ANÁLISE DE INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS FLUID-STRUCTURE ANALYSIS BY THE FINITE ELEMENT METHOD

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1 ISSN ANÁLISE DE INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Rodolfo Adré Kuche Saches 1 & Humberto Breves Coda 2 Resumo O presete artgo traz um estudo do método dos elemetos ftos como ferrameta umérca para aálse de problemas de teração fludo-estrutura. Prmeramete é desevolvda uma ferrameta computacoal a qual o fludo é descrto em forma Lagrageaa-Euleraa arbtrára e o sóldo em descrção Lagrageaa-poscoal, a qual se mostra efcete para problemas que acetem a movmetação da malha do fludo sem a ecessdade de recostrução. Numa etapa subseqüete, é desevolvda uma ova técca de Método dos Elemetos Ftos baseada em B-sples mersas, a qual é testada em problemas de valor de cotoro elíptcos. Falmete é proposta uma formulação alteratva para a aálse de problemas de teração fludo-estrutura com o emprego da ova técca de B-sples mersas, da qual se espera maor versatldade. Palavras-chave: Iteração fludo-estrutura. Descrção ALE. MEF poscoal. B-sples. FLUID-STRUCTURE ANALYSIS BY THE FINITE ELEMENT METHOD Abstract Ths Paper presets a study about the fte elemet method as a umercal tool for flud-structure problems aalyss. Frstly we develop a computatoal tool where the flud s descrbed a arbtrary Lagraga- Eulera descrpto, formulato whch s foud effcet for problems that accept mesh movg wthout eedg re-meshg. I aother step, a ew mmersed B-sple fte elemet method techque s developed ad tested to ellptc boudary value problems. Fally we propose a alteratve formulato for flud-structure teracto aalyss employg the ew B-sple techque, whch we hope to be more versatle. Keywords: Flud-structure teracto. ALE descrpto. Postoal FEM. B-sples. Lha de Pesqusa: Métodos Numércos 1 INTRODUÇÃO Os problemas de teração fludo-estrutura estão presetes as mas dversas áreas de egehara, tas como obras de egehara cvl, mecâca, aeroáutca, aval, e até em problemas de bomecâca. Como exemplos, ctam-se o efeto do veto sobre edfcações, flutter em aeroaves ou de potes suspesas, e até mesmo a dlatação das artéras devdo à crculação saguíea. A complexdade e o úmero elevado de operações de cálculo evolvdos a aálse dos problemas de teração fludo-estrutura levam à busca de téccas computacoas que auxlem a resolução de tas problemas. O fato de que as estruturas vêm sedo projetadas cada vez mas leves e esbeltas, ou seja, muto mas susceptíves a tas problemas, faz crescer a ecessdade de ferrametas computacoas cada vez mas efcetes dedcadas a tal área. 1 Doutorado em Egehara de Estruturas - EESC-USP, raks@sc.usp.br 2 Professor do Departameto de Egehara de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br

2 188 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda Assm, este trabalho objetva forecer um modelo umérco baseado Método dos Elemetos Ftos (MEF) que seja efcete e versátl para aálse de problemas de teração fludo-estrutura. 2 METODOLOGIA Numa prmera etapa do trabalho, o que se refere à Mecâca dos Fludos Computacoal, é desevolvdo um programa com tegrador temporal explícto baseado em Zekewcz e Taylor (2000), em descrção Lagrageaa Euleraa Arbtrára (ALE) coforme descrta por Doea et al. (1982). A dscretzação espacal é feta através de elemetos tragulares de aproxmação lear para aálses bdmesoas e tetraédrcos de aproxmação lear para aálses trdmesoas. Numa seguda etapa, as lmtações da formulação da prmera etapa são aalsadas e etão é proposta uma ova técca de MEF abstratos, baseada em B-sples mersas, a qual é desevolvda tedo em vsta à aplcação em problemas de teração fludo-estrutura. A técca é etão testada em problemas de valor de cotoro elíptcos bdmesoas e trdmesoas, uma vez que o MEF é cohecdo por ter melhor desempeho este tpo de problemas. Em seguda, com uso da ova técca, é proposta uma formulação Lagrageaa poscoal explícta para a solução da mecâca dos fludos e acoplameto com a estrutura. Em ambas as etapas, a aálse de Dâmca das Estruturas é feta través da formulação poscoal proposta por Greco e Coda (2004), sedo utlzados elemetos de pórtco soparamétrcos com aproxmação de ordem arbtrára para os casos bdmesoas e elemetos soparamétrcos tragulares de casca, com ordem de aproxmação cúbca para os casos trdmesoas. 3 DESENVOLVIMENTO 3.1 Acoplameto de descrção ALE Lagrageaa É sabdo que a descrção Euleraa é a mas adequada para a aálse de escoametos, ode as varáves prcpas são velocdades. Para a mecâca dos Sóldos, o etato, a descrção Lagrageaa é a mas adequada. Assm, para possbltar o acoplameto com a estrutura, as equações goverates da mecâca dos fludos (Naver-Stokes) são descrtas em uma forma Lagrageaa-Euleraa arbtrára (ALE), que cosste o mapeameto do problema para um sstema de referêca com movmeto arbtráro (movmeto da malha). Este mapeameto é lustrado a fgura 1 ode ode R, C(t o ) e C(t) são respectvamete os domíos de refereca e o meo cotíuo a cofguração cal e fal (Doea et al., 1982). Fgura 1 Mapeameto ALE.

