Campus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA GUSTAVO APARECIDO PITA BAGGIO

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1 Campus de Ilha Soltera PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA GUSTAVO APARECIDO PITA BAGGIO SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE POR UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADO PELA TÉCNICA DE SEPARAÇÃO BASEADA NA CARACTERÍSTICA Ilha Soltera 015

2 Campus de Ilha Soltera GUSTAVO APARECIDO PITA BAGGIO SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE POR UM MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADO PELA TÉCNICA DE SEPARAÇÃO BASEADA NA CARACTERÍSTICA Dssertação apresetada à Faculdade de Egehara de Ilha Soltera da Uversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho - UNESP como parte dos requstos exgdos para obteção do título de Mestre em Egehara Mecâca. Área de Cêcas Térmcas. Oretador: Prof. Dr. João Batsta Campos Slva. Ilha Soltera 015

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5 AGRADECIMENTOS Prmeramete, agradeço a Deus, por me propcar vver tamaha experêca e realzar um soho. Ao meu avô Eucldes Fracsco Pta ( memoram) que, sem dúvda, me possbltou chegar até aqu. Aos meus pas e a toda a mha famíla Pta que são meus plares, mha força e meu ecorajameto. A mha amorada Kare, pelo carho, compreesão e cetvo. A todos meus amgos que sempre apoaram e estveram ao meu lado. Agradeço o Prof. Dr. João Batsta Campos Slva, pela excelete oretação, pela pacêca, pelo apoo e pelo auxílo em todos os aspectos deste trabalho. Aos professores do bloco M4, que sempre me ajudaram quado precse e que, durate todo este período, foram como uma seguda famíla. Agradeço a todos os professores e fucoáros da UNESP que cotrbuíram, de qualquer forma, para o desevolvmeto deste trabalho. Agradeço também a CNPq pelo apoo facero. A todos que colaboraram dreta ou dretamete para a cocretzação deste soho. A todos vocês, os meus mas sceros agradecmetos. Muto obrgado!

6 Dedco este trabalho ao meu avô Eucldes Fracsco Pta ( memoram) por todo apoo, cetvo e pela cofaça depostada em mm.

7 RESUMO O método clássco de elemetos ftos deomado de método de Bubov-Galerk ou Método de Galerk (GFEM) é ótmo para solução de problemas dfusvos, etretato, para o caso de problemas com covecção domate como ocorre em mutos problemas de escoametos de fludos, o GFEM produz soluções osclates para altos úmeros de Reyolds. Dversas téccas têm sdo assocadas à dscretzação dos termos covectvos as equações de Naver-Stokes para remedar a defcêca do GFEM. Uma destas téccas é deomada a lteratura de separação baseada a característca (em glês CBS Characterstc Based Splt), e tem sdo aplcada com sucesso para establzação das soluções de problemas covectvos usado o GFEM. Neste trabalho, o GFEM assocado ao esquema CBS será aplcado para smulação de casos de escoametos compressíves bdmesoas e trdmesoas. Palavras-chave: Escoameto compressível. Elemetos ftos. CBS.

8 ABSTRACT The classcal fte elemet method called the method of Bubov-Galerk or Galerk Method (GFEM) s optmum for solvg dffuso problems, however, case of problems wth domat covecto as may problems of flud flow, the GFEM produces oscllatg solutos for hgh Reyolds umbers. Several techques have bee assocated wth the dscretzato of the covectve terms the Naver-Stokes equatos to remedy the defcecy of GFEM. Oe of such techques s deomated lterature as Characterstc Based Splt (CBS) ad has bee appled successfully to stablze the solutos of covectve problems usg GFEM. I ths work, the GFEM assocated wth the Characterstc Based Splt (CBS) scheme wll be appled to smulate two ad three-dmesoal compressble flud flows. Keywords: Icompressble flow. Fte elemets. CBS.

9 LISTA DE FIGURAS Fgura 1: Característca o domío tempo-espaço. Fgura : Elemeto tetraédrco lear. Fgura 3: Um ó compartlhado por város elemetos. Fgura 4. Codções de Cotoro da cavdade. Fgura 5. Malha da cavdade com elemetos tetraédrcos. Fgura 6. Perfl de velocdade o cetro da cavdade o plao xy. Fgura 7. Compoete da velocdade a dreção x, o cetro da cavdade para Re=100. Fgura 8. Compoete da velocdade a dreção x, o cetro da cavdade para Re=400. Fgura 9. Compoete da velocdade a dreção x, o cetro da cavdade para Re=1000. Fgura 10. Lhas de trajetóra do escoameto o para a cavdade trdmesoal. Fgura 11. Lhas de trajetóra do escoameto o plao x-y para Re=100. Fgura 1. Lhas de trajetóra do escoameto o plao x-y para Re=400. Fgura 13. lhas de trajetóra do escoameto o plao x-y para Re=1000. Fgura 14. Dmesões e Codções de cotoro do tubo. Fgura 15. Malha do tubo de dâmetro D e largura 8D. Fgura 16. Perfl parabólco a saída do tubo para Re=100. Fgura 17. Comparação etre as soluções exata e smulada. (Re=100) Fgura 18. Dmesões e codções de cotoro da esfera. Fgura 19. Malha do domío da esfera. Fgura 0. Campo de pressão e magtude da velocdade. (Re = 100) Fgura 1. Campo de pressão e magtude da velocdade. (Re = 00) Fgura. Comprmeto da Bolha de Recrculação. Fgura 3. Lhas de trajetóra do escoameto para Re = 100. Fgura 4. Detalhe da zoa de recrculação atrás da esfera.

10 Fgura 5. Esquema da varação do âgulo η. Fgura 6. Pressão admesoal a superfíce da esfera. (Re = 100) Fgura 7. Pressão admesoal a superfíce da esfera. (Re = 00) Fgura 8. Comparação dos resultados para C p para Re = 100. Fgura 9. Comparação dos resultados para C p para Re = 00. Fgura 30. Geometra e codções de cotoro. Fgura 31. Malha do arrajo de tubos. Fgura 3. Compoete da velocdade a dreção x. Fgura 33. Compoete da velocdade a dreção y. Fgura 34. Esquema de um dfusor radal. Fgura 35. Malha 3D e codções de cotoro do dfusor radal. Fgura 36. Coefcete de pressão a parede da palheta. Fgura 37. Geometra e codções de cotoro da cavdade. Fgura 38. Resultados para Re = 100. Fgura 39. Resultados para Re = 400. Fgura 40. Resultados para Re = Fgura 41. Resultados para Re = 300. Fgura 4. Dmesão do domío do cldro e suas codções de cotoro. Fgura 43. Detalhe da malha D do problema do cldro. Fgura 44. Velocdade a dreção y medda pela soda com Re = 100. Fgura 45. Resposta trasete para velocdade, pressão e temperatura. Fgura 46. Dmesões do domío do cldro e suas codções de cotoro. Fgura 47. Coefcete de pressão a superfíce do cldro.

