( x) Método Implícito. No método implícito as diferenças são tomadas no tempo n+1 ao invés de tomá-las no tempo n, como no método explícito.

Transcrição

1 PMR 40 Mecâca Computacoal Método Implícto No método mplícto as dfereças são tomadas o tempo ao vés de tomá-las o tempo, como o método explícto. O método mplícto ão apreseta restrção em relação ao valor de λ, como o método explícto, porém os cálculos toram-se mas complcados., -,,, método explícto -,,,, método mplícto ( x) utlzado λ, pode-se escrever:,,,,, (método mplícto) λ ( λ) λ,,,, Cosderado-se 0 M, têm-se M- equações smultâeas. O método mplícto coverge à solução da EDP desde que x 0 e 0 depedetemete do valor da relação /( x). Na equação acma, otar que:, 0, g0( t ) para ( ), g t para M - Assm, tem-se o segute sstema de equações: 45

2 PMR 40 Mecâca Computacoal ( ) λ λg ( t ),,, 0 λ para λ ( ), λ, λ,, para M - ( ) λ λg ( t ) λ para M - M, M, M, Smplfcado a otação e colocado a forma matrcal, tem-se: b c d a b c d 0 a3 b3 c d3 0 a b c 0 0 d a M bm c M M d M a M bm M d M A matrz dos coefcetes a, b e c é uma matrz trdagoal. Este sstema pode ser resolvdo pelo método de elmação de Gauss. A solução recursva do sstema é da forma: c γ M, M 3,,, para M, tem-se M γ M ac b e γ d aγ para M, M 3,,, assm, b e γ d Desvatagem do método de elmação de Gauss: erro de arredodameto. Porém este erro, geralmete, é pequeo comparado com o erro de dscretzação MÉODO DE CRANK-NICOLSON ato o método explícto quato o método mplícto forecem uma um erro de trucameto da ordem O ( x). O método de Crak-Ncolso reduz a depedêca do cremeto do [ ] [ ] tempo de O( t) para O ( t) cremeto do tempo da segute forma: ) em relação ao tempo dfereça cetral, fazedo a aproxmação das dervadas o poto médo do 46

3 PMR 40 Mecâca Computacoal,, [ O( x) ] ) em relação ao espaço méda etre as aproxmações os tempos e ( x) ( x),,,,,, -,,,,/ -,,, Para a equação, tem-se: λ ( λ) λ λ ( λ) λ,,,,,, e: g t ) e g t ). ( 0, 0 (, que resulta um sstema de equações, smlar ao obtdo para o método mplícto. Equações Parabólcas com duas dmesões o espaço k equação de codução de calor y Método explícto k ( x) Crtéro de establdade, j,, j,, j,, j,, j,, j,, j, í, j, ( x) ( y) 8 k No caso de uma malha quadrada, x y, tem-se λ k ( x) que deve ser tal que: λ /4 47

4 PMR 40 Mecâca Computacoal Método mplícto: garate a establdade, porém deve ser resolvdo um sstema de equações, sedo que a matrz dos coefcetes ão é trdagoal. Método da Alterâca de Dreção: matrz trdagoal O cremeto o tempo é executado em dos passos, sedo que o prmero passo, a aproxmação da dervada em relação a x é escrta de forma explícta, e a dervada em relação a y de forma mplícta. Dessa maera obtém-se um sstema com matrz trdagoal, para calcular as temperaturas o tempo termedáro( /). No segudo passo, a dervada em relação a y é escrta de forma explícta, e a dervada em relação a x de forma mplícta. Recado também um sstema com matrz trdagoal para calcular as temperaturas fas para um determado. t / yj t/ y j / y j- t x - x x explcto mplcto etre t e t/: k ( x), j, /, j,, j,, j,, j,, j, /, j, / í, j, / etre t/ e t: k ( x), j,, j, /, j,, j,, j,, j, /, j, / í, j, / 48

5 PMR 40 Mecâca Computacoal Equações evolvedo dervadas parcas de prmera e seguda ordes r r r (coordeadas clídrcas) ( r) r r,,,,,,, A dervada de prmera ordem é represetada por uma dfereça cetral. Equações Hperbólcas Udmesoas y y k Equação de Oda (corda vbrate) y( c, t) Codções de Cotoro: ay ( c, t) b f ( t) y( x,0) Codções Icas (t0): y ( x,0) f ( x) e g( x) Método Explícto (velocdade) y, y, y, y, k Crtéro de Establdade e Covergêca: Geralmete tem-se: λ k x Para λ > a covergêca ão pode ser garatda, sedo que é o valor máxmo de λ para garatr a establdade. Curosamete, observa-se que para valores de λ meores do que, os resultados obtdos são meos precsos, equato que para λ gual à, valores guas às soluções aalítcas exatas são obtdos. y, x y, 49