DETERMINAÇÃO DE RIGIDEZ DE ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS ATRAVÉS DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E FINITOS

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1 DETERMINAÇÃO DE RIGIDEZ DE ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS ATRAVÉS DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E FINITOS ALUNA: REGINA MARIA DOS SANTOS CARMO Tese apresetada à Escola de Egehara de São Carlos, da Uversdade de São Paulo, como parte dos requstos para obteção do título de Doutor em Egehara de Estruturas. ORIENTADOR: WILSON SÉRGIO VENTURINI São Carlos

2 Aos meus pas, rmãs e rmãos Com carho.

3 AGRADECIMENTOS Em prmero lugar, gostara de agradecer profudamete ao Professor Dr. Wlso Sérgo Vetur, pelo trabalho de oretação e por todas as grades oportudades que me deu. Agradeço, também pela amzade e acma de tudo pela pacêca os mometos mas dfíces. Agradeço, partcular e especalmete aos meus pas e rmãos pela oretação esprtual e emocoal e pelos coselhos sempre útes. Aos Professores Drs. Nelso K. Salgado (ITA), Humberto Breves Coda (EESC-USP), Ferado Amorm de Paula (UFMG) e respectvas famílas, por terem sdo compaheros e oretadores em todos os mometos durate o estágo em Southampto-UK. Ao Professor Dr. M.H. Alabad, pela oretação durate estágo o Wessex Isttute of Techology, UK. A todos os meus amgos, colegas pela amzade. Aos fucoáros do Departameto de Egehara de Estruturas e da EESC pelos aos de covívo e exceletes servços prestados.

4 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO. OBJETIVO 5. - APRESENTAÇÃO POR CAPÍTULOS 6 CAPÍTULO - TEORIA DE KIRCHHOFF PARA PLACAS DELGADAS 8. INTRODUÇÃO 8. - ANÁLISE DE PLACAS FINAS PELA TEORIA DE KIRCHHOFF 8. DESLOCAMENTOS.4 DEFORMAÇÕES.5 TENSÕES.6 - COMPONENTES ESFORÇOS.7 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PLACAS.8 - VALORES DE CONTORNO CORTANTE EQUIVALENTE FORÇAS CONCENTRADAS NOS CANTOS 6. - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL 6. - REPRESENTAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO DOMÍNIO 9. - REPRESENTAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO ONTORNO. - INTEGRAIS DE DOMÍNIO CARGAS DISTRIBUÍDAS EM REGIÕES DA PLACA CARGAS DISTRIBUÍDAS EM LINHAS OU CARGAS 8 EM REGIÕES DISCRETAS.4 - O MEC APLICADO À ANÁLISE DE PLACAS DELGADAS INTEGRAÇÃO SOBRE OS ELEMENTOS INTEGRAIS NUMÉRICAS INTEGRAIS ANALÍTICAS INTEGRAIS NUMÉRICAS SUBELEMENTADAS 4

5 CAPÍTULO - MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 44 APLICADO À ANÁLISE DE CHAPAS. INTRODUÇÃO HIPÓTESES BÁSICAS ESTADO DE TENSÕES ESTADO DE DEFORMAÇÕES RELAÇÕES CONSTITUTIVAS EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARA O EPT (NAVIER) SOLUÇÃO FUNDAMENTAL REPRESENTAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO 5 DOMÍNIO.9 - REPRESENTAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO 5 CONTORNO. - O MEC APLICADO À ANÁLISE DE CHAPAS SOB EPT 5 CAPÍTULO 4 - ELEMENTO DE BARRA MODELADO PELO MÉTODO 6 DOS ELEMENTOS FINITOS 4. INTRODUÇÃO MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO DO VETOR DE FORÇA PARA 6 VIABILIZAR O ACOPLAMENTO A MATRIZ C ORIENTAÇÃO DAS BARRAS - MATRIZ DE 7 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CAPÍTULO 5 - TÉCNICA DAS SUBREGIÕES INTRODUÇÃO FORMULAÇÃO BÁSICA SENTIDOS POSITIVOS SUB-REGIÕES EM PLACAS DE KIRCHHFF SUB-REGIÕES ACOPLADAS NUMA INTERFACE COM 8 INFLUÊNCIA EXTERNA MAIS DE DUAS SUB-REGIÕES ACOPLADAS NUMA MESMA 86 INTERFACE UM PROCEDIMENTO ALTERNATIVO PARA A 9 CONSIDERAÇÃO DE SUBDIVISÃO DO DOMÍNIO

6 5.6 EXEMPLOS EXEMPLOS I, II E III EXEMPLO IV 95 CAPÍTULO 6 - COMBINAÇÃO MEC/MEF INTRODUÇÃO COORDENADAS GLOBAIS DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 6. - COORDENADAS DOS ELEMENTOS DE PLACA ESFORÇOS EM UM PONTO DA PLACA DESLOCAMENTOS EM UM PONTO DA PLACA TRANSFORMAÇÃO ENTRE COORDENADAS LOCAIS E GLOBAIS PARA NN PONTOS DA PLACA COORDENADAS DOS ELEMENTOS DE BARRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA COMBINAÇÃO CONDIÇÕES DE CONTORNO NO MEF NÓS NÃO-LIGADOS NÓS DE INTERFACE SEM INFLUÊNCIA 7 EXTERNA NÓS DE INTERFACE COM INFLUÊNCIA 8 EXTERNA NÓS DA BARRA LIGADOS A NÓS 9 INTERNOS DA PLACA 6.6 EXEMPLOS EFEITO DE MEMBRANA - ESTADO PLANO DE TENSÃO COMBINAÇÃO DOS ELEMENTOS PLACA E CHAPA IDEALIZAÇÃO DO MODELO A PARTIR DO PTV LIGAÇÃO ENTRE REGIÕES DE PLACAS (MEC/MEC) LIGAÇÃO ENTRE REGIÕES DE PLACAS 9 E BARRAS (MEC/MEF) EXEMPLOS

7 CAPÍTULO 7 CONDENSAÇÃO ESTÁTICA E ANÁLISE 6 POR SUBESTRUTURAÇÃO 7. INTRODUÇÃO 6.- INTRODUÇÃO 6 7. SOLUÇÃO DIRETA UTILIZANDO-SE ALGORITMO 7 BASEADO NA ELIMINAÇÃO DE GAUSS 7. ANÁLISE POR SUBESTRUTURAÇÃO MÉTODO DA CONDENSAÇÃO ESTÁTICA PARA O SISTEMA 4 MODELADO PELA COMBINAÇÃO DO MEC COM O MEF CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES DO TRABALHO 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 46

8 RESUMO O tema desta pesqusa refere-se ao tratameto umérco de estruturas de pavmetos, dado êfase à utlzação do método dos elemetos de cotoro - MEC para o tratameto de elemetos plaos, placas, equato os elemetos leares serão tratados através do método dos elemetos ftos - MEF. Busca-se cotrbur com uma sére de trabalhos realzados esta área, prcpalmete com a cosderação do efeto da excetrcdade do exo eutro das barras em relação à superfíce eutra da placa somado-o, portato, ao feômeo de flexão desta últma. A técca de acoplameto dos elemetos estruturas utlzada fo a técca das sub-regões, que faclta a vsualzação do problema da combação e vablza o uso da técca de codesação estátca a resolução do sstema de equações. Palavras-chave: Método dos Elemetos de Cotoro; Aálse de Placas Delgadas; Aálse de Pavmetos; Combação MEC/MEF.

9 ABSTRACT Ths research refers to the umerc aalyss of structures, emphaszg the use of the boudary elemet method- BEM- the dscretzato of the plates, whle the lear elemets wll be formulated through the fte elemet method - FEM. The am s to cotrbute wth a umber of works related to ths subject, specally the cosderato of the effect of the stffeers eccetrcty relato to the plates eutral surface, addto to ts bedg state. The tool adopted to fulfll the couplg amog these kds of structural elemets s the well-kow sub rego or mult-doma techque, whch works well wth the statc codesato techque for solvg the sparse system of equato geerated. Keywords: Boudary Elemet Method; Th Plates Bedg Aalyss; Structural Aalyss of Buldgs; BEM/FEM Couplg.