11 LISTA DE TABELAS Tabela 1. Comprmeto da bolha de recrculação admesoal. Tabela. Resultados do códgo 3D referete às Fguras 7, 8 e 9. Tabela 3. Resultados do códgo 3D referete às Fguras 8 e 9. Tabela 4. Resultados do códgo D referete às Fguras 38 e 39. Tabela 5. Resultados do códgo D referete às Fguras 40 e 41. Tabela 6. Resultados do códgo D referete à Fgura 47.

12 Sumáro 1. INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS ALGUNS TRABALHOS PRÉVIOS SOBRE O DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO ESQUEMA CBS OBJETIVOS EQUAÇÕES GOVERNANTES O ESQUEMA DA SEPARAÇÃO BASEADA NA CARACTERÍSTICA CBS O GALERKIN CARACTERÍSTICO O PROCEDIMENTO DE SEPARAÇÃO CBS PARA O CASO DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS CÁLCULO DO PASSO DE TEMPO COMPRESSIBILIDADE ARTIFICIAL - AC O AC-CBS PASSO DE TEMPO DUPLO (DUAL TIME-STEPPING) DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL A MATRIZ DE MASSA CONCENTRADA RESULTADOS E DISCUSSÕES ESCOAMENTO NUMA CAVIDADE CÚBICA COM TAMPA DESLIZANTE ESCOAMENTO DE HAGEN-POISEUILLE ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA ESFERA BANCO DE TUBOS DIFUSOR RADIAL CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A -Métodos dos Resíduos Poderados de Galerk e Formulação Fraca APÊNDICE B - O Escoameto de Hage-Poseulle APÊNDICE C - Algus Resultados Bdmesoas APÊNDICE D - Tabelas de algus dos resultados deste trabalho

13 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O uso de téccas umércas para a solução de problemas complexos da egehara e da físca é hoje realdade, graças ao grade desevolvmeto de computadores de alta velocdade e de grade capacdade de armazeameto. Em fução dessa dspobldade computacoal, que cresce expoecalmete, o desevolvmeto de algortmos para a solução dos mas dversos problemas tem recebdo eorme ateção dos aalstas umércos e egeheros, fazedo aumetar também em taxas acetuadas, o úmero de pesqusadores e usuáros da smulação umérca. Esse crescmeto computacoal e umérco está torado a dscpla de mecâca dos fludos computacoal um assuto obrgatóro também o eso de graduação e a dústra em geral, a exemplo do que já acotece a pós-graduação e a pesqusa. Além dsso, a versatldade e geeraldade dos métodos umércos para a smulação de problemas de egehara, e a relatva smplcdade de aplcação dessas téccas, são outros fatores motvadores para seu uso (MALISKA, 01). A dâmca dos fludos computacoal (CFD) requer o uso de métodos umércos para se calcular as gradezas de teresse os escoametos, em potos do domío físco, geralmete, deomados de potos odas ou, smplesmete, ós. Os prcpas métodos utlzados para smulação umérca de escoametos de fludos são: Métodos de Dfereças Ftas (FDM - Fte Dfferece Method); Métodos de Dfereças Ftas baseado em Volumes de Cotrole (CVFDM - Cotrol Volume Fte Dfferece Method); Método de Volumes Ftos (FVM - Fte Volume Method); Métodos de Elemetos Ftos (FEM - Fte Elemet Method) e Métodos de Elemetos Ftos baseado em Volumes de Cotrole (CVFEM - Cotrol Volume-Fte Elemet Method). Na realdade, todos estes métodos umércos podem ser dervados de um úco método cohecdo como Método de Resíduos Poderados (WRM - Weghted Resdual Method), sedo dferecados matematcamete pela fução de poderação ou, smplesmete, fução peso aplcada a aulação do resíduo (LIMA, 005). As deas e teoras que deram orgem ao método de elemetos ftos surgram próxmo dos aos de Sedo que ão se atrbu a guém a autora deste método, e ão se sabe a data precsa em que surgu. No etato, Matemátcos, Físcos e Egeheros trabalham desde o íco a elaboração e evolução do método. Na egehara, este método fo usado pela

14 13 prmera vez em 1960 por Clough um estudo de problemas de elastcdade plaa. Orgalmete, o método fo mplemetado o estudo de tesões em aeroaves. A partr do trabalho de Clough, o íco dos aos 1960, o método de elemetos ftos fo usado extesvamete para aálse de tesões leares, deflexão e vbrações e em dversas áreas das egeharas, já que a época começava a se recohecer a efcáca do método (PEREIRA, 005). O método de elemetos ftos de Galerk (GFEM) gera erros mímos a orma L para problemas modelados, matematcamete, por operadores dferecas auto adjutos e resulta em um sstema lear smétrco de equações algébrcas. No etato, as prcpas equações que regem a dâmca de fludos ão são equações auto adjutas e se o GFEM for utlzado para resolvê-las, sem qualquer establzação, resultará em soluções com váras osclações. A stabldade será devdo aos termos de aceleração covectva ão-leares, o que tora as equações ão auto adjutas e leva a um sstema de equações algébrcas ãosmétrcas (LIU, 005). Além dsso, o lmte compressível, se a codção de Ladyzheskaya-Babuska-Brezz (LBB) ão for satsfeta será orgada stabldade se fuções de terpolação de ordem guas forem usadas para os campos de velocdade e de pressão. Deste modo, a utlzação de elemetos leares smples resulta em soluções altamete osclatóras quado os fluxos de fludos vscosos compressíves são resolvdos utlzado terpolação de gual ordem. A volação desta codção mutas vezes resulta em osclações umercamete ão-físcas o campo de pressão (LIU, 005). Uma maera de solucoar ou reduzr as stabldades da solução é aplcar téccas de dscretzação do tpo upwd para dscretzação dos termos de érca, que são a prcpal fote de osclações, quado se teta solucoar este tpo de problema. Para a establzação através de formulações trasetes, exste o esquema Galerk Característco, (LÖHNER et al., 1984; ZIENKIEWICZ; CODINA, 1995; NITHIARASU et al., 005; ZIENKIEWICZ et al., 1999; ZIENKIEWICZ; TAYLOR, 000) o qual se sere o esquema de separação baseada a característca (CBS). A fm de aplcar a abordagem Galerk Característco às equações de quatdade de movmeto, em prmero lugar, o termo de pressão geralmete é elmado a equação de quatdade de movmeto, e um sstema de coordeadas móves é assumdo, como se fosse uma abordagem da dâmca de fludos Lagrageaa. Embora, esta abordagem escoda o termo covectvo (resposável pela osclação espacal), um prmero mometo, a complcação de um sstema de coordeadas móvel é troduzda. No etato, uma smples

