ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS: APLICADA A MODELOS LINEARES

Transcrição

1 ANÁLISE MATRICIAL E ESTRUTURAS: APLICAA A MOELOS LINEARES Luz erado Martha Potfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero PUC-Ro epartameto de Egehara Cvl Rua Marquês de São Vcete - Gávea CEP - Ro de Jaero RJ Tel.: () - ax: () - E-mal: lfm@tecgraf.puc-ro.br URL:

2 . SISTEMA E EQUAÇÕES GLOBAIS E EQUILÍBRIO Coforme apresetado a Seção. do Capítulo a solução completa de um modelo estrutural pelo método da rgdez dreta é obtda pela superposção de uma solução global do modelo (estágo II) com soluções locas (estágo I) em cada barra do modelo. A solução global é uma represetação dscreta do problema em que o campo de deslocametos cotíuo é represetado pelas compoetes de deslocametos e rotações dos ós do modelo e as solctações exteras (carregametos) são represetadas por cargas equvaletes odas que são cargas força e cargas mometo aplcadas os ós do modelo. O capítulo ateror tratou da dscretzação das solctações exteras em cargas equvaletes odas que para uma barra solada são guas às reações de egastameto perfeto do carregameto atuado o seu teror com setdo vertdo. As cargas equvaletes odas são dtas locas porque estão assocadas a uma stuação de egastameto perfeto de um elemeto de barra solado. As cargas equvaletes odas locas vão compor jutamete com as cargas odas propramete dtas as cargas odas combadas globas (do modelo como um todo). Este capítulo trata das estratégas de motagem e solução do sstema de equações do problema global do método da rgdez dreta (estágo de carregameto II). Esse sstema de equações expressa a mposção de codções de equlíbro a cada um dos ós do modelo. Os coefcetes desse sstema correspodem a parâmetros de rgdez globas do modelo que são defdos em fução dos coefcetes de rgdez locas (de barras soladas) que foram deduzdos o Capítulo. As cógtas desse sstema de equações são das deslocabldades globas do problema que correspodem às compoetes de deslocametos e rotações odas dos graus de lberdade lvres (ão restrtos por apoos). A solctação atuate esse sstema de equações (vetor o lado dreto do sal de gual do sstema) é o vetor das cargas odas combadas globas cosderado todos os graus de lberdade do modelo clusve os que têm restrções de apoo. A solução do sstema de equações de equlíbro do problema global dscreto (estágo de carregameto II) só é possível quado se cosderam as restrções de suporte do modelo. Sem essas restrções ada é possível exstrem movmetos de corpo rígdo do modelo estrutural dcado que o problema tem ftas soluções para os deslocametos e rotações odas que satsfazem codções de equlíbro. Portato este capítulo também apreseta estratégas para cosderação das codções de suporte a solução do problema global dscreto... Motagem da matrz de rgdez global O método dos deslocametos determa a matrz de rgdez global de um modelo por superposção de casos báscos (gura.). Em cada caso básco é mposta uma cofguração deformada que sola o efeto de um grau de lberdade global. Pode-se dzer que esse procedmeto faz a motagem da matrz de rgdez global por colua pos a j-ésma colua da matrz de rgdez global [] correspode ao cojuto de forças e mometos que atua as dreções das coordeadas geeralzadas globas para equlbrar a estrutura quado se mpõe uma cofguração deformada com grau de lberdade j =. Por exemplo a gura. mostra os coefcetes da ª e da ª coluas da matrz de rgdez global de um pórtco geérco que correspodem respectvamete à mposção de = e =.