10 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO Neste trabalho desevolveu-se um estudo da formulação do Método dos Elemetos de Cotoro (MEC) para a aálse de placas fas, com base as aproxmações de Krchhoff, assocadas a elemetos de barra modelados pelo Método dos Elemetos Ftos (MEF). As barras podem estar dspostas seja o domío seja o cotoro das placas. O efeto da excetrcdade do exo eutro das barras em relação à superfíce eutra da placa é cosderado somado-se, portato, ao feômeo de flexão da mesma, um estado plao de tesões (EPT). Este acoplameto fo feto cosderado-se a assocação espacal de subregões que agrupam elemetos de mesmas propredades físcas e materas. O sstema fal de equações é costtuído de acordo com o tratameto dvdual de cada elemeto ou grupo de elemetos estruturas (placas de mesma propredades físcas e geométrcas e estruturas costtuídas por barras) como um subdomío do pavmeto. A compatblzação fal é feta após uma devda trasformação das coordeadas de cada sub-regão. Esta técca faclta a vsualzação do cojuto como um todo e também a vabldade de combações etre os métodos.

11 Trabalhos como os de WEARING & BETTAHAR (994) dscutem o uso da técca da subdvsão do domío da placa o MEC para a aálse de sua flexão. Avala-se também a efcêca da formulação proposta para algumas varações da geometra das placas. Como cotrbução aos estudos da técca de sub-regões aplcada ao MEC, VENTURINI (989) e VENTURINI & PAIVA (988) estabelecem avaço a formulação do elemeto de cotoro cosderado o domío de uma placa sob flexão subdvddo, sem a separação físca ao logo das terfaces. elaboram esta formulação para aálse de placas sob flexão dvddas em regões de dferetes propredades e geometra. Elmam, desta forma, aproxmações teras. Este trabalho gerou uma sére de outros trabalhos como o de CHAVES et al. (999) e mas recetemete FERNANDES, CODA & VENTURINI () que elaboraram uma formulação para combar placas e barras, ambos modelados pelo MEC, sem que se ecesste a costrução das matrzes de fluêca de cada subregão separadamete. Os prmeros trabalhos que trataram placas o cotexto de estruturas de psos de edfícos através do MEC, embora ão especfcados o texto, foram os de BÉZINE (98), e HARTMANN & ZOTEMANTEL (986) e GUO-SHU (986). No prmero, o autor desevolveu um algortmo ode codções de domío podem ser mpostas, dado assm o prmero passo para a smulação de apoos de lajes de edfícos (lajes cotíuas). Nos dos outros trabalhos referecados, os autores também possbltaram a colocação de vículos teros clusve elástcos. Mas recetemete, HARTLEY(996) apreseta a versatldade do uso do MEC para a aálse do comportameto da placa tercoectada a outros elemetos de estruturas complexas de edfícos. Efatza as aproxmações adotadas para facltar a elaboração da formulação, quado trasfere para a placa a fluêca das barras sobre o seu comportameto estrutural. Iúmeras pesqusas sobre placas modeladas pelo MEC, erjecdas foram fetas devdo à mportâca de se cohecer o seu comportameto em preseça de carregameto trasversal. Os erjecedores são, em geral, modelados pelo MEF e,

12 portato, algumas téccas de combação etre os métodos umércos são apresetadas de dversas formas. Como exemplo de trabalhos desevolvdos este departameto, ctam-se PAIVA (987), que mostrou assocações dversas com estruturas de barras, plares e vgas e mas recetemete OLIVEIRA NETO (998), para aálse de pavmetos de edfícos em que uma tercera varável de deslocameto é cluída. O equlíbro é feto apeas etre forças vertcas. Estes aspectos facltam o acoplameto além e aproxmar melhor os resultados. Nestes casos, a fluêca dos erjecedores fo cosderada como uma reação dos mesmos sobre a placa. SILVA (996) desevolveu um sstema semelhate ao de PAIVA(987), porém tratado as placas com as hpóteses de Resser. PAIVA & VENTURINI (985) e PAIVA (987) formulam a fluêca da suportagem de lajes cogumelo como forças sobre elas atuates, trasformadas em equações tegras. Posterormete, PAIVA & VENTURINI (987) fzeram a combação etre placas e grelhas, sedo o equlíbro a regão da terface estabelecdo etre forças vertcas. TANAKA & BERCIN (997) desevolveram uma formulação para a aálse de placas com erjecedores de seções trasversas varadas, levado-se em cota todas as rgdezes e a excetrcdade dos exos deles em relação aos exos eutros das placas. Desta forma, ele comba os efetos de flexão e do estado plao de tesão à placa. Segudo eles, a fluêca dos erjecedores rá refletr a formulação de acordo com cada pesqusador. Em seu caso, as rgdezes das barras são corporadas à equação de deslocametos das placas fas (fg..). Fg.. Exemplo utlzado por TANAKA & BERCIN (997) Outro trabalho que se pode ctar a respeto da combação do efeto de flexão com o do EPT é o de PALERMO(989) que estudou peças (barras) de seções

13 4 abertas delgadas, aalsadas como placas acopladas o espaço. Os efetos de placa e de chapa são assocado a mesma barra toda vez que ela for composta por placas ão-coplaares. Outros pesqusadores também apresetam trabalhos sobre o acoplameto etre regões modeladas pelo MEC e MEF que ão para o caso de pavmetos de edfícos, o que fo de grade vala para este trabalho. Através deles, város aspectos sobre o problema da combação etre os métodos a serem cudados foram prevstos para a elaboração do algortmo desde o seu íco. Neste setdo pode ctar o trabalho de BREBBIA & GEORGIOU (979) examam a combação MEC/MEF aplcada a dos problemas elastostátcos de duas formas dferetes. O prmero método trata a regão modelada por elemetos de cotoro como uma regão de elemetos ftos. O segudo trata o elemeto fto como elemeto de cotoro. Cocluem que o prmero método parece ser mas teressate pos pode ser faclmete corporada a algortmos de MEC já exstetes. Há trabalhos em que regões de meo cotíuo, ou -D, tratadas pelo MEC e barras pelo MEF. Fo o caso do trabalho de CODA et al(997), em que a aálse ão-lear também é feta. MESSAFER & COATES (989) aalsam placas de váras rgdezes à flexão apoadas sobre solo elástco sem-fto, utlzado a combação MEC/MEF cosderado elemetos ão-coformes. CODA (99) avalou este tpo de teração o cojuto solo-estrutura de barras. FERRO & VENTURINI (99) formularam a formulação com observação em detalhes partculares e característcos da modelagem de fudações sobre estacas. CALDERÓN & VENTURINI (997) apresetam modfcação a represetação tegral de deslocametos em placas fas, cludo a fluêca do substrato sobre elas como tegral de domío proveete da sua própra represetação tegral através de três métodos: pela subdvsão do domío em células, pelo uso do método da recprocdade dual e por outro processo alteratvo também baseado em fuções globas.

14 5 BEER (986) dscute a efcete mplemetação do elemeto de cotoro um algortmo elaborado em elemetos ftos já exstete para aplcação em teração solo-estrutura. O resultado fal desta mplemetação é avalado através de exemplos de estruturas modeladas pelos dos métodos smultaeamete. Estes resultados são cofrotados com os obtdos para estas mesmas estruturas modeladas pelo MEC. CHAUDOUET-MIRANDA & CRISTESCU (99) demostram o uso a efcêca da combação etre o MEC e o MEF a dustral.. OBJETIVO DO PRESENTE TRABALHO O objetvo desta pesqusa é desevolver uma formulação e o respectvo algortmo umérco, com a devda mplemetação em mcrocomputador, para aálse de pavmetos dede edfícos. Uma característca prcpal do desevolvmeto a ser feto é que o tratameto às placas é dado empregado-se o MEC para placas delgadas e os elemetos leares tratados pelo MEF. Em uma seguda fase a estrutura completa do edfíco será tratada combado o elemeto desevolvdo com os elemetos vertcas. A déa é cotrbur com a gama de trabalhos desevolvdos o assuto, acrescetado-se, porém, a cosderação do efeto da excetrcdade do exo das barras erjecedoras em relação ao verdadero ível do acoplameto com a placa. Escolheu-se utlzar a técca das sub-regões ou dos multdomíos, para vablzar a compatblzação ou acoplametos dos dos métodos. Dversos aspectos desta técca são abordados o tuto de facltar a elaboração de sub-rota e/ou adaptação de programas, vsado utlzá-la para esta ou outra combação etre métodos de aálse estrutural desejada. A partr daí, pode-se proceder a elmação de graus de lberdade da estrutura durate a aálse por codesação estátca.