15 14 expasão espacal em sére de Taylor evta os problemas causados por tal aproxmação, pos leva à moblzação do sstema de coordeadas. Assm, se é capaz de calcular um campo de velocdade termedára e com sso, a prmera etapa do esquema CBS é falzada. No segudo passo, o campo de pressão é calculado a partr de uma equação de Posso oruda da equação da cotudade ou explctamete, usado uma técca de compressbldade artfcal. Etão, o tercero passo, as velocdades termedáras serão corrgdas, uma vez que se tem o termo de pressão calculado. Com a pressão e as velocdades corrgdas já dspoíves, pode-se calcular todas as varáves escalares adcoas com a equação goverate adequada. Devdo à dvsão troduzda as equações, o método é referdo como a separação baseada a característca, do glês, Characterstc Based Splt (CBS), (LEWIS et al., 004). O esquema da separação baseada a característca (CBS) para problemas de escoameto compressíves e compressíves fo troduzdo pela prmera vez a lteratura de elemetos ftos em 1995 por Zekewcz e Coda e outros pesqusadores do grupo de pesqusa. Desde a sua trodução para a comudade de métodos computacoas e umércos, o esquema CBS tem recebdo grade teresse e tem sdo objeto de estudo para város pesqusadores para ambos os tpos de escoametos: compressíves e compressíves (LIU, 005). Os prmeros resultados para escoametos compressíves trdmesoas foram mostrados por Ntharasu (003) ode ele apreseta o método de compressbldade artfcal para os dos tpos de resultados, D e 3D. Logo o ao segute, Ntharasu et al. (004) fez um estudo mas amplo somete para casos trdmesoas ode é utlzado as formas semmplícta e totalmete explícta. A motvação prcpal para este trabalho é o estudo do esquema CBS, com a faldade de realzar smulações umércas para casos de escoametos compressíves trdmesoas de fludos vscosos. Exste um códgo computacoal base dspoível para problemas bdmesoas, o trabalho de Taylor, Ntharasu e Seetharamu (004) que fo utlzado para o apredzado da técca, bem como a base do códgo trdmesoal deste trabalho. 1. ALGUNS TRABALHOS PRÉVIOS SOBRE O DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO ESQUEMA CBS. Ntharasu e Zekewcz (000) apresetam o esquema CBS aplcado em cojuto com uma técca de refameto de malha adaptatva, ou seja, a partr de uma malha grossera o

16 15 códgo é capaz de realzar o refameto da malha em regões ecessáras do domío, o que tora o custo computacoal meor, tato em memóra quato em processameto. Testes realzados para escoametos bdmesoas compressíves e compressíves em regme permaete e trasete mostraram boa cocordâca com a lteratura. Coda (001) aalsou a establdade do método de elemetos ftos usado passo fracoado para escoametos compressíves calculado através da solução de uma equação de Posso o campo de pressão. Para um método de projeção clássco de prmera ordem, fo mostrado que há um cotrole da pressão que depede do tamaho do passo de tempo e, além dsso, exste um lmte bem meor para este em vrtude da establdade. A stuação pora para o método de seguda ordem em que parte do gradete de pressão é eglobado a equação do mometo lear. A establdade da pressão, este caso, é extremamete fraca. Para superar estas defcêcas fo cosderado um método de elemetos ftos que oferece uma solução umérca para problemas de escoametos em regme ão permaete. Este método tem sdo mplemetado para resolver escoametos turbuletos compressíves, pela solução das equações médas de Reyolds (RANS) para o caso de regme permaete e (URANS) para o caso de regme ão permaete. O esquema CBS sem-mplícto o qual requer um procedmeto de solução de matrz para solução da equação de Posso, fo mplemetado usado a técca de passo fracoado e sua establdade fo aalsada. A fm de dar suporte aos resultados teórcos, város exemplos umércos de problemas clásscos foram apresetados. Para a solução de escoameto compressível e compressível, o esquema CBS fo calmete apresetado por Zekewcz e Coda (1995). O esquema CBS tem sdo expaddo para vestgar outras aplcações, por exemplo, dâmca dos sóldos, escoameto em águas rasas e escoametos ão sotérmcos em meos porosos. Mas, recetemete, tem sdo combado com método padrão AC (Compressbldade Artfcal) para se obter um procedmeto efcete do método explícto lvre de matrz, segudo Lu (005). Embora o algortmo CBS já tvesse sdo utlzado com sucesso em problemas de escoameto turbuleto e com elevados valores do úmero de Reyolds, modelos de turbulêca ada ão havam sdo testados. Notado-se essa lacua, Lu (005) apresetou um algortmo utlzado compressbldade artfcal e o algortmo CBS para fluxos cotíuos e com stabldades de turbulêca que pode ser aplcado a escoametos compressíves. Testes realzados pelo autor demostraram o sucesso da aplcação do modelo k aumetado assm, a gama de uso de varações do algortmo CBS. A questão coservatva também fo abordada o trabalho de Ntharasu e Zekewcz, (006). Neste estudo, fo realzada uma aálse do método explícto para fludos

17 16 compressíves utlzado o algortmo CBS, empregado tato a forma coservatva como a ão coservatva das equações de movmeto. A establzação, covergêca e aspectos de coservação do presete método foram dscutdas. Um procedmeto para a elmação de erros de prmera ordem o tempo fo proposto. Os resultados foram comparados com resultados de outros métodos tedo apresetado boa cocordâca. Nesta mesma lha, Massarott et al. (006) apresetaram, em seu trabalho, uma comparação dos métodos explíctos e sem-mplíctos do algortmo CBS - AC. O estudo mostrou que os dos métodos apresetaram bos resultados. Todas as soluções para o estado estacoáro se mostraram pratcamete dêtcas, especalmete para problemas de covecção atural. Etretato, a aplcação do método explícto em problemas desta atureza apreseta algus problemas de covergêca e forças de flutuações extremamete altas. Na solução de problemas trasetes otam-se algumas dfereças com relação ao cremeto de tempo utlzado em cada stuação. Ada segudo a lha de comparação etre métodos, Coda et al. (006) realzaram a comparação etre os métodos de establzação CBS e o método Sub-Grd (Sub Grd Scale - SGS) chegado a coclusão de que os dos métodos são pratcamete guas, quato a qualdade de resultados; porém o CBS apreseta uma pequea vatagem em relação ao custo computacoal. Morad-Cecch e Vetur (006) mostram uma solução, utlzado elemetos ftos e a técca CBS, para problemas de águas rasas (shallow waters) utlzado como foco do estudo, a lagoa de Veeza e chegaram à coclusão que os resultados obtdos estavam detro do esperado. Ortz et al. (006) apresetam uma extesão da solução para o problema de águas rasas, aplcado seu estudo à cocetração de sal em ros e estuáros de modo a forecer mportate formação para áreas de cultvo de platas. Em relação a outros métodos de solução, Thomas e Ntharasu (007) comparam dos métodos: o método Locally Coservatve Galerk - LCG e o método Global Galerk - GG. Ao fal do trabalho, pode-se coclur que ambos os métodos são pratcamete dêtcos, exceto pelo fato do LCG ter taxas de covergêca maores. Amplado o método LCG, Thomas, Ntharasu e Beva (007) resolveram as equações de Naver-Stokes para escoameto compressível. Além da mplemetação do método, dos exemplos de referêca foram apresetados para demostrar a valdade do método. Ada o âmbto bdmesoal, Nckaee e Ashrafzadeh (010) apresetam em seu trabalho uma solução das equações de Naver-Stokes, utlzado o método de volumes ftos