3 Aálse Matrcal de Estruturas: aplcada a modelos leares Luz erado Martha Coordeadas geeralzadas globas = = gura. Coefcetes de rgdez da ª e da ª coluas de uma matrz de rgdez global para o exemplo com três barras da gura.. Observe que o modelo da gura. está solto o espaço sto é a matrz de rgdez global está sedo motada cosderado todos os graus de lberdade clusve os que podem estar com restrções de apoo. Coforme cometado aterormete a cosderação das codções de suporte é feta em uma fase posteror à motagem da matrz de rgdez global (Seção.) que é portato motada por completo. O procedmeto de motagem da matrz [] por colua é adequado para uma resolução maual. Etretato esse algortmo ão é o mas adequado para uma mplemetação computacoal. O procedmeto característco do método da rgdez dreta é o da motagem da matrz de rgdez por barra. Tal algortmo mota a matrz [] de forma dreta somado a cotrbuções das matrzes de rgdez das barras uma de cada vez o que será explcado a segur. Na gura. observe que quado se mpõe o grau de lberdade = somete as barras com ídces e são moblzadas. Essas duas barras são adjacetes ao ó assocado a. Nessa stuação a barra com ídce ão sofre deformação alguma e portato ão cotrbu para a ª colua da matrz de rgdez global. e maera aáloga somete as barras com ídces e são moblzadas pela cofguração deformada mposta por = sedo que a barra com ídce ão cotrbu para a ª colua de []. Esse racocío pode ser geeralzado da segute maera: Os coefcetes da matrz de rgdez [ ] rgdez global [ ] k de uma barra cotrbuem apeas para os termos da matrz de assocados às coordeadas geeralzadas globas dos ós cal e fal da barra. Tal afrmação parte do prcípo que ão se cosdera restrção alguma as deformações das barras como por exemplo a cosderação de barras extesíves. essa forma a cada ó de um pórtco plao são assocados exatamete três graus de lberdade. Portato a formação prcpal para a motagem da matrz de rgdez global a partr das matrzes de rgdez das barras é o relacoameto etre as coordeadas geeralzadas locas de cada barra com as coordeadas geeralzadas globas. Note que só faz setdo estabelecer esse relacoameto se as coordeadas geeralzadas locas e globas estverem o mesmo sstema de exos. Por sso é precso trasformar as matrzes de rgdez das barras dos sstemas locas para o global. Essecalmete o relacoameto etre coordeadas geeralzadas locas e globas é uma garata de satsfação das codções de compatbldade tera. Isso ocorre porque a assocação de coordeadas geeralzadas locas (que se correspodem em barras adjacetes) com uma úca coordeada geeralzada global é a verdade uma mposção de compatbldade etre compoetes de deslocameto ou rotação das barras que se coectam. Como o método dos deslocametos o método da rgdez dreta trabalha trsecamete satsfazedo codções de compatbldade em todas as etapas da metodologa. A gura. mostra um exemplo para explcar como é feto o relacoameto etre coordeadas geeralzadas locas e globas. As matrzes de rgdez locas das barras o sstema global são lustradas a fgura em separado com o ídce da barra detfcado cada matrz. Nos desehos represetatvos das matrzes somete os coefcetes de rgdez locas ão ulos são mostrados.

4 Capítulo : Sstema de equações globas de equlíbro Coordeadas geeralzadas locas o sstema global Coordeadas geeralzadas globas em cada barra vetor de espalhameto vetor de espalhameto vetor de espalhameto gura. Espalhameto de matrzes de rgdez locas para a matrz de rgdez global para o exemplo com três barras da gura.. Para cada barra do modelo da gura. é crado um vetor de ídces que assoca cada coordeada geeralzada local com a coordeada global correspodete: { e} vetor de espalhameto: vetor com a dmesão do úmero de coordeadas geeralzadas locas de um elemeto de barra em que cada termo e armazea o úmero da coordeada geeralzada global assocado à coordeada geeralzada local. O exemplo da gura. mostra os vetores de espalhameto das três barras do modelo. As barras estão dcadas com a umeração das coordeadas geeralzadas locas (fgura superor à esquerda) e com a umeração das coordeadas geeralzadas globas (fgura superor à dreta). Observe que o vetor de espalhameto de cada barra armazea segudo a ordeação das coordeadas locas os ídces das coordeadas globas.