15 6 A programação dos algortmos propostos fo feta em lguagem FORTRAN para mcrocomputadores.. APRESENTAÇÃO DO TRABALHO POR CAPÍTULOS O trabalho clurá capítulo (capítulo ) com cocetos báscos relatvos aos problemas de flexão placas delgadas e à aplcação do MEC a resolução deste problema, de forma smplfcada, por se tratar de assuto bastate cohecdo e estudado (ver, p.e., VENTURINI(988), PAIVA(987), OLIVEIRA NETO(998), CHUEIRI(994), ALIABADI(998), BREBBIA & DOMINGUES(989), BREBBIA, TELLES & WRÖBEL(984), HARTMANN (99)). Num capítulo segute, expõem-se os mesmos aspectos do MEC aplcado ao Estado Plao de Tesões (EPT) (capítulo ). No capítulo 4 apresetam-se aspectos sobre o elemeto fto de barra utlzado para dscretzar os elemetos estruturas leares. Somete os aspectos prcpas que causarão fluêca o processo de combação destes com os elemetos estruturas de superfíces modelados pelo MEC serão abordados. A vasta bblografa sobre o assuto permte que se faça apeas um breve detalhameto destes aspectos (p.e., BATHE(98), ZIENKEWICZ(97), CODA(99)). Como fo dto, dversos cocetos e aspectos da utlzação da técca de subregões são dscutdos capítulo 5, auxlado a elaboração de uma sub-rota a ser corporada o programa de placas fas, com êfase às modfcações ecessáras para adaptá-la aos algortmos propostos os capítulos aterores. Dversos trabalhos e lvros dão a oretação para a formulação básca desta técca para uso geral em egehara (p.e., VENTURINI (98), BREBBIA & DOMINGUES (989), ALIABADI & ROOKE (99), detre mutos outros), algus com êfase para o caso de placas fas (WEARING & BETTAHAR (994)). Os aspectos ecessáros para desevolvmeto de rota para este fm, são detalhados este capítulo. São

16 7 apresetados algus exemplos para demostração de efcêca e de como tal técca deve ser usada adequadamete. O capítulo 6 aborda o acoplameto etre duas ou mas sub-regões, modeladas pelo MEC e/ou o MEF, através da técca das sub-regões. O acoplameto de barras dspostas o domío ou o cotoro da placa é feto, o prmero caso, etre os ós destas e os ós teros da placa de mesma posção. A solução obtém-se cosderado a fluêca da barras como lhas ou potos de carga sobre a placa ou subdvddo-se o domío em estudo de forma adequada, de forma que exsta a teração etre as sub-regões. Exemplos de elemetos e estruturas acoplados são apresetados. O efeto de membraa causado pela excetrcdade do exo eutro das barras em relação à superfíce eutra da placa é cosderado em seguda, com o modelo dealzado através do PTV.. Atecpado-se ao capítulo de coclusões, falmete apreseta-se o capítulo que abordada os aspectos do processo de codesação estátca adaptado ao sstema de equações resultate do acoplameto das sub-regões de estruturas. Utlza-se a técca também utlzada por WILSON(974) e que se apreseta como uma extesão do processo básco da elmação de Gauss.

17 8 CAPÍTULO TEORIA DE KIRCHHOFF E O MEC APLICADO A PLACAS FINAS. - INTRODUÇÃO Neste capítulo, objetva-se aalsar os efetos do carregameto em placas fas -pela teora de KIRCHHOFF a partr de uma formulação do Método dos Elemetos de Cotoro (MEC). O algortmo desevolvdo por CHUEIRI(994) baseado esta formulação é utlzado como uma rota básca para o cálculo de estruturas formadas por placas delgadas.. - ANÁLISE DE PLACAS FINAS PELA TEORIA DE KIRCHHOFF A aálse de placas delgadas com base a teora de Krchhoff, a chamada Teora Clássca, para pequeos deslocametos, é uma smplfcação do problema trdmesoal a Teora da Elastcdade. Para placas delgadas sob carregameto trasversal, lstam-se aqu as hpóteses báscas de cálculo estabelecdas esta teora:

18 9 -o materal de que é composta a placa é suposto homogêeo, sotrópco e elástco lear; -a espessura da placa t é pequea se comparada às suas outras dmesões; -os deslocametos vertcas resultates desse carregameto são pequeos em comparação à espessura t da placa; -os deslocametos horzotas dos potos do plao médo da placa são eglgecados pos assume-se este ser a superfíce eutra; -as seções trasversas calmete plaas e ormas à superfíce eutra assm permaecem após a deformação da placa; -as tesões ormas σ, perpedculares ao plao da placa, podem ser desprezadas (vde fg..) em preseça das demas compoetes de tesão. A fg.. mostra os setdos adotados como postvos dos exos coordeados e compoetes de tesão em um elemeto de placa. Para a aálse do problema de placas, pode-se obter as segutes equações, com base as codções báscas acma lstadas e de acordo com o sstema ortogoal x x x com orgem a superfíce méda: t/ g t/ σ σ σ σ σ σ x x x σ σ σ σ σ σ Fg.. Tesões, forças e esforços sobre elemeto de placa Seguem-se as equações báscas ecessáras para se formular a aálse de placas delgadas com base as hpóteses estabelecdas esta teora.

19 . - DESLOCAMENTOS (u ): Sobre as compoetes de deslocameto u de um poto, sedo =, e levadose em cota as hpóteses báscas adotadas para placas fas, pode-se dzer que: u = w(x,x ) (.) ode w(x,x ) represeta os deslocametos os potos do plao médo da placa, defdo o plao x x. Observado-se o elemeto de placa da fg.. e aalsado-o o plao xx após a deformação, a superfíce méda apreseta uma rotação w, (a vírgula dcado dervação) um poto P de uma determada seção trasversal que desloca u a dreção x. Após aalsar-se o elemeto da mesma forma, agora o plao x x, pode-se coclur que: u = -x w, =, (.) x x dx u (b) x u =w w P x w, P u (d) d t/ t/ x dx a a' d' u (d) b c u (b) b' c' Fg.. Compoetes de deslocameto de elemeto de placa

20 .4 - DEFORMAÇÕES (ε j ) Aalsado-se o elemeto de placa abcd mostrado a fg.(.) o ível da superfíce méda após a mudaça de forma, pode-se escrever as compoetes de deslocametos, por exemplo, dos potos b e d: u (b)= u (a)+ u, dx e u (b)= u (a)+ u, dx u (d)= u (a)+ u, dx u (d)= u (a)+ u, dx Daí, u ( b) u ( a) = u, ; dx ε = u ( b) u ( a) = u, dx ε = e ε = ε = u, + u, De uma forma geral, obtém-se: u, + u, j j ε j = (.) ou, em termos de deslocametos e a partr da eq.. j = x w, j ε,j=, (.4)