18 17 combado com a técca CBS e apresetaram exceletes resultados para algus dos exemplos de referêca que também serão estudados este trabalho. Beva et al. (011) fez um estudo sobre uma doeça cardovascular. O esquema CBS fo aplcado para a smulação de escoametos de sague em uma bfurcação da vea aorta com o objetvo de estudar aeursmas. Este trabalho apreseta váras complexdades dferetes ecotradas a smulação umérca de escoametos, tas como froteras móves como codções de cotoro e escoameto turbuleto. O sague (fludo) é tratado como ewtoao para evtar a complexdade da smulação de fludos de reologas dferetes. Ntharasu et al. (013) fzeram um estudo comparatvo etre o CBS e método moolítco e cocluíram que, para problemas em regme permaete, os dos métodos são parecdos excetuado apeas os parâmetros de establzação. Para problemas trasetes, apesar de apresetar algumas pequeas desvatages, o CBS é mas adequado, uma vez que, ao utlzar passo de tempo duplo e a compressbldade artfcal, ão exste o armazeameto de matrz para a solução, torado o procedmeto de solução muto mas smples. É possível observar que o prcpal cetro de desevolvmeto e aplcação do esquema CBS é a Uversdade de Swasea, País de Gales, o Reo Udo. Todos os trabalhos ctados acma e mutos outros que ão foram ctados este trabalho e que foram desevolvdos em Swasea cotrbuíram para o desevolvmeto do lvro Zekewcz et al. (014), lvro este que trata de maera mas geeralzada possível o desevolvmeto e aplcação de um códgo computacoal da técca CBS para escoametos trdmesoas. Fato este que tora este lvro uma das prcpas referêcas para este trabalho. 1.3 OBJETIVOS O presete trabalho tem os segutes objetvos geras: a) cotuar estudos e apredzado do esquema CBS a establzação do método de elemetos ftos de Galerk, cados em trabalhos aterores; b) eteder aspectos de mplemetação computacoal do esquema CBS; c) aplcar um códgo computacoal baseado o GFEM-CBS para smulação de escoametos de fludos com e sem trasferêca de calor, em domíos bdmesoas, com o tuto de testar seu desempeho. O objetvo específco é:

19 a) o desevolvmeto e extesão de um códgo computacoal, tedo como base o códgo bdmesoal já dspoível, para smulações de casos de escoametos trdmesoas. 18

20 19 EQUAÇÕES GOVERNANTES As equações goverates para represetar, matematcamete, escoametos de fludos são as equações da cotudade, de balaço da quatdade de movmeto e de coservação da eerga acrescdas de equações costtutvas. Essas equações são escrtas a segur. Coservação da Massa: u 0 t x (1) Para escoametos com compressbldade pequea, tem-se que a varação temporal de ρ pode ser expressa como (ZIENKIEWICZ et. al., 014): 1 p t c t () ode c é a velocdade do som. Balaço de Quatdade de Movmeto: U j p u U g t x x x j j j (3) ode, U = ρu; e τ j represeta os compoetes do tesor de tesões para fludos ewtoaos, dada por: u u j u j j x x 3 x j k k (4)

21 0 Coservação de Eerga Térmca (eq. de etalpa): h q Dp u t x x Dt x j Uh j (5a) Coservação de Eerga Térmca (a temperatura): T T T Dp u c u k T j p j t x x x Dt x (5b) ode u são as compoetes de velocdade, ρ é a massa específca, ρg represeta as forças de campo e outros termos fote, p é a pressão, μ é a vscosdade dâmca do fludo, h é a etalpa específca, q é o fluxo de calor, T é a temperatura, c p é o calor específco à pressão costate, k é a codutvdade térmca, β é o coefcete de expasão térmca e j é o delta de Kröecker. Geercamete, equações smlares às Eqs. (5a, 5b), deomadas de equações de trasporte de uma gradeza escalar, podem ser escrtas como u S t x x x (5c) As equações goverates são, geralmete, escrtas a forma admesoal, e os grupos admesoas usados para tal faldade varam depededo da atureza do escoameto. Serão descrtos os grupos admesoas que são usados com mas frequêca em mecâca dos fludos computacoal. u x tu p u ; x ; t ; ; ; p ; ; * * * * * * * u L L u ; * j * j u w (6)

22 1 ode as quatdades admesoas estão salzadas pelo astersco. O subscrto represeta uma quatdade de referêca e L é um comprmeto característco que depede do problema a ser estudado. Aplcado os grupos admesoas defdos a Equação (6) as equações goverates e rearrajado se obtém as suas formas admesoas. Coservação da Massa: U c t t x * * * 1 p * * * * (7) Balaço de Quatdade de Movmeto: U t x x x Fr * * * * * 1 j p 1 * * * * u ju g * * j Re j (8) * j u u x x x * * * j uk * * j * j 3 k (9) ode Re é úmero de Reyolds, * g é o termo das forças de campo admesoal, Fr é o úmero de Froude e Pr é o úmero de Pradtl, os quas são defdos como u L g u (10) * Re ; g ; Fr ; Pr g gl Equação de trasporte de um escalar: 1 t x x x * * * * * * u * S * * * Re (11)

23 Na Equação (11), o coefcete de dfusão sedo cosderada. Por exemplo, se * depede de qual gradeza escalar está * é a temperatura, a Equação (11) toma a forma T T 1 1 T t x x x * * * * * u * * * * Q Re Pr (1)

24 3 3 O ESQUEMA DA SEPARAÇÃO BASEADA NA CARACTERÍSTICA CBS Para se obter uma solução para as equações de Naver-Stokes e equação de trasporte, usado o esquema CBS, se desevolve a dscretzação em quatro passos. No prmero passo, se faz a dscretzação das equações de quatdade de movmeto sem o do termo de pressão, smlar ao uso de métodos de projeção. No segudo passo, se obtém uma equação de Posso para o campo de pressão ou se resolve a pressão explctamete usado compressbldade artfcal; com esta últma técca sedo mas coveete para problemas trdmesoas. No tercero passo se corrge o campo de velocdade usado o prcípo de coservação da massa. No quarto passo pode-se resolver a equação de trasporte para qualquer varável escalar. Um resumo de todos os passos pode ser descrto da segute maera: 1. Cálculo do campo de velocdade termedára.. Cálculo do campo de pressão. 3. Correção do campo de velocdade. 4. Cálculo de alguma varável escalar de teresse utlzado a equação goverate adequada. (Exemplo: temperatura, cocetração, etc.) 3.1 O GALERKIN CARACTERÍSTICO Exstem mutas varates possíves para esse método, etretato todos os métodos propostos aterormete são complexos para a programação e exgem muto tempo computacoal. Por esta razão, uma alteratva mas smples fo desevolvda em que as dfculdades são evtadas, causado uma establdade codcoal. Este método fo apresetado pela prmera vez em 1984 e é descrto em váras publcações, (ZIENKIEWICZ et al., 014). Para maor facldade de mapulação matemátca e de terpretação do método, a equação de covecção de um escalar udmesoal a forma ão coservatva será cosderada: u Q 0. (13) t x x x

