluto assocado com a medção do sesor y y f (, )

55 Propagação de certezas: Aplcado-se a sére de taylor sobre a fução, tem-se:! ), ( f f f f f f f y y

56 Propagação de certezas: Na prátca, Δ {=,,} é muto pequeo, desse modo pode-se desprezar as varações de ordem superores: f f f f y y ), (

57 Propagação de certezas: A certeza global pode ser determada pela soma dvdual da certezas de cada varável depedete: f f f y

58 Propagação de certezas: Desse modo, obtém-se o erro absoluto (E a ): a f f f E E a = Forece uma medda do erro mámo permssível

59 Propagação de certezas: Caso se deseja obter o erro relatvo (Er), tem-se: E r y y 00 O resultado fal da medção pode ser epresso a forma: 00 y E r y E ou y a E r

60 Propagação de certezas: Caso Δ seja cosderado sob lmtes estatístcos de cofabldade, etão a certeza global também pode ser determada cosderado os lmtes de cofabldade: y f f f U

61 Propagação de certezas: Sabedo-se que o desvo padrão de uma fução lear de varáves depedetes (com dstrbução Gaussaa) é a raz quadrada da soma quadrada dos desvos padrões dvduas, obtém-se a certeza total do sesor como: y f f f U

62 Propagação de certezas: Pode-se também obter a certeza dvdual de cada compoete com base o requsto de certeza global a partr da segute fórmula: U y f

63 Propagação de certezas: Eemplo umérco: Deseja-se obter a certeza global de medção a partr da certeza dvdual de cada elemeto. Deseja-se medr a potêca o eo do motor

64 Propagação de certezas: Fórmula da Potêca: P m T f T f Fl R t P RFL t Em que: R = Revolução do eo (rotações) F = Força a etremdade do braço (N); L = Comprmeto do braço de mometo (m); t = Tempo de duração do epermeto (s);

65 Propagação de certezas: Fotes de certeza: Icerteza assocada a medção da rotação; Icerteza assocada a medção do tempo; Icerteza assocada a medção de força; Icerteza assocada ao comprmeto do braço de força;

66 Propagação de certezas: Resultado da medção de cada parâmetro: R.0,0 ( r) F 45,0 0,8 ( N ) L 39,70 0,7 ( cm) t 60,00 0,50( s)

67 Propagação de certezas: Obtedo o resultado das dervadas parcas: ( P) F ( P) R KLR (6,8)(0,3970 )(0 ) 49,947 W t 60 KLF (6,8)(0,3970 )(45,0),87W / t 60 / r N ( P) L KFR t (6,8)(45,0)(0 ) ,936W / m ( P) t KFLR t (6,8)(45,0)(0,3970)(0) ,477W / s

68 Propagação de certezas: Obtedo-se o erro absoluto cosderado as certezas dvduas, tem-se: E a P F F P R R P L L P t t E a (49,947)( 0,8) (,87)() (5.663,936) (0,007) (37,477)(0, 5) E a 36, 79 Nm

69 Propagação de certezas: Obtedo-se a potêca o eo do motor, tem-se: P RFL t P (6,8)(0 )(45,0)(0,3970 ) 60 P.48, 59W

70 Propagação de certezas: Obtedo-se o erro cosderado os lmtes estatístcos: 5)] [(37,477)(0, ] (0,007) [(5.663,936) [(,87)()] 0,8)] [(49,947)( U U 07 Nm, t t P L L P R R P F F P U

71 Propagação de certezas: Observa-se que: E a U Isto sgfca que o erro é possvelmete tão grade que E a mas provavelmete ão é maor que U RM.48,59 36, 79 W

72 Propagação de certezas: Supodo uma precsão de 0.5%, qual deve ser a precsão dvdual assocada a cada medção? F (,07), 4 49,947 5 N (,07) R, 04 r 4 () (,07) L 0, 9 cm 4 (5.663,94) (,07) t 0, 9 s 4 (0,5)