21 .5 - TENSÕES (σ j ) De acordo com o a le de Hooke as compoetes de tesão são obtdas através da equação (a sua forma dcal): ode σ j Gε j = ν E G = ν ( + ) + G νε δ,j,k=, (.5) kk j (.5a) é o módulo de elastcdade trasversal, bem como E é o módulo de elastcdade do materal da placa, ν é o coefcete de Posso e δ j é o delta de Kroecker por: Em termos de deslocametos, as compoetes de tesão podem ser expressas j Ex ( ) ( ) [ νw, kk δ j + ν w j] ν σ =,j,k=, (.6).6 - COMPONENTES ESFORÇOS (m j e q ) As compoetes dos mometos fletor e volvete e também da força cortate são obtdas formulado-se o equlíbro de um elemeto de placa. Com base as hpóteses báscas, estabelece-se que a dstrbução de tesões pela espessura da placa é lear, podedo-se assm calcular suas resultates e as respectvas compoetes de mometo e força cortate por udade de comprmeto, a forma: m j = t σ jx dx t

22 q = t σ dx t Itegrado-se as equações acma e fazedo as devdas trasformações, chega-se às relações: [ ν, δ ( ν), ] m = D w + w (.7) j kk j j q = Dw,,j,k=, (.8) kk ode Et D = (.9) ( ν ) represeta a rgdez da placa à flexão..7 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PLACAS A aálse da maora das cofgurações de placa cosste em resolver uma equação dferecal dada em termos de deslocametos, cargas aplcadas e rgdez da placa. Como e m, = Dw, = q (.) j kkj j q, = g (.) chega-se a

23 4 m j, = g (.) j e g Dw, kkll = g w, kkll = (.) D ou = w g D ou = 4 w g D (.4) para,j,k,l=, e d = + dx () d () dx (operador de Laplace). A eq.(.4) é a equação dferecal de placas, que relacoa o carregameto e os deslocametos..8 - VALORES DE CONTORNO Pode-se obter os esforços em placas com relação a um sstema geérco de coordeadas! e s!. As compoetes de csalhameto e mometo as dreções ormal (m, o mometo fletor) e tagete s! (m s, o mometo volvete) assocadas à superfíce aalsada são também calculadas pelo estabelecmeto do equlíbro de um elemeto de placa, cujas faces lateras são cocddas com as com os plaos x x, x x, e sx (fg.(.)). Obtém-se, portato, cosderado-se que as compoetes m j e q são uformemete dstrbuídas ao logo dessas faces: m m q = m (.5) j j = m s (.6) s j j = q,j=, (.7)

24 5 sedo e s os cosseos dretores dos versores! e! s. x q m m t x q x dx m ds dx m m s m q s Fg.. Compoetes de esforços um elemeto de placa.8 - CORTANTE EQUIVALENTE (V ) No cotoro da placa exstem três valores de forças de superfíce (eqs..5 a.7) para os quas há três valores de deslocametos a eles relacoados (w, w, e w, s ). Sedo a equação de equlíbro do quarto grau o úmero de valores possíves é quarto (ver FRANGI & GIUGGIANI (999a e b). Assm, tora-se ecessáro elmar uma força de superfíce, bem como o deslocameto a ela relacoado, por ser dretamete depedete das demas. w, s Os valores de cotoro relatvas a q e m s podem ser agrupadas recebedo a deomação de cortate equvalete V. Isto pode ser obtdo através da aálse do elemeto ftesmal lustrado a fg.(.4). Este elemeto tem uma resultate de mometo M s que vale M s = m s ds e que pode ser represetada por um báro de forças, cada uma valedo m s, aplcadas as extremdades do elemeto. Aalsadose agora dos elemetos cosecutvos, um poto do lado comum a ambos, resultará uma força m s, s ds que se somará à força cortate resultate q ds o poto observado. Daí, surge a força cortate equvalete V ds = q ds + m s, s ds, que por udade de comprmeto vale:

25 6 V = q + m s, s (.8) Os valores de cotoro restates são, portato, m, V, w e w,. s ds ds x x x m s (+) s t/ t/ m s + m s,s ds m s m s (-) ds ds Fg..4 Mometo volvete (m s ) o cotoro.9 - FORÇAS CONCENTRADAS NOS CANTOS (R c ) Segudo-se a mesma aálse feta o tem.8, ode se substtu o mometo volvete por báro de forças para se obter a cortate equvalete V, pode-se verfcar também o surgmeto de forças cocetradas os catos, proveetes dos (+) (-) lados que os formam. Elas valem m s ou m s (m ou m se as bordas são paralelas aos exos x ou x ). Os sas de (+) e (-) dcam o valor de m s posteror e ateror ao cato, respectvamete (fg.(.4)). Portato, forças exteras R c devem ser aplcadas em cada cato quado para moblzá-los e valem: R m m c = ( + ) ( ) s s (.9). - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL (*) Para a formulação do MEC para o problema de flexão de placas, é ecessáro obter-se a solução fudametal que se defe como o deslocameto w um

26 7 determado poto p causado por uma força utára aplcada à placa de domío fto, um poto de carregameto q. Esta solução é classcamete dada pela solução do problema de uma placa crcular carregada o seu cetro por uma carga utára que matematcamete pode ser represetada pela dstrbução do delta de Drac ( (q,p)), cujas propredades são as segutes: (q,p) = para p q e (q,p) = para p=q (q,p) dω = Ω Daí, defdo-se φ(p) como uma fução cotíua, tem-se φ( p) (q,p) dω = φ( q) Ω que sgfca que a resultate da carga dstrbuída (q,p), aplcada em uma área ftamete pequea, represeta uma carga utára aplcada o poto q. A solução do problema descrto acma resulta em: w*( q, p) = D r l 8π r (.) sedo r a dstâca etre os potos p (poto de resposta) e q (poto de carga) defdos sobre a placa crcular de rao fto, valedo: {( ( ) ( ) } r = x p x q) (.) Ada da eq.(.) pode-se obter:

27 8 dw ( *( qp, )) dr w,*(, q p dr d D r r r ) = = l (, ) (.) 4π [ ] m*( q, p) = ( + ν)l r+ ( ν)( r, ) + ν (.) 4π ms *( q, p) = ( ν )( r, )( r, j sj ) (.4) 4π [ ( ν)(r, s ) + ν] (r, ) V * (q,p) = j j (.5) 4π R c * (q,p) = m m (.6) *( + ) s *( ) s No próxmo tem, mostra-se que será ecessáro cohecerem-se as dervadas dos deslocametos e esforços fudametas acma calculados, em relação a uma dreção m " de orgem em q. Neste caso, são ecessáras as segutes relações: e {( x (q) x (p ) } r = (.7) ) r x (q) x (p) = = r, x (q) r (.7a) r, δ = x (q) j j r, r r, j = r, j (.7b) portato, pode-se obter w * dw * r = m dr m = dw * r x (q) dr x (q) m = dw * dr [ r m ] (.8)

28 9 w, m *(q,p) = rlr(r, m ) (.9) 4πD w, w, [(r, m )(r, ) (m ) l r] *(q,p) = j j (.) 4πD m + [(r, m )(r, s ) (m s ) l r] *(q,p) = j j (.) 4πD sm + m s,m ( ν) * (q,p) = 4πr { (m r, )( r, )(s r, ) (m )(s r, ) (m s )( r, )} j j k k j j (.) j j. REPRESENTAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO DOMÍNIO É ecessáro obter-se a formulação tegral que defe o problema de placas fas o que é feto a partr do método dos resíduos poderados ou pelo Teorema da Recprocdade de Bett. Toma-se a placa da fg.(.5) de domío Ω como parte de um domío fto (Ω ). Cosdere-se ada um carregameto dstrbuído g aplcado sobre a regão Ω g. O carregameto g* (da solução fudametal correspodete) aplcado à placa fta produz deslocametos trasversas fudametas já deduzdos w* e os correspodetes estados de tesão σ j * e deformação ε j *. Aalogamete para o problema real, os segutes valores estão relacoados: g, w, σ j e ε j. Para esses dos estados de solctação váldos o domío Ω, a segute relação de recprocdade pode ser escrta: V σ * ε dv = σ ε * dv (.) j j V j j