25 4 Fgura 1- Característca o domío tempo-espaço. Fote: Adaptado de Zekewcz et al. (014) Vamos cosderar a característca do escoameto, mostrada a Fgura 1, o domío do espaço e do tempo. O passo de tempo de escoameto é +1, e a dstâca percorrda durate esse período de tempo é t a partr do state até o state x, sto é, de x x até x. Ao assumrmos um sstema de coordeadas móves ao logo do camho da característca com velocdade u, o termo covectvo desaparece, como se fosse em uma abordagem de mecâca dos fludos Lagrageaa, (LEWIS, 004) equato o termo de dfusão e o termo fote são quatdades médas ao logo da característca. A Equação (13) se tora, etão, x t, t Qx 0 t x x (14) Aqu, o operador de seguda ordem a equação é auto adjuto, torado a dscretzação espacal pelo método de Galerk como a melhor opção. Mas, embora, o termo de covecção, que é resposável pela osclação espacal, teha desaparecdo, a complcação de um sstema móvel de coordeadas fo troduzda o problema. Dscretzado o termo de tempo a Equação (14) obtém-se a sua forma sem-dscreta: 1 1 x ( xx ) Q (1 ) Q t x x x x xx (15) Na Equação (15) fo usado um parâmetro para defr o esquema de dscretzação o tempo, que pode ser desde um esquema totalmete mplícto para 1 até um totalmete explícto para 0. Neste poto, adotar-se-á um valor de θ gual a 0 para smplcdade o

26 5 desevolvmeto e se desprezará o termo fote Q, uma vez que, os feômeos físcos que tal termo represeta a equação, ão serão abordados este trabalho. Com referêca à Fgura 1, pode-se desevolver os termos que estão avalados a posção xx usado expasões em sére de Taylor e etão escrevê-los de modo que fquem em fução apeas da posção x. Desta forma, se tem, por exemplo, x x x 1! x! xx x 3 O( x ) (16) A expasão do termo dfusvo é feta da segute forma: xx x x O x x x x x x x x ( ) (17) Nas duas expasões acma, Equações (16) e (17), os termos de seguda ou mas alta ordes são desprezados. Substtudo as Equações (16) e (17) a Equação (15), se obtém: 1 x x t t x t x x x (18) Neste caso, todos os termos são avalados a posção x. Se a velocdade do escoameto é u, segudo Lews, Ntharasu e Seetharamu (004), pode-se escrever x u t. Portato, a forma sem-dscreta da Equação (18) pode ser reescrta como t t x x x x 1 u u 1 (19) Através da realzação de expasões em séres de Taylor, o termo covectvo reaparece a equação, jutamete com um termo de seguda ordem adcoal. Os termos de seguda ordem são de atureza dfusva e atuam como um operador de suavzação que reduz as osclações decorretes da dscretzação espacal dos termos de covecção. A extesão do esquema característco de Galerk para uma equação de covecçãodfusão multdmesoal de escalares é smples. A equação trdmesoal de covecçãodfusão é escrta, como segue:

27 6 u Q t x x x (0a) As codções de cotoro para o problema defdo pela Equação (0), podem ser colocadas a segute forma geral: x j j q (0b) Por exemplo, 0, 1 ou 1, 0 se recuperam as codções de cotoro de j j prmero ou de segudo tpos respectvamete. Como demostrado em Perera (010), o uso do esquema GC leva à forma sem-dscreta segute: x, t x, t 1 xj, t x, t t u j x j, t Q x, t x j x x t t u x t u j x j t x,, x, t x j j x, j, t Q x t u j x j, t u j x j, t x j x x x j (1a) Desprezado os termos de tercera ordem e o termo fote, a Equação (1a), em coordeadas cartesaas resulta

28 7 1 u v w t x y z x x y y z z t u u v w x x y z t v u v w y x y z t w u v w z x y z (1b) Esta forma é dta sem-dscreta, pos ela cotempla apeas a dscretzação temporal, faltado ada a dscretzação espacal para. Assm, se obter a forma totalmete dscreta. Para sso, etão, realzar-se-á a dscretzação espacal, assumdo uma varação lear de detro de um elemeto tetraédrco, tal como mostrado a Fgura. Fgura - Elemeto tetraédrco lear. Fote: Própro autor. A terpolação de uma varável escalar para um elemeto tetraédrco lear é dada por: x, t N x t N x t N x t N x t j1 N x t N j j ()

29 8 com N N N N N represetado as fuções de terpolação e T os valores odas da varável. Em coordeadas cartesaas, as fuções de terpolação podem ser escrtas a segute forma geral: 1 N a b x c y d z; 1,,3,4 (3) 6V Defdo uma matrz, cujos coefcetes depedam das coordeadas odas do elemeto, 1 1 A 1 1 x y z x y z x y z x y z (4) ode x, y e z são as coordeadas dos ós do tetraedro; o volume V de cada elemeto pode ser determado da segute forma: 6V=sal det Adet A a1 a a3 a4 (5) As dervadas parcas da fução de terpolação são ecessáras os cálculos e podem ser avaladas como: N x N y N z 1 b 6V 1 c 6V 1 d 6V Os coefcetes as fuções de terpolação podem, por sua vez, serem calculados como apresetado a segur. - os coefcetes a : a x y z y z x y z y z x y z y z a x y z y z x y z y z x y z y z a x y z y z x y z y z x y z y z a x y z y z x y z y z x y z y z os coefcetes b : b1 y3z43 y43z3 ; b y31z41 y41z31 ; b3 y41z1 y1z41 ; b4 y1z31 y31z1 (8) (6) (7)

30 9 - os coefcetes c c1 x3 z4 x4z3 ; c x41z31 x31z41 ; c3 x1z41 x41z1; c4 x31z1 x1z31 (9) - os coefcetes d d1 x4 y3 x3 y4 ; d x31 y41 x41y31 ; d3 x41y1 x1y41 ; d4 x1y31 x31y1 (30) A otação x j e j ó, ó, j yj usada as Equações (8) a (30) sgfca xj xó, xó, j e y y y. É mportate observar que todos os coefcetes depedem somete das coordeadas dos 4 ós de cada elemeto tetraédrco, bem como do volume de cada elemeto. Aplcado o método de resíduos poderados de Galerk, descrto o Apêdce A, para resolver a Equação (1b) se obtém a segute equação: 1 T T T T [ N] d u[ N] d v[ N] d w[ N] d t x y z T T T [ N] d [ N] d [ N] d x x y y z z t T T T u[ N] u d u[ N] v d u[ N] x x w d x y x z t T T T v[ N] u d v[ N] v d v[ N] w d y x y y y z t T T T w[ N] u d w[ N] v d w[ N] w d z x z y z z (31) Agora se faz uma learzação dos termos covectvos de seguda ordem, a Equação (31), ou seja, retra-se os compoetes de velocdade para fora das tegras como valores médos a serem defdos. Resulta a equação:

31 30 1 T T T T [ N] d u[ N] d v[ N] d w[ N] d t x y z T T T [ N] d [ N] d [ N] d x x y y z z t T T T u [ N] u d [ N] v d [ N] x x w d x y x z t T T T v [ N] u d [ N] v d [ N] w d y x y y y z t T T T w [ N] u d [ N] v d [ N] w d z x z y z z (3) Em seguda, se obtém a forma fraca da Equação (3) por tegração por partes e se usa o Teorema de Gree para trasformar tegras de volume em tegras de superfíce, resultado: 1 T T T T [ N] d u[ N] d v[ N] d w[ N] d t x y z T T T [ N] [ N] [ N] d d d x x y y z z T [ N] x y z d x y z T t [ N] T u u v w d [ N] u v w xd x x y z x y z T t [ N] T v u v w d [ N] u v w yd y x y z x y z T t [ N] T w u v w d [ N] u v w zd z x y z x y z (33) Reagrupado os termos de cotoro, chega-se a equação segute:

32 31 1 T T T T [ N] d u[ N] d v[ N] d w[ N] d t x y z T T T [ N] [ N] [ N] d d d x x y y z z T t [ N] u u v w d x x y z v t T [ N] u v w d y x y z w T t [ N] u v w d z x y z T [ N] x y z d x y z u v t T [ N] u v w xd x y z t T [ N] u y v w d x y z w t T [ N] u v w zd x y z (34) Agora, substtudo a varável terpolada, como defda a Equação (), exceto os termos de cotoro, resulta a equação algébrca segute:

33 3 1 T T [ N] [ N] [ N] [ N] [ N] d [ N] u v w d t x y z T T T [ N] [ N] [ N] [ N] [ N] [ N] d d d x x y y z z T t [ N] [ N] [ N] [ N] u u v w d x x y z T t [ N] [ N] [ N] [ N] v u v w d y x y z T t [ N] [ N] [ N] [ N] w u v w d z x y z T [ N] x y z d x y z t T u [ N] u v w xd x y z t T v [ N] u v w yd x y z t T w [ N] u v w zd x y z (35) Os termos que apareceram deotados pelo domío Γ represetam a cotrbução dos cotoros do domío Ω. Observamos, também, os termos de cotoro, o aparecmeto do termo, que represetam os cosseos dretores e devem sempre apotar para fora do domío Ω. A fm de se obter a forma matrcal da Equação (35), se defem as segutes matrzes: A Matrz Massa: T e M N N d (36) A Matrz Covectva: e N N N T C N u v w d x y z (37)

34 33 A Matrz Dfusva: K de N T N N T N N T N d x x y y z z (38) A Matrz Establzate: T T T N N N N N N t Kee u u d v d w d x x x y x z T T T N N N N N N t v u d v d w d y x y y y z T T T N N N N N N t w u d v d w d z x z y z z (39) O vetor força devdo ao termo dfusvo: T f1 e [ N] x y z d x y z (40) O vetor força devdo ao termo establzate: t T f e u [ N] u v w xd x y z t T v [ N] u v w yd x y z t T w [ N] u v w zd x y z (41) A partr das defções (36) a (41), podemos escrever Equação (35) a forma matrcal como sedo: 1 t (4) M C K K f f e e de ee 1e e

35 34 3. PROCEDIMENTO DE SEPARAÇÃO CBS PARA O CASO DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS A fm de mostrar todo o esquema CBS, se utlza, agora, o cojuto de equações que regem escoametos compressíves trdmesoas para uma melhor vsualzação e compreesão do esquema. As equações goverates para o escoameto são descrtas logo em seguda. Equação da Cotudade u v w 0 x y z (43) Equação da Quatdade de Movmeto em x u v w t x y z x x y z u u u u 1 p u u u (44) Equação da Quatdade de Movmeto em y u v w t x y z y x y z v v v v 1 p v v v (45) Equação da Quatdade de Movmeto em z u v w t x y z z x y z w w w w 1 p w w w (46) Equação de Trasporte de Eerga Térmca, em que a varável é a temperatura, T, e o coefcete dfusão é a dfusvdade térmca, forma:. Assm a equação de trasporte fca a u v w t x y z x y z T T T T T T T (47) Através das aplcações das etapas segutes, será possível a obteção da solução para as equações de Naver-Stokes e para a equação de trasferêca de calor por covecção-dfusão. Passo 1: Campo de Velocdades Itermedáras

36 35 Neste passo é realzada a remoção dos termos de pressão das Equações (44) a (46). Tal procedmeto os permte aplcar o Galerk Característco e assm calcular o campo de velocdades termedáras. As Equações (44) a (46), após remoção do termo de pressão, a forma sem-dscreta, são escrtas da segute forma: Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em x u u u u u u u u u v w t x y z x y z (48) Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em y v v v v v v v v u v w t x y z x y z (49) Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em z w w w w w w w w u v w t x y z x y z (50) ode u, v e w são varáves do campo de velocdades termedáras. Pode-se aplcar, agora, o método do Galerk Característco as Equações (48) a (50), obtedo, a forma sem-dscreta das mesmas, como a segur: Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em x. u v w t x y z x y z u u u u u u u u t u u u u u v w x x y z t u u u v u v w y x y z t u u u w u v w z x y z (51) Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em y.

37 36 u v w t x y z x y z v v v v v v v v t v v v u u v w x x y z t v v v v u v w y x y z t v v v w u v w z x y z (5) Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em z. u v w t x y z x y z w w w w w w w w t w w w u u v w x x y z t w w w v u v w y x y z t w w w w u v w z x y z (53) É mportate otar que as Equações (51) a (53), os termos dfusvos foram tratados explctamete, ou seja, sem se cosderar os termos de establzação orudos da expasão em sére de Taylor. Passo : Cálculo da Pressão O campo de pressão pode ser calculado a partr de uma equação de Posso. A equação é dervada porque as velocdades termedáras do prmero passo precsam ser corrgdas para satsfazer a coservação da massa. Se as correções de pressão ão forem removdas a equação da quatdade de movmeto, as velocdades corretas são obtdas, porém, com a perda de algumas vatages. A forma sem-dscreta das equações da quatdade de movmeto, sem a remoção dos termos de pressão (Equações de Naver-Stokes) são: - Forma Sem-Dscreta da Equação da Quatdade de Movmeto em x.

38 37 1 u u u u u u u u 1 p u v w t x y z x y z x t u u u 1 p u u v w x x y z x t u u u 1 p v u v w y x y z x t u u u 1 p w u v w z x y z x (54) - Forma Sem-Dscreta da Equação da Quatdade de Movmeto em y. 1 v v v v v v v v 1 p u v w t x y z x y z y t v v v 1 p u u v w x x y z y t v v v 1 p v u v w y x y z y t v v v 1 p w u v w z x y z y (55) - Forma Sem-Dscreta da Equação da Quatdade de Movmeto em x 3. 1 w w w w w w w w 1 p u v w t x y z x y z z t w w w 1 p u u v w x x y z z t w w w 1 p v u v w y x y z z t w w w 1 p w u v w z x y z z (56) Subtrado das Equações (54) a (56) as Equações (51) a (53) respectvamete, resultará o cojuto de equações escrtas a sequêca:

39 38 1 u u 1 p t 1 p t 1 p t 1 p u v w t x x x y x z x (57) 1 v v 1 p t 1 p t 1 p t 1 p u v w t y x y y y z y (58) 1 w w 1 p t 1 p t 1 p t 1 p u v w t z x z y z z z (59) Uma vez obtdas as velocdades termedáras do prmero passo e o campo de pressão, as velocdades fas podem ser obtdas utlzado as Equações (57) a (59). Segudo Lu (005), termos de ordem superor podem ser excluídos, vsto que, esses termos pouco fluecam sobre a correção da velocdade. Após se desprezar tas termos e dervar cada membro da Equação (57) em relação à x 1, da Equação (58) em relação à x e da Equação (59) em relação à x3 e somar as equações resultates, (LEWIS, 004), chega-se a u v w u v w t p p p x y z x y z x y z (60) Podemos defr, pela equação da cotudade, que: u v w 0 x y z (61) Substtudo a Equação (61) a Equação (60), se obtém a equação da pressão, como represetada a Equação (6): p p p u v w x y z t x y z (6) Note que, ão exste codções trasetes ou covecção a Equação (6) e esta é uma equação do tpo Posso. Aqu um método de solução de sstemas leares de equações será ecessáro, a fm de se obter uma solução, (Lews, 004).

40 39 Passo 3: Correção da Velocdade A correção da velocdade é feta utlzado as Equações (54) a (56) demostradas o passo ateror. Uma vez que o campo das velocdades termedáras fo calculado pelas Equações (47) a (49) e o campo de pressão pela Equação (58), a correção é possível. Passo 4: Cálculo da Temperatura Aplcado o procedmeto de Galerk Característco para a equação de trasporte de eerga, Equação (43), resulta a equação: 1 T T T T T T T T u v w t x y z x y z t T T T u u v w x x y z t T T T v u v w y x y z t T T T w u v w z x y z (63) Todas as quatro etapas aterores são resumdas a segur. Passo 1: Campo de Velocdade Itermedára Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em x. u v w t x y z x y z u u u u u u u u t u u u u u v w x x y z t u u u v u v w y x y z t u u u w u v w z x y z (51)

41 40 Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em x. u v w t x y z x y z v v v v v v v v t v v v u u v w x x y z t v v v v u v w y x y z t v v v w u v w z x y z (5) Equação da Quatdade de Movmeto Itermedáro em x 3. u v w t x y z x y z w w w w w w w w t w w w u u v w x x y z t w w w v u v w y x y z t w w w w u v w z x y z (53) Passo : Solução do Campo de Pressão p p p u v w x y z t x y z (6) Passo 3: Correção da Velocdade (Eqs. 57 a 59) 1 u u 1 p t 1 p t 1 p t 1 p u v w t x x x y x z x (57) 1 v v 1 p t 1 p t 1 p t 1 p u v w t y x y y y z y (58)

42 41 1 w w 1 p t 1 p t 1 p t 1 p u v w t z x z y z z z (59) Passo 4: Cálculo da Temperatura 1 T T T T T T T T u v w t x y z x y z t T T T u u v w x x y z t T T T v u v w y x y z t T T T w u v w z x y z (63) Pode-se, ada, reescrever os quatro passos resumdos acma utlzado otação dcal: Prmero Passo t u j uk u j t x j x jx j xk x j u u u u u (64) Segudo Passo p u x x t x (65) Tercero Passo 1 u u 1 p t 1 p u j t x x j x (66) Quarto Passo (Equação da Eerga) 1 T T t T T T T t u u j u x x x x j x (67)

43 4 Uma vez explcado os quatro passos que compõe o esquema, fca cocluída a explcação da teora detro do esquema. Todo o procedmeto da separação explcado aqu resulta a dscretzação temporal de osso problema. É mportate dzer que, devdo à separação do cálculo da velocdade o prmero passo e do cálculo da pressão o segudo passo, o esquema CBS atede à codção de Ladyzheskaya, Babuska e Brezz ou codção LBB, ou ada a codção lmte de compressbldade. 3.3 CÁLCULO DO PASSO DE TEMPO O passo de tempo local em cada ó é calculado como se segue (LEWIS, 004): t m t, t (68) c d ode Δt c e Δt d são os passos de tempo baseados os processos de covecção e dfusão. O passo de tempo de covecção Δt c é escrto como: h tc (69) u ode u é a orma da velocdade e h é um tamaho característco do elemeto. Já o passo de tempo dfusvo é defdo como: h td (70) O passo de tempo dfusvo cotém duas partes. A prmera está relacoada com a dfusão de quatdade de movmeto e é uma fução da vscosdade cemátca e a seguda está relacoada com a dfusão térmca e é uma fução da dfusvdade térmca do fludo. O passo de tempo de dfusão pode ser expresso como: h h td m, v (71)

44 43 ode v é a vscosdade cemátca e a dfusvdade térmca. De modo que, se o quarto passo do esquema CBS ão for de teresse e a equação da eerga ão for calculada, o passo de tempo dfusvo será aquele em fução da vscosdade cemátca do fludo. O tamaho do elemeto h é calculado para cada ó e depede dos elemetos que estão lgados a este ó. A Fgura 3 ajuda a se eteder melhor como é feto o cálculo para o exemplo de um escoameto bdmesoal com elemetos tragulares. Fgura 3 - Um ó compartlhado por város elemetos. Fote: Adaptado de Lews et al. (004). O procedmeto para calcular o tamaho característco de elemeto em duas dmesões é: Area h m, 1, Ne l ode, Ne é gual ao úmero de elemetos compartlhado por um ó, (7) Area é a área dos elemetos lgados ao ó e l é o comprmeto dos lados opostos como mostrado a Fgura 3. Para o caso trdmesoal a relação equvalete à Equação (7) é: 3Volume hm, 1, úmero de elemetos lgados ao ó A op _ (73) ode o termo é o volume do elemeto. A op _ represeta a área da face oposta ao ó que está sedo avalado e Volume

45 COMPRESSIBILIDADE ARTIFICIAL - AC Quado a compressbldade real do fludo é pequea, é comum assumr que este fludo é compressível coforme a velocdade do som se aproxma do fto. Mesmo que a velocdade do som seja fta, o seu valor deve ser grade e assm uma severa lmtação o passo de tempo aparece. Etretato, o método da compressbldade artfcal pode ser aplcado a fm de elmar tal restrção causada pelo valor da velocdade do som o passo do esquema CBS, assumdo um valor artfcal para a velocdade do som sufcetemete baxa. Isto, porém só é possível se a codção de regme permaete exstr e com sso, aquele lmte, o termo trasete desaparece. Etão, o passo do esquema CBS, em sua forma semdscreta, deve ser reescrto como: 1 1 p p c U U p p t x x x x x x * 1 t1 (74) ode β é o parâmetro de compressbldade artfcal com dmesão de velocdade. Este parâmetro deve ser dado como uma costate ou baseado as restrções do passo de tempo covectva e dfusva. Em termos locas, o valor de β deve ser avalado coforme a segute relação: β = max c 0, u cov, u dff (75) ode o valor de c 0 é uma costate, etre 0.1 e 0.5 (LEWIS, 004) e os outros dos parâmetros são respectvamete a velocdade covectva e a dfusva, que são dadas por: u cov = u = u u (76) u dff (77) h ode h é o tamaho característco do elemeto, calculado pela Equação (7) ou Equação (73) depededo do úmero de dmesões do problema, e ν é a vscosdade cemátca. As duas

46 45 relações aterores serão escrtas agora em relação aos grupos admesoas utlzados prevamete as equações goverates, e se tem segudo Ntharasu et.al., 004 que u cov = u = u u (78) u dff (79) h Os outros 3 passos do CBS seguem alterados. Etretato a lmtação de passo de tempo para a compressbldade artfcal deve ser reescrta, a partr da Equação (69), da segute forma: t u cov h (80) É mportate lembrar este poto que, o método da compressbldade artfcal mostrado esta seção, é valdo somete para escoametos em regme permaete. Mas, é possível obter uma solução trasete utlzado o método do passo de tempo duplo que será mostrado mas adate. 3.5 O AC-CBS Prmeramete, para se calcular o campo de velocdades termedáras (Passo 1), o termo de pressão da equação de Naver-Stokes fo removdo, o que produz uma equação covectva-dfusva para a quatdade de movmeto. Agora, a equação ecotra-se uma forma possível de se aplcar o procedmeto do Galerk Característco descrto aterormete. É mportate otar que o termo dfusvo da equação de Naver-Stokes, aqu é descrto em fução do tesor de tesões τ j. t U t u U u u U j * j k j xk x j x k x j (81) Pode-se observar que a Equação (81) é resolvda de modo totalmete explícto e assm permte uma solução completa. Para se obter a velocdade corrgda, procede-se da segute forma:

47 46 * ** U U U (8) ode: 1 U U U * U U U ** 1 U U U (83) Fazedo as devdas substtuções, obtém-se a Equação (84) que, uma vez calculado o campo de pressão, faz a correção do campo de velocdades termedáras. Este processo é a verdade o tercero passo do esquema CBS. ** * p t p U U U t uk x xk x (84) O segudo passo tem orgem a equação da cotudade e a partr dele, o campo de pressão será calculado da segute forma: c U p p t x (85) 1 1 Fazedo 1 U U U e substtudo a Equação (85): U U p p t c x x p p t p 1 t 1 1 uk x x x xk x (86) Desprezado os termos de ordem superor, chega-se a Equação (87): U U p p p p t 1 11 t 1 1 c x x x x x (87)

48 47 A partr deste poto, o campo de pressão fo calculado e o campo de velocdades já fo corrgdo. Em resumo, se tem os três prmeros passos do esquema AC-CBS: 1. Campo de velocdade termedára. Equação (81). Campo de pressão. Equação (87) 3. Correção do campo de velocdade. Equação (84) De posse da velocdade e da pressão, o quarto e últmo passo do esquema é o cálculo de qualquer outro parâmetro escalar, uma vez que a sua equação goverate adequada seja utlzada. 3.6 PASSO DE TEMPO DUPLO (DUAL TIME-STEPPING) Uma vez que o esquema AC-CBS tem atureza explcta e evolve a compressbldade artfcal, a codção de compressbldade somete é satsfeta o regme permaete. Etão, para obter uma solução real trasete, soluções statâeas em regme permaete que, aproxmadamete, satsfazem a codção de compressbldade serão tegradas a solução. Nesta abordagem, um termo de passo de tempo real é adcoado a equação de quatdade de movmeto e o passo de tempo usado aterormete atua como um mecasmo teratvo detro de cada passo de tempo real. Uma vez que a solução é terada detro de cada passo de tempo real, o método do passo duplo é mplícto e lvre de matrz por atureza, e ão apreseta ehuma restrção em relação ao passo de tempo real. Embora o passo teratvo usado detro de cada passo de tempo real seja restrto pelo lmte de establdade explícto, ele ão tem ehuma fluêca sobre o valor do passo de tempo real. O passo teratvo detro de cada passo de tempo real também learza a covecção e, mesmo que o passo de tempo real seja de atureza mplícta, ehum procedmeto adcoal de solução de matrz é requerdo, (NITHIARASU et. al., 003). A prcpal dfereça etre a formulação do CBS para a do AC-CBS é que o passo de tempo é tratado como um pseudo passo de tempo teratvo para alcaçar o regme permaete statâeo detro do passo de tempo real, (ZIENKIEWICS et. al., 014). A do campo de velocdades, este caso, é da forma:

49 48 m 1 j U p U U t u ju g t x j x j x m t j U uk u ju g xk x j x j t p uk xk x (88) ode ΔU m é a varação real da varável U. Este termo é aproxmado depededo da precsão trasete requerda. Uma precsão de seguda ordem é obtda com a segute aproxmação: (NITHIARASU et. al., 003); (ZIENKIEWICZ et. al., 014) e (NICKAEEN e ASHRAFIZADEH, 010) m m1 m 3U 4U U U (89) Aqu o ídce sobrescrto m se refere a varação do tempo real. Icorporado as modfcações, orudas da técca do passo duplo, detro da formulação do CBS, os três passos serão reescrtos em sua forma sem-dscreta como: Passo1: j t U t u U g u u U g * j j k j x j x j x k x j x j (90) Passo : 1 1 U U U p t t 1 x x x (91) Passo 3: m m ** p U t p t U U t uk uk x xkx (9)

50 49 Substtudo U por U U * ** que seguda ordem, obtém-se a forma fal do passo. *, rearrajado e desprezado os termos maores do 1 * m U U p p U p t 1 t1 1 x x xx xx x (93) 3.7 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL Neste trabalho serão utlzados elemetos tetraédrcos para a dscretzação espacal do domío de escoameto. As varáves velocdade e pressão são terpoladas um elemeto lear com quatro ós como:,,, 1,, 1,, N3 x, y, zu3 t N4 x, y, zu4 t,,, 1,, 1,, N3 x, y, zv3 t N4 x, y, zv4 t,,, 1,, 1,, N3 x, y, z w3t N4 x, y, z w4t,,, 1 1,, N x, y, z p t N x, y, z p t u x y z t N x y z u t N x y z u t v x y z t N x y z v t N x y z v t w x y z t N x y z w t N x y z w t p x y z t N p t N x y z p t (94) A segur, se utlza o esquema AC-CBS descrto o Item 3.5 (Eqs.(90)-(9)) para aplcar o procedmeto de dscretzação de Galerk em cada passo. 1º passo Multplcado pela fução peso, tegrado o domío Ω e substtudo a varável de teresse pela aproxmação, a Equação (90), fca a forma:

51 50 T T T N T N U d t N u U d d N g d * j j x j x j T uk N t T u ju g d t N j jd x k x j (95) Pode-se reescrever a Equação (3.83) uma forma matrcal e se obtém: * C U K u K u f u 1,, j 1 U t M t Ku U fs, (96) ode as matrzes da Equação (3.84) são defdas a segur: T M N N d (97a) u N Cu N d T j (97b) x j T K 1, B Bd;, K u T uk N uj N k j N K B d T x (97c) d x x (97d) T T f N gd N td ; t j j f s, u N T (97e) k gd x (97f) k Na Equação (97c), a matrz B é defda como