5 Aálse Matrcal de Estruturas: aplcada a modelos leares Luz erado Martha Os vetores de espalhameto de todas as barras depedem da umeração das coordeadas geeralzadas globas que é arbtrára. eve-se saletar que como ão podera dexar de ser os resultados de uma aálse ão depedem da estratéga utlzada para essa umeração. Exstem dversas estratégas para umerar os graus de lberdade de um modelo estrutural depededo da técca utlzada para resolver o sstema de equações globas cujos coefcetes são os termos da matrz de rgdez global. No etato foge do escopo deste lvro abordar esse problema. Pode-se dzer que a umeração dos graus de lberdade de uma forma geral procura dmur ao máxmo o úmero de coefcetes da matrz [] armazeados a memóra do computador. Em algumas stuações a técca de umeração vsa uma solução umérca mas efcete do sstema de equações. Mutas vezes as duas questões mmzação do uso de memóra e efcêca umérca de solução do sstema determam em cojuto a escolha da estratéga de umeração dos graus de lberdade. Os artgos de Cuthll e Mckee () Gbbs et al. () e Sloa () são referêcas clásscas sobre esse assuto. Por smplcdade o presete cotexto a umeração das coordeadas geeralzadas globas segue a ordem dos ídces forecdos para os ós do modelo. Cosdere que os ós são umerados cosecutvamete de até o úmero total de ós () e que é o ídce do ó cal de uma barra e j o ídce do ó fal. Utlzado essa estratéga para o caso de pórtco plao o vetor de armazeameto da barra resulta com os segutes valores: T { e} { j j j} =. Essa estratéga de umeração será modfcada para permtr o partcoameto do sstema de equações que é utlzado por uma das téccas para cosderar codções de apoo (Seção..). O algortmo para motagem da matrz de rgdez global por barra depede da estratéga adotada para umerar as coordeadas geeralzadas globas. Tal algortmo segue um procedmeto-padrão que é descrto a segur. Em uma etapa de calzação a matrz de rgdez global [] é crada com todos os coefcetes ulos. Em seguda a cotrbução de cada uma das barras uma de cada vez é somada a matrz []. Ao fal depos de todas as barras terem sdo cosderadas a matrz de rgdez global está completa. Note a gura. o poscoameto de cada um dos coefcetes de rgdez das barras a matrz de rgdez global. A lha e a colua da matrz global que recebem a cotrbução de um coefcete de rgdez local de uma barra são determadas com base o vetor de espalhameto {e} da barra. Cosdere que e j são os ídces do coefcete de rgdez local k j. A lha e a colua a matrz [] assocadas a esse coefcete são: = e ; jj = e j. essa forma a cotrbução de k j para jj é obtda da segute maera: jj = jj k j. Observa-se que o algortmo é muto smples. e uma maera formal pode-se codesar esse algortmo da segute maera: [ ] = [ k] barras barra sedo que esse somatóro pressupõe um espalhameto prévo das matrzes de rgdez locas das barras para a dmesão da matrz de rgdez global. O procedmeto de motagem da matrz de rgdez global é exemplfcado a gura. para o pórtco plao da gura.. Na gura. cada matrz de rgdez local tem seus coefcetes ão ulos detfcados por um símbolo ú- co. Note que a barra com ídce tem uma artculação a extremdade cal (feror). Portato a tercera lha e a tercera colua da matrz de rgdez dessa barra são ulas pos correspodem ao grau de lberdade assocado à rotação lberada pela rótula. Os dferetes símbolos utlzados para os coefcetes de rgdez locas servem para detfcar em que posções da matrz de rgdez global sete-se a cotrbução de cada coefcete ao mesmo tempo em que é possível vsualzar a sobreposção de coefcetes de rgdez das dversas barras.