29 Γ x x x Ω g Ω Γ Fg..5 Domío de placas ode V é o volume do elemeto cosderado como um corpo trdmesoal. A carga dstrbuída g* represeta o carregameto fudametal arbtrada como utára e cuja represetação matemátca é a dstrbução delta de Drac (q,p). Portato, tesões, deformações, deslocametos, mometos e forças cortates assocados a este carregameto serão dcados com o símbolo (*). Com base as hpóteses da teora de Kchhoff e jutamete com a tegração da eq.(.) ao logo da espessura da placa, tem-se: Ω m * w, dω = m w, * dω j j j j Ω cuja dupla tegração por partes forece: ( ) Γ mw,* m, w,* dγ + m, w* dω = j j j j j j j Ω ( ) Γ m * w, m, * w, dγ + m, * wdω j j j j j j j Ω (.4) Cosderado-se as equações de equlíbro que evolvem o valor de m j (eqs.. e.)e também que: w, = w, + w, s (.4a) s

30 e, aaltcamete w, *=w, * *+w, s s * (.4b) a eq.(.4) é reescrta a forma: ( s s ) mw,* + m w,* qw* dγ + gw* dω = Γ ( s s ) m * w, + m * w, q * w dγ + g* wdω Γ Ω (.5) Ω Aalsado-se o prmero membro da eq.(.5), fazedo-se a tegração por partes do segudo termo da tegral sobre o cotoro, obtém-se Γ ( s,* s ) Γ = [ s *] ( s, s *) Γ Γ m w d m w m w dγ Γ (.6) O termo m s w * da equação acma, resultate da tegração sobre todo o cotoro, dfere de zero somete ode há descotudade da ormal,.e., os catos, e vale: Nc m w* = R w * s c c = (.7) ode N c é o úmero de catos da placa, R c e w c * são a reação e o valor de w* o cato respectvamete. O mesmo procedmeto e cocetos podem ser aplcados ao segudo membro da eq.(.5). Deve-se lembrar que os deslocametos, força cortate e mometos relacoados com a solução fudametal depedem da posção de ambos os potos de colocação e o poto fote (q,p), de acordo com a defção de solução

31 fudametal. Por outro lado, deslocametos, forças cortates e mometos relacoados com o problema real, depedem somete do poto de colocação (p). Substtudo-se eq.(.6) e cosderado-se a eq.(.7) e o valor de V (eq.(.8)) a eq.(.5), e ada, lembrado-se que g* represeta o carregameto do problema fudametal dado pelo delta Drac (ver tem.), sto é: (q,p) w(p) dω = w (q) Ω obtém-se a represetação tegral dos deslocametos dos potos do domío de placas sob carregameto g aplcado sobre uma regão Ω g que é: [ ] wq ( ) + V*( qp, ) wp ( ) m *( qp, ) w, ( P) dγ( P) + R *( qp, ) w ( P) = c c = ( ) Γ Nc = V ( P) w*( q, P) m ( P) w, *( q, P) dγ( P) + R ( P) w *( q, P) + g( p) w*( q, p) dω ( p) c Γ c Ωg g Nc (.8) que evolve os valores fudametas lstados as eq.. e. a.6 e depede das varáves de cotoro m (P), V (P), w(p), w, (P), w c (P) e R c (P). Coforme já dto, é teressate escrever-se a represetação tegral relatva à dervada do deslocameto de um poto q, w(q), em relação a uma coordeada m de um sstema de coordeadas cartesaas (m,u) de orgem em q:

32 w (q) + m Γ N V c = R Γ * V m * w (P) (q,p) m m c * w c (P) m (q, P)w(P) (q,p) + Ωg * m m * w, (P) m (q, P)w, (q, P) dγ(p) + * w g(p) (q,p)dω g (p) m (P) dγ(p) + N c = * R c m (q, P)w c (P) = (.9). REPRESENTAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO CONTORNO Através da eq.(.8) pode-se obter o deslocameto de um certo poto do domío. Tora-se ecessáro, porém, obter-se a formulação para o problema pelo MEC, relacoado deslocametos e esforços quado o poto fote q stua-se sobre o cotoro.usa-se o segute artfíco para tal: o domío da placa é acrescdo de um setor de rao ξ cetrado em q (fg.(.6)). Defem-se, assm, ovos domío (Ω+Ω ξ ) e cotoro ( Γ Γ + Γ ξ ) que modfcam a eq.(.8). O deslocameto w(q) é etão calculado pela equação abaxo, cosderado-se agora que Q é um poto o cotoro, e portato, o rao ξ tede a zero: x x dγ ξ =ξdφ Γ ξ dφ φ Γ Γ s Γ Fg..6 Poto do Cotoro

33 4 ( ) wq ( ) + lm V*( QP, ) wp ( ) m *( QP, ) w, ( P) dγ( P) + ( ) lm V *( Q, P) w( P) m *( Q, P) w, ( P) dγ ( P) + ξ Γξ ( Nc ) c c + + ξ c c c c = lm Γ Γ Γ Γ Γ Γ R *( Q, P) w ( P) + lm[ R *( Q, P) w ( P) + R *( Q, P) w ( P)] = ( ) V ( Q, P) w*( P) m ( Q, P) w, *( P) dγ( P) + ( ) lm V ( Q, P) w* ( P) m ( Q, P) w, *( P) dγ ( P) + ξ ξ Γξ ( Nc ) c c + + ξ c c c c = Ωg R ( Q, P) w *( P) + lm[ R ( Q, P) w *( P) + R ( Q, P) w *( P)] + gp ( ) w*( Qpd, ) Ω g ( p) ξ (.4) Os lmtes da tegral Γ ξ que evolve os termos w(p) e w, podem ser reescrtos a forma: lm ξ Γξ lm ξ Γξ lm ξ Γξ * V (Q, P)w(P) m V * (Q,P) [ w(p) w(q) ] w (P) dγ m (P) = w w (P) (Q) dγ * * w [ V (Q, P)w(Q) ] dγ (P) lm m (Q) dγ (P) ξ * * ξ Γξ ξ ξ ξ (P) = (.4a) cuja cotudade permte afrmar que, quado ξ o poto P Q, e os valores w(q) e w, (Q) ão varam sobre Γ ξ :

34 5 ( ) lm V *( Q, P) w( P) m *( Q, P) w, ( P) dγ ( P) = ξ Γξ wq ( ) lm V* ( QPd, ) Γ ( P) w, ( Q) lm m * ( QPd, ) Γ ( P) ξ ξ ξ Γξ Γξ ξ ξ (.4b) Substtudo-se V * e m * a eq.(.4), lembrado-se que r, = r, =, r, s = r,s =, r = ξ e dγ ξ (P) = ξdθ para = θ = (π - β c ), obtém-se: π β c lm ( *(, ) ( ) *(, ), ( )) ξ ( ) = ( ) ξ V Q P w P m Q P w P dγ P w Q π Γξ (.4) sedo β c o âgulo tero em Q. Os lmtes de tegração sobre Γ ξ restates a eq.(.4), se aalsados da mesma forma que até etão, tederão a zero se ξ, e portato, também os lmtes evolvedo R c. Falmete, a segute equação para o cálculo dos valores um poto do cotoro é obtda: β c wq ( ) + ( V*( QP, ) wp ( ) m*( QP, ) w, ( P) ) d ( P) + π Γ Nc = c c ( ) Γ Nc = R *( Q, P) w ( P) = V ( Q, P) w*( P) m ( Q, P) w, *( P) dγ( P) + R ( Q, P) w *( P) + g( p) w*( Q, p) dω ( p) c Γ c Ωg g (.4) Pode-se cosultar a equação para o cálculo da dervada de w(q) em relação a uma dreção qualquer m a bblografa sobre o assuto (PAIVA(987), p.e.).