3 Aálse de teração fludo-estrutura pelo Método dos Elemetos Ftos 189 Para o problema de dâmca estrutural, é empregada uma formulação ão lear geométrca alteratva, deomada formulação poscoal, ode as varáves são obtdas dretamete das posções e ão dos deslocametos, cuja dscretzação temporal é feta através do tegrador de Newmark establzado (Greco e Coda, 2004). O acoplameto é partcoado, ou seja, resolve-se a dâmca do fludo depedetemete da dâmca da estrutura, trasferdo-se as codções de cotoro de um domío para o outro (Felppa et al., 2001). 3.2 Método dos Elemetos Ftos baseado em B-sples mersas para a dâmca dos fludos O acoplameto ALE pode apresetar problemas devdo à ecessdade de movmetação da malha o cotoro com a estrutura. Assm, propõe-se uma ova técca de método dos elemetos ftos baseada em B-sples mersas, ode a descrção geométrca e a aálse umérca são baseadas em um bloco de malha cartesaa a qual o domío do problema ecotra-se merso. Uma fução dstâca assalada ψ é usada para represetar o cotoro do domío a ser aalsado, sedo que o cotoro correspode à superfíce de ível 0 de ψ. Para que as codções de cotoro possam se ateddas as fuções B-sples de grau B, geradas sobre a malha cartesaa são modfcadas. Para tal, def-se uma fução poderadora w(x) para cada B-sple segudo a posção do poto de máxmo em relação ao cotoro, de modo a evtar sstemas mal codcoados devdo à preseça de fuções com pouca fluêca o domío do problema e garatr a possbldade de mposção de codções de cotoro (Saches et al., 2009). Por fm, as fuções de forma N (x) são obtdas por: = 1 w(x)b (x) N(x) = + 1 ( w(x)b (x)) (1) A formulação proposta para a dâmca dos fludos cosste em se resolver as equações a forma Lagrageaa em um passo o tempo, permtdo a malha se deformar. O cotoro o tempo atual é detfcado sobre a malha cartesaa ão deformada e os potos de quadratura são projetados sobre o domío ateror para se buscar os valores a serem tegrados. Com esta formulação são evtados os termos covectvos adequados para resolução pelo processo de Galerk. (a) B-sples cúbcas (b) Fuções de forma Fgura 2 Obteção das fuções de forma.

4 190 Rodolfo Adré Kuche Saches & Humberto Breves Coda 4 RESULTADOS OBTIDOS (b) Dstrbução de pressão - state t=0,035 (a) Malha para aálse do escoameto (c) Vbrações à uma dstâca 0.35 da borda esquerda da placa Fgura 3 Flutter de pael. (a) Represetação do cotoro merso (b) Malha cartesaa (c) Deslocametos vertcas Fgura 4 Po de bolche elástco lear. Na fgura 3 apreseta-se a aálse de um problema de flutter de pael em escoameto supersôco (Mach 2.3), feta por meo do acoplameto ALE-Lagrageao (Saches e Coda 2008), bem como comparação com outros resultados da lteratura. Na fgura 4 (a) é apresetado um po de bolche elástco lear, egastado a parte azul e com deslocameto vertcal Δ y = 01. prescrto a parte vermelha. A aálse é feta através da ova técca de B-sples mersas, sedo malha da fgura 4 (a) referete à superfíce paramétrca usada para a obteção da fução dstâca assalada. A fgura 4 (b) e (c) mostram respectvamete a malha Cartesaa e a dstrbução de deslocametos vertcas sobre o po.

5 Aálse de teração fludo-estrutura pelo Método dos Elemetos Ftos CONCLUSÕES PARCIAIS É apresetado um método para a aálse de teração fludo-estrutura, costruído em descrção ALE-Lagragea, o qual se mostra efcete para problemas com deslocametos suaves da malha do fludo. Uma ova técca de MEF baseada em B-sples mersas é apresetada e testada em problemas elíptcos, mostrado efcêca. Falmete é proposta uma ova formulação para aálse de teração fludo-estrutura baseada esta ova técca, com a qual se espera obter maor versatldade. 6 AGRADECIMENTOS As autores são gratos ao CNPq por prestar suporte facero ao projeto. 7 REFERÊNCIAS DONEA, J.; GIULIANI, S.; HALLEUX, J. P. A arbtrary lagraga-eulera fte elemet method for traset dyamc flud-structure teractos. Computer Methods Appled Mechacs ad Egeerg, v. 33 p , FELIPPA, C. A.; PARK, K. C.; FARHAT, C. Parttoed aalyss of coupled mechacal systems. Computer Methods Appled Mechacs ad Egeerg, v. 190 p , GRECO M.; CODA H. B., A smple ad precse FEM formulato for large deflecto 2D frame aalyss based o posto descrpto. Computer Methods I AppledMechacs ad Egeerg, v. 193, p , SANCHES, R. A. K.; CODA, H. B. Formulação bdmesoal alteratva para a teração fludoestrutura através do MEF. I: CONGRESSO IBERO LATINO AMERICANO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA, 29., Aas... Maceó, AL, ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L. The Fte Elemet Method: flud dyamcs. Oxford, Eglad: Butterworth-heema Lacre house, ed. v 3. SANCHES, R. A. K.; LONG, Q.; CIRAK, F. Immersed B-sple fte elemet method for complex domas. I: CONGRESSO IBERO LATINO AMERICANO DE MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA, 30., Aas... Armação de Búzos, RJ, 2009.