6 Capítulo : Sstema de equações globas de equlíbro Coordeadas geeralzadas globas Numeração odal que resulta a mmzação da semlargura de bada B B = gura. Motagem da matrz de rgdez global para o pórtco da gura.. Exstem dversos aspectos a serem saletados a respeto da matrz de rgdez global resultate. O prmero é que obvamete se obtém a mesma matrz utlzado os procedmetos de motagem por colua. Talvez a característca mas marcate da matrz [] seja o que se deoma esparsdade sto é a forma como seus coefcetes são agrupados. Nota-se que a formação atural da matrz de rgdez global faz com que os termos dferetes de zero (os que têm algum símbolo a matrz da gura.) fquem próxmos da dagoal prcpal. ora da faxa em toro dessa dagoal só exstem termos ulos. z-se etão que a matrz tem a formação em bada. Sabe-se também que a matrz [] é smétrca. Portato é possível explorar o formato em bada e a smetra da matrz para armazear o úmero mímo de coefcetes ão ulos. essa forma uma possbldade é armazear a memóra do computador uma matrz retagular com úmero de lhas gual ao úmero de graus de lberdade e com o úmero de coluas gual ao parâmetro B (gura.) que é chamado de semlargura de bada. A semlargura de bada é a maor largura b de todas as lhas da matrz cosderado como largura de uma lha o úmero de coefcetes etre a dagoal prcpal clusve e o últmo coefcete ão ulo aquela lha (para a dreta). As segutes cosderações podem ser fetas para a determação da semlargura de bada B:. Cosderado gl o úmero de graus de lberdade por ó o caso de pórtco plao ou grelha gl = ; para trelças (como as rotações odas ão são levadas em cota) gl = ; e em um pórtco espacal (em que cada ó tem três compoetes de deslocameto e três compoetes de rotação) gl =.

7 Aálse Matrcal de Estruturas: aplcada a modelos leares Luz erado Martha. Cosderado uma barra geérca que coecta os ós com ídces e j supoha que < j.. As coordeadas geeralzadas globas são umeradas segudo a ordeação da umeração dos ós.. A matrz está sedo motada para a estrutura solta o espaço sto é ehum ó tem restrção de a- poo e todos os graus de lberdade do modelo estão sedo cosderados. essa forma a dmesão da matrz (quadrada) que é gual ao úmero total de graus de lberdade é = gl sedo o úmero total de ós. O procedmeto para determação da semlargura de bada também é realzado por barra. Para cada barra verfca-se qual é a maor largura b das lhas da matrz global que são afetadas pela serção da matrz de rgdez da barra: b = glj [gl( ) ] ; b = gl(j ). A semlargura de bada depede da máxma dfereça etre os ídces dos dos ós extremos de barra cosderado todas a barras do modelo: B = gl[(j ) máx ]. A expressão [(j ) máx ] é chamada de bada odal. Observa-se com base o exemplo da gura. que o formato em bada ada cosdera em seu teror um úmero cosderável de termos ulos da matrz. O que se busca é uma umeração que mmze a semlargura de bada a fm de dmur a quatdade de memóra ecessára para armazear a matrz []. A umeração adotada o exemplo ão é a que mmza a semlargura de bada pos a bada odal é gual a (proporcoada pela barra com ídce ) resultado em B =. O detalhe o cato superor dreto da fgura mostra uma reumeração dos ós que mmza a bada odal para. Exstem outros formatos para armazear em memóra a matrz [] buscado sempre evtar o armazeameto de coefcetes ulos. O mas famoso é o skyle (Cook et al. ) de slhueta dos arraha-céus que armazea em um vetor úco de forma cosecutva os coefcetes de cada colua da matrz da dagoal prcpal até o últmo termo ão ulo (para cma). Ada pode restar o armazeameto de algus termos ulos mas bem meos do que o formato em bada. Nota-se também a gura. que as sobreposções de coefcetes de rgdez locas se dão em toro da dagoal prcpal da matrz de rgdez global. Essa é uma característca assocada ao arrajo de barras em uma estrutura que fcam coectadas pelos ós. A sobreposção próxma à dagoal prcpal se dá por