35 6. - INTEGRAIS DE DOMÍNIO Coforme se vê as eqs.(.8 e.4) há uma tegral de domío que correspode a uma carga dstrbuída aplcada sobre uma regão Ω g da placa, cujo cotoro é Γ g. No MEC, etretato, é coveete a trasformação desta tegral sobre o domío em tegral sobre o cotoro (Γ g ). Desta forma, faclta-se a sua resolução umérca pela dvsão do cotoro da regão carregada em elemetos, embora ão se refra a varáves cógtas. Etretato, coforme será vsto adate, para possbltar a vculação em potos teros da placa a potos de barras, é teressate também que se faça dstção do tpo e da geometra do carregameto quado da elaboração desta tegral de cotoro... - CARGAS DISTRIBUÍDAS EM REGIÕES DA PLACA Algumas téccas são usadas para a mgração das varáves da tegral de Ω g para Γ g. Aqu, será feta segudo o segute procedmeto: observado-se a fg.(.7) pode-se escrever que e dω g = r dr dθ R dθ = dγ g ode cos β= r, = r, cosβ Portato d rdr r, Ω R d g = Γ g

36 7 x x Γ g m u q R dr p s r dω g dγ g Fg..7 Domío da regão do carregameto que trasforma a tegral de domío em Ωg R r, g(p)w * (Q,p)dΩ g (p) = g(p)w * (Q,p)rdr dγg (p) R Γg (.44) Ates de proceder a tegração acma, deve-se estabelecer a varação da carga sobre o sstema de coordeadas x x. Coforme CHUEIRI(994), pode-se, por exemplo, supor que seja lear esta varação, ou seja: g(p) = Ax (p) + Bx (p) + C e em termos de r e θ e sedo A, B e C costates e x (p) = x (q) + r cos θ x (p) = x (q) + r s θ chega-se a uma varação de g(p) que é g(p) = A r cos θ + B r s θ + g(q) (.45) uma vez que g(q) = Ax (q) + Bx (q) + C é um valor costate. Substtudo-se eq.(.45) e w* (eq.(.)) a eq.(.44), calcula-se a tegração sobre r. Etão, a tegral de domío se tora de cotoro que vale:

37 8 Ωg g(q) g(p w Q p d p D R R ) *(, ) Ω r d p g ( ) = (l ), Γg( ) + π 4 D R 4 R 7 (l )( Acos θ+ Bs θ) r, d p Γg( ) 4π Γg Γg (.46).. - CARGAS DISTRIBUÍDAS EM LINHAS OU CARGAS EM REGIÕES DISCRETAS A eq.(.46), permte o cálculo de deslocametos e esforços o cotoro e domío de uma placa sob carregameto dstrbuído em regões do domío da placa e com o cohecmeto de suas codções de cotoro. Exste o teresse, porém, de se aalsar placas com codções de vculação o seu domío. Estas codções podem ter sua fluêca sobre a rgdez da placa cosderada, se os esforços de terface forem terpretados como carregameto dstrbuído em pequeas regões, como lhas de carga (S l ) ou cargas dstrbuídas em regões dscretas (S d ). x x x S l S d S d S d Fg..8 Carregameto dscreto ou em lha Γ Daí, a parcela da tegral de domío da eq.(.8), por exemplo, referete a esta fluêca pode ser: I l d q = g lw * (Q,p)dSl (p) + gdw * (Q,p)dSd (p) = Sl = Sd para l e d represetado o úmero de regões com carregameto em lha ou em áreas dscretas, respectvamete. Supodo-se as cargas sobre as áreas S l (carga g l ) e

38 9 S d (carga g d ) como uformemete dstrbuídas, a tegral pode ser matrcalmete represetada por: []{ S } I q = P Ω (.48) Note-se que, quado os compoetes de {P Ω } são descohecdos, rão aumetar o úmero de cógtas do problema. Isto é resolvdo escrevedo-se as represetações tegras relatvas ao deslocameto e à sua dervada (eqs..8 e.9) para tatos quatos forem os ós da terface ou da lha de carga, cosderado-se também a fluêca dos vículos teros a tegral de domío. Neste caso, podem surgr, porém, problemas com sgulardade as tegras, pos os ós p e q cocdem. Estas tegras, embora para a placas tratadas pelas hpóteses de Resser, se ecotram exceletemete desevolvdas por SILVA(996), que também apresetou outras codções de carregameto possíves o domío da placa..4 - O MEC APLICADO À ANÁLISE DE PLACAS DELGADAS Para a aplcação do MEC ao problema de flexão de placas utlzado-se a formulação tegral apresetada, é precsa dvdr-se o seu cotoro em elemetos, cujo valor das varáves m, V, w e w, sobre eles seja calculado por fuções aproxmadoras dos valores destas varáves os ós extremos dos elemetos. A tegral sobre todo o cotoro da placa, portato, é substtuído pela soma das tegrações sobre o cotoro de cada elemeto. Daí, a equação tegral se trasforma uma equação algébrca evolvedo valores odas daquelas varáves o cotoro. Escrevedo-se equações para os deslocametos dos ós de cotoro da placa, costró-se um sstema de equações leares ode os valores cógtos são os deslocametos e esforços os potos do cotoro. A mposção das codções de cotoro, portato, permte que se resolva o sstema de equações para os valores destas cógtas. Isto permte com que se calculem outros valores em qualquer poto do domío da placa. Como se sabe, assocam-se a cada poto do cotoro da placa, quatro varáves, duas das quas são cohecdas através das codções de cotoro. Necesstam-se etão, duas equações por ó para resolver os sstema. Há autores que preferem uma equação para os deslocametos leares w e outra para a rotação θ

39 (PAIVA(987), WEARING(994)). Outros utlzaram, como CHUEIRI(994), uma técca alteratva que estabelece uma equação do deslocameto lear w para cada poto e outra para um poto extero a ele assocado. CHUEIRI(994) também utlzou as reações dos catos das placas e seus respectvos deslocametos como varáves do problema, escrevedo equações de deslocametos para estes potos e utlzado as codções de cotoro a eles equvaletes, para a resolução do sstema. Portato, um algortmo fo desevolvdo com base a teora aqu estudada. Neste algortmo, os elemetos de cotoro utlzados tveram a sua geometra aproxmada por fuções leares e a dstrbução das varáves sobre eles aproxmadas por fuções quadrátcas. Como fo vsto (ver eq..4), a forma geral da equação tegral para o cálculo do deslocameto de um poto Q do cotoro de uma placa delgadas é: ( ) CQwQ ( ) ( ) + V *( QP, ) wp ( ) m *( QP, ) w, ( P) dγ( P) + Nc = R *( Q, P) w ( P) = c c ( ) Γ Nc = V ( P) w*( Q, P) m ( P) w, *( Q, P) dγ( P) + R ( P) w *( Q, P) + g( p) w*( Q, p) dω ( p) c c Γ Ωg g (.49) que evolve os valores fudametas e depede das varáves de todo o cotoro. Na eq.(.49) C(Q) vale: c CQ ( ) = β π sedo β c o âgulo tero em Q. Note-se que, quado Q está um cotoro sem agulosdade (β c =π), C(Q)=/; quado Q é um poto tero (q) pertecete ao domío da placa, etão C(Q)= e C(Q)= em caso cotráro. CHUEIRI (994) smplfca a eq.(.49) defdo o vetor de deslocametos e o de seus valores fudametas:

40 u P up ( ) ( ) wp ( ) = = u ( P) w, ( P) [ ] u*( Q, P) = w*( Q, P) w, *( Q, P) ug *( Q, p) = w*( Q, p) (.5) uq ( ) = wq ( ) e mas o vetor das forças de superfíce e o de seus valores fudametas: p ( P) V ( P) pp ( ) = = p ( P) m ( P) [ ] p*( Q, P) = V *( Q, P) m *( Q, P) (.5) Ao mesmo tempo, como fo dto, tora-se ecessáro dvdr-se o cotoro da placa em N e elemetos para dscretzar a tegral eq.(.49). Este processo de dscretzação permte que se trasforme a equação tegral geral sobre todo o cotoro em uma somatóra das tegras sobre o cotoro de cada elemeto j, cujo cotoro é Γ j. Portato, a eq.(.49) fca: Ne CQwQ ( ) ( ) + ( p*( QP, ) upd ( ) Γ ( P) + R *( QP, ) w ( P) = Ne j= Γj Nc = j j = Γ = j ( pp ( ) u*( QPd, ) Γ ( P) + j Nc R ( P) w *( Q, P) + g( p) u *( Q, p) dω ( p) c c Ωg g g c c (.5) A vatagem desta dvsão do cotoro da placa em elemetos é também o fato de que a varável relatva a um poto geérco P pode ser escrta como uma terpolação de seus valores em potos do elemeto pré-estabelecdos, os chamados valores odas. Isto é possível pos o MEC assume-se que as fuções de forma da geometra de cada elemeto e de suas varáves são cohecdas, o que permte-se escrever fuções de terpolação φ que as represete. Neste trabalho, como o

41 programa utlzado como base dos seus objetvos (CHUEIRI(994)) assume fuções polomas lear para geometra e quadrátca para as varáves (formulação superparamétrca), esta será a aproxmação aqu adotada. Etão, defdo-se o vetor valores odas de deslocameto e esforços de um elemeto como U N e P N, respectvamete, de forma que: U N { U N } N N U w = = N = U w, N P N { P N } N N P V = = N = N P m (.5) sedo que N represeta o úmero do poto do elemeto de cotoro que vara de a já que o elemeto escolhdo fo o quadrátco, coforme já cometado aterormete. Pode-se dzer sobre um poto geérco P deste elemeto que: ode u ( P) wp ( ) T up ( ) = P U = = Φ ( ) u ( P) w, ( P) p ( P) V ( P) T pp ( ) = = = Φ ( P) P p ( P) m ( P) Φ T = φ ( P) ( P) ( P) φ φ φ ( P) φ ( P) φ ( P) N N (.54) (.55) e φ são as fuções terpolação quadrátca. Cosderado-se ξ a coordeada local homogêea, cuja vatagem de sua utlzação será dscutda adate, as fuções φ são escrtas:

42 φ φ φ ( ξ ξ) ξ ( P) = ξ ( ξ ξ ) ( ξ + ξ) ξ ξ ( P) = + ξξ ξξ ( P) = ( ξ ξξ ) ξ ( ξ ξ ) (.56) O formato das equações.56 cosdera a possbldade da exstêca de um ou ambos potos extremos do elemetos com dos valores odas da mesma varável cada um. Daí, potos com esta partcular codção, deve ser mgrados para detro do comprmeto do elemeto (elemeto descotíuo). Caso sto ão ocorra, o ó deve ser matdo a sua posção orgal as coordeadas locas valerão ξ = - ou ξ = + as eqs.(.56), depededo da sua posção o elemeto. Se ambos ós extremos do elemeto de cotoro possuem um úco valor para as varáves a eles assocadas, obvamete que ambos serão matdos em suas posções orgas caracterzado assm, um elemeto chamado cotíuo. Reescreve-se a eq.(.5) cosderado-se as eqs.(.54) a forma: N e c N CQuQ ( ) ( ) + h( Q) U Rc *( QP, ) wc( P) j j + = Ne j= = Nc N g ( Q) P Rc ( P) wc *( Q, P) t( Q) j j + + j= = N (.57) ode h (Q) = j g (Q) = j Γj Γj p* (Q, P) Φ (P) dγj(p) T [ u* (Q, P) Φ (P)] dγj(p) T (.58) [ ] tq ( ) = gp ( ) u*( Qp, ) dω ( p) Ωg g cujos valores das tegras para cada elemeto j são cohecdos e são multplcados pelos valores odas U j N e P j N. Esta é a vatagem em se utlzar o sstema local de

43 4 coordeadas, o que cosste em se cosderar as coordeadas de cada poto do elemeto como uma coordeada local. Etão, as tegras sobre o elemeto podem ser umercamete resolvdas. Após somar-se a fluêca de cada elemeto de cotoro e dos catos o cálculo do deslocameto de um determado poto Q, os valores odas multplcados pelos seus coefcetes são agrupados, costrudo-se assm, uma lha de uma matrz. Procededo da mesma forma para todos os ós do cotoro da placa, cludo os catos, obtém-se a segute forma matrcal para a eq.(.57): ^ CQuQ ( ) ( ) + HQ ( ) U+ H( Q) w = GQ ( ) P+ G( Q) R+ TQ ( ) (.59) c c c c ode ^ HQ ( ) e GQ ( ) cotêm os valores das duas prmeras das eqs.(.58), respectvamete, agrupadas de acordo com os valores odas a que se relacoam; H c ( Q) e G ( Q) cotêm os coefcetes que multplcam os deslocametos c e reações os catos, respectvamete; T(Q) refere-se aos valores calculados a últma das eqs.(.58); U T N { w w w w N =,..., } P T N N = { V m... V m } sedo N o úmero de potos do cotoro e T w = { wc wc... w c } Nc c T R = { Rc Rc... R c } Nc c Aqu, N c é o úmero de catos da placa.

44 5 Escrevedo-se a eq.(.59) dcalmete, obtém-se uma lha () do sstema de equações: ^ j j j j Cu + H U + H w = G P + G R + T c c c c s (.6) ode H j = H^ j H j = C + H^ j quado j. quado =j. Pode-se também escrever a eq.(.6) como: HU+ Hc wc = GP+ Gc Rc + T (.6) A clusão de w c e R c como varáves do problema permte que se corporem os termos em H ( Q) e G ( Q) em H(Q) e G(Q), trasformado a eq.(.6) a forma matrcal: c c HQU ( ) = GQP ( ) + TQ ( ) (.6) A partr dos resultados de deslocametos e forças obtdos desta forma, podemse calcular os deslocametos de qualquer poto do cotoro ou domío da placa através das equações eqs..8,.9 e.4. Para o cálculo de esforços e tesões e deformações estes potos, utlzam-se as equações dos tes.4 a.6 (ver, p.e., CHUEIRI(994)). Para efeto de programação, dá-se a elas o mesmo tratameto dado à equação.4 que culmou a forma matrcal do sstema em.6. A matrz H dada em.6 é tal que possu propredades que dzem respeto a cofgurações de equlíbro de uma placa. Submetda a um carregameto ulo, podese escrever eq..6 como: H (Q) U = (.6a) Um deslocameto qualquer w de corpo rígdo permte estabelecer a segute propredade de H :

45 6 N N h,j = j= j= + h c,j (.6b) ou seja, a soma etre os valores das coluas ímpares de qualquer lha de gual a zero. H deve ser Segudo o mesmo racocío, agora para uma rotação α de corpo rígdo em toro de um exo qualquer, obtém-se a outra propredade de H : N j= h N N,j = j= j= Dj + h,j cosβ j + h c,j D c j (.6c) ode D j é a dstâca do ó j ao exo arbtráro de rotação e β j é o âgulo formado etre a ormal ao cotoro em j e o versor ormal ao exo em toro do qual a placa gra. No problema de flexão de placas delgadas, como se sabe, quatro são as varáves assocadas a cada poto do cotoro, w(p), w, (P), V (P) e m (P), duas das quas são determadas pelas codções de cotoro. Cosderado-se todo o cotoro da placa, restam N valores descohecdos, dos para cada ó. Além dsto, com relação aos catos, um dos dos valores assocados a cada um deles, w c e R c, ovamete, é cohecdo através das codções de apoo de cada cato. Restam, etão, N c cógtas por ó de cato. Date dsso, resolve-se o problema de flexão de placas ao se escrever duas equações para cada ó do cotoro e uma para cada cato através da eq.(.59). O procedmeto usual é se escrever uma equação tegral para o dervada drecoal do deslocameto w(q) de cada poto, relatva a uma dreção geérca m, de forma que, da eq.(.49):

46 7 [ ] CQw ( ), ( Q) + V, *( QP, ) wp ( ) m, *( QP, ) w, ( P) dγ( P) + Nc = m m m R, *( Q, P) w ( P) = c m c [ m m ] Γ Nc = V ( P) w, *( Q, P) m ( P) w, *( Q, P) dγ( P) + R ( P) w, *( Q, P) + g( p) w, *( Q, p) dω ( p) c c m Γ Ωg m g (.6) Pode-se demostrar que é possível trasformar-se a eq.(.6) em uma forma smlar à eq.(.6) procededo-se da mesma maera que ela fo obtda. Porém, como já se mecoou, PAIVA(987) e CHUEIRI(994), detre outros autores, utlzaram um artfíco alteratvo que cosste em escrever a seguda equação relacoada a um ó do cotoro através da eq.(.49), porém para um ó extero à placa a ele relacoado (Q ) localzado fora do domío da placa. VENTURINI (989) e PAIVA & VENTURINI (99), detre mutos outros autores, apresetam uma técca de aálse de flexão de placas através do MEC em que se evta a represetação algébrca das rotações os ós de cotoro, através do uso de ós de colocação exteros ao domío, o que melhora os resultados obtdos. A defção da posção é extesamete estudada os ctados trabalhos. Estes potos exteros são poscoados a dreção ormal ao cotoro o poto em questão, a uma dstâca d do mesmo, que é tal que (fg..9): Q d Q Fg..9 Poto Extero Relatvo ao do Cotoro d = α l m

47 8 sedo l m o valor médo etre os comprmetos dos elemetos cocorretes este poto do cotoro ou o comprmeto do elemeto, caso o ó em questão seja o ó cetral do elemeto. Város estudos exstem com relação ao valor deal para α. CHUEIRI(994) adotou.5 α.5. Pode-se escrever a forma matrcal para a eq.(.49) de forma a represetar os deslocametos de ambos os potos Q e Q : c CQ uq p QP upd P p QP wc P ( ) ( ) ( *(, ) ( ) ( ) * + Γ + (, ) ( ) = c Γ ( pp ( ) u*( QPd, ) Γ( P) + Nc = = R ( Q, P) u * ( P ) + g ( p ) u * Q, p) dω ( p) c Γ c Ωg g N g (.64) para a qual: CQ ( ) = β π wq uq ( ) ( ) = wq ( ') V * ( Q, P ) m * ( Q, P ) p*( Q, P) = V * ( Q ', P ) m * ( Q ', P ) u P up ( ) ( ) wp ( ) = = u ( P) w, ( P) R * * c ( Q, P ) p ( Q, P ) = c R * c ( Q ', P ) u *( w Q P w Q P Q, P ) *(, ), * (, ) = w*( Q', P) w, * ( Q', P)

48 9 p ( P) V ( P) pp ( ) = = p ( P) m ( P) w * * c ( Q, P ) u ( Q, P ) = c w * c ( Q ', P ) * w*( Q, p) u ( Q, p ) = g w*( Q', p) Pode-se represetar o sstema de equações a forma: H H G G NxN NcxN NxN NcxN H H G G c c c c NxNc NcxNc NxNc NcxNc U U P P N c Nc N c Nc = T + T N c Nc (.65).5 - INTEGRAÇÃO SOBRE OS ELEMENTOS Na eq.(.64), pode-se chamar de h (Q) j e g (Q) j as tegras: e h (Q) = p* (Q, P) j Φ Γj g (Q) = j Γj T (P) dγj(p) T [ u* (Q, P) Φ (P)] dγj(p) (.66) ode já fo vsto que

49 4 V * ( Q, P ) m * ( Q, P ) p*( Q, P) = V * ( Q ', P ) m * ( Q ', P ) u *( w Q P w Q P Q, P ) *(, ), * (, ) = w*( Q', P) w, * ( Q', P) e as fuções terpoladoras das varáves sobre os elemetos T Φ φ(p) = φ (P) φ (P) φ (P) φ (P) φ (P) (.67) Φ Φ Φ ( ξ ξ) ξ ( P) = ξ ( ξ ξ ) ( ξ + ξ) ξ ( P) = ξξ ( ξ ξξ ) ( P) = ξ ( ξ ξ ) + ξ ξξ (.68) As tegras da eq.(.66) será faclmete efetuada se for expressa em termos de coordeadas admesoas ξ que é tal que: Γ j = ξ l/ (dγ j /dξ = l /) Pode-se reescrever h (Q) = h j j j g (Q) = g j (Q) = (Q) = l l ξ * p (Q,P) Φ * u (Q, P) Φ ξ T T (P)dξ(P) (P)dξ(P) * ode p ξ * e u são ξ p * ξ e u * ξ expressas em termos de ξ e l o comprmeto do elemeto j.

50 INTEGRAIS NUMÉRICAS: Efetuam-se as tegras a eq.(.66) pela fórmula de quadratura de Gauss: h j(q) = g (Q) = j l l NG * ϖ p = ξ NG = ϖ u * ξ (Q, P) Φ (Q, P) Φ T T (P) (P).6. - INTEGRAIS ANALÍTICAS: A tegração efetuada aaltcamete, é facltada se as varáves são escrtas em fução do rao r, pos o sal de Γ j muda de acordo com a posção do ó sgular. Estes resultados se ecotram perfetamete deduzdo a vasta bblografa sobre o assuto (ver, p.e., PAIVA(987), CHUEIRI(994) detre outros), dode são aqu trasferdos: h (Q) = Γj V * Φ dγj = h j { C ( + ν) 4π C ( + ν) 4 C ( + ν) ν C (Q) = lm ε + C ε [ φ l( φ ) + φ l( φ ) ] ( φ ) l( φ ) ( φ ) s a ( φ ) l( φ ) + ( φ ) C ξ + m Φ dγ + s s * j j s j ( + ξ j s s b ε ) * mφ dγj s s 4 l( s j s j φ l( s = ξ ) + j φ s + ) ( 9 + ξ ) +

51 4 g C 4C 5 (Q) = lm ε j C 8πD w * Φ ( φ ) l( φ ) ( φ ) 4 4 ( φ ) l( φ ) ( φ ) s 7 w * Φ ( φ ) l( φ ) + ( φ ) s ε a s j j s s dγ + j j s b ε s 4 s dγj l( 5 s l( l( j φ = s j ) + 4 φ s j φ s ) 5 ) g (Q) = Γj w, * Φ dγj = ode, C = ξ + ( ξ ( ξ ξ + ξ ) ξ ξ ξ j )( ξ ξ j ) j C ξ ( ξ + ξ j ) = ( ξ ξ )( ξ ξ j ) C = ( ξ ξ )( ξ ξ j ) para,, j=,, e j INTEGRAIS NUMÉRICAS SUBELEMENTADAS A proxmdade do poto de carga em relação aos elemetos sobre os quas será feta a tegração, aumeta a fluêca o valor da varável a ser calculada. Melhorase este resultado se a dstâca etre o poto de carga e o poto médo do elemeto ão for muto grade. Uma técca efcete, usada por algus pesqusadores (CHAVES (997), FERNANDES(998), ROCHA(999)), cosste em subdvdr o

52 4 elemeto, depededo da posção do poto de colocação em relação a ele. Neste ovo subdomío realza-se a tegração umérca. A codção da subdvsão pode ser baseada a lmtação da dstâca etre estes potos a o mímo o comprmeto do elemeto que, quato meor, maor será o úmero de Gauss para efeto de tegração umérca.

53 44 CAPÍTULO - MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE DE CHAPAS. - INTRODUÇÃO Com o objetvo de desevolver a formulação para aálse lear de chapas através do MEC, serão expostos este capítulo os aspectos ecessáros para a elaboração de um algortmo. Este algortmo será utlzado, portato, como uma rota básca para o cálculo de estruturas sob estado plao de tesão. Algumas smplfcações adotadas para o presete trabalho serão também dscutdas. O que aqu se apresetará sobre a teora de chapas plaas pelo MEC é uma breve recaptulação do que já se ecotra bem estudado a bblografa sobre o assuto. (p.e. VENTURINI(988), BREBBIA & DOMINGUES(989), PALERMO(989)). A aálse de chapas, ou placas plaas sob estado plao de tesão ( plate stretchg BREBBIA & DOMINGUES(989)), é também uma smplfcação do problema trdmesoal a Teora da Elastcdade. Serão revstas as