submatrzes com dmesão glxgl (x o caso do pórtco plao). No exemplo o maor úmero de submatrzes sobrepostas é. Isso está assocado ao fato de os ós com ídces e serem usados por barras cada um. Na verdade a motagem de toda a matrz se dá por submatrzes com dmesão x uma vez que a umeração das coordeadas geeralzadas globas de cada ó é cosecutva esse exemplo. Por causa dsso um grupo cosecutvo de três lhas e um grupo cosecutvo de três coluas da matrz global estão assocados a um determado ó. Pode-se pesar que as submatrzes são udades para o preechmeto da matrz global. essa maera a detfcação das posções de cotrbução de uma matrz de rgdez local a matrz global basea-se apeas os úmeros dos ós da barra. Um últmo poto a ser saletado a motagem da matrz de rgdez global da gura. é a cotrbução do coefcete de rgdez rotacoal do apoo elástco o ó com ídce. Esse coefcete de rgdez se soma ao termo da matrz de rgdez global: um apoo elástco traslacoal ou rotacoal que restrge parcalmete o grau de lberdade é cosderado adcoado seu coefcete de rgdez ao coefcete de rgdez global... Motagem das cargas odas combadas o vetor das forças geeralzadas globas O problema dscreto de aálse estrutural que se quer resolver é o do estágo de carregameto II descrto a Seção.. Nesse problema o comportameto do modelo estrutural é represetado por parâmetros assocados aos ós que são os potos de dscretzação. Todas as solctações desse modelo dscretzado são covertdas em cargas odas combadas que cosderam os efetos dos carregametos atuates o teror das

8 Capítulo : Sstema de equações globas de equlíbro barras e as cargas odas propramete dtas. As cargas odas combadas e as reações de apoo formam o vetor das forças odas geeralzadas {} do modelo. A dmesão desse vetor é a dmesão da matrz de rgdez global completa sto é o úmero de termos de {} é gual a = gl sedo o úmero de ós do modelo e gl o úmero de graus de lberdade por ó (gl = o caso de pórtco plao). Esta seção descreve um procedmeto para a motagem das cargas odas combadas o vetor das forças odas geeralzas globas. O procedmeto se dá em duas etapas que estão lustradas as guras.. e. para o e- xemplo com três barras da gura.. Na prmera etapa calmete as reações de egastameto perfeto das barras carregadas os seus sstemas locas são trasformadas para o sstema global (Seção. ver gura.). Isso é ecessáro porque as reações de egastameto das barras carregadas se trasformam em cargas equvaletes odas que se somam às cargas odas propramete dtas para formar as cargas odas combadas. Em seguda (Seção. ver gura.) as reações de egastameto as barras carregadas são covertdas em cargas equvalete odas. A seguda etapa do procedmeto de motagem das cargas odas combadas o vetor {} é mostrada a gura. para o mesmo exemplo das três barras. Cargas equvaletes odas (vdas das barras) superpostas a cargas odas propramete dtas fe P fe P fe fe P fe fe P fe P fe P fe fe P fe fe fe fe P P fe fe fe fe P P P Cotrbução das cargas odas combadas para o vetor das forças odas geeralzadas globas vetor de espalhameto vetor de espalhameto gura. Trasporte e espalhameto das forças equvaletes odas (vdas das barras) e superposção com cargas odas propramete dtas para formar as cargas odas combadas para o exemplo com três barras da gura.. vetor de espalhameto No exemplo da gura. os ós do modelo são mostrados solados com os efetos vdos das barras (cargas equvaletes odas) dcados em cada ó. Na fgura também estão dcadas em cada ó as correspodetes compoetes das cargas odas propramete dtas que formam um vetor defdo da segute maera: {P} vetor das cargas odas propramete dtas o sstema global: cojuto de forças e mometos exteros que atua dretamete sobre os ós (as dreções dos exos globas). Cosderado todos os graus de lberdade do modelo clusve os que têm restrções de apoo a dmesão desse vetor é gual à dmesão do vetor das forças odas geeralzadas.

9 Aálse Matrcal de Estruturas: aplcada a modelos leares Luz erado Martha O vetor {fe} de cargas equvaletes odas de cada barra tem como dmesão o úmero de graus de lberdade da barra. Para somar as cargas equvaletes odas com as cargas odas propramete dtas é precso espalhar as cargas equvaletes odas para a dmesão global do vetor {P}. Esse espalhameto é semelhate ao que ocorre a motagem da matrz de rgdez global. Na verdade é mas smples pos é um espalhameto para um vetor e ão para uma matrz. e maera formal pode-se escrever a segute expressão para a motagem das cargas odas combadas o vetor das forças odas geeralzadas globas: { } = { fe} {P} barra barras sedo que esse somatóro pressupõe um espalhameto prévo dos vetores das forças equvaletes odas das barras para a dmesão do vetor {}. almete deve-se saletar que algumas compoetes das cargas odas combadas atuam a dreção de coordeadas geeralzadas globas que correspodem a graus de lberdade restrtos por apoos. Essas compoetes poderam ser eglgecadas pos uma força aplcada em um apoo que restrge o movmeto a dreção da força ão produz efeto em termos de esforços teros: a força morre o apoo. Na verdade as compoetes das cargas odas combadas correspodetes aos graus de lberdade restrtos por apoo são superpostas com setdos vertdos dretamete às reações de apoo. A Seção.. mostra um procedmeto formal para determar reações de apoo. O procedmeto mas usado etretato é descrto a Seção.... Iterpretação do sstema de equações fas como mposção de equlíbro aos ós solados A estratéga adotada o método dos deslocametos (gura.) para resolver uma estrutura é superpor uma sére de cofgurações cemátcas (deformadas) que satsfazem a compatbldade (os casos báscos) para o somatóro ateder as codções de equlíbro. As cofgurações cemátcas de cada caso básco satsfazem o equlíbro mas à custa de forças e mometos fctícos que atuam as dreções das deslocabldades. Essas forças e mometos fctícos são os termos de carga e os coefcetes de rgdez de cada colua da matrz [] (gura.). O equlíbro fal da estrutura orgal é alcaçado mpodo-se que a superposcão dos casos báscos as forças e mometos fctícos sejam ulos. O método da rgdez dreta é apeas uma roupagem dferete para o método dos deslocametos. A prcpal dfereça está a estratéga da motagem da matrz de rgdez global coforme vsto a Seção.. Na verdade é tudo a mesma cosa até porque o sstema de equações de equlíbro do método dos deslocametos é o mesmo do método da rgdez. E é sso que se pretede demostrar esta seção. O coceto de equlíbro global do modelo dscretzado o método da rgdez dreta é o de equlíbro dos ós solados. Cosderado que as barras soladas estão em equlíbro (garatdo pelos coefcetes de rgdez da barra) e que exste compatbldade de deslocametos e rotações as lgações da barras (garatda pelo relacoameto etre coordeadas geeralzadas locas e globas) o equlíbro global da estrutura é alcaçado se todos os ós solados estverem em equlíbro. Isso resulta em um sstema de equações cada uma assocada a uma coordeada geeralzada global. Para auxlar a explcação desse coceto o exemplo das três barras é utlzado ovamete como lustra a gura.. = dada pela Equação. forece o cojuto de forças geeralzadas locas que atua as extremdades da barra (as dreções dos exos globas) para equlbrá-la em uma dada cofguração deformada com valores arbtráros para as deslocabldades o vetor {d}. Essas forças geeralzadas represetam o efeto dos ós sobre a barra. O efeto da barra sobre seus dos ós é gual mas com setdo vertdo (ação e reação). Pode-se etão defr o segute: A relação { f } [ k] { d} { f} = { f } vetor dos efetos das deformações de uma barra sobre seus ós o sstema global: cojuto de forças e mometos que atua os ós adjacetes a uma barra (as dreções dos exos globas) resultate das deformações sofrdas pela barra. A gura. lustra os efetos dos vetores {f} os ós do exemplo com três barras. O somatóro das cotrbuções dos vetores {f} de todas as barras preceddo de um espalhameto para a dmesão global da estrutura resulta em:

10 { } = { f}. barras barra A defção do vetor resultate desse somatóro é: {} Capítulo : Sstema de equações globas de equlíbro vetor dos efetos das deformações de todas as barras de um modelo sobre seus ós o sstema global: cojuto de forças e mometos que atua em todos os ós do modelo (as dreções dos exos globas) resultate das deformações sofrdas pelas barras. orças geeralzadas globas (exteras) f f f f = f = f = f = f orças exteras e forças teras (vdas das barras) atuates os ós f f = f f = f f f f f f = f f = f = f f f f f f f f f f f f orças geeralzadas locas o sstema global = f = f f = f f = f = f f f f f f = f f = f = f f = f gura. Equlíbro odal das forças geeralzadas teras (vdas das barras) com as forças exteras geeralzadas. Pode-se mostrar que: { } = ([ k] { d} ) = [ ] { } sedo barras barra {} vetor dos graus de lberdade globas do problema dscreto cludo graus de lberdade restrtos por apoo. Novamete esse somatóro pressupõe um espalhameto das matrzes e vetores das dmesões locas das barras para as dmesões globas da estrutura. O vetor {} represeta o efeto tero (da estrutura) sobre os ós. O vetor {} das forças geeralzadas globas represeta o efeto extero. Por fm mpodo o equlíbro de forças e mometos atuates teros e exteros as dreções de todas as coordeadas geeralzadas globas chega-se a: { } { } =. f f f Ou seja { } { } [ ] =. (.)

11 Aálse Matrcal de Estruturas: aplcada a modelos leares Luz erado Martha Esse sstema represeta o equlíbro de todos os ós da estrutura clusve os restrtos por apoo as dreções de todos os graus de lberdade. Algus termos do vetor {} dos graus de lberdade são cohecdos (restrções de apoo). Os termos correspodetes do vetor {} são descohecdos (reações de apoo)... Cosderação das codções de apoo Até o presete poto da formulação do método da rgdez dreta ão foram cosderadas as codções de suporte a solução do problema. Matematcamete sso se reflete o fato de que a matrz de coefcetes do sstema de equações dcado a Equação. é sgular e por equato ão é possível resolver o sstema. Isso mesmo: a matrz de rgdez global resultate do processo de motagem defdo a Seção. tem o determate ulo. Para detfcar sso basta pesar que é possível um movmeto de corpo rígdo para o modelo assocado a um vetor dos graus de lberdade {} com valores ão ulos mas com vetor de forças {} ulos. É evdete que sem cosderar as codções de apoo o problema ão tem solução. Esta seção apreseta três procedmetos usualmete adotados para modfcar o sstema de equações de equlíbro cosderado codções de suporte e dessa forma chegar a um sstema de equações que tem solução.... Partcoameto do sstema de equações A maera mas formal para cosderar as codções de apoo é através do partcoameto do sstema de equações o que é cosegudo por meo de uma reumeração das coordeadas geeralzadas globas de tal maera que as coordeadas correspodetes aos graus de lberdade restrtos por apoo sejam umeradas por últmo. Um exemplo desse tpo de reumeração é mostrado a gura. para o pórtco da gura.. O algortmo para fazer a reumeração é muto smples: basta percorrer os ós do modelo e umerar calmete apeas as coordeadas com dreções lvres de restrção de apoo; em um segudo passo umeram-se as coordeadas restates. Com a reumeração das coordeadas geeralzadas globas a úca modfcação em relação ao procedmeto descrto a Seção. para a motagem da matrz de rgdez global resde os vetores de espalhameto {e} das barras: os ídces de coordeadas geeralzadas globas armazeados esses vetores refletem a reumeração. Coordeadas geeralzadas globas reumeradas gura. Reumeração das coordeadas geeralzadas globas do pórtco da gura. para partcoameto do sstema de equações de equlíbro. Após a reumeração o sstema da Equação. pode ser subdvdo em dos sstemas: [ ll l lf f l ] { } [ ] { } = { } ; (.) [ fl l ff f f ] { } [ ] { } = { }. (.) Nessas equações o subscrto l se refere a lvre e o f se refere a fxo. O partcoameto do sstema permte a detfcação dos segutes vetores:

12 Capítulo : Sstema de equações globas de equlíbro { l } vetor dos graus de lberdade globas lvres: são as cógtas do problema (descohecdas); { l } { f { f } vetor das cargas odas combadas as dreções dos graus de lberdade lvres (cohecdas); } vetor dos graus de lberdade globas fxos: são os valores mpostos pelas restrções de apoo (cohecdos); em geral são ulos a ão ser para recalques de apoo (cohecdos); vetor das forças odas geeralzadas as dreções dos graus de lberdade fxos: são as compoetes de reações da apoo (descohecdas). A Equação. pode ser mapulada resultado em: [ ll l l lf f ] { } = { } [ ] { }. (.) O lado dreto do sal de gual dessa equação é totalmete cohecdo pos o vetor { l} correspode às cargas odas combadas as dreções lvres e o vetor { f} correspode aos valores mpostos as restrções de a- poo. O sstema da Equação. correspode exatamete ao sstema obtdo pelo método dos deslocametos que só cosdera deslocabldades globas lvres { l}. A solução desse sstema resulta a determação dessas deslocabldades. A Equação. a verdade ão é um sstema a ser resolvdo pos o vetor { l} é cohecdo após a solução da Equação.. A Equação. forece dretamete os valores das reações de apoo: { f fl l ff f } = [ ] { } [ ] { }. (.) Para complemetar deve-se superpor às compoetes de reações de apoo obtdas com base a Equação. evetuas cargas odas combadas aplcadas os graus de lberdade restrtos por apoo com setdos vertdos.... agoalzação da lha e colua da matrz de rgdez global correspodete ao grau de lberdade restrto Neste procedmeto calmete a matrz global [] e o vetor das forças odas geeralzadas {} são motados sem levar em cota ehuma codção de apoo. Para cosderar o caso de uma restrção de apoo com um valor de deslocameto ou rotação mposto (recalque de apoo) é ecessáro modfcar a matrz e o vetor. A segur mostra-se uma expasão do sstema de equações [ ]{ } = { } sem levar em cota o fato de que mutos termos da matrz [] são ulos. Cosdere que o grau de lberdade tem deslocameto prescrto ou rotação prescrta com valor : = A -ésma lha e a -ésma colua da matrz [] e o vetor {} são modfcados da segute maera:

13 Aálse Matrcal de Estruturas: aplcada a modelos leares Luz erado Martha = A -ésma lha da matrz fca com um a dagoal prcpal e os outros termos. Nessa lha a força odal geeralzada o vetor {} é substtuída pelo valor do recalque mposto. Para mater a smetra da matrz de rgdez global os outros termos da -ésma colua da matrz são aulados sedo que os outros termos do vetor {} são alterados como dcado levado em cota que os termos aulados da matrz são os que multplcam o valor cohecdo do recalque de apoo. essa forma o úmero de equações do sstema ão se altera em relação ao úmero total de graus de lberdade (a dmesão da matrz [] é matda) cotua sedo uma cógta e a solução da -ésma lha do sstema resulta para um valor gual ao recalque mposto. O procedmeto deve ser aplcado para cada restrção de apoo. Cosderado que um recalque de apoo ão é o tpo de solctação mas frequete a maora das vezes =. Nesse caso o úco termo alterado do vetor {} é o -ésmo.... Iserção de um apoo elástco fctíco com valor muto alto do coefcete de rgdez Este procedmeto usa um artfíco que soma ao termo da dagoal da matrz [] correspodete ao grau de lberdade com recalque de apoo prescrto um coefcete de rgdez fctíco g com valor muto grade (por exemplo vezes o maor valor etre os termos da dagoal prcpal de []) como se fosse um apoo elástco. O termo correspodete do vetor {} é substtuído por um valor gual a g vezes o valor do recalque de apoo: ( ) = g g Esse procedmeto é um macete umérco cohecdo. Como g tem um valor muto grade em relação aos outros coefcetes da matrz [] a solução da -ésma lha do sstema de equações o valor de g ofusca os valores dos outros coefcetes resultado em: g g =. essa forma as modfcações a matrz [] e o vetor {} são mímas as suas dmesões são matdas e ão se afetam as outras lhas do sstema de equações que ão estão relacoadas com a restrção